Chapter 3 實證分析
3.2 耦合隨機行走模型
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3.2 耦合隨機行走模型 3.2.1 耦合隨機行走模型 I
在其模型 I 中 (x ti + =1) x ti( )+ξi( )t + ⋅ ∆ε ( ( )x ti +ξi( ))t ，我們知道若沒有關聯 結構的影響下，其價格變化的均方位移(MSD)服從簡單隨機行走模型(圖 3.2.1)
圖 3.2.1、無耦合常數模型時價格的均方位移(MSD)服從簡單隨機行走模型
在長時間觀察股票市場價格的波動現象中，我們可以發現其會有呈現隨機過 程的現象，但並非是整個過程均為是隨機過程(圖 3.2.5)，這部份我們其實可從 隨機矩陣的特徵值分布裡看出端倪(圖 3.1.1)，因其中發現與隨機過程的預測不 符，因此我們認為股票與股票之間必發生了彼此互作用的影響，因此，我們提出 了耦合隨機行走模型 I，其在隨機行走過程中加入了關聯結構，將各個行走者彼 此之間建立關聯性，用來模擬真實的股票市場狀況，而其模擬結果出現了一亞擴 散(subdiffusion) 的區段(圖 3.2.2)，其原因為可看作是粒子與周遭的粒子在相互影
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響的過程中，其開始與周遭粒子作用，讓粒子運動產生了遲滯的效應，因而出現 亞擴散的現象。
圖 3.2.2、金融市場其經粗化的 MSLR 可用 Langevin equation 描述 (Ma、Wang、Chen and Hu , 2013)
圖 3.2.3、模型 I 在充分連結模型下對不同的耦合常數解析解的結果 subdiffusion
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圖 3.2.4、1996 年 3 月真實市場的 MSD
由此解析解可知，當耦合常數越大，其粒子之間的關聯性越強，其發生亞擴 散的時間就越早(圖 3.2.3)。而圖形前段部分的行為，即未進入亞擴散區段的部分，
其原因類比於粒子在發生關聯之後並不會馬上產生大幅度的變動，對應於金融市 場可知，股票與股票之間發生關聯後，並不會立即發生大幅度的變化，而是以一 種漸進的方式演變。而我們發現模型 I 在充分連結(平均場，mean field)的網路結 構中，其長時距下的均方位移具有擴散的現象，亦即在長時間下具有隨機過程(圖 3.2.3)，與真實市場在長時距下股票價格對數報酬的變動為隨機過程(圖 3.2.4)的 結果相符合，其原因可類比粒子在長時間下彼此相互影響的關聯性被遺忘，形成 簡單的隨機運動。
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圖 3.2.5、模型 I 在 mean field 模型與 BA 模型下對不同的耦合常數模擬的結果
從模擬結果發現充分連結(平均場，meanfield)的均方位移進入亞擴散區段的 時間較 BA 模型快，其可知充分連結的網路結構其關聯性較 BA 模型的網路結構 強，故發生交互作用的時間較早。
2004 年 Ma、Hu 和 Amritkar 發表的論文結果發現，其在充分連結的網路結 構，耦合常數為𝜖＝0.8 以此計算均方位移，與真實市場的均方對數報酬的型態結 果較為符合。
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3.2.2 耦合隨機行走模型 II
然而我們發現當模型 I 的行走者(股票)變得很龐大時，其模型特性較無法呈 現出擴散行為的區段，對應於股票市場即我們無法預見在長時距下股票價格對數 報酬的變化為隨機過程(圖 3.2.6)。
圖 3.2.6、模型 I 在不同 n 值下的結果
因此，我們對模型 I 的部分做其修正，將一共同影響的因子β ξ⋅ 0( )t 加入其模型 中，然其參數將修正為
'
( ) ( ) 0( )
i t i t t
ξ =ξ + ⋅β ξ ， 而β ξ⋅ 0( )t 為共有的影響因子 其修正後的模型為
' '
( 1) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
i i i i i
x t+ =x t +ξ t + ⋅ ∆ε x t +ξ t
' '
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
i i i i i i
r t+ =x t+ −x t =ξ t + ⋅ ∆ε x t +ξ t (3.2.1)
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圖 3.2.7、模型 II n=15000 在不同的β值下的結果
由圖 3.2.7 發現，當加入了一外在共同影響的因子後，其結果保留了彼此互 作用影響，又能讓我們看見在長時距下隨機過程的現象。
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