本節共分為兩個部分：一、有關基模的理論，二、基模的遞迴關係。
一、有關基模的理論
(一) Piaget─認知發展理論
偉大的心理學家 Piaget 所提出的「cognitive-developmental theory (認 知發展理論)」，在發展心理學的過程中佔有舉足輕重的地位(張春興，
2004)。Piaget 將「基模(schema)」視為「人類吸收知識的基本架構」， 認知結構(cognitive structure)的名字就是基模！
Piaget 所提出的「認知發展期」共分為四個階段：
1. 感官動作期(sensorimotor stage)：0~2 歲。
2. 前運思期(preoperational stage)：2~7 歲。
3. 具體運思期(concrete operational stage)：7~11 歲。
4. 形式運思期(formal operational stage)：11 歲以上。
Piaget 肯定了教育的功能，並以階段論的觀點描述兒童的認知發展 歷程。每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，這也代表著一個事 實，每一階段所形成的基模，都會成為學習新事物的先備知識(prior knowledge)，學會了新的知識以後，前一階段習得的基模就能形成更大 的基模，幫助學習者繼續下一個階段的學習。
(二) Ausubel─認知同化論
「Meaningful Learning (有意義的學習)」是 Ausubel 認知同化理論 中的主要核心概念。要如何產生有意義的學習呢？「只要學習者有意識 地將新知識與其已經知道的舊概念或舊命題相聯結時，有意義的學習便 告產生。」(余民寧，1997)此段敘述中「已經知道的舊概念或舊命題」，
就是學習者「已經知道的事」，亦即所謂的先備知識。學習者習得新知 識後，新知識也將同化(assimilate)到舊知識之中，成為學習下一個新知
識的既有基模，繼續學習更多新的知識。
(三) Pirie & Kieren─動態可折回論
Pirie & Kieren 數學理解成長的動態模型中(圖 2-5)，最內圈第一層 的初始知曉(primitive knowing)包含了學習新領域的先備知識以及理解 歷程的初始行為，每一個階層皆通過一個共切點，說明了學習者在需要 的時候，可以不用透過任何階層而往返內層，取得必要的知識，進而跨 越更高的階層。學習者在經歷每一次的動態、非線性、遞迴的理解成長，
如同洋蔥吸收土壤的養分成長，小洋蔥變成大洋蔥，就能成為學習下一 個新知識的「小洋蔥」，藉此吸收更多的知識。
(四) Skemp─智性學習論
Skemp (1987)提到基模的功能至少有三點：
1. 整合既存知識(integrate existing knowledge)。
2. 產生可能的理解(make possible understanding)。
3. 作為未來學習的工具(act as a tool for future learning)。
相較於背誦式學習(rote learning)，基模式學習(schematic learning) 不僅是更好的學習，也更有利於保留(retain)知識。研究者整理了 Skemp (1987)中提到基模式學習的優點，條列如下：
1. 學習更有效率。
2. 減低記憶負擔。
3. 促進理解。
4. 更有適應力。
5. 鞏固既有的基模。
6. 使用有彈性的行動計畫。
7. 準備一套應用於未來學習的心智工具。
8. 具有可自我成長的特性。
9. 成效較長遠。
10.兼具心理價值與數學價值。
基模式學習固然有它許多的優點，但是爲什麼不是每個人都能夠接 受這樣的學習方式呢？Skemp (1987)指出，基模式學習相較於背誦式學 習也有一些「可能的缺點」，研究者將它整理如下：
1. 基模式學習可能較花時間，背誦式學習較快速得到答案。
2. 基模式學習可能較困難，背誦學習式較簡單。
3. 基模式學習成效較緩慢，背誦式學習成效較立即。
4. 基模對於我們的經驗具有高度選擇性，容易喜新厭舊顧此失彼。
5. 不合適的基模是學習新知識或新概念很大的阻礙。
二、基模的遞迴關係
根據本節第一部分整理有關於基模的理論，研究者注意到，似乎每一位 學者提出的理論都有一個共通點，那就是在學習新知識或新概念時，都會運 用到「既有的基模」，等到新知識或新概念與既有的基模，經過一番同化 (assimilate)、調適(accommodate)、平衡(equilibrate)等心智活動之後，既有的 基模便能夠增長一些，而增長的基模，再經過重組(reconstruction)、內化 (interiorization)、壓縮(condensation)、物化(reification)的發展歷程，又將形成 下一次學習的基礎。
如此遞迴下去，小洋蔥就會變成大洋蔥(如圖 2-9)，小膠囊就會變成大 膠囊(如圖 2-10)，小方案(scheme)也就變成大方案(如圖 2-11)，而小系統也 就變成大系統(如圖 2-12)，幫助學習者學習更多的新知識，擴張知識領域的 版圖。同時這也說明了，學習是一個動態的過程，包含了複雜的遞迴關係。
圖 2-9 大洋蔥裡有小洋蔥
Note. From “Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it?,” by S. E. B. Pirie and T. E. Kieren, 1994, Educational studies in Mathematics(p.172), 26(2-3), 165-190.
圖 2-10 大膠囊裡有小膠囊
Note. From “On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin,” by A. Sfard, 1991, Educational studies in mathematics(p.22), 22(1), 1-36.
圖 2-11 大方案裡有小方案
Note. From “Schemes, schemas and director systems (an integration of Piagetian scheme theory with Skemp's model of intelligent learning),” by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, In D. Tall & M. Thomas (Ed.), Intelligence, learning and understanding in mathematics (p.120). Flaxton, Australia.
圖 2-12 大系統裡有小系統