Chapter 3 實證分析
3.3 最小展開樹圖形的定量性分析
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3.3 最小展開樹圖形的定量性分析
最小展開樹(MST)：其意涵為把所有的連接點以線相連而使其網路上權重總 和(距離)為最小，但不能有迴圈的存在。這樣的樹狀圖可以以平面的方式呈現出 其各點的相關程度，雖然無法完全呈現所有點之間的關聯性，不過這卻是一個能 以較佳的方式呈現股票分類的狀況與其關聯強度，意為能對股票之間的關係做一 個簡單的說明。我們以下將部分呈現美國股市 S&P500 中資料數較為齊全的 345 家公司在不同時間尺度 36 秒、72 秒、3 分鐘、6 分鐘、468 秒、15 分鐘、30 分 鐘、78 分鐘下的最小展開樹圖形。
圖 3.3.1、時間尺度為 36 秒的 MST 圖形，其中心為「T」這家公司(紅色部分)
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圖 3.3.2、時間尺度為 36 秒的 MST 圖形，其中心為「MXIM」這家公司
時間尺度為 36 秒的 MST 圖形其資料數有 144 筆
中心 T MXIM LTD CSX BSX MER BMY STI HBAN … 次數 12.5% 7.6% 4.9% 4.9% 4.1% 4.1% 4.1% 3.5% 3.5% …
在時間尺度為 36 秒的 MST 圖形中，取其中心次數最多的前兩名來代表。從 圖形中可發現除中心之外並無出現副中心的現象，即使是中心的部分也沒有非常 集中的趨勢，這可以說明在這時間尺度下彼此的關聯性較為平均。
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圖 3.3.3、時間尺度為 72 秒的 MST 圖形，其中心為「NSC」這家公司
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圖 3.3.4、時間尺度為 72 秒的 MST 圖形，其中心為「WFC」這家公司
時間尺度為 72 秒的 MST 圖形其資料數有 31 筆
中心 NSC WFC FRE GE BAC CI PG AIG MER … 次數 25.8% 16.1% 12.9% 9.7% 9.7% 6.5% 3.2% 3.2% 3.2% …
在時間尺度為 72 秒的 MST 圖形中，取其中心次數最多的前兩名來代表。從 圖形中可發現除中心之外並無出現副中心的現象，然中心點開始慢慢有集中的趨 勢了。
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圖 3.3.5、時間尺度為 3 分鐘的 MST 圖形，其中心為「GE」這家公司
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圖 3.3.6、時間尺度為 3 分鐘的 MST 圖形，其中心為「WFC」這家公司，其副中 心為「FER」，「BAC」這兩家公司。
時間尺度為 3 分鐘的 MST 圖形其資料數有 48 筆
中心 GE WFC NSC FER MRK PG KO BAC 次數 68.7% 8.3% 6.2% 4.2% 4.2% 4.2% 2.1% 2.1%
在時間尺度為 3min 的 MST 圖形中，取其中心次數最多的前兩名來代表。
從中心次數表格中可知「GE」這家公司在此時間尺度具有一定的影響，而其為 中心時與其他家公司具有高度的相關性；當中心改變時，有副中心的出現，而其 密集度也越來越高。
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圖 3.3.7、時間尺度為 6 分鐘的 MST 圖形，其中心為「GE」這家公司，其副中 心為「KO」，「NSC」這兩家公司。
時間尺度為 6 分鐘的 MST 圖形其資料數有 4 筆
中心 GE
次數 100%
在時間尺度為 6min 的 MST 圖形中，其中心均為「GE」這家公司，然我們 發現其副中心的 degree 與中心的 degree 差距並不是很大，代表著「KO」，「NSC」
這兩家公司有他們關聯性的群體。
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圖 3.3.8、時間尺度為 468 秒的 MST 圖形，其中心為「GE」這家公司。
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圖 3.3.9、時間尺度為 468 秒的 MST 圖形，其中心為「PG」這家公司，其副中心 為「JPM」，「MRK」這兩家公司。
時間尺度為 468 秒的 MST 圖形其資料數有 12 筆
中心 GE PG
次數 91.7% 8.3%
在時間尺度為 468 秒的 MST 圖形中，我們可以發現 1997Q3 這時間「GE」
這家公司與其他家公司有相當強烈的關聯性，然 1997Q2 這時間卻形成多中心現 象，代表著市場上有群組類別的區分。
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圖 3.3.10、時間尺度為 15 分鐘的 MST 圖形，其中心為「T」這家公司，其副中 心為「HBAN」這家公司。
時間尺度為 15 分鐘的 MST 圖形其資料數有 6 筆
中心 T
次數 100%
在時間尺度為 15min 的 MST 圖形中，其中心均為「T」這家公司，在其代 表圖上我們發現其中心公司的關聯性很高，而副中心與中心距離相距較遠，說明 了其彼此間關連並不強烈。
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圖 3.3.11、時間尺度為 30 分鐘的 MST 圖形，其中心為「GE」這家公司，其副中 心為「CSCO」這家公司。
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圖 3.3.12、時間尺度為 30 分鐘的 MST 圖形，其中心為「STI」這家公司，其副 中心為「GE」這家公司。
時間尺度為 30min 的 MST 圖形其資料數有 4 筆
中心 GE STI
次數 75% 25%
在時間尺度為 30min 的 MST 圖形中，其中心出現有「GE」與「STI」兩家 家公司。我們發現在 1997 年這時間的圖形中，雖然中心為「STI」，但其副中心
「GE」的 degree 與中心的 degree 非常相近，亦可說明他們具有雙中心的現象。
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圖 3.3.13、時間尺度為 78 分鐘的 MST 圖形，其中心為「GE」這家公司，其副 中心為「STI」，「CSCO」這家公司。
時間尺度為 78min 的 MST 圖形其資料數有 67 筆
中心 GE
次數 100%
在時間尺度為 78min 的 MST 圖形中，其中心均為「GE」這家公司，從圖形 上可發現中心與副中心上的點較為集中，慢慢呈現出分層的現象，但不散亂，所 以說明了在這時間尺度上的關聯性較為集中。
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由上述計算結果，當i=1 ~ 4，此為 I 點的四個動差值，其隨著時間尺度越 大其值越小。I 為與其他點關聯性最強的點，在空間上的概念，即為與其他點距 離平方和為最小的點。所以當其動差值越小，它與其他點距離平方和亦為越小，
而距離越小，其關聯性越強，圖形則越有集中趨勢；反之，如果動差值越大，其 關聯性越弱，圖形則越稀疏。因此，我們可以知道若 MST 圖形具有明顯的中心 與強烈的集中性，那麼在相關係數矩陣求算其中心點的四個動差值將越小，又由 前面圖形與計算發現，隨這時間尺度越大，其圖形越有集中趨勢，那麼中心點的 動差值亦會隨著時間尺度放大其值越小。
而當i=9 ~ 12，此為 K 點的四個動差值，其隨著時間尺度的變化其值並無顯 著的差異。K 為距離 I 最遠的點，亦為是距離中心最遠的點，那麼在所有 MST 圖形中我們可以看出整個外圍輪廓的情形，亦即圖形末端地的分支很明顯地呈現 稀疏不集中的現象，且在不同的圖形中並無明顯差異，因此，藉由相關係數矩陣 所計算的結果與 MST 圖形的呈現相符合。
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多粒子物理系統與隨機矩陣理論(Random matrix theory，RMT)是為了解決物 理問題而發展出來的理論，然對於股票市場的研究卻有其適用性，其為股票市場