研究可能的限制

本節說明第一部分為執行施測活動可能的限制，以及研究者所做的因應，盡 可能降低這些限制所帶來的影響；第二部分為結論推廣的限制。

一、執行施測活動可能的限制 (一) 施測活動的第一階段

學生在第一階段處理問題時，研究者原先希望受測學生能依照題目 的順序，從第 1 題寫到第 8 題，而前後題之間雖然有題型上的相關，但 基本上研究者希望學生處理每一道問題的過程獨立，寫完之後就不再回 去寫前面的問題。

有些學生寫到後面的問題，會翻回去前面的問題進行修改，這種舉 動其實就顯示了這樣的學生啔用了他第二系統的修正(modify)功能，但 是這樣的舉動並沒有在研究者原本的預期之中，所以在說明施測活動的 規範時，沒有嚴格禁止學生不能翻回去前面的題目修改。

如果學生有這些行為，研究者會在第三個階段的提問，詢問學生為 何有這樣回翻的動作，從而得知他是因為什麼原因而知道要翻回去前面 的題目進行修正。

(二) 施測活動的第二階段

第二階段學生上台講解，由於研究者沒有事前訓練學生如何上台講 解，因此找尋的十位學生都是研究者教過且熟識的學生，讓師生既有的 信賴關係於施測期間發揮安撫的作用，當學生上台講解出現害羞或不擅 於表達的情況，此時研究者就會口頭安撫他：「沒關係、慢慢講。」適 時的鼓勵學生盡量講出處理問題的想法，而這種害羞或不擅於表達的情 況，文組的學生出現的頻率較理組學生高。

(三) 施測活動的第三階段

第三階段進行師生對話，研究者主要是根據學生在受測期間出現的 行為，從中詢問學生產生這些行為背後的原因，以及他們是如何想到這 些想法的，學生經常出現計算上的小失誤，研究者也會提醒他們「要不 要檢查一下？」讓他們啟動第二系統的修正功能，大部分的學生都有能 力檢查出計算上的小失誤；另一方面，如果是學生有概念上的錯誤，當 他們沒有辦法修正時，研究者就會給予不同層級的提示，引導學生處理 問題。

二、結論推廣的限制 (一) 理解基模

本研究受測學生為研究者服務學校的十位高三學生(PR 值約 84)，

可能仍有一些具體行為無法蒐集到，因此本研究的結論無法推測所有的 高中生都能出現同樣的理解基模。

(二) 學生的理解狀況

同一個學生，在處理不同單元的問題，也有可能依照題目的敘述或 呈現的方式，而有不同理解狀況的行為。因此本研究分析學生在「重複 組合」這個單元使用理解基模的情況，但不代表該生在別的單元也是同 樣的情形。

第肆章 研究結果與分析

本研究透過觀察學生在處理重複組合問題的過程中，蒐集學生產生的具體行 為，以 Skemp 所提出的理解架構進行分析，來探討高中生對於重複組合的理解 情形。本章共分為三節：第一節 Skemp 理解架構中的具體行為，第二節分析重 複組合理解基模，第三節分析學生理解基模使用情形。

第一節 Skemp 理解架構中的具體行為

研究者整理 Skemp 所提出的理解交互作用表(表 1-2)，分析學生在處理重複 組合問題的過程中，所產生的具體行為，將其對應到六大理解類別中符合的行為 特徵的細項，各項行為特徵皆給出受測學生的具體行為，並說明如下。

一、類別 I1：工具式理解搭配直覺式心智活動 表 4-1

Skemp 理解架構類別 I1 理解型式與心智活動 模式產生的交互作用

理解型式

工具式理解 Instrumental understanding

心智 活動 模式

直覺模式

類別 I1

在處理問題的過程中，學生

I1-1. 能以機械式演算的方式給出答案

I1-2. 能夠流暢且不假思索地執行一個適當已記憶的 規則

I1-3. 知道可以使用一個適當已記憶的規則，卻不知道 這個規則如何操作

I1-4. 使得已記憶的規則在遭遇不同情境時退化 I1-5. 操作一些沒有聯結到題目概念的符號 表 4-1 具體行為、行為說明及其實例如下：

I1-1. 能以機械式演算的方式給出答案 (一) 具體行為：

(1) 一一列舉可能的「所有情形」。 (2) 點數總數得到結果。

(3) 一一列舉可能的「基本情形」。 (4) 一一列舉可能的「異同情形」。 (二) 行為說明：

(1) 學生在處理重複組合問題的過程中，能夠依照題目給的條件一一列舉 可能的「所有情形」。在列舉或計算的過程中若沒有列舉上的缺失，便 能點數得到正確的答案；反之，如果列舉不完全或點數缺漏，便會得 到錯誤的答案。參見實例 1、2。

(2) 學生會以一個一個點數的方式，計算他要算的總數，數完之後就會直 接寫上結果，不會有四則運算的算式痕跡。通常這個行為會發生在學 生列舉可能的「所有情形」之後。參見實例 1、2：

原始題目

學生 代碼

備註

實例 1 S ₁₄ 學生試圖將可能的

「所有情形」，一一 列舉出來，但因為對 題目的理解並不正 確，造成列舉不完 全，最後點數得到總 共 3 種的錯誤答案。

I1-1.(1)

I1-1. (2)

原始題目

學生 代碼

備註

實例 2 S ₂₄ 該生將可能的「所有

情形」一一列舉出 來，過程中沒有列舉 上的缺失，最後點數 得到總共 21 種的正 確答案。

這裡的列舉「所有情 形」是指學生會把 500、050、005 都列 出來，與列舉「基本 情形」有所不同，詳 見 I1-1.(3)說明。

(3) 學生在處理重複組合問題的過程中，能夠依照題目給的條件，一一列 舉可能的「基本情形」。此處的「基本情形」，指的是學生在列舉的過 程中，僅列出「500」這種基本情形，「500」所代表的其實是「500、

050、005」這三種狀況，研究者稱「500」為「500、050、005」的「基 本情形」，其交換排列數為 3；同理，「410」為「410、401、140、104、

041、014」的「基本情形」，其交換排列數為 6。參見實例 3、4：

I1-1.(1)

I1-1.(2)

原始題目

學生 代碼

備註

實例 3 S ₂₅ 學生一一列舉可能

的「基本情形」，但 該生列舉基本情形 不 完 全 ( 少 列 舉 基 本情形 500、311)。

原始題目

學生 代碼

備註

實例 4 S₁₃ 學生完整地列舉出

可 能 的 「 基 本 情 形」，沒有邏輯上的 缺失。

(4) 學生在處理重複組合問題的過程中，能夠依照題目給的條件一一討論 並列舉可能的「異同情形」。在討論的過程中若沒有列舉或計算上的缺 失，便能得到正確的答案。參見實例 5：

原始題目

學生 代碼

備註

實例 5 S₁₃ 學 生 完 整 地 討 論 並

列舉出可能的「異同 情形」，沒有邏輯上 的缺失。

I1-2. 能夠流暢且不假思索地執行一個適當已記憶的規則 (一) 具體行為：

(1) 執行常規計算流暢且不假思索。

(2) 轉換排列組合符號流暢且不假思索。

(二) 行為說明：

(1) 學生在求處理重複組合問題的過程中，能夠流暢且不假思索地使用已 記憶的規則，計算符號所代表的數字，並寫出正確的答案。這裡的「流 暢且不假思索」指的是 Skemp (1987)所說「自動的(automatic)」。「常規 計算」包括：a. 加減乘除的四則運算、b. 計算C 、c. 計算_kⁿ !

!( )!

n

k n k 。 參見實例 6~8：

原始題目

學生 代碼

備註

實例 6 S₁₃ a. 加減乘除的四則

運算：

學 生 將 排 列 數 加 總 ， 得 到 正 確 答 案 21 種。

實例 7 S ₂₁ b. 計算C ： _kⁿ

學生在寫出符號C₅⁷ 之後，沒有透過任何 轉換就直接寫出答 案 21。

實例 8 S ₁₄ c. 計算 !

!( )!

n

k n k ： 學生在寫出符號

7!

5!2!之後，沒有透過 任何轉換就直接寫 出答案 21。

(2) 學生在處理重複組合問題的過程中，能夠流暢且不假思索地使用已記 憶的規則，轉換排列組合的符號與其相等的計算規則，並且沒有轉換 上的失誤。在處理重複組合問題的過程中，可能會遇到的符號轉換規 則如表 4-2 列舉。參見實例 9、10：

表 4-2

I1-3. 知道可以使用一個適當已記憶的規則，卻不知道這個規則如何操作

實例 12 S₁₅ 學 生 閱 讀 完 題 目 後 ， 能 寫 下 符 號

5

H ，代表他知道可3

以用符號H ，但卻_kⁿ

又隨即寫出H ，然₅³ 後打了一個問號，顯 示出他沒有辦法繼 續操作符號H ，續_kⁿ 見 I1-4(1)。

I1-4. 使得已記憶的規則在遭遇不同情境時退化(degenerate) (一) 具體行為：

(1) 使用符號H 時，無法確定 ,_kⁿ n k 的擺放位置。

(2) 使用符號H 時， ,_kⁿ n k 的擺放位置上下顛倒。

(3) 使用規則轉換排列組合符號時產生錯誤。

(二) 行為說明：

(1) 學生在處理重複組合問題的過程中，有使用符號H ，卻不知道或不_kⁿ

確定符號H 中 ,_kⁿ n k 的擺放位置。在重複組合H 的記號中，其符號與_kⁿ 概念的聯結分析如下：

a. H 表示重複組合的記號，其中「重複」指的是「可重複」的概念，

其中同時包括「可以重複」與「可以不重複」的狀況；「組合」

代表著「不計順序，只管個數」的概念。

b. 重複組合的記號H 中，_kⁿ

n

聯結的概念在選物題型中為「可重複 選取的種類」，在分物題型中為「可重複分配的種類」。

c. 重複組合的記號H 中，_kⁿ

k

聯結的概念在選物題型中為「要選取 物品的個數」，在分物題型中為「待分配物品的個數」。

在重複組合的題目中，「種類」有「可重複選取」或「可重複分配」

的特性，使得 ,n k (n 代表種類、k 代表個數)沒有必然的大小關係，此與排 列符號P 、組合符號_kⁿ C 極為不同。在學生理解_kⁿ P 與_kⁿ C 的概念中， ,_kⁿ n k 恆 有

n  k

必然的大小關係，但是如果學生只是把

n  k

當作規則記憶，而無 法對重複組合記號H 的符號與概念聯結，容易使得學生已記憶的規則_kⁿ (P 、_kⁿ C 、_kⁿ H )產生混淆、混用或退化。參見實例 13： _kⁿ

原始題目

學生 代碼

備註

實例 13 S ₁₅ 學生知道可以用符

號H ，但是無法確_kⁿ

定H 、₃⁵ H 之中應該₅³ 使用哪一個符號處 理問題。

(2) 學生在處理重複組合問題的過程中，能夠使用符號H ，但是會將 ,_kⁿ n k 的擺放位置上下顛倒，參見實例 14。

原始題目

學生 代碼

備註

實例 14 S ₂₁ 學生列出方程式之 後，寫出符號H ，₅³ 但是該生沒有察覺 自 己 把 3,5 上 下 寫 反，接續寫出錯誤的 答案。

(3) 使用排列組合的符號處理問題時，學生在轉換符號的過程中產生錯誤 的轉換結果，參見實例 15~17。

原始題目

學生 代碼

備註

實例 15 S ₂₃ 學 生 使 用 規 則 ③ 轉

換符號C₃⁷  7 6 5 4

3 2 1

  

  進行計算時 產生錯誤(多寫了一 個 4)，而且無法察 覺，接續得到錯誤的 答案 140。

原始題目

學生 代碼

備註

實例 16 S ₂₂ 學 生 使 用 規 則 ③ 轉 換 符 號 ， 寫 出

實例 16 S ₂₂ 學 生 使 用 規 則 ③ 轉 換 符 號 ， 寫 出

在文檔中 高中生對於重複組合的理解分析 (頁 76-134)