使用新穎取樣技術之全場外差干涉儀

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

博 士 論 文

使用新穎取樣技術之全場外差干涉儀

The full-field heterodyne interferometry

with novel sampling scheme

研 究 生：謝鴻志

指導教授：蘇德欽

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使用新穎取樣技術之全場外差干涉儀

研究生：謝鴻志 指導教授：蘇德欽 教授 國立交通大學 光電工程研究所

摘 要

以取樣原理的角度來探討全場外差干涉術及其應用在各類物理參數的量 測。在取樣頻率滿足 Nyquist 取樣速率的條件下，量測大階高物體表面形貌及折 射率分佈等。接著提出並証明在取樣頻率低於 Nyquist 取樣速率的條件，仍然可 以還原出原本的信號及其相位。並提出以普通相機來做全場外差干涉術的最佳化 取樣條件，並以量測相位延遲做為實驗佐證。 大階高物體之表面形貌的量測方法，是結合雙波長干涉術與外差干涉術。將 準直擴束的外差光源入射至 Twymann-Green 干涉儀的光學架構中並得到干涉信 號之相位值，之後由兩臂光程差與雙波長的合成波長之相位值的關係進而解得大 階高物體之表面形貌。在折射率分佈量測方法中，提出一種斜入射旋光外差干涉 術的方式來進行。將旋光外差光源以斜入射角入射至待測樣本表面，反射光在通 過檢偏板時產生干涉信號。在得到干涉信號之相位值後，由 Fresnel 公式可推得 相位與折射率之間的關係，進而解出二維折射率分佈。 在取樣頻率可低於 Nyquist 取樣速率的理論中，首先以數學模型推導相機擷 取干涉信號時的狀況，再利用弦波擬合法計算相位。接著，在推導的過程中，可 以用 Fourier transform 及矩陣運算的方式來得到取樣頻率及外差頻率之間的限制 條件。而後，在相位解析誤差為 0.05°之下，給定了一組最佳實驗條件。可以做 為以普通相機來做全場外差干涉術的一個參考。接著則是利用此最佳實驗條件， 以共光程干涉儀的架構來量測二維相位延遲分佈，使外差光束通過待測樣本與檢 偏板，將所得到的相位分佈扣除參考信號之相位後，則可求得二維相位延遲分佈。 本論文所提出的量測方法有光學操作簡單、高量測解析度及高重現性等優 點。此外，以取樣頻率低於 Nyquist 取樣速率的最佳實驗條件進術量測時，在不 失去外差干涉術的準確度之下，可大幅降低實驗所需成本。

-ii-

The full-field heterodyne interferometry

with novel sampling scheme

Student: Hung-Chih Hsieh Advisor: Prof. Der-Chin Su

Institute of Electro-Optical Engineering National Chiao Tung University

Abstract

In order to apply the heterodyne interferometry to the full-field measurement by using a digital camera, the relations between the camera sampling frequency and the heterodyne frequency are investigated based on the procedures to derive the associated phases. We find that the full-field heterodyne interferometry can be operated whether the sampling conditions meet the Nyquist sampling theorem or not. The large step height and the refractive index distribution are performed in order with the conventional Nyquist sampling theorem. Then, the optimal conditions for a commonly used CCD camera are proposed to reduce the cost. The full-field phase retardation distribution of a wave plate is measured to demonstrate their validities.

To measure the height distribution, an alternative full-field interferometric profilometry is proposed by combining the two-wavelength interferometry and the heterodyne interferometry. A collimated heterodyne light is introduced into a modified Twyman-Green interferometer, and its phase and profile can be obtained. In the measurement of the full-field refractive index distribution, the circular heterodyne light is incident on the sample obliquely. The reflected light passes through an analyzer and its associated phases are derived from the interference signals. The estimated data are substituted into the special equations derived from Fresnel’s equations, and the full-field refractive index distribution of the sample can be obtained.

The processes to derive the associated phases from the data of a series of recorded frames are performed, two optimal sampling conditions for a common-used CCD camera are proposed. The full-field phase retardation of a wave plate is measured by using a common path heterodyne interferometry to show the validities.

The above methods have several merits such as easy operation, high resolution and rapid measurement.

-iii-

誌 謝

能夠順利完成這本論文，首先最要感謝的是我的指導老師 蘇德欽教授。自 碩士班開始至博士班畢業這七年的研究生活中，老師秉持著「教學本土化，研究 國際化」的言教與身教實在令我受益良多，讓我有更開闊的心胸與視野作學術上 的研究，並在休閒旅遊與健康保健方面更是有獨特的收獲。 其次，我要感謝實驗室畢業的學長陳彥良博士，本論文前半段都以陳博士發 展的理論為基礎所做的進一步研究，也感謝陳博士在我研究的過程中給予的幫 助。感謝精密光學量測實驗室(原全像實驗室)的夥伴們，吳旺聰、張巍耀及徐凡 媐等人，在研究、修課及日常生活中的陪伴與協助，有了你們，在實驗室的生活 是彩色的，願全像實驗室精神與我們同在。 接著，我要感謝我的家人，母親 楊招英女士，您就像是現代孟母一般，讓 我能夠有個良好的學習環境，並且辛苦默默地支持我完成學業；感謝我的姐姐們 謝君慧、謝君霞及謝君琳，謝謝妳們替媽媽對我做了良好的管教，除了讓我能夠 在學習及成長的路上一路無憂之外，也讓我能夠一直走在正道上。感謝大姐夫陳 漢琰先生，謝謝你對我的鼓勵與幫助，讓我對人生中的事情與看法有所長進。還 有感謝我家的狗兒子夏夏，謝謝你帶給我們的歡樂，讓我們能輕鬆快樂渡過每一 天。 最後，將本論文獻給我在天國的父親 謝文城先生，謝謝爸爸讓我能夠記住 做人的道理，謝謝爸爸讓我能夠有勇氣面對人生中的挫折。希望爸爸能夠與我及 全家人一同分享此榮耀！

-iv- 目 錄 中文摘要……….i 英文摘要………ii 誌 謝……….………..iii 目 錄………...iv 圖 目 錄………...vi 表 目 錄………...ix 第一章 序論...1 參考文獻...4 第二章 滿足取樣定理之全場外差干涉術...6 2.1 引言...6 2.2 取樣定理...6 2.3 外差干涉術之原理及外差光源...10 2.3.1 外差干涉術原理...10 2.3.2 外差光源...11 2.4 全場外差干涉術...14 2.4.1 信號的擷取...14 2.4.2 相位計算...17 2.4.3 絕對相位解析方法...20 2.5 全場外差干涉術的誤差分析...24 2.5.1 相機取樣誤差...24 2.5.2 偏極混合誤差...25 2.6 小結...25 2.7 參考文獻...26 第三章 大階高物體之表面形貌之量測...29 3.1 引言...29 3.2 原理...29 3.2.1 干涉信號的相位...29 3.2.2 雙波長干涉術方法...32 3.3 實驗與結果...33 3.4 討論...36 3.5 小結...37 3.6 參考文獻...39 第四章 斜入射量測 GRIN Lens 之折射率分佈...42

-v- 4.1 引言...42 4.2 原理...42 4.3 實驗與結果...45 4.4 討論...47 4.5 小結...48 4.6 參考文獻...50 第五章 不滿足取樣定理之全場外差干涉術...53 5.1 引言...53 5.2 擷取干涉信號及相位解析方法...54 5.3 取樣頻率的限制條件...62 5.3.1 Martix approach...62

5.3.2 Fourier transformation approach...64

5.4 低取樣時的最佳化取樣條件...70 5.4.1 m 對r r'/ 造成的影響...70 5.4.2 最佳取樣條件...70 5.5 討論...72 5.6 小結...73 5.7 參考文獻...75 第六章 量測四分之一波片之二維相位延遲分佈...78 6.1 引言...78 6.2 原理...79 6.3 實驗與結果...82 6.4 討論...85 6.5 小結...87 6.6 參考文獻...88 第七章 結論...91 簡 歷………...………...93 著 作………..94

-vi- 圖 目 錄 Fig. 2.1 對連續信號取樣的示意圖……….………...7 Fig. 2.2 以圖形表示對時間信號的取樣……….………...8 Fig. 2.3 X_s( )f 在頻域空間上取樣的過程……….………...8 Fig. 2.4 頻域空間分佈圖 (a) f_s 2f_B； (b) f_s 2f_B………..9 Fig. 2.5 外加鋸齒波電壓示意圖………..………....12 Fig. 2.6 外差光源架構圖………..………....13 Fig. 2.7 旋光外差光源架構圖………..13 Fig. 2.8 相機(a)拍照介面； (b)程式區塊……….…………..16 Fig. 2.9 在 n 張拍攝影像相對應同一像素上，每個像素皆記錄一序列(n 個)的干 涉光強度………...………...………...18 Fig. 2.10 分別引入額外相位(0°~180°)時，光強度之變化情形。V_ 148 V， 120 V V  ………..22 Fig. 2.11 尋找最接近連續弦波片段斷點處之方法示意圖。(a) P_m1C_mT；(b) 1 m m P_ C T….………...22 Fig. 2.12 於斷點處插入空白補償時段並進行弦波擬合………...23 Fig. 3.1 本方法的光學系統架構圖。TLD:可調波長二極體雷射； EOM: 電光晶 體調制器； FG: 函數產生器； LVA:線性電壓放大器； BE: 準直擴束 器； PBS: 偏極分光鏡； Q1, Q2: 四分之一波片； M: 平面鏡； S: 待 測樣本； AN: 檢偏鏡； IL: 成像透鏡 C: 快速 CMOS 相機。………..30

Fig. 3.2 波長為_a 633.00時之相位分佈圖………..34 Fig. 3.3 波長為_b 635.00時之相位分佈圖………..34 Fig. 3.4 合成波長的相位二維分佈圖………..35 Fig. 3.5 待測樣本的高度分佈圖………..35 Fig. 3.6 沿著 Fig. 3.5 中點線所畫出的一維高度分佈圖………...36 Fig. 3.7 重覆量測之相位誤差結果………..37

-vii-

Fig. 4.1 本方法的光學系統架構圖。LS: 雷射光源； EOM: 電光晶體調制器； FG: 函數產生器； LVA: 線性電壓放大器； Q: 四分之一波片； G: 折 射率漸變透鏡(GRIN Lens); AN: 檢偏鏡； IL: 成像透鏡； MO: 顯微

物鏡；DL: doublet; C: 快速 CMOS 相機。……….43

Fig. 4.2 GRIN Lens 的二維折射率分佈圖@632.8 nm………...46

Fig. 4.3 GRIN Lens 的折射率等折射率圖@632.8 nm……….…..46

Fig. 4.4 n 對 n 的關係曲線………...47

Fig. 4.5 以垂直入射方式量測 GRIN Lens 之二維折射率分布量測結果………..49

Fig. 5.1 (a)相機取樣頻率高於外差頻率的取樣示意圖；(b)取樣後的取樣點分佈 圖………...55 Fig. 5.2 (a)相機取樣頻率低於外差頻率的取樣示意圖；(b)取樣後的取樣點分佈 圖……….56 Fig. 5.3 本方法的流程圖………..………...61 Fig. 5.4 當N 3時，不同 m 值，其 det(D0)與 s 的關係………..63 Fig. 5.5 不同f_s及f 的關係其頻率空間的分佈圖。(a) f_s 2f ；(b) f_s 2f ；(c) 2 s f  f  f ；(d) fs  ；(e) f 1 2 s f  f ；(f) 2 s f   f ……….67 Fig. 5.6 有限長時間頻域空間分佈圖………..69 Fig. 5.7 不同 m 值之下，r r'/ 對 fa 的關係曲線………...71 '

Fig. 5.8 當 fa'0.43，m1，u0.5，n8 bit，及₀  0 , 20 , 40 , 60 , and 80    時擬合的相位誤差與 N 的關係……….72 Fig. 6.1 量測全場相位延遲之光路架構圖。LS：雷射光源；EO：電光晶體調制 器；LVA: 線性電壓放大器；FG：訊號產生器；MO：顯微物鏡；PH： 針孔；CL：準直透鏡；S：待測樣本；AN：檢偏板；IL：成像透鏡；C： CMOS 相機；PC：個人電腦………...80 Fig. 6.2 座標分別在(a) (200, 200)及 (b) (375, 200)的相素所得的取樣強度…...83

-viii-

Fig. 6.3 (a)全場相位的量測結果；(b) Fig. 6.3(a)中虛線所代表的一維相位延遲曲 線……….84

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表 目 錄

Table 2.1 相位計算判斷表……….……….………..…...19

- 1 -

第一章 序論

干涉量測術是基於電磁波的干涉理論[1]，通過檢測相干電磁波的干涉圖 樣、頻率、振幅、相位等屬性，將其應用於各種相關量測的技術的統稱。用於實 現干涉測量術的儀器被稱作干涉儀[2]。在當今多個科研領域，干涉量測術都發 揮著重要作用，包括工程測量學、光纖光學、天文學等。一般而言，利用光學的 方式以非破壞性及非接觸性量測光學參數可分為兩大類，即強度型量測[3-5]與相 位型量測[6-8]。前者多半是量測入射光及反射光的強度比，由所得的反射率等參 數進一步地分析待測物的相關光學參數；而後者則是量測干涉信號的相位，並且 由相位與待測物的光學參數之間的關係可得到相對應的光學參數。強度型量測的 缺點眾所皆知，極容易受到背景光強度影度的影響造成量測解析度下降。因此， 本論文的內容著重於相位型量測的外差干涉術(heterodyne interferometry)。 外差干涉術由於具有快速量測及高精確度等優點，因此被廣泛地應用在距離 的量測[9,10]及表面粗糙度檢測[11,12]。在 1990 年代，也將外差干涉術配合全反 射的條件來量測液體的折射率[13,14]或是量測磁頭滑動器的飛行高度及其等效 複數折射率[15,16]。 在外差干涉術中，其干涉信號為一弦波信號。傳統上是以光偵測器來擷取此 干涉信號。光偵測器是屬於單點式的量測，若要得到大範圍的資訊，則必需利用 橫向掃瞄的方式來取得二維的資訊。因此，在陣列式感光元件(如 CCD 或 CMOS) 發明前，要得到待測物的二維資訊量測是一項十分耗時的工作。即使如此，在外 差干涉術中，光偵測器還是有其無法取代的地位。如前段文章所述，外差干涉術 為一相位型量測的干涉儀，因此如何得到干涉信號的相位是很重要的課題。當

然，目前有許多常見的方式，諸如four-frame integrating bucket method [17]、

N-frame integrating bucket method [18]、Fourier transformation method 等，都廣為 一般研究學者所使用。即使這些方法可由擷取到的信號解析出相位，但若將擷取 到的信號，在時間軸上依序排列，則會發現無法還原出原本的弦波干涉信號。

- 2 - 因此，弦波擬合法就是很簡單又方便的方式，可以直接用光偵測器擷取干涉 信號，再將所擷取到的信號在時間軸上依序排列，則可得到一個弦波信號。最後 再由弦波擬合的方式來得到最佳的弦波及相位。在以光偵測器作為擷取信號工作 的外差干涉術中，上述解析相位過程十分容易達成。因為以弦波擬合來還原信號 的資訊(包含信號的波形及相位)，必需考慮到光偵測器的取樣頻率與被取樣的弦 波信號頻率之間的關係。由取樣定理我們可以知道，取樣頻率至少要高於被取樣 頻率的兩倍或以上，才可以還原出原本的波形。而這中間常常被忽略的地方就 是，取樣原理是假設無限長時間取樣。因此，在實際上當然不可能達成無限長時 間取樣的條件，也因此就會造成信號還原及相位解析的誤差。而一般的光偵測 器，取樣的頻率可達到250 MHz 甚至更高，因此其信號還原及相位解析的誤差 非常地小，幾乎可以被忽略。 當我們將光偵測器改為CCD 或 CMOS 相機時，雖然可以直接獲得二維的資 訊，可是在解析相位的時候則必需考慮信號還原及相位解析的誤差，就無法像光 偵測器一樣將此忽略。因此，在第二章時，首先介紹取樣定理，敘述Nyquist 取 樣速率及取樣頻率與信號還原的關係；其次，說明外差干涉術的基本原理，並且 介紹本論文中使用到的外差光源；而後則介紹利用相機做為全場外差干涉術的取 樣工具時所使用的控制軟體及程式；接著敘述相位計算及絕對相位計算的方式； 最後則是全場外差干涉術的誤差來源估計。 第三章及第四章則根據第二章所提及的全場外差理論及方法所做的應用。第 三章則為大階高物體之表面形貌之量測。首先介紹量測的原理，包含干涉信號的 相位及利用雙波長干涉術的方法來求得大階高的技術。接著實驗及說明其量測所 得到的實驗結果，最後則對誤差做進一步的討論。

第四章則為斜入射量測GRIN lens 之折射率分佈。本章首先說明量測 GRIN

lens 的方法優缺點；而後詳細說明本方法的原理，即 GRIN lens 之折射率與干涉 信號相位間的關係。接著實驗及說明其量測所得到的實驗結果，而最後則是對誤 差做進一步的分析。

- 3 -

接下來，因為目前CCD 或 CMOS 的取樣頻率並不像光偵測器一樣可達到

250 MHz 的取樣速率。即使有，成本一定十分高昂，對於想從事全場外差干涉術

的研究學者而言，這將是一道很高的門檻。所以窮則變，變則通，前述的four-frame

integrating bucket method 與 N-frame integrating bucket method 的方法，雖然它們 取樣後的圖形並不像是弦波信號，但是卻可以用普通的相機來擷取干涉信號，而 不需要使用昂貴的科學用快速相機(scientific camera)，降低實驗的成本。 另一個思考的方向，就是弦波擬合法在此方面的應用價值。所以第五章則講 述如不滿足取樣定理的全場外差干涉術，並推導出將相機操作在低取樣(取樣頻 率低於外差頻率的兩倍)之下的最佳取樣條件。首先以數學模型推導相機擷取干 涉信號時的狀況，再利用弦波擬合法計算相位。接著，在推導的過程中，可以用 Fourier transform 及矩陣運算的方式來得到取樣頻率及外差頻率之間的限制條 件。而後，在相位解析誤差為0.05°之下，給定了一組最佳化的實驗條件。可以 做為以普通相機來做全場外差干涉術的一個參考。 第六章以第五章所提出的低取樣時的最佳條件來量測四分之一波片的相位 延遲，以驗証第五章所提出的理論其正確性。首先講述實驗的原理；接著實驗及 說明其實驗結果；最後則為誤差的討論。 在最後一章將對本研究作一個總結。以取樣理論為基礎來看全場外差干涉 術，並以弦波擬合法作為相位解析工具，那麼取樣理論不只被局限在Nyquist 取 樣速率的條件，甚至可以被擴充至低取樣的條件，並且大幅降低實驗所需的成 本。最後歸納本研究所得之結論。

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參考文獻

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- 5 -

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第二章 滿足取樣定理之全場外差干涉術

2.1 引言

外差干涉術已發展成為一項重要的量測工具[1,2]，它具有量測速度快、精確 度高及避免背景光雜訊的影響等優點。過去本實驗室的研究是利用電光晶體調制 器(electro-optic modulator)產生外差光源[3]，並將其應用於表面輪廓量測[4]、微 小位移量測[5]、折射率量測[6,7]、絕對距離量測[8]、小角度[9,10]及液體濃度 [11,12]及厚度[13,14]等量測等。然而，上述的研究方法皆為單點的量測，若要得 到全場(二維)的資訊，則必須做橫向掃瞄，相當耗時。全場外差干涉術是利用快 速相機來做為光偵測器，以擷取全場的干涉信號。而外差干涉信號是屬於強度隨 時間變化的弦波信號，因此將相機的每個畫素所擷取到的信號在時間軸上排成一 列可得到每個畫素相對應的弦波信號。此弦波信號的相位大小與待測物的光學參 數有關，因此如何解析得到此弦波信號的相位大小為全場外差干涉術的重要課 題。除此之外，相較於傳統單點量測的外差干涉術而言，全場外差干涉術因為使 用相機做為干涉信號擷取的工具，因此必須考慮到相機的拍照頻率與外差頻率是 否滿足取樣定理；本章將根據上述內容進一步說明，首先2.2 節簡單介紹取樣定 理，接著在2.3 節介紹外差干涉術原理，在 2.4 節中則是對全場外差干涉術的信 號擷取及相位解析的方法作探討。

2.2 取樣定理[15]

訊號在取樣時常常會引起交疊(aliasing)現象，而導致訊號失真，為了避免這 種情形發生，訊號在取樣時之取樣頻率必須不小於有效取樣頻率，至於有效取樣 頻率則需參照訊號取樣定理的規定，訊號取樣定理又稱為Nyquist 取樣定理[16]。 對連續時間的訊號以有規律之區間取樣，可以用一個週期性脈衝函數p t 乘( ) 上被取樣的連續訊號x t 來表示，如 Fig. 2.1 所示。其週期性脈衝函數 ( )( ) p t 的定 義為

- 7 - Fig. 2.1 對連續信號取樣的示意圖





( ) _s n p t   t nT  



 ， (2.1) 其中T 為取樣時間間隔。而取樣過後的信號 ( )_s x t 則可以數學式表示為 _s ( ) ( ) ( ) s x t x t p t





( ) _s n x t   t nT  









( _s) _s n x nT  t nT   



 。 (2.2) Fig. 2.2 則為對連續時間訊號 ( )x t 在時域空間的取樣過程示意圖。將時域空間上 的取樣訊號x t 轉換成頻域空間的信號_s( ) X f ，而兩個在時域空間上相乘的信_s( ) 號，轉換到頻域空間時則成為此二信號的捲積(convolution)。因此，將 Eq. (2.2) 做Fourier transform 可得

 

 

( ) s X f X f P f

 

1 1 n s s X f f n T  T       _{ }  _   









s s n f  X f nf  



 ， (2.3)

- 8 -

Fig. 2.2 以圖形表示對時間信號的取樣

- 9 - 其中X f

 

及P f

 

分別為x t 及 ( )( ) p t 的 Fourier transform 後的信號； _s 1 s f T  為取 樣頻率。X f 在頻域空間上取樣的過程，則如 Fig. 2.3 所示。假設_s( ) X f

 

的最 高頻率為 f ，頻寬為 2_B f 。當取樣頻率_B f_s 2f_B時，即等於兩倍的最高頻率時， 訊號頻譜會依照取樣頻率 f 為週期，重覆此一訊號頻譜。此時若加上適合的低通_s 濾波器，則可完整的重建原本訊號。若取樣頻率加大，使得 f_s 2f_B，如Fig. 2.4(a) 所示，相鄰頻譜的距離則會加大，更適合低通濾波器擷取訊號，進而完成重建訊 號。而當取樣頻率 f_s 2f_B時，則相鄰頻譜會發生重疊現象，如Fig. 2.4(b)所示。 此時用濾波器沒辦法擷取出原本的訊號，所以無法還原訊號。因此，為了避免重 疊現象的產生，取樣頻率必須大於等於被取樣訊號的最高頻率的兩倍，意即 2 s B

f  f ，此即為Nyquist 取樣速率(Nyquist sampling rate)[17]。

(a)

(b)

- 10 -

2.3 外差干涉術之原理及外差光源

2.3.1 外差干涉術原理

在外差干涉術中，假設兩光波的電場形式分別為 1 1( ) 1 i t E t a e ， (2.4) 及 2 ( ) 2( ) 2 i t E t a e   ， (2.5) 其中a 與_1,2 _1,2分別表示電場E 及₁ E 的振幅大小及角頻率，₂ 為電場E 及₁ E 間的₂ 相位差大小。當兩波互相重疊干涉時，光偵測器上所得的光強度為 2 1 2 ( ) I t  E E 2 2 1 2 2 1 2cos( ) a a a a  t     0[1 cos(2 )] I   ft     ， (2.6) 其中   ₁ ₂ 為電場E 及₁ E 間的角頻率差；₂ f 為外差頻率，它與 間的關係 可表示為2 f 。I 及₀  分別是平均強度及干涉信號的對比度。由於光偵測器 輸出的電子訊號強度正比於其接收的光強度，所以處理電子訊號就等同於處理光 學干涉訊號。由Eq. (2.6)可知干涉訊號為一連續的弦波訊號，兩波的相位差則 被保留在此弦波訊號的相位項裡。將此干涉訊號與一個具有相同角頻率 的參考 訊號相互比較後，便可求得的大小。

- 11 -

2.3.2 外差光源

本研究中所使用的外差光源皆以電光晶體調制器作為移頻器，可分為線性外 差光源和旋光外差光源，這兩種光源的差別在於旋光外差光源比線性外差光源多 加一片四分之一波片，說明如下： (a) 線性外差光源 一般常用的電光晶體材料有ADP (NH4H2PO4)、KDP 等[18,19]，當外加電 壓於電光晶體時，會使電光晶體產生雙折射效應。此時若有一線性偏振光通過此 電光晶體，則p-偏光及 s-偏光因為雙折射效應，所以受到的折射率亦不同，使得 兩偏振光之間產生相位延遲(phase retardation)，其大小為 0 z V V_      ， (2.7) 其中 為未加電壓時的相位延遲大小，₀ V 為外加電壓且V_{z }為電光晶體的半波電 壓。而快軸在水平方向的電光晶體其相位延遲的Jones 矩陣可寫成[20]

 

2 2 0 0 i i e EOM e                。 (2.8) 若使用一振幅為V_，頻率為f ，波形如 Fig. 2.5 所示之鋸齒波電壓信號 ( )V t 來驅_z 動電光晶體，其數學形式可表示為



 



2 ( ) z b V V t t mT V V T       ， (2.9)

- 12 - Fig. 2.5 外加鋸齒波電壓示意圖 其中mT t (m1)T，m 為整數，T 1/ f 為鋸齒波訊號之週期，V 為鋸齒波直_b 流部分。將Eq. (2.9)代入 Eq. (2.7)後，可得隨時間改變的相位延遲量為

 





0 2V Vb V t t mT T V           _{ }    。 (2.10) 在Eq. (2.10)中，可以調整適當的直流電壓V 的大小，使得後面兩項為零。此時b Eq. (2.8)可改寫為

 

2 2 2 2 0 0 f i t im f i t im e e EOM t e e                   2 2 0 0 i t i t e e               ， (2.11) 其中2 f 。如Fig. 2.6 所示，為了方便起見，定義 z 軸為光前進方向，y 軸 為紙面向上的方向。若使偏振方向與x 軸夾角為 45°之線性偏振光通過電光晶體

- 13 - Fig. 2.6 外差光源架構圖 Fig. 2.7 旋光外差光源架構圖 後，其電場的Jones vector 可寫為 0 in E EOM E 0 2 2 0 1 1 1 2 0 i t i t i t e e e           _{   }       0 2 2 1 2 i t i t i t e e e          _{ }     , (2.12) z x z x

- 14 - 其中₀為雷射光的角頻率，而E 為入射光的電場。由 Eq. (2.12)可知，經過電光_in 晶體調制的線性偏光會變成在p-偏光與 s-偏光間具有解頻率差大小為 的線性 外差光源。 (b) 旋光外差光源 本研究中所使用的旋光外差光源同樣是使用電光晶體調制器作為移頻器，其 架構如Fig. 2.7 所示。與線性外差光源的差別在於光通過電光晶體調制器後，加 入一快軸與x 軸夾角為 45°的四分之一波片 Q。因此，若使偏振方向與 x 軸夾角 為45°之線性偏振光通過快軸在 x 軸上的電光晶體及四分之一波片後，電場的 Jones vector 變為[21] 0c (45 ) in E Q  EOM E 0 2 2 1 0 1 1 1 1 1 2 2 0 i t i t i t i e e i e             _{    }  _{ }     0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 i t _{i t} i i t _{i t} e e e e i           _{ }  _{ }     ， (2.13) 其中Q 為四分之一波片之 Jones 矩陣。在此注意由於我們入射光電場形式選擇為 0 i t e ，因此Eq. (2.13)的第一項為右旋偏光而第二項為左旋偏光，且右旋光與左旋 光之間具有 的角頻差，因此稱為旋光外差光源。

2.4 全場外差干涉術

2.4.1 信號的擷取

根據2.1 節所述，全場外差干涉術是以快速相機來做為光偵測器，擷取全場 的干涉信號。因此，快速相機的拍照控制便成為首要工作。在本研究中，相機的

- 15 -

控制皆由軟體LabVIEW (National Instruments Corporation)來執行。

程式的控制畫面Fig. 2.8(a)所示。當相機設定好所需拍照張數及拍照存檔的 資料夾路徑後，執行程式，則會顯示總拍照時間以及在設定好的資料夾中可找到 拍攝的相片資料。Fig. 2.8(b)則為相機控制程式的程式碼，分為六大步驟：(i)首 先告知LabVIEW 在電腦上的影像擷取卡的名字(在本研究中為 img0)，並讓 LabVIEW 初始化影像擷取卡，使其呈待命狀態；(ii)利用迴圈的方式，預先在相 機的記憶體上逐一建立欲拍攝相片的空間，包含相片的名字及數目，並設定相片 的灰階數為8 bit，若相機有更高的灰階數則在此處做更改。在此步驟相機還未開 始拍攝照片，只是預先建立好檔案及其所需的空間；(iii)設定相機的拍照方式， 在本研究中，我們需要拍攝連續的影像。因此需要以連續擷取(Grab)的方式來拍 照；(iv)利用迴圈的方式，將影像逐一拍攝下來。在開始擷取影像前程式會先紀 錄時間，而擷取完畢後程式再記錄一次時間。將兩次時間相減則可得到總拍照時 間；(v)利用迴圈的方式，將拍攝所得的照片逐一命名，並存入電腦中；(vi)告訴 LabVIEW 結束影像擷取卡的工作。 由於不同介面(如 1394 介面及 camera link 介面)所使用的子函式不同，因此 Fig. 2.8(b)只適用於 camera link 介面的相機所使用。然而，上述的六大步驟皆適 用於不同介面的相機，只是需要找出相對應的子函式來替換。

- 16 - (b) Fi g. 2. 8 相機 的 (a) 拍 照 介面； (b )程 式區塊

- 17 -

2.4.2 相位計算[22]

將相機某個畫素的取樣資料在時間軸上排列，則為一系列的點組合的弦波信 號，如Fig. 2.9 所示。並且可以進一步的用擬合的方式來得到最佳弦波。將此弦 波定義為I t'( )_k ，其方程式可寫為 0 0 0 '( )_k cos(2 _k) sin(2 _k) I t A  ft B  ft C , 2 2 0 0 cos(2 k ') A B ft     (2.14) 其中 1 0 0 ' tan B A  _  _     ; (2.15) A0，B0及C0為常數。根據最小平方法[23]，可以找出最小的平方差 2 1 '( ) n kg k k S I I t    



_  _ . (2.16) 其中I_kg為實驗上由相機所取得的干涉信號強度值。將上式對A0，B0及C0做偏微 分，然後取零，則可以得到一組線性方程式 0 D x y , (2.17) 其中 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1

cos(2 ) cos (2 ) cos(2 )sin(2 ) sin(2 ) cos(2 )sin(2 ) sin (2 )

cos(2 ) sin(2 ) n n n k k k k k k k n n n k k k k k k k n n k k k k ft ft ft ft D ft ft ft ft n ft ft                                     

















; (2.18)

- 18 - Fig. 2.9 在 n 張拍攝影像相對應同一像素上，每個像素皆記錄一序列(n 個)的干涉光強度 0 0 0 A x B C            ; (2.19) 及 1 1 1 cos(2 ) sin(2 ) n kg k k n kg k k n kg k I ft y I ft I                        







. (2.20) 因此，我們有

- 19 - 1 0 x D y_  _{, (2.21)} 其中D₀1_表示D o的反矩陣。從上式可以算出A0及B0的大小，並且代入Eq. (2.15)， 即可計算得到該像素(x,y)位置的相位差值(x,y)。若將上述過程用於其他像素 上，則可得到全場相位分佈的情形。 Table 2.1 相位計算判斷表 if 判斷式 象限判斷 相位計算修正式 0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  +x 軸 ' 0 0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  第一象限 1 0 0 ' tan B A  _  _      0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  +y 軸 ' 2    0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  第二象限 1 0 0 ' tan B A  _  _ _     0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  -x 軸  ' 0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  第三象限 1 0 0 ' tan B A  _  _ _     0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  -y 軸 3 ' 2    0 0 0 cos ' 0 0 sin ' 0 A B        _{  }  第四象限 1 0 0 ' tan B 2 A  _  _ _     

- 20 -

要特別注意的是計算相位時是利用Eq. (2.15)的反正切函數(arctan)來運算，

以本研究使用的程式LabVIEW (National Instruments Corporation)及 Matlab

(MathWorks Inc.)等而言，反正切函數的值域皆落在 / 2 ~ / 2 間。這個值域範 圍並沒有考慮到A0及B0的正負號問題，所以在相位計算程式寫作上必需將此問 題考慮進去，因此可以將計算相位的值域擴充到0 ~ 2，而本研究的相位判斷式 列於Table 2.1 中。而經由 Table 2.1 的相位判斷式計算後的相位其值域為0 ~ 2， 這並不是唯一的值域範圍，亦可以其它的判斷式將相位的值域代換成 ~ 。

2.4.3 絕對相位的解析方法[24]

如2.3.2 節介紹，利用調整電光晶體的外加電壓大小可改變外差光源 s-與 p-偏光間的相位延遲，此相位延遲如Eq. (2.10)所示。其中 可經實驗量測並加以₀ 扣除，且可將Vb調整為零。根據上述調整，電光晶體之相位延遲可改寫為 ) 2 2 (         ft m V V ; (2.22) 傳統外差干涉儀是操作在外加電壓V V_時，因此會得到連續的弦波信號。若給 定的外加電壓V V_，則Eq. (2.22)可改寫成 0 0 2    f t ； (2.23) 其中 f V V f₀ ( )   ， (2.24) 且       V V m V V _{ } ( )(2 ) 0 。 (2.25)

- 21 - 可經由計算得到。當此外差光源再經與x 軸夾 45°之檢偏板產生干涉後，在第m 個調制週期(mT)內，其光強度可表示為 )] 2 cos( 1 [ 2 1 )] cos( 1 [ 2 1 ) (t      f₀t₀ I , mT t



m1



T (2.26) Eq. (2.26)中的光強度以弦波方式變化，而此弦波的頻率為f0。另外，由Eq. (2.24) 的關係式可知，此弦波頻率f0 必小於輸入鋸齒波信號頻率f 。因此在第 m 個單 一週期(mT)內，EO 之相位延遲必定無法完成 2π 之變化，而在與其下一週期 (m+1)T 之交界處產生斷點，且其弦波干涉信號亦會隨之產生斷點。 由Eq. (2.25)可知，於初始狀態且未引入其他相位改變時，斷點處之相位₀ 為固定值，其值可由外加電壓及半波電壓的大小的比值得到。當引入其他相位 後，相位延遲量為，其干涉信號之相位發生改變，然而斷點出現之時間序 列仍然不變，因此於斷點處之相位則會隨之產生改變，此相位改變即為絕對相位 值。此時Eq. (2.26)可改寫成連續函數方式表示為









_







          m f m t f t t f t I [1 cos(2 )] rect( -1 2) ( 1 2) 2 1 ) (  ₀ ₀   ; (2.27)

其中rect 表為矩形函數(rectangular function)，且符號「*」表示捲積(convolution)

運算。假設V_ 148V且V 120V，Fig. 2.10 為當 Eq. (2.27)具有不同的相位改

變時，I(t)之變化情形。要找到斷點的位置，則將 Eq. (2.27)做二次微分運算，

極值(local maximum or minimum)位置即為斷點(不連續)位置，依據上述位置可切 割每個弦波片段，每個片段均有前斷點及後斷點，上一個片段後斷點與下一個片

段前斷點會重合。然而由於相機離散取樣的原因，其取樣結果如Fig. 2.11 所示，

其中「˙」代表取樣之處。由於取樣頻率與外差頻率間不一定為整數倍的關係， 因此每個片段的前斷點不一定剛好落在函數理想斷點的位置。因此為找出最接近

- 22 - Fig. 2.10 分別引入額外相位(0°~180°)時，光強度之變化情形。V 148 V，V 120 V Fig. 2.11 尋找最接近連續弦波片段斷點處之方法示意圖。(a) Pm1 CmT；(b) T C Pm1 m 

- 23 - Fig. 2.12 於斷點處插入空白補償時段並進行弦波擬合 連續函數之斷點位置，我們使用疊代法來找出最佳斷點的片段，說明如下：在此 先定義Pm表示取出第m 個弦波片段中之第 1 個取樣點位置，且定義 Cm表示第 m 個片段內的時間比較點。假設初始條件 C1 = P1，利用Eqs. (2.28)與(2.29)聯立 判斷式將m = 1, 2, 3, … 逐一代入運算後，Cm之值將愈來愈接近連續函數之斷點 位置。 ; if , ₁ 1 C T P C T C_m  _m _m  _m (2.28) . if , ₁ 1 1 P P C T C_m  _{m m}  _m (2.29)

Fig. 2.11 為上述兩判斷式之示意圖。其中 Fig. 2.11(a)表示 Eq. (2.28)之情形，即若

m P 的時間C 加上一個週期m T 後，如果比下一個片段的前斷點Pm1的時間點Cm1 還小的話，那麼就表示P 比_m P_m1更接近理論的斷點，則將P 保留下來繼續與下_m 一個週期的前斷點比較；相反得情形則如Fig. 2.11(b)所示，也就是 Eq. (2.29)之 情形，與Eq. (2.28)情形相反，若P 的時間_m C 加上一個週期T 後，如果比下一個_m 片段的前斷點P_m1的時間點C_m1還大的話，那麼就表示P_m1比P 更接近理論的斷_m 點，則將P 捨棄，而_m P_m1則被選為新的比較點，繼續與下一個週期的前斷點比較。 待所有片段皆經上述逐一比較判斷後，找出一個滿足Eq. (2.28)與 Eq. (2.29)之片 段i，則片段 i 即為最接近理論相位之弦波片段。將片段 i 做時間軸之位移且使得

- 24 - 0  i P ，則片段i 之函數可單獨表示為







f t t f



t I_i [1 cos(2 )] rect( -12) 2 1 ) (    ₀ ₀  ; (2.30) 其餘片段亦進行相同的時間軸位移，並在各斷點處分別插入一空白補償時段 t  ，且 0 1 1 f f t   ，為弦波理論週期與電壓信號週期之差異，如Fig. 2.12 所示。 此時可得補償後之波形為 )] 2 cos( 1 [ 2 1 ) (t   f₀t₀ I_c . (2.31) 將Fig. 2.12 中各離散點以最小平方擬合法進行弦波擬合，可求出絕對相位改 變量。

2.5 全場外差干涉術的誤差分析

全場外差干涉術的相位量測誤差主要來源有(1)相機取樣誤差，與(2)偏極混 合誤差，玆分成以下兩小節加以討論。

2.5.1 相機取樣誤差[25]

此項誤差會與外差干涉信號的頻率、相機的記錄時間、拍照頻率、曝光時間 以及相機灰階數有關。Jian 等人以數學模型積分運算模擬數位相機的取樣方式， 並改變上述與誤差有關的各項變數後，以數值分析方法計算得到相位誤差量的估 計值[25]。並且在合理的相位誤差估計值下，提出實驗上外差頻率與取樣頻率比 的最佳條件：即取樣頻率為外差頻率的15 倍。在本論文中，使用 Jian 等人所發 表的最佳實驗條件[25]，因此相機取樣誤差_s估計約為0.036°。

- 25 -

2.5.2 偏極混合誤差[26-28]

當光線通過如檢偏板與偏極分光鏡等偏光元件時，常會發生偏極混合 (polarization mixing)的現象。此項誤差主要是由於光通過偏振片時，s-偏光與 p-偏光的分光不完全所致。假設偏極板調整在 p-偏光方向，則除了主要的 p-偏光 會通過之外，還會耦合一小部分的s-偏光，反之亦然。此偏極混合誤差可根據偏 極板產品規格中的消光係數進一步估算其修正量。在本研究中使用的偏極板

(Japan Sigma Koki, Ltd.)的消光係數為_1105_{，經修正後，估計偏極混合誤差可}

降至_p= 0.03°[29]。

2.6 小結

在本章中說明了Nyquist 取樣定理，以及使用電光晶體調制作為移頻器之外 差光源種類。接著說明外差干涉術的基本原理及全場量測時的相機控制方法；在 相位演算方面則是介紹三參數弦波擬合法及絕對相位測量法。最後則是全場外差 干涉術的誤差來源估計。

- 26 -

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- 29 -

第三章 大階高物體之表面形貌之量測

3.1 引言

許多科學及工業領域對於物體表面的形貌及粗糙度需要高精密度及省時的 測量方法。使用單色光的干涉輪廓儀提供了極佳的縱向解析度，但是如果測量的 範圍在光程差超過一個波長的情形下，會有相位2 不準確度的問題。Phase unwrapping 技術可以用來解開平滑表面的相位不準確度問題，但是若待測物表面 有突然的高低變化則此法會失敗。為了克服這個問題，好幾種非接觸式與非破壞 性光學方法被提出[1-12]，且都具有良好的實驗結果。在本研究中，提出一種全 場外差干涉術結合了雙波長干涉儀[13,14]及外差干涉儀[15,16]。來自外差光源的 光被準直擴束後進入被修正的Twyman-Green 干涉儀中，全場的干涉信號被快速 CMOS 相機所接收。相機的每個畫素都記錄一系列被取樣的點，且每個點都對應 一組弦波信號。基於最小平方法擬合過程[17,18]，可以得到最佳擬合的弦波，且 其對應的相位可以被得到。將此相位與一個參考點作比較，則此畫素的相對相位 可以得到。接著用不同的波長的光源做同樣的量測，則可以得到對應於等效波長 的相對相位，此即為雙波長干涉技術。將此過程應用於其他畫素，那麼他們的相 對相位亦可由相似的過程被求出。因此，待測樣品的輪廓就可以被求出來。我們 已驗証此方法的正確性，且此法同時具有雙波長干涉儀及外差干涉儀的優點。

3.2 原理

3.2.1 干涉信號的相位

此方法的光學架構如Fig. 3.1 所示。在此法中，使用的外差光源[14]包含有 一波長可調式雷射二極體(TLD)，電光晶體調制器(EO)，函數產生器(FG)，線性 電壓放大器(LVA)。為了方便起見，定義 z 軸為光前進的方向，而 y 軸為垂直紙

- 30 -

Fig. 3.1 本方法的光學系統架構圖。TLD:可調波長二極體雷射； EO: 電光晶體調制器； FG: 函 數產生器； LVA:線性電壓放大器； BE: 準直擴束器； PBS: 偏極分光鏡； Q1, Q2: 四分之 一波片； M: 平面鏡； S: 待測樣本； AN: 檢偏鏡； IL: 成像透鏡 C: 快速 CMOS 相機。

面向上的方向。從此光源射出的光，其s 與 p 偏光間有著f 的頻差，其 Jone’s 向 量可被寫為 0 2 1 2 i ft i f t i ft e E e e        _{ }   ， (3.1) 其中 f 為光的頻率。此光通過一擴束器(BE)進入改良過的 Twyman-Green 干涉儀₀ 中，此干涉儀包含polarization beam-splitter(PBS)，兩個快軸與 x 軸為 45 度的四 分之一波片(Q1, Q2)，一參考面鏡(M)，測式樣品(S)，檢偏板(AN)，成像鏡組(L)， 及CMOS 相機(C)。在此干涉儀中，光被分成反射的測試光及透射的參考光。它 們的路徑分別為PBS Q2 S Q2 PBS AN (測試光)及 PBS Q1  M Q1 PBS AN (參考光)。因此，E 及t E 可被表示為 r z x EOM

- 31 - 2 2 (45 ) ( 45 ) (45 ) t PBS PBS E  AN  R Q    S Q  T E 4 ( , ) 4 ( , ) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 d x y i s d x y i s r e i i r e                 _{     }     _{ }   0 2 1 0 0 1 1 1 0 1 2 2 i ft i f t i ft i e e i e             _        0 4 ( , ) ( ) ₂ 1 1 4 2 d x y i ft _{i f t} s ir e e   _       _{ }   , (3.2) 及 1 1 (45 ) ( 45 ) (45 ) r PBS PBS E AN  T Q   M Q  R E 0 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 2 2 2 i ft m i f t i ft m r i i e e r i i e                    _{          }             0 2 1 1 4 2 i f t i ft m ir e e      _{ }   , (3.3) 其中T_PBS及R_PBS為PBS 的穿透矩陣及反射矩陣，2d x y( , )為兩臂間的光程差，r_m 及r 則為面鏡及樣品的反射係數；_s 為光源的波長。測試光與參考光在檢偏板上 干涉以產生隨時間改變的干涉信號，此干涉信號以CMOS 快速相機擷取，則此 干涉信號的強度可以被表示為 2 t r I  E E 0 cos(2 ) I   ft     , (3.4)

- 32 - 其中



2 2



0 1 16 s m I  r r , (3.5) 及 8 s m r r    , (3.6) 其中相位項ei2f t0 _{在計算強度的過程中可以被消去。}_{為干涉信號的相位差，可} 被表示為 4 ( , ) ( , )x y  d x y     1( , )x yr r 2( , )x y     . (3.7) 在此₁( , )x y_{r r} 為M 上參考點(xr, yr)的相位差，且此相位差的值與光學架構有關。 另一方面，₂(x, y)為我們主要量測的對像，可以被表示為 2 4 ( , ) ( , )x y h x y    , (3.8) 其中h x y( , )為樣品相對(xr, yr).的高度分佈。

3.2.2 雙波長干涉術方法

在本研究中，使用雙波長干涉術來克服由於階高突然變化，使得相位改變量 超過2 造成相位不連續。如果在波長為_a及_b時，₂(x, y)可以分別表示為

- 33 - ( , ) a x y  及_b( , )x y ，則我們有 ( , ) ( , ) ( , ) 4 b x y a x y h x y       , (3.9) 其中 為等效波長，並可被表示為 a b a b        . (3.10) 如果將兩個不同波長_a及_b的值選擇的很接近，則等效波長 的值與此二個波 長比較起來相對來說會顯得大很多。更進一步來說，由於階高變化所引起的相位 模糊(phase unambiguity)的容許範圍就可以更大。因此當 ( , )a x y 、b( , )x y 及 皆 由實驗量測及計算出來時，則h x y 可由從 Eqs. (3.9)及(3.10)計算得到。 ( , )

3.3 實驗與結果

實驗中使用可調波長雷射(New Focus/Model 6304)其波長變化解析度為 0.02 nm，並且設定二個不同的波長a 633.00 nm, b 635.00 nm 輸出。在此二波

長下，由Eq. (3.10)可計算得 401.955m。CMOS 快速相機 (Baslar/A504k)

使用的畫素為 350×100 且灰階數為 8bit，拍照的條件則分別設定為 fs = 450 fps、 t 1ms及T  s。Fig. 3.2 及 Fig. 3.3 分別為波長1 _a及_b的干涉信號相位分 佈圖。在此二相位分佈圖中可看出，由於面鏡傾斜及大階高的關係，所以產生 phase wrapped 的現象。因此利用雙波長方法來消除這個現象，並且以相素(10， 10)做為參考點。最後 Fig. 3.4 以相素(10，10)為參考點的合成波長的相位二維分 佈圖。再將此結果代入Eqs. (3.9)及(3.10)即可求出待測樣品的高度分佈，如 Fig. 3.5 所示。由於參考點設在(10，10)的地方，因此此處的高度為 0。為了方便閱讀， Fig. 3.6 的實線顯示了在 Fig. 3.5 中沿著點線所畫出的一維高度分佈圖。可看出五 個階高的分佈，由右至左大約分別為-15、-25、-35、-50，及-90m。而由於實

- 34 -

Fig. 3.2 波長為_a 633.00時之相位分佈圖

- 35 -

Fig. 3.4 合成波長的相位二維分佈圖

- 36 -

Fig. 3.6 沿著 Fig. 3.5 中點線所畫出的一維高度分佈圖

驗中所使用的樣本其表面的階高是經由機械加工處理而得，因此其表面可看出經 機械加工後的痕跡。我們另外以接觸式探針量測儀(Kosaka Lab/ET-4100)量測，

結果如Fig. 3.6 虛線所示。由 Fig. 3.6 中可知，兩者的相關係數函數(cross

correlation function)高達 90.3%。由於對整體量測結果來說，具有不同量測結果的 資料點，佔所有資料點的比例小於10%，因此兩者的量測結果皆為可接受的結果。

3.4 討論

由Eqs. (3.8)及(3.9)可知 1 h h h            , (3.11) 及 2 h h h            , (3.12) 其中為 的誤差，它可被表示為   



/  _a



_a  



/  _b



_b；而 為  的

- 37 - 誤差大小；為的誤差；h₁及h₂分別表示在h 在平滑區域及階高不連續區 域的誤差大小。相位誤差的大小來源包括：相機取樣誤差₁ [20]，偏振混合 誤差₂ [21,22]及環境擾動所造成的相位誤差₃。實驗中所有的參數，包括 f ， fs，T 及g 都會影響₁的大小。當T，g 及 fs / f 的大小增加時，1的值會減小， 但資料處理所需的時間會增加。如果Tf 為大於 1 的整數，那麼相同的資料會被 紀錄Tf 次。因此，理論上₁很難再被減少。為了要減少由於外差頻率f 的不穩 定所造成的誤差，在實驗中我們選擇Tf = 30 的條件。在此條件下，₁可被縮減 至0.036° [20]。其次，本實驗中所使用的 AN (Newport Inc.)其消光比為_{1 10} 5_， 因此₂可以被減少至0.027°。根據實驗所使用的可調波長雷射的型錄，可知 0.02 a b nm    ，所以我們可得 12.68 nm。在我們實際的量測中，環境振 動及空氣擾動皆會對實驗結果造成影響，估計的方法為將樣本置於量測位置後， 對同一個位置進行相位量測，由於整個系統的參數並無改變，因此重覆量測所得 之相位誤差結果，在扣除因相位解析及偏振混合引起的相位誤差後，即得到由環 境擾動所引起的相位誤差大小，如Fig. 3.7 所示。由圖中可知，在不同量測次數 下，環境擾動對相位量測的影響量的大小。因此，可將環境擾動造成的相位誤差 Fig. 3.7 重覆量測之相位誤差結果

- 38 - 估計為₃  。因此，實驗的總相位誤差大小為1     ₁ ₂ ₃ 1.063。所 以根據實驗條件可計算出h₁ = 0.9 nm (with 633 nm)及h₂ = 0.3 m (with 200.977 m   )。因此，此方法同時具有雙波長干涉術及外差干涉術的優點， 即可以雙波長的方式增加等效波長，而將2 的相位模糊度增大，進而可量測大 的階高物體。除此之外，以雙波長的方式來計算高度分佈時，如果沒有選擇固定 的參考點位置，則量測的結果會隨著光學系統的架設改變而改變。雖然量測結果 會不同，但是整體的形貌會是一致的。為了確保良好的實驗重現性，我們建議最 好是在量測時在S 上選擇一個方便的區域做為參考點的所在。

3.5 小結

在本章中，提出一種全場外差干涉術結合了雙波長干涉儀及外差干涉儀。從 外差光源而來的光被準直擴束後進入以PBS 作為分光鏡的 Twyman-Green 干涉儀 中，在AN 上所形成的全場的干涉信號被快速 CMOS 相機所接收。相機的每個 畫素都記錄一系列被取樣的點，且每個取樣點在時間軸上的排列都可對應一組弦 波信號。基於三參數弦波擬合法(最小平方法擬合過程)，可以得到最佳擬合的弦 波，且其對應的相位亦可以被得到。將此相位與待測物表面的一個參考畫素作比 較，則對應於此畫素的相對相位可以得到。接著將TLD 改變不同的波長做同樣 的量測，則可以再次得到相對應的相對相位。因此由些二波長的相位分佈圖，可 以計算出對應於等效波長的相對相位，此即為雙波長干涉技術。將此過程應用於 其他畫素，那麼他們的相對相位亦可由相似的過程被求出。因此，待測樣品的輪 廓就可以被求出來。我們已測試此方法的正確性，且此法同時具有雙波長干涉儀 及外差干涉儀的優點。

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