高中生對於重複組合的理解分析

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：曹博盛博士. 高中生對於重複組合的理解分析. 研究生：翁玉華. 中華民國 104 年 6 月.

(2) 致謝千里之行始於足，三年碩士終於謝。走了九百九十九里路，剩下的最後一里路，且讓我寫下綿延千里的感謝。以最大的敬意，感謝我的指導教授─曹博盛博士，您諄諄教誨，我銘感五內，很榮幸成為您的關門弟子，祝福您退休愉快，平安健康。感謝鄭英豪教授、楊凱琳教授，百忙之中撥冗審閱我的論文，除了給予肯定與鼓勵以外，提供我許多寶貴的意見，讓這篇論文更加完善，我由衷感激。感謝朱啟台助教，謝謝您經常提醒我們注意重要的時程，並且常常鼓勵我要勇敢撐過去，在口試當天成為我的浮木，給予我莫大的幫助，我沒齒難忘。感謝師大數學系的栽培，從大學到研究所的十幾年歲月之中，遇到許多老師 ─王惠中教授、黃文達教授、洪有情教授、金鈐教授、劉家新教授、林義雄教授、李恭晴教授、陳創義教授、謝豐瑞教授、游森棚教授(族繁不及備載)，帶領我們探索數學知識領域，培育我們成為數學教師，謝謝您們。在我成為數學教師的波瀾之中，一座座引領我前進的燈塔，是我偏離航道的方向，是我黑暗之中的光明，藉此機會表達玉華的滿心感謝。燈塔一號─連正惠老師，小一小二時有幸遇到您，謝謝您的信任與鼓勵，給予我擔任班長的機會，教導我認真負責的處事態度，老師我愛您。燈塔二號─黃洪發老師，玉華何其有幸能在長安遇見您，小五某天的課堂上，您那第二大愛心板(橘色水管)著實打醒了我的鬥志，啟發我對數學的熱情，您的恩重如山，玉華刻骨銘心，希望您與師母都要健康百歲，平安幸福。燈塔三號─李耀宗老師，永遠記得國一時在黑板上您寫下的「堅持理想，可以失敗，但不可以放棄！」成為我人生的座右銘，給予我堅持努力的信念。燈塔四號─林建邑老師，國二時的某張數學考卷上，您用粗紅筆為我寫下的「重挫是再起的開始！」時常在心裡鼓勵著我不要害怕失敗，要勇敢面對挑戰。燈塔五號─毛立甫老師，高一下學期考完指對數、三角函數(I)後，您對我說「山中無老虎，猴子稱大王。」提點著我人外有人，要謙虛求教，持續努力。燈塔六號─鄭凱鐘老師，謝謝您在我高二迷惘時陪伴我突破瓶頸，也在我實習時不辭辛勞地指導我，您給我的不倒翁，是我人生中極其重要的收藏之一。燈塔七號─吳孟珊老師，高中與您相處的過往歷歷在目，畢典時您提點著我「豈能盡如人意，但求無愧我心！」如雲似河，天上人間寄託著我無盡的思念。燈塔八號─姜文娟老師，在實習時向您學習當導師的責任與用心，與您共創的小良記憶，時常讓我惦記，祝福您退休後的日子平安順心。燈塔九號─曾子益老師，謝謝您在實習對我的關懷，在我住院時來看我，給予我安慰，並幫助我們及時脫離苦海，謝謝您。 i.

(3) 燈塔十號─潘國華老師，七年前有幸得您牽成，不遺餘力提拔有著滿腔熱血卻毫無經驗的我，與師母時常的關心與提點，都讓我感到無比的溫暖與幸福，能夠遇見您們是我此生莫大的福氣，希望您們身體健康，萬事如意。感謝學校的同事─嗣芬老師、淑惠老師、沂潁老師、曉涵老師、嘉玲老師、黎綺老師、麗燕老師、翠華老師、凱玲老師、健祥老師、曉薇老師、大偉老師、元貞老師、東岳老師、益儒老師、易霖老師、詠瑜老師、玉璽老師、立菁老師，有的給予我溫暖及關懷，有的給予我寶貴的資料與意見，有的陪我吃飯聽我傾訴，在此一併由衷感謝。感謝參與本研究的十位學生─凱婷、冠雯、潔璘、韋融、韋均、絃綺、玥禎、昱綺、安履、子翔，謝謝你們提供老師研究的資料，有你們相挺真好。感謝在我埋首撰寫論文期間，一直很乖巧懂事不讓我操心的 115 孩子們，能成為你們的導師，我感到非常非常地幸福，高二分班後也要繼續加油喔！感謝所有我曾經教過的學生，與你們教學相長的緣分，我很珍惜。感謝系羽的好夥伴們─郭君逸教授、君毅學長、美倫、軒豪、信翰、耿任、湘慧、嘉燕、子安、柏宇、柏瑋、家銓、敏閔、信憲、國銘、孟謙、亞倫、惠雯、采邑(族繁不及備載)，很高興與你們南征北討地奮戰，在我碩士修業期間，我們一同為系羽拿下三座大數盃冠軍、兩座校長盃冠軍，讓我此生無憾，永遠感激。感謝我親愛的朋友與家人─碩涵、婉嘉學姊、凱翔學長、玉惇、雅婷、如婷、嵐婷、文傑、世偉、峻德、章瑋、以凡、美倫、怡琳、雅茹、玠如、照津、博朱、琇玲、冠蓉、小潘哥、千惠、承修哥(族繁不及備載)，在我撰寫論文的這段期間，即便只是默默的關心與小小的鼓勵，也都讓我感到無比的窩心。感謝翁家祖先、開漳聖王、土地公、媽祖、觀世音菩薩的保佑。感謝在天上親愛的外公，您的疼愛阿華一生感激。感謝我的乾爹乾娘，無條件地愛護我這個乾女兒，並且相信我一定可以度過難關，照顧孫子們也要好好照顧您們的身體，健康吃百二。最後，感謝我親愛的爹娘，從小到大您們不辭辛勞地用愛與責任栽培我、養育我，讓我成為全世界最幸福的小女兒，我所有的一切都是您們賜予我的，您們一定要健康吃百二，好好享我這個女兒的福。天公伯仔對我很是眷顧，讓我在這一路上遇到這麼多的貴人，這麼多值得我感謝的人。我不會忘記當初想當老師的夢想，並會努力、用心實踐，將一路走來我所獲得的勇氣傳遞下去，盡我所能地為數學教育奉獻一己心力，一生！研究生翁玉華謹致國立臺灣師範大學教學碩士班中華民國 104 年仲夏 ii.

(4) 摘要本研究目的是在探討高中生對於重複組合的理解情形。透過研究者設計三個階段的施測活動，蒐集十位學生在處理重複組合這個單元的過程中，所產生的具體行為，並根據 Skemp 理解架構進行分析，歸納學生的具體行為，形成重複組合的理解基模，並對於學生使用理解基模進行分析。本研究的研究結果如下：一、Skemp 理解架構中六個理解類別的具體行為、行為說明及其實例。二、受測學生所形成的重複組合理解基模，可分為三種類型，總共五個基模。 (一) 三種類型：1.列舉討論的理解基模；2.有相同物的理解基模；3.符號 H kn 的理解基模。 (二) 五個基模：1.列舉所有情形接著點數總數的理解基模；2.列舉基本情形接著加總排列數的理解基模；3.討論異同情形接著加總組合數的理解基模； 4.畫出兩類相同物作直線排列的理解基模；5.使用符號 H kn 的理解基模。三、十位受測學生使用重複組合的理解基模分析要點： (一) 分析個別學生使用理解基模：1.單一型有三位；2.綜合型有七位。 (二) 分析不同類組使用理解基模：1.文組學生使用列舉討論的理解基模平均比例較高；2.理組學生使用符號 H kn 的理解基模平均比例較高。 (三) 分析不同性別使用理解基模：1.女生使用符號 H kn 的理解基模平均比例較高；2.男生使用列舉討論的理解基模平均比例較高。 (四) 分析不同程度使用理解基模：1.中低程度學生使用列舉討論的理解基模平均比例較高；2.高程度學生使用符號 H kn 的理解基模平均比例較高。 (五) 分析不同題型使用理解基模：1.描述個別學生；2.描述整體學生。. 關鍵字：理解、基模、重複組合 iii.

(5) 目錄第壹章緒論第一節問題背景與研究動機--------------------------------------------------------1 第二節研究目的與研究問題--------------------------------------------------------4 第三節研究的理論依據--------------------------------------------------------------5 第四節名詞釋義-----------------------------------------------------------------------7. 第貳章文獻探討第一節有關理解的研究--------------------------------------------------------------8 第二節有關基模的研究-------------------------------------------------------------18 第三節重複組合的實徵性研究----------------------------------------------------23. 第參章研究方法第一節研究流程與規劃執行內容-------------------------------------------------28 第二節研究對象----------------------------------------------------------------------34 第三節研究的工具-------------------------------------------------------------------38 第四節研究的設計-------------------------------------------------------------------54 第五節研究可能的限制-------------------------------------------------------------63. 第肆章研究結果與分析第一節 Skemp 表單中的具體行為-------------------------------------------------65 第二節分析重複組合理解基模---------------------------------------------------121 第三節分析學生理解情形---------------------------------------------------------148. 第伍章結論與建議第一節結論---------------------------------------------------------------------------159 第二節反思與建議------------------------------------------------------------------173. iv.

(6) 參考文獻一、英文部分---------------------------------------------------------------------180 二、中文部分---------------------------------------------------------------------182. 附錄附錄一：复旦大學的學生回答有關她們的數學學習逐字稿------------185 附錄二：研究者給高中學生的數學學習省思------------------------------185 附錄三：受測學生 S22 三個階段施測活動的完整逐字稿-----------------187. v.

(7) 表次第壹章緒論表 1-1. 理解型式與心智活動模式的交互作用-----------------------------. 2. 表 1-2. 理解型式與心智活動模式產生的交互作用行為特徵表--------. 6. 第貳章文獻探討表 2-1. 2001 年新版 Bloom 認知領域教育目標雙向細目表------------- 16. 第參章研究工具表 3-1. 研究流程與規劃執行內容--------------------------------------------. 28. 表 3-2. 施測活動三個階段規範說明-----------------------------------------. 31. 表 3-3. 十位受測學生代碼說明-----------------------------------------------. 34. 表 3-4. 重複組合非正式施測題目--------------------------------------------. 38. 表 3-5. 重複組合正式施測題目-----------------------------------------------. 41. 表 3-6. 研究者預估的施測題目難易度--------------------------------------. 43. 表 3-7. 對於表 1-1 心智活動模式的細部特徵說明------------------------ 50. 表 3-8. 對於表 1-1 理解型式的細部特徵說明------------------------------ 51. 表 3-9. Skemp 理解架構具體行為目標的「情境」與「動詞」要素---- 52. 表 3-10 Skemp 理解架構具體行為目標的「標準」與「結果」要素---- 53 表 3-11 S22 第一階段書寫資料(左)搭配條列式具體行為(右)------------. 59. 表 3-12 S24 第二階段板書資料(左)搭配講解逐字稿(右) -----------------. 60. 表 3-13 第三階段師生對談逐字稿(取自 S 22 030528 第三階段)----------. 61. 第肆章研究結果與分析表 4-1. Skemp 理解架構類別 I1----------------------------------------------- 65. 表 4-2. 與重複組合相關的符號轉換規則-----------------------------------. 表 4-3. Skemp 理解架構類別 R1---------------------------------------------- 78 vi. 71.

(8) 表 4-4. 掌握題目關鍵字意義、特性或結構的口語對照表--------------. 83. 表 4-5. 想法與理解基模的交互作用表--------------------------------------. 93. 表 4-6. Skemp 理解架構類別 L1----------------------------------------------. 94. 表 4-7. Skemp 理解架構類別 I2----------------------------------------------- 100. 表 4-8. Skemp 理解架構類別 R2---------------------------------------------- 103. 表 4-9. Skemp 理解架構類別 L2---------------------------------------------- 113. 表 4-10 師生對話前 S11 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 121 表 4-11 師生對話前 S12 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 122 表 4-12 師生對話前 S13 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 122 表 4-13 師生對話前 S14 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 122 表 4-14 師生對話前 S15 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 123 表 4-15 師生對話前 S21 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 123 表 4-16 師生對話前 S22 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 123 表 4-17 師生對話前 S23 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 124 表 4-18 師生對話前 S24 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 124 表 4-19 師生對話前 S25 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 125 表 4-20 重複組合的理解基模-------------------------------------------------- 125 表 4-21 列舉所有情形接著點數總數的理解基模具體行為-------------- 126 表 4-22 列舉基本情形接著加總排列數的理解基模具體行為----------- 128 表 4-23 討論異同情形接著加總組合數的理解基模具體行為----------- 133 表 4-24 畫出兩類相同物作直線排列的理解基模具體行為-------------- 137 表 4-25 使用符號 H kn 的理解基模具體行為--------------------------------- 141 表 4-26 對於符號 H kn 中「n」與「k」的概念解讀---------------------------- 145 表 4-27 師生對話後 S11 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 148. vii.

(9) 表 4-28 師生對話後 S12 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 149 表 4-29 師生對話後 S13 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 149 表 4-30 師生對話後 S14 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 149 表 4-31 師生對話後 S15 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 150 表 4-32 師生對話後 S21 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 150 表 4-33 師生對話後 S22 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 151 表 4-34 師生對話後 S23 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 151 表 4-35 師生對話後 S24 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 151 表 4-36 師生對話後 S25 每一題產生的具體行為步驟---------------------- 152 表 4-37 學生使用五個理解基模的次數統計表----------------------------- 152 表 4-38 學生使用五個理解基模的相對次數統計表----------------------- 153 表 4-39 學生使用三種理解基模的相對次數統計表(依不同類組)------ 154 表 4-40 學生使用三種理解基模的相對次數統計表(依學生性別)------ 155 表 4-41 學生使用三種理解基模的相對次數統計表(依學生程度)------ 156 表 4-42 學生使用三種理解基模表(依不同題型) -------------------------- 157 表 4-43 學生使用三種理解基模的相對次數統計表(依不同題型)------ 158. 第伍章結論與建議表 5-1. Skemp 理解架構類別 I1 具體行為細項----------------------------- 159. 表 5-2. Skemp 理解架構類別 R1 具體行為細項---------------------------- 161. 表 5-3. Skemp 理解架構類別 L1 具體行為細項---------------------------- 162. 表 5-4. Skemp 理解架構類別 I2 具體行為細項----------------------------- 163. 表 5-5. Skemp 理解架構類別 R2 具體行為細項---------------------------- 163. 表 5-6. Skemp 理解架構類別 L2 具體行為細項---------------------------- 165. 表 5-7 【基模 1】整合分析----------------------------------------------------- 166. viii.

(10) 表 5-8 【基模 2】整合分析----------------------------------------------------- 167 表 5-9 【基模 3】整合分析----------------------------------------------------- 168 表 5-10 【基模 4】整合分析----------------------------------------------------- 169 表 5-11 【基模 5】整合分析----------------------------------------------------- 170. ix.

(11) 圖次第壹章緒論圖 1-1. Skemp 指導系統--------------------------------------------------------. 5. 第貳章文獻探討圖 2-1. 指導系統的細部結構--------------------------------------------------. 圖 2-2. 解讀 Skemp 的指導系統----------------------------------------------- 11. 圖 2-3. APOS 理論的模型------------------------------------------------------ 12. 圖 2-4. 腦半球的功能-----------------------------------------------------------. 圖 2-5. Pirie & Kieren 數學理解成長的動態模型-------------------------- 14. 圖 2-6. 洋蔥剖面圖--------------------------------------------------------------. 14. 圖 2-7. Bloom 教育目標分類系統新舊版本對照圖-----------------------. 15. 圖 2-8. 漸增複雜性的階層排序-----------------------------------------------. 16. 圖 2-9. 大洋蔥裡有小洋蔥-----------------------------------------------------. 21. 圖 2-10 大膠囊裡有小膠囊-----------------------------------------------------. 21. 圖 2-11 大方案裡有小方案-----------------------------------------------------. 22. 圖 2-12 大系統裡有小系統-----------------------------------------------------. 22. 圖 2-13 一道重複組合題目-----------------------------------------------------. 25. 10. 13. 第參章研究工具圖 3-1. 分析資料的流程圖-----------------------------------------------------. 33. 圖 3-2. 重複組合正式施測題目印製樣貌-----------------------------------. 40. 圖 3-3. 研究者的教學模式-----------------------------------------------------. 47. 圖 3-4. 施測活動規範說明到第一階段的配置圖--------------------------. 56. 圖 3-5. 施測活動第二階段到第三階段的配置圖--------------------------. 57. 圖 3-6. 蒐集資料與整理資料流程圖-----------------------------------------. 58. x.

(12) 圖 3-7. 「分析資料的工具」與「蒐集的資料」之間的交互作用-----. 62. 第肆章研究結果與分析圖 4-1. 【基模 1】具體行為出現順序圖-. 圖 4-2. 【基模 2】(第一款)具體行為出現順序圖------------------------- 129. 圖 4-3. 【基模 2】(第二款) 具體行為出現順序圖------------------------ 130. 圖 4-4. 寫出方程式後使用【基模 2】(第一款)具體行為出現順序圖- 132. 圖 4-5. 【基模 3】具體行為出現順序圖------------------------------------- 134. 圖 4-6. 【基模 4】(第一款) 具體行為出現順序圖------------------------ 138. 圖 4-7. 【基模 4】(第二款) 具體行為出現順序圖------------------------ 139. 圖 4-8. 【基模 5】具體行為出現順序圖------------------------------------- 142. 圖 4-9. 寫出方程式後使用【基模 5】具體行為出現順序圖------------ 143. 126. 第伍章結論與建議圖 5-1. 重複組合正式施測題目第 5 題--------------------------------------- 174. 圖 5-2. 重複組合正式施測題目第 5 題修定版---------------------------- 174. 圖 5-3. 民國 84 年高中數學課本第四冊重複組合的敘述--------------- 176. 圖 5-4. 99 課綱高中數學課本第二冊(龍騰版) 重複組合的敘述------- 177. 圖 5-5. Skemp 指導系統與 Polya 怎樣解題的整合系統------------------ 178. 圖 5-6. Skemp 指導系統與 P&K 洋蔥理論的整合系統------------------- 179. xi.

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(14) 高中生對於重複組合的理解分析第壹章緒論本章共分為四小節：第一節問題背景與研究動機，第二節研究目的與研究問題，第三節研究的理論依據，第四節名詞釋義。. 第一節問題背景與研究動機比許多人幸運的是，從小我的數學能力一直是班上表現不俗的學生，而我也時常覺得，同儕們數學不好或是有數學學習困難，都是因為他們不去「理解」公式的來龍去脈，數學學習如果只會背公式是沒有用的！對學生時代的我而言，單純地認為真正的「理解」不僅是知道公式如何用(know how)，還要知道這些公式背後隱藏的道理為何(know why)。進入北市某高中任教之後，民國九十九年三月，我有一個機會到上海的复旦大學參訪，與當地的大學生進行座談交流時，當時我向當地的大學生提出了一個問題：「可以請妳分享在高中階段時，是如何學習數學的嗎？」主要回答我的問題是一位來自廈門就讀文科的女學生，她不假思索地回答我：「就是題海戰術！」 (見附錄一)語氣中還帶著相當的自信，她的老師每天都會給他們一張滿滿的考卷，要學生回家練習，起初她也是非常痛苦，但是她回應表示：「算久了你自然就明白怎麼算了。」而且面對考卷的題目也漸漸不會害怕，最後她們都練就了一身「好本領」，可以快速、正確、順利地處理數學問題，並且順利達成考上复旦大學的目標，旁邊同是复旦大學的一位四川學生，也在她回話過程中頻頻點頭表示高度認同。這段回話讓我印象深刻，也著實讓我心頭一震。它所帶給我的反思是「題海戰術」一詞除了是表面上聽到的「填鴨式學習」或稱為「慣性學習」以外，當學生在算完題目之後，經過適當的訂正、檢討、反思，便有辦法形成「快速、正確、順利的處理數學問題能力」，在她們所謂的「熟能生巧」的過程之中，即便她們 1.

(15) 不甚明白「why to do」，但是她們知道「how to do」，而且還能夠「well done」，她們所反覆練習(rote)的公式都是能被她們熟練使用的工具。以 Skemp 的理論來分析，這兩位廈門姑娘以及四川姑娘所使用的理解模式，即是表 1-1 中的 I1 類別：工具式理解搭配直覺式的心智活動模式。表 1-1 理解型式與心智活動模式的交互作用理解型式. 理解型式與心智活動模式產生的交互作用. 工具式理解. 關聯式理解. 邏輯式理解. 直覺式. I1. R1. L1. 反思式. I2. R2. L2. 心智活動模式資料來源：翻譯自 Psychology of Learning Mathematics(p. 172), by R. R. Skemp, 1987, Hillsdale, New Jersey: Hove and London. 仔細反省研究者學習數學的歷程，發現以前我自己認為的「理解」應該是 Skemp 所說的「關聯式理解(Relational understanding)」，前述四川姑娘的那種理解型式則是「工具式理解(Instrumental understanding)」，而這兩種「理解」對於學生的數學學習都很重要。研究者在投入教學現場的這幾年，對學生的數學學有一些體會，任教學校的輔導室邀請我為高一學生寫一篇文章(見附錄二)，文章目的有二：(1)輔導高一學生升高二時能選擇適當的類組；(2)對於學生學習數學的鼓勵與省思。當時我就已經把「工具式理解」融入到我的數學教學之中，而撰寫這篇文章距今已是三年前的事情了，現在看來特別有感覺。學生在學習數學單元，一般都會經歷「經驗(具體)→理解→形式化(抽象)」三個階段。「國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域(附錄五)」(民 97, p. 208) 提到：『「認識」強調的是觀察、個例、經驗、歸納的學習初期階段，「理解」強調的是概念形成、練習、驗證、推廣的中期階段，「熟練」則在於形式與解題程序之流暢。「認識」與「理解」在具體情境中進行，「理解」與「熟練」在抽象情境中進行。「理解」本身則在具體與抽象情境間來回練習。』可以見得理解對於 2.

(16) 連接具體經驗與抽象形式間，有著極其重要的地位。在就讀碩士的期間，我對「理解」也一直抱持著高度關注，在思考碩士論文主題時，希望可以更進一步探討研究「理解」這回事。反思研究者在自己高中數學課程的學習歷程中，經歷從模糊到清晰，從不知所措到柳暗花明的單元，就是令現在很多高中生恨的牙癢癢的「重複組合」單元。因為印象太深刻，所以即使距離研究者就讀高中已經過了十多年，當初理解重複組合的概念與符號 H kn 的「感動」至今仍然鮮明如昨。想要有效學習重複組合這個單元，是多麼需要「概念的理解」與「符號的操作」，學生在學習重複組合之前，就已經學過「n 階乘 n ! 、直線排列 Pkn 、有相同物的直線排列. n! 、重 k !(n  k )!. 複排列 n k 、一般組合 Ckn 」等內容，對於這些符號及概念即便有些人對於排列組合感到困難，卻也還不至於完全失去信心，研究者發現，壓垮學生對於排列組合學習信心的最後一根稻草，往往就是重複組合這個單元。許多平時數學成績表現不俗的學生，也很容易在重複組合這個單元慘遭滑鐵盧，這樣的結果恰恰與研究者自身的學習經驗完全相反！讓研究者很想探究學生在處理重複組合的題目時，有哪些想法？透過這些想法學生會表現出哪些具體行為？這些具體行為與他對於重複組合理解的交互作用，在會產生哪些理解基模？而各種理解基模背後，到底代表的是怎麼樣的理解類型？也希望藉由這篇論文，能夠更完整地分析學生的理解，並反省研究者自身的教學，期望對於未來長路漫漫的教育旅程能有所助益。. 3.

(17) 第二節研究目的與研究問題本研究的目的是想要透過 Skemp 的理解架構，藉由觀察學生在處理重複組合這個單元的問題，所產生的各種具體行為進行分析，以便能夠更完整地知道學生在重複組合這個單元理解情形。. 基於研究目的，產生下列三個研究問題：根據 Skemp 的理解架構，所產生的理解型式與心智活動模式的交互作用表，學生在處理重複組合的問題時，一、Skemp 理解架構的每個類別分別出現哪些對應的具體行為表現？二、從學生的具體行為之中，可歸納出哪些理解基模？三、學生使用理解基模的差異為何？ (一) 個別學生使用理解基模有何差異？ (二) 不同類組的學生使用理解基模有何差異？ (三) 不同性別的學生使用理解基模有何差異？ (四) 不同程度的學生使用理解基模有何差異？ (五) 不同題型學生使用理解基模有何差異？. 4.

(18) 第三節研究的理論依據本研究的理論依據，是根據 Skemp 的理解架構，如表 1-1 所示「理解型式與心智活動模式所產生的交互作用」，其中直向的三行代表的是理解型式(Kinds of understanding)，橫向的兩列心智活動模式代表的是指導系統(Direct system)。直行向度的三種理解型式包括：工具式理解(Instrumental understanding)、關聯式理解(Relational understanding)、邏輯式理解(Logical understanding)。橫列向度的指導系統中如下圖 1-1 所示，第一指導系統(Delta one)所反應的是直覺式 (Intuitive)心智模式，接收外在環境所提供的資訊，以及做出具體行動；第二指導系統(Delta two)所反應的是反思式(Reflective)心智模式，接收第一指導系統所提供的訊息，作用在第一指導系統之上。第二指導系統的主要功能是優化第一指導系統，使第一指導系統發揮最佳功用。. 第二系統. 心智活動接收訊息. 第一系統. 執行行動接收訊息. 外在環境. 圖 1-1 Skemp 指導系統資料來源：翻譯自 Psychology of Learning Mathematics(p. 107), by R. R. Skemp, 1987, Hillsdale, New Jersey: Hove and London. Skemp (1987)表示，想要知道學生理解了什麼，要先觀察他們的行為，並且反思他們的目標為何。行為是目標導向(goal-directed)，處理數學問題主要牽涉操作心智物件，也就是數學概念，藉由數學概念本身的性質引發我們使用或結合符號，在給定的數學內容之中，基模(schema)也決定了數學概念的可行性。換言之，使用符號就是執行心智數學概念的具體行為。表 1-1 中的行與列交互作用，產生六種理解類別(I1、R1、L1、I2、R2、L2)，其各類別的行為特徵，研究者在精讀完 Skemp (1987)的著作後，整理出表 1-2「理解型式與心智活動模式產生的交互作用行為特徵表」。本研究將依照此架構，敘寫學生在處理重複組合的問題時，所產生的各種具體行為，並組裝這些具體行為 5.

(19) 形成重複組合的「理解基模」，加以整合分析。表 1-2 理解型式與心智活動模式產生的交互作用行為特徵表理解型式. 理解型式與心智活動模式產生的交互作用. 直覺模式 1. 心智活動模式. 反思模式 2. 工具式理解. 關聯式理解. 邏輯式理解. 類別 I1 在處理問題的過程中，學生 I1-1. 能以機械式演算的方式給出答案 I1-2. 能夠流暢且不假思索地執行一個適當已記憶的規則 I1-3. 知道可以使用一個適當已記憶的規則，卻不知道這個規則如何操作 I1-4. 使得已記憶的規則在遭遇不同情境時退化 I1-5. 操作一些沒有聯結到題目概念的符號. 類別 R1 在處理問題的過程中，學生 R1-1. 能夠確定對於題目的一些感知 R1-2. 能夠掌握題目的意義、特性或結構 R1-3. 能夠將來自外在環境的訊息，直接同化到一個適當的基模中 R1-4. 輸入訊息後啟動不適當的想法. 類別 L1 在處理問題的過程中，學生 L1-1. 能夠察覺題目敘述中的怪異處 L1-2. 能夠針對題目的敘述給出一些推論 L1-3. 透過一個例子來說明他的推論. 類別 I2 在處理問題的過程中，學生 I2-1. 修正他所操作的演算過程 I2-2. 說明他如何操作一個適當已記憶的規則，卻不知道這個規則運作的數學概念. 類別 R2 在處理問題的過程中，學生 R2-1. 能夠推論出特定的列舉程序 R2-2. 能夠推論出特定的符號規則 R2-3. 能夠以關聯式的理由確認驗證他所應用的規則 R2-4. 能夠結合一些常規而得到答案 R2-5. 能夠修正不適當的想法. 類別 L2 在處理問題的過程中，學生 L2-1. 能夠聯結具有相應數學概念的符號 L2-2. 以一連串合乎邏輯的嚴格推論，展示對於問題完整的數學論述. 6.

(20) 第四節名詞釋義本節說明三個名詞：一、重複組合，二、工具式理解，三、理解基模。一、重複組合根據教育部(民 97)發布之「普通高級中學必修科目數學課程綱要」(於民國 99 年正式實施，故簡稱「99 課綱」)，數學 II 第二章 2.2「重複組合」單元中，敘述的細項有以下三點： (一) 從 n 個元素的集合中每次取出 k 個元素，允許重複取出同樣的元素，則不同取法的總數為重複組合數 Ckn  k 1 。 (二) 球與籃子模式：把 k 個沒有編號且不可分辨差異的球，放入編號是 1 到 n 的籃子裡，每個籃子裡的球數沒有限制，放法總數為重複組合數. Ckn  k 1 。 (三) 對於給定的 n 與 k，方程 x1  x2    xk  n 的非負整數解總數也是重複組合數 Ckn  k 1 。二、工具式理解(instrumental understanding) 研究者將「instrumental understanding」解讀成「工具式理解」，根據 Skemp 指的就是「能夠應用一個適當的已記憶規則，卻不知道規則背後的數學概念為何。」三、理解基模藉由理解重複組合的數學概念，產生一系列處理重複組合問題的具體行為，形成的基本行為模式，研究者將此稱之為重複組合的「理解基模」。. 7.

(21) 第貳章文獻探討本研究探討高中生對於重複組合單元的理解情形，理解是本篇論文的核心，並且加以分析由學生具體行為所歸納的理解基模。本章共分為三節：第一節有關理解的研究，第二節有關基模的研究，第三節重複組合的研究。. 第一節有關理解的研究本節共分為三個部分：一、有關 Skemp 的理解理論，二、數學理解的相關研究，三、理解相關的實徵性研究。一、有關 Skemp 的理解理論 (一) Skemp 的觀點對於理解的分類，Skemp (1987)提出了他的看法。他原先也是將「understanding」視為「relational understanding」，但是 Skemp 注意到 Stieg Mellin-Olsen (引自 Skemp, 1987, p.153)的文章提及 relational understanding 與 instrumental understanding，Skemp 才思索著他自己所認知的 understanding 並不盡然就是 relational understanding。 Skemp 反思 Mellin-Olsen、Byers & Herscovics (1977)、Backhouse (1978)、Buxton (1978)等學者對於理解的分類(引自 Skemp, 1987, p.166)，並給出三種理解型式的定義： 1. 工具式理解(Instrumental understanding) 產生工具式理解的證據是能夠應用一個適當已記憶的規則解決問題的能力，而不知道這個規則何以能夠作用。 2. 關聯式理解(Relational understanding) 產生關聯式理解的證據是能夠從更一般的數學關係推論出特定規則或程序的能力。 3. 邏輯式理解(Logical understanding) 產生邏輯式理解的證據是能夠將數學符號與記數法和相關的 8.

(22) 數學想法連結起來的能力，並將這些想法結合到一連串的邏輯論述之中。 Skemp (1987/1995)指出：「因果式理解(relational understanding)的學習目標是要建立整體的概念結構，並通曉其中相互關聯。當新的概念透過教學同化到適當的基模中，概念結構又會成長一點。面對特定問題(見過或沒見過)都可能推論出適當解決方法。」(p. 222)然而，工具式理解必然存在於學習之中，從小到大我們經由各種理解而記憶的數學公式，或是背誦公式的口訣(如三角形面積為底乘以高之半、圓周長為直徑乘以  、四則運算先乘除後加減、負負得正等)，透過學習漸漸成為未來開拓新的知識版圖之先備知識，存於 Skemp 指導系統理論的第一指導系統之中，成為學習者能夠靈活運用的工具，有助於智性學習。在 Skemp (1987)的文章裡面提到了「instrumental」，另外也提到了「mechanical」，顯見這兩個字對於 Skemp 所提出的理解觀點，有著不一樣的意義。instrumental understanding 指的並不是只有會操作已記憶的規則而已，機械式操作已記憶的規則(remembered rules)只是 instrumental understanding 的一部分，將常規計算自動化，使常規計算得以成為靈活運用的工具，也在 instrumental understanding 的範圍內。誠如 Skemp (1987)所言，機器並不知道它自己在做什麼，而我們人類卻擁有智慧可以操作機器！如果一個學生知道如何代入一個公式得到答案，卻不知道公式背後的數學概念為何，那他就是把公式當作是一台機器，他去按下了開關，機器能夠運轉，便能夠幫助他解決問題。而當他知道要去按哪台機器的開關，實則亦為一種理解，就 Skemp 的理論來說，便是「instrumental understanding (工具式理解)」。除了對於理解有更清楚的分類系統以外，另一個也是 Skemp 很重要的貢獻之一，就是提出指導系統的模型，來描述學生透過學習獲得各. 9.

(23) 種理解而產生行動的心智結構。指導系統中包含的結構有五個項目，分別敘述如下(見圖 2-1)。 1. 感知器(sensor)：接收外在環境提供的資訊。 2. 現在情境(Present State)：感知器接收訊息後，將有關於現在情境的操作物，以內在的方式呈現。 3. 目標情境(Goal State)：目標情境也以內在的方式呈現。 4. 比較器(Comparator)：比較現在情境與目標情境。 5. 行動計畫(a plan of action)：產生行動計畫，執行後可將操作物從現在情境轉為目標情境。 Skemp 提到，指導系統的一個主要特徵，就是辨別行動計畫的可能來源，以及形成這些行動計畫的本質。. 圖 2-1 指導系統的細部結構 Note. From “A new model of intelligence,” by R. R. Skemp, 1987, Psychology of Learning Mathematics (p. 106). Hillsdale, New Jersey: Hove and London. 10.

(24) (二) 一些學者對於 Skemp 的見解 D. Tall & M. Thomas (2002)統整了許多學者對於 Skemp 的貢獻提出看法，其中的幾位學者的見解研究者整理如下。 1. J. Olive & L. P. Steffe：關於指導系統(director system) J. Olive & L. P. Steffe 指出，第二指導系統的目標是提升第一指導系統的功能，這也應是教育的目標，而當我們檢視學生建立的數學基模時，Skemp 所提出的智性學習模型具有相當的鑑別力。在直覺的過程之中，個體自覺為第一指導系統的中心；而在反思的過程之中，第二指導系統提供了許多重要的功能，J. Olive & L. P. Steffe 將這些功能摘要如下： (1) 覺察某人的基模─藉由形成新的概念與連結而提升某人的基模、檢驗基模的預測能力以及內部一致性、必要的時候對基模進行校正。 (2) 從概念及基模中一般化─形成更高階序的概念與基模。 (3) 提升並系統化既有的知識。. 圖 2-2 解讀 Skemp 的指導系統 Note. From “Schemes, schemas and director systems (An integration of Piagetian scheme theory with Skemp’s model of intelligent learning,” by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, In D. Tall & M. Thomas (Ed.), Intelligence, learning and understanding in mathematics (p.107). Flaxton, Australia: 11.

(25) 2. G. Davis & D. Tall：關於基模(schema) G. Davis & D. Tall 相信對於 Skemp 強調的大腦活動與大腦數學思維模型，概念的分類過程提供了作用機理。Skemp 在智力、學習及行動中探討了類別與基模的連結，建立人類行為與大腦運作的連結，並把數學學習的研究視為發展更高階的智性模型。 G. Davis & D. Tall 將 Skemp 所提出有關基模的理論與 E. Dubinsky (1992)提出的 APOS (Action-Process-Object-Schema)理論作連結(見圖 2-3)： (1) 行動(Action)：一種身體或心理物件的變換，以獲得其它物件。 (2) 過程(Process)：當一個人能夠反思並對於行動建立有意識的控制時，行動便引發了過程。 (3) 物件(Object)：當個體感受到過程的全部，瞭解變換能在過程中行動，並能建構這些變換時，過程便成為了物件。 (4) 基模(Schema)：基模為整合行動、過程和物件的結構性組織。. 圖 2-3 APOS 理論的模型 Note. From “Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking,” by E. Dubinsky, 1992, In D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking (p.106), Kluwer: Dordrecht, pp. 95-126. G. Davis & D. Tall 也指出 Skemp 提出的理論鞏固了近代心理學及神經學的發展。在 Skemp (1987)的第六章也提到了腦半球的功能(如圖 2-4)，顯見 Skemp 對於心理學的研究，有著前瞻性的貢獻。 12.

(26) 圖 2-4 腦半球的功能 Note. Retrieved from http://www.lefthandersday.com/tour/being-left-handed. 二、數學理解的相關研究 (一) Pirie & Kieren 的理解理論 Pirie & Kieren (1988, 1989, 1994a, 1994b)所發表的「數學理解成長的動態理論(A Dynamic Theory of the Growth of Mathematics Understanding)」，說明學生在數學學習之中的理解是動態(dynamic)、非線性(nonlinear)、遞迴(recursive)的成長過程，將學生的數學理解成長歷程細分成八個層次，如圖 2-5 所示。 Pirie & Kieren 所提出的動態理解模型，將理解成長的動態過程分為八個階層，數學理解並非靜態取得知識的成果，而是在各階層之間來回穿梭的動態結果，此為動態可折回論特徵之一「動態的(dynamic)」；八個階層的構造層層套疊猶如洋蔥結構(如圖 2-6)，將理解成長依照層級分析，此為動態可折回論的特徵之二「層級化(levelled)」；八個階層有一個共切點，各階層可透過此共切點自由來回穿梭到其他階層，此為動態可折回論的特徵之三「非線性(non-linear)」；每一個外階層與內階層有著類似的結構，卻又超越內階層，此為動態可折回論的特徵之四「超越遞迴(transcendent recursion)」。. 13.

(27) *由內而外的八個層次 PK：primitive knowing IM：image making IH：image having PN：property noticing F：formalizing O：observing S：structuring I：inventizing 圖 2-5 Pirie & Kieren 數學理解成長的動態模型. Note. From “Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it?,” by S. E. B. Pirie and T. E. Kieren, 1994(b), Educational studies in Mathematics (p.167), 26(2-3), 165-190.. 共切點圖 2-6 洋蔥剖面圖. 14.

(28) (二) Bloom 的教育目標分類系統 2001 年版 Bloom 認知領域教育目標修訂了先前的舊版教育目標分類，探討學習者對於「知識向度(Knowledge Dimension)」和「認知歷程向度(Cognitive Process Dimension)」兩個向度，其中「知識向度」分成事實知識、概念知識、程序知識，以及後設認知知識等四大類別；而「認知歷程向度」說明了記憶、了解、應用、分析、評鑑、創作等六大教育目標，其宗旨在於促進學生「保留(retention)」和「遷移(transfer)」所習得的知識(葉連祺、林淑萍，民 94)，各類別改以動詞詞態呈現，如圖 2-7 所示，並以漸增複雜性的階層排序(increasing complexity hierarchy)，如圖 2-8(鐘翠芬，98)。. 圖 2-7 Bloom 教育目標分類系統新舊版本對照圖資料來源：葉連祺、林淑萍(民 94)。布魯姆認知領域教育部標分類修訂版之探討。教育研究月刊，第 105 期。. 15.

(29) 圖 2-8 漸增複雜性的階層排序資料來源：鐘翠芬(98)。人權教育能力指標解析與教學轉化。第 8047 期人權教育國教輔導團輔導員初階研習。桃園縣。知識向度與認知歷程向度之間的交互作用，在各個學科領域之中，常被用來當作內容校度檢核的「雙向細目表」(表 2-1)。研究者認為在雙向細目表中，「記憶程序知識」與 Skemp 所指的「工具式理解」頗為類似；另一方面，「了解概念知識」則與 Skemp 所指的「關聯式理解」也有異曲同工之妙。表 2-1 2001 年新版 Bloom 認知領域教育目標雙向細目表認知歷程向度記憶. 了解. 應用. 知識向度事實知識概念知識程序知識. ● ●. 後設知識. 16. 分析. 評鑑. 創作.

(30) 三、理解相關的實徵性研究有許多的期刊與文章(如李源順，2004；喻平，民 91；游經祥，2003)，都在探討 Skemp 的理論，而透過 Skemp 的理解理論，也有不少相關的實徵性研究，如楊中宜(民 96)探討符號理解、楊嘉勝(民 100)探討學習策略、許淑珠(民 94)探討數學溝通能力等。與 Pirie & Kieren 所提出的動態理解理論有關的實徵性研究也不少，如王幸鵑(民 102)表示此理論適合用來描述學生在短時間內學習數學概念層次改變的情形；吳淑琳(2000)探討國二學生的線型函數概念的發展情形；陳正明(2002)描述補救教學過程中，學生的線型函數三個主要表徵之概念改變情形。幾乎所有與此理論相關的實徵性研究，都有一個重要的結論，那就是學生的概念發展均出現「動態」、「非線性」、「遞迴」的現象。另外，在數學領域運用 Bloom 的教育目標分類系統進行分析的實徵性研究，如鄭蕙如、林世華(2004) 探討九年一貫課程數學領域分段能力指標、李牧桓(民 98)比較芬蘭與台灣國小一年級數學教科書等。. 17.

(31) 第二節有關基模的研究本節共分為兩個部分：一、有關基模的理論，二、基模的遞迴關係。一、有關基模的理論 (一) Piaget─認知發展理論偉大的心理學家 Piaget 所提出的「cognitive-developmental theory (認知發展理論)」，在發展心理學的過程中佔有舉足輕重的地位(張春興， 2004)。Piaget 將「基模(schema)」視為「人類吸收知識的基本架構」，認知結構(cognitive structure)的名字就是基模！ Piaget 所提出的「認知發展期」共分為四個階段： 1. 感官動作期(sensorimotor stage)：0~2 歲。 2. 前運思期(preoperational stage)：2~7 歲。 3. 具體運思期(concrete operational stage)：7~11 歲。 4. 形式運思期(formal operational stage)：11 歲以上。 Piaget 肯定了教育的功能，並以階段論的觀點描述兒童的認知發展歷程。每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，這也代表著一個事實，每一階段所形成的基模，都會成為學習新事物的先備知識(prior knowledge)，學會了新的知識以後，前一階段習得的基模就能形成更大的基模，幫助學習者繼續下一個階段的學習。 (二) Ausubel─認知同化論「Meaningful Learning (有意義的學習)」是 Ausubel 認知同化理論中的主要核心概念。要如何產生有意義的學習呢？「只要學習者有意識地將新知識與其已經知道的舊概念或舊命題相聯結時，有意義的學習便告產生。」(余民寧，1997)此段敘述中「已經知道的舊概念或舊命題」，就是學習者「已經知道的事」，亦即所謂的先備知識。學習者習得新知識後，新知識也將同化(assimilate)到舊知識之中，成為學習下一個新知 18.

(32) 識的既有基模，繼續學習更多新的知識。 (三) Pirie & Kieren─動態可折回論 Pirie & Kieren 數學理解成長的動態模型中(圖 2-5)，最內圈第一層的初始知曉(primitive knowing)包含了學習新領域的先備知識以及理解歷程的初始行為，每一個階層皆通過一個共切點，說明了學習者在需要的時候，可以不用透過任何階層而往返內層，取得必要的知識，進而跨越更高的階層。學習者在經歷每一次的動態、非線性、遞迴的理解成長，如同洋蔥吸收土壤的養分成長，小洋蔥變成大洋蔥，就能成為學習下一個新知識的「小洋蔥」，藉此吸收更多的知識。 (四) Skemp─智性學習論 Skemp (1987)提到基模的功能至少有三點： 1. 整合既存知識(integrate existing knowledge)。 2. 產生可能的理解(make possible understanding)。 3. 作為未來學習的工具(act as a tool for future learning)。相較於背誦式學習(rote learning)，基模式學習(schematic learning) 不僅是更好的學習，也更有利於保留(retain)知識。研究者整理了 Skemp (1987)中提到基模式學習的優點，條列如下： 1. 學習更有效率。 2. 減低記憶負擔。 3. 促進理解。 4. 更有適應力。 5. 鞏固既有的基模。 6. 使用有彈性的行動計畫。 7. 準備一套應用於未來學習的心智工具。 8. 具有可自我成長的特性。 19.

(33) 9. 成效較長遠。 10.兼具心理價值與數學價值。基模式學習固然有它許多的優點，但是爲什麼不是每個人都能夠接受這樣的學習方式呢？Skemp (1987)指出，基模式學習相較於背誦式學習也有一些「可能的缺點」，研究者將它整理如下： 1. 基模式學習可能較花時間，背誦式學習較快速得到答案。 2. 基模式學習可能較困難，背誦學習式較簡單。 3. 基模式學習成效較緩慢，背誦式學習成效較立即。 4. 基模對於我們的經驗具有高度選擇性，容易喜新厭舊顧此失彼。 5. 不合適的基模是學習新知識或新概念很大的阻礙。. 二、基模的遞迴關係根據本節第一部分整理有關於基模的理論，研究者注意到，似乎每一位學者提出的理論都有一個共通點，那就是在學習新知識或新概念時，都會運用到「既有的基模」，等到新知識或新概念與既有的基模，經過一番同化 (assimilate)、調適(accommodate)、平衡(equilibrate)等心智活動之後，既有的基模便能夠增長一些，而增長的基模，再經過重組(reconstruction)、內化 (interiorization)、壓縮(condensation)、物化(reification)的發展歷程，又將形成下一次學習的基礎。如此遞迴下去，小洋蔥就會變成大洋蔥(如圖 2-9)，小膠囊就會變成大膠囊(如圖 2-10)，小方案(scheme)也就變成大方案(如圖 2-11)，而小系統也就變成大系統(如圖 2-12)，幫助學習者學習更多的新知識，擴張知識領域的版圖。同時這也說明了，學習是一個動態的過程，包含了複雜的遞迴關係。. 20.

(34) 圖 2-9 大洋蔥裡有小洋蔥. Note. From “Growth in mathematical understanding: How can we characterise it and how can we represent it?,” by S. E. B. Pirie and T. E. Kieren, 1994, Educational studies in Mathematics(p.172), 26(2-3), 165-190.. 圖 2-10 大膠囊裡有小膠囊. Note. From “On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin,” by A. Sfard, 1991, Educational studies in mathematics(p.22), 22(1), 1-36. 21.

(35) 圖 2-11 大方案裡有小方案. Note. From “Schemes, schemas and director systems (an integration of Piagetian scheme theory with Skemp's model of intelligent learning),” by J. Olive & L. P. Steffe, 2002, In D. Tall & M. Thomas (Ed.), Intelligence, learning and understanding in mathematics (p.120). Flaxton, Australia.. 圖 2-12 大系統裡有小系統. 22.

(36) 第三節重複組合的實徵性研究重複組合是排列組合的子單元，大部分有關於重複組合的實徵性研究都包含在排列組合的整個單元之中。本節共分為三個部分：一、有關 99 課綱的研究，二、有關錯誤類型的研究，三、有關重複組合的思維研究。一、有關 99 課綱的研究根據教育部發布的 99 課綱，將原本置於高中二年級下學期的單元排列組合，挪動到高一下學期，楊宜蓁(民 98)整理出三個挪動的理由： (一) 提早提供學生在各學科進行量化分析所需要的數學基礎。 (二) 與生活關聯性高，應較早學習。 (三) 調整後不會發生邏輯順序錯置的教學問題。而課綱的改變，在實施 99 課綱的第一年，造成高一生與高二生同時學習「排列組合」單元，甚至高三要參加大學指定考科的學生，也可能在複習「排列組合」單元，形成所有高中學生在同一時間面對「排列組合」單元的有趣現象。劉康君(2012)以「調查研究法」探究排列組合可否在高一學習的結論如下： (一) 在排列組合單元中，適用 99 課綱的高一學生的學習表現不亞於 95 暫綱的高二學生的學習表現，因此，高一是可以學習排列組合的。 (二) 取才程度高的學生在排列組合的學習表現優於取才程度低的學生。 (三) 男生在排列組合的學習表現優於女生。 (四) 高中數學教師認為高一學生可以學習排列組合。 (五) 高中學生在排列組合單元的錯誤情形如下： 1. 高中學生解「重複排列」、「組合」、「重複組合」的題型，答對率較低，且普遍容易犯下「重複分類、分類不完全」與「自行加入其他條件解題」的錯誤類型。. 23.

(37) 2. 教師指出高中學生在排列組合單元的學習時，統整型的概念（重複排列、組合與重複組合）較容易出現學習困難。 3. 教師指出高中學生在排列組合解題時，主要錯誤來自於學生無法辨識題意的訊息而做出正確判斷，應用適當的概念解題，進而導致錯誤情形產生。另外，林世偉(2012)研究高一與高二學生在排列組合這個單元相關的數學能力與成就，經由發展問卷蒐集資料，調查結論整理如下： (一) 學習前高一高二學生大致上研究中唯有樹狀圖的先備知識需要複習。高程度學校的學生較具備完整的數學過程能力，對排列組合問題使用算式的比例較高。中程度學校的學生仍需要去使用列舉的數學模式去解決排列組合問題，並透過列舉的過程了解物件間的關係與連結。高一學生對應的數學模式以算式為主，高二學生則是以列舉的模式為主。 (二) 高程度學校的高一學生解題過程較不細膩。高二學生較有完整的數學過程能力相較於高一學生，學習成就也比高一學生來得好。 (三) 中程度學校的高一學生在排列組合相關數學能力和學習成就上的表現皆贏高二的學生且高二學生的數學模式是很散亂的，尤其分不清楚如何將題目條件對應到數學模式。. 二、有關錯誤類型的研究謝佩真(2003)分析受測學生在解這個重複組合(如圖 2-13)的題目。此研究指出，有 73.2%的學生答對；有 17.3%的學生把重複排列與重複組合搞混而選(B)或(E)；有 8.5%的學生直接寫出 H，但是在符號轉換的過程中產生錯誤；有 1.1%的學生想成直線排列，寫出錯誤答案 P46 。. 24.

(38) 問題：六朵相同的花要分給 4 個人，請問有幾種分法？ (A)84. (B) 4096. (C) 9. (D) 126. (E) 1296. 圖 2-13 一道重複組合題目資料來源：謝佩真(2003)。高二學生排列組合擬題活動對解題表現影響之研究(未出版之碩士論文)。國立高雄師範大學，高雄市。謝佩真(2003)整理了學生在排列組合這個單元的十個錯誤類型，其中與重複組合直接相關的有兩點： (一) 錯誤類型三：對符號定義認識不清楚學生對符號的認識不清楚，因此造成許多錯誤，但是並非概念不清楚例如：第一部分第四題(圖 2-13)，有 8.5%的學生是直接寫出. H 解題，但是在把 H 換成 C 的時候，換算錯誤，如 H 64  C49 ，或者用 H 標記的時候類別和總數寫顛倒了，如 H 46 。 (二) 錯誤類型五：重覆排列與重複組合概念不清楚在同與不同的條件之間，學生總是搞不清楚該用何種方法解題 1. 相同物的重覆組合卻以不同物的重複排列計數。例如：第一部分的第四題，14.3%的學生想成是不同物，所以答案是 46 。 2. 不同物的重複排列卻以相同物的重複組合計數例如：學生在解第二部分第三題時，約有 3%的學生使用求正整數解的方式解題，假設 Mary 拿到 x 顆、George 拿到 y 顆，x＋. y=5，因為每人至少要一顆，所以先各自給一顆，然後只剩 x＂＋y＂=3，然後用 H 的方式去解題，但是他只考慮到每人拿到的數目而沒有考慮蛋的不同。. 25.

(39) 另外，李俊緯(民 104)探討高雄地區某校高一學生 220 人，在排列組合單元的學習狀況，並整理出錯誤類型及可能的錯誤原因，其研究結果如下： (一) 高雄地區高一學生解排列組合單元問題之錯誤類型有： 1. 忽略條件限制產生的錯誤 2. 考慮不夠縝密導致錯誤 3. 利用窮舉法但討論不完全 4. 概念混淆產生錯誤 5. 誤解題意敘述導致錯誤 6. 運算技術上發生的錯誤 7. 未熟練基本公式定理 8. 分不清排列和組合的差異 9. 誤用其他模式解題 10.分類組合分類不完全 (二) 高雄地區高一學生解排列組合單元問題之錯誤原因有： 1. 粗心、思慮不周全而忽略題目條件 2. 基本概念不周全 3. 在分類討論時考慮不夠周全 4. 基本的運算法則不熟練 5. 運算能力不足導致技術上的錯誤 6. 任意猜測解答而未經過驗證 7. 無法分辨清楚排列和組合之差異性 8. 與先前學過的知識做了不適當的聯結，錯誤引用其他模式解題 9. 不合邏輯的推論 10.語文能力不足，以致閱讀題目解讀錯誤. 26.

(40) 三、有關重複組合的思維研究楊宜蓁(民 98)探討高二學生在學習「重複組合」單元時數學思維的啟動、轉化，以及造成這些現象的原因，此論文把「將 H nm 轉化為 Cnm  n 1 中一系列的運思過程，合成一整套有系統的運作方法」，稱之為「『H』的套裝思維」，與本研究的「理解基模」有相似之處。有排列組合教學經驗的教師應該不難發現，在重複組合這個單元之中，學生非常容易與既有基模產生「失衡(disequilibrium)」的心理狀態。何謂失衡？當個體既有基模不能同化環境中新知識經驗時，在心理上就會感到失衡 (張春興，1996)。與重複組合有關的實徵性研究，多半整理了學生對於排列組合的學習所產生的錯誤類型，而不能深入了解學生造成錯誤的理解型式為何；另一方面，在重複組合這個單元中，根據學生理解的型式不同，而產生不同類型的理解基模，使用符號 H kn 只是其中一種。國內少有研究描述學生在處理數學問題的過程中，有哪些具體行為？而這些具體行為並不是孤立出現的，組裝這些具體行為而產生的理解基模，將能夠更完整地幫助學生處理數學問題，進而提升理解的層次。因此，本研究期望透過 Skemp 的理解理論，達成這些目標。. 27.

(41) 第參章研究方法本章共分為五節：第一節研究流程與規劃執行內容，第二節研究對象，第三節研究的工具，第四節研究的設計，第五節研究可能的限制。. 第一節研究流程與規劃執行內容表 3-1 研究流程與規劃執行內容研究流程. 規劃執行內容. 研究時程. (一) 廣泛閱讀數學教育文獻 (二) 學習研究方法與理論一、研究預備. (2012.07~2013.08) (三) 思考研究方向 (四) 擬定研究主題. (一) 深入探討 Skemp 理論 (二) 編製研究工具二、理論探討. (2013.08~2014.05) (三) 規劃施測流程 (四) 設計施測題目. (一) 執行施測活動三、資料蒐集. (2014.05~2014.06) (二) 書寫資料及影音資料建檔. (一) 整理學生錄影逐字稿四、分析撰寫. (二) 分析學生具體行為與基模 (三) 撰寫論文. 28. (2014.06~2015.06).

(42) 表 3-1 研究流程與規劃執行內容說明如下：一、研究預備 (一) 廣泛閱讀數學教育文獻攻讀碩士期間，在眾多教授的引領之下，我們投身進入了數學教育的領域，修業期間與教授及同學們探討數學教育的經典論文，理論的基礎絕對是應用的基石，深知研究者本身僅有四年教學經驗的不足，積極利用寒暑假與課餘時間進修學習，以期在短程目標中完成碩士學位，進而達成增進教學知能的長程目標。 (二) 學習研究方法與理論修業期間選修了一門「數學教育研究法」的課程，在教授指導與同學分組報告的過程中，我們學習到各種研究方法的基礎知識，配合不同的研究目的與研究方法，有著不同的研究設計與研究工具，資料的歸納、統整與分析更是「落花水面皆文章，蛛絲馬跡皆學問」哪！ (三) 思考研究方向在廣泛地閱讀數學教育文獻期間，對於「理解(understanding)」這件事情特別有感覺，身為一個數學教師，希望學生能理解數學是如此的理所當然，然而，理解本身是如此的博大精深，許多數學教育界的巨人對理解這件事情有著獨到的見解，在與指導教授討論研究的方向之後，決定以「理解」作為本篇論文研究的核心概念。 (四) 擬定研究主題在研究者的高中求學階段，學習數學的過程之中，一直對重複組合這個單元情有獨鍾，其中緣由於第一章研究動機已有較詳細的說明，在此不再贅述。因此，我將此份論文的主題定下，開啟了我對理解這件事情重新認知的大門，也對我鍾愛的重複組合單元有更深刻的教學反思。. 29.

(43) 二、理論探討 (一) 深入探討 Skemp 理論在眾多數學教育界有關於「理解」的鉅作之中，Skemp 於 1976 年所發表的論文「Relational Understanding and Instrumental Understanding」堪稱經典中的經典，在 Google 學術搜尋引擎中，可搜尋到這篇論文被引用高達 1200 次以上，顯見此篇論文的重要性。Skemp 對數學教育的貢獻與熱情，豎立了一座高塔，引領我們世世代代前進，在決定研究主題並與指導教授討論之後，研究者便決定將論文研究聚焦在 Skemp 所提出有關於理解的理論，將 Skemp 於 1987 年所出版的大作「The Psychology of Learning Mathematics」鉅細靡遺地研讀一番，從中整理出「理解型式與心智活動模式產生的交互作用(見表 1-2)」，以此作為研究者分析學生具體行為的重要依據。 (二) 編製研究工具誠如方才所言，為了分析學生的具體行為中反映出來的理解本質，研究者經過一段長時間的閱讀、理解、反思、再閱讀、再理解、再反思的遞迴過程，統整出「理解型式與心智活動模式產生的交互作用行為特徵表(見表 1-2)」，其中描述了學生的三種理解型式(IU、RU、LU)與二維向度的心智活動模式(Delta 1、Delta 2)，交互作用而產生六大類別的行為特徵，結合 Skemp 在各章節所提到的概念，編製這項研究工具。 (三) 規劃施測流程本研究目的是觀察學生在處理重複組合問題的過程中，所產生的具體行為進行分析探究，依此研究者規劃施測流程分為三個階段。每位學生均在同一天的施測活動期間，連續完成三個階段的任務。研究者要求學生與學生之間避免互相談論受測內容，以取得每位學生最忠實對於重複組合單元的理解所產生的具體行為，並以錄影方式記錄學生的所有行為，進行研究分析。此研究須要求學生上台表達處理問題的想法，考量 30.

(44) 到師生的信賴關係，所有的受測學生均為研究者所熟識的高三學生，十位學生中文理組參半，針對受測學生的分析請參看本章的第二節介紹研究對象。施測活動三個階段的規範說明如表 3-2。表 3-2 施測活動三個階段規範說明此研究活動分以下三個階段，各階段均沒有時間限制：第一階段：學生獨立解題 1.學生自己進行解題活動。 2.盡可能把所有腦中的想法、解題的過程，忠實呈現出來。 3.讀題或解題過程之中可發出聲音，或是在卷上寫下任何的註記。 4.本測驗著重在解題歷程中，學生的想法與使用策略，答案正確與否是其次。 5.此階段教師只在旁靜默觀察，不與學生進行對談。第二階段：學生上台講解 1.所有題目完成解題後，學生上台講解每一題的解題內容。 2.盡可能將自己的想法完整的呈現，並將計算過程寫在黑板上，慢慢說，說清楚。 3.此階段教師只在旁靜默觀察，不與學生進行對談。第三階段：師生對談 1.此階段教師與學生將進行交談。 2.教師就前兩階段的觀察，對學生提出疑問或確認學生理解的情形。 3.學生就教師的問題提出說明，真切的反映出自己的想法即可。 4.若學生不會寫，或在解題過程中遇到困難，教師將在必要時給學生不同層級的提示，引導並協助學生進行解題活動。衷心感謝你的配合。 (四) 設計施測題目依照教育部 99 課綱，必修數學 II 第二章 2.2「重複組合」單元，並且參考高中課本龍騰版(民 99)中所引入的三種重複組合問題類型─ 「選物類型、方程式類型、分物類型」，進行施測題目設計，施測題目 31.

(45) 為研究工具之一，詳見本章第三節。另外，為避免各題目之間產生作答的干擾，印製施測題目每一頁只有列印一個問題，各題目之下皆有足夠的空白處供學生記錄處理問題的過程，並以 B5 大小的紙張雙面印製，一份試題共有四張，每位學生均依序從第 1 題開始作答。三、資料蒐集 (一) 執行施測活動為避免學生有升學的考試壓力，研究者選取的所有學生受測當時，均為高三的準大學生，他們在受測當時皆早已透過繁星推薦、個人申請等多元入學的管道，各別錄取優秀的大學校系準備就讀，研究者邀請他們於畢業前夕進行施測活動，每位學生均各別獨立與研究者進行三個階段的施測活動，施測活動的紙張資料也全數收回。研究者架設攝影器材全程錄影錄音，以利資料分析，事前也都有告知學生並取得同意，為防止學生之間談論受測時的內容干擾資料蒐集，除了要求所有學生避免討論受測內容，研究者亦於三天內完成所有學生的施測活動，每位學生皆高度配合此研究的施測活動。 (二) 書寫資料及影音資料建檔將所有學生的在第一階段的書寫資料，分別掃描建檔，三個階段的錄影檔案也存取於隨身硬碟之中，並對所蒐集到的資料作初步的分類整理，以利日後研究分析。四、分析撰寫 (一) 整理學生錄影逐字稿整理影音檔案的逐字稿，著實為一項浩大的工程，為了配合研究目的以及回答研究問題，研究者花了些時間在整理影音檔案的逐字稿，將學生的口語表達訴諸於文字符號，再進行研究的分析與論文的撰寫。. 32.

(46) (二) 分析學生具體行為與基模學生的具體行為包括靜態的書寫資料，以及動態的影音過程。本研究將依照 Skemp 的理解架構進行分析，分析流程請看圖 3-1，分析結果詳見本篇論文第肆章所述。一、整理資料. 二、翻譯整理 Skemp 理解架構. 1.掃描學生書寫資料。. 1.解讀書寫資料，同時播放影音檔案。. 2.拷貝影音資料檔案。. 2.整理學生具體行為，填入 Skemp 理解架構。. 3.整理影音資料逐字稿。. 3.修改 Skemp 理解架構中的文字敘述。. 四、分析理解類型. 三、分析理解基模. 1.分析理解基模。. 1.分析學生具體行為。. 2.分析受測學生的理解狀況。. 2.歸納學生具體行為形成理解基模。. 圖 3-1 分析資料的流程圖在 Skemp (1987)的文章中經常提到的「基模(schema)」，指的就是「概念結構(concept structure)」，研究者在利用 Skemp「理解型式與心智活動產生的交互作用」分析學生的具體行為時，領悟到 Skemp 所指「概念結構」的意涵，即「基模是由許多概念所組成的一個結構！」當我這麼理解 Skemp 所指的基模，我突然豁然開朗，除了分析學生處理重複組合問題時所產生的具體行為，並也整理出學生在重複組合單元會出現的理解基模。 (三) 撰寫論文零散的資料是不容易閱讀的，研究者整理與分析資料，同時回答研究問題，與讀者分享研究結果，也期望可以從中獲取寶貴的經驗，精進自己的教學，在未來能夠實際應用在學生的數學學習之上。. 33.

(47) 第二節研究對象本節分為四個部份：一、介紹受測學生及說明學生代碼，二、受測學生的數學程度分析，三、簡述受測學生的個人特質，四、受測學生的選取。一、介紹受測學生及說明學生代碼本研究共十位本校高三學生，他們已透過多元入學的管道，在受測前皆考取理想的大學。這些學生都是民國 100 年進入本校就讀，當屆高中入學基測 PR 值為 84 (此為學生當屆高中入學基測 PR 值全校的中位數)，當屆入學本校人數約有 870 人。以下介紹學生代碼的編碼方式。表 3-3 中的矩陣 S 為一個 2  5 矩陣，其中第 1 列的五位學生均為本校第一類組的學生，於高二、高三階段在研究者任教的導師班學習；第 2 列的五位學生均為本校第二類組的學生，僅於高一時在研究者任教的導師班學習，而高二分班以後雖然沒有繼續在研究者的導師班學習，仍與研究者經常保持聯繫。舉例說明：學生代碼 S13 為第一類組的女學生；學生代碼 S25 為第二類組的男學生。表 3-3 十位受測學生代碼說明.    S11 S12 S13 S14 S15  第一類組 S  S 22 S23 S24 S25  第二類組 21 S       女生男生 . 受測學生代碼 Sij 說明 i：類組. j：性別. i=1：第一類組 i=2：第二類組. j=1, 2, 3：女生 j=4, 5 ：男生. 二、受測學生的數學程度分析接著分析十位受測學生的數學程度，研究者蒐集十位學生兩種成績進行數學程度上的探討。矩陣 A 顯示出十位學生在本校六個學期的數學學業成績表現，研究者將每位學生於本校就讀的六個學期數學學業成績取平均值，形成矩陣 A，A 中各元 aij 即為學生 Sij 所得六個學期數學學業成績平均分數； 34.

(48) 矩陣 B 顯示十位學生於大學學科能力測驗數學考科所得級分，其中 B 中各元 bij 即為學生 Sij 所得大學學測數學考科的級分，( )中顯示該學生達到 103 年大學學測數學考科全國五標之一； A 與 B 則分別為矩陣 A、B 中各元的平均分數。 2. 75 76 (一) 矩陣 A   aij    25  81 82 10(均) (二) 矩陣 B  bij    25 15(頂) 2. aij  76 82 70  i 1 j 1 ；A  77.5 。 84 71 78 10 10(均) 9(均) 13(頂) 10(均)  ； 15(頂) 12(前) 12(前) 13(頂) . 5.  b i 1 j 1. B. 5. 10. ij.  11.9(前). 舉例來說，由矩陣 A 可知，學生 S11 六個學期在校數學學業平均為 75 分；由矩陣 B 可知，學生 S11 在學測數學考科的表現為 10 級分，達全國均標水準。現將矩陣 A 中各元，若高於 A 記錄符號為 O，若低於 A 記錄符號為 X；同樣的，矩陣 B 中各元，若高於 B 記錄符號為 O，若低於 B 記錄符號為 X，形成數對矩陣 C：. C  cij . 25.  X , X     O, O .  X , X   X , X   O, O   X , X    O, O   O, O   X , O   O, O  . 舉例來說， c11   X , X  代表學生 S11，在校數學成績表現低於十位學生的平均，大學學測數學考科成績也低於十位學生的平均，判定學生 S11 的數學程度較低。研究者由矩陣 C 判定，十位學生的數學程度，若得到兩個記號均為 X，則判定數學程度較低；若得到兩個記號均為 O，則判定數學程度較高；若得到兩個記號為 X、O 各一，則判定數學程度中等，形成矩陣 D：. D   dij . 25. 低低低高低    高高高中高 . 35.

(49) 三、簡述受測學生的個人特質研究者曾經擔任過十位學生的導師，透過與十位學生直接接觸的相處過程，以下簡述研究者對十位學生的個人特質與學習態度的觀察。. S11 ：第一類組女生，個性溫和沉靜，語文能力頗佳，做事勤快，老師交代的作業都會盡力完成，學習態度乖巧認真，但理科學習較為困難。. S12 ：第一類組女生，個性樂觀開朗，擅於整理文史筆記並能夠統合比較，數理方面雖然較為使不上力，但也是個學習態度認真的好孩子。. S13 ：第一類組女生，個性活潑外向，對話劇表演充滿熱忱，善於人際交際，對數學學習常感困惑而產生放棄念頭。. S14 ：第一類組男生，個性獨立自主，思辨與表達能力頗強，曾擔任本校演辯社社長，對於知識領域有著追本朔源的探究精神。. S15 ：第一類組男生，個性敦厚老實，對攝影專業興趣濃厚，藝術領域方面表現突出，在學習數學知識的時候常感焦慮與挫折。. S21 ：第二類組女生，個性沉穩踏實，會畫可愛的人物小插圖，熱衷於吉他表演，擔任班級幹部非常認真盡責，學習能按部就班一步一腳印。. S22 ：第二類組女生，個性積極奮勉，能夠經常對於生活週遭發生的事情深切內省，在學習時相當活躍聰敏，並且經常能夠舉一反三的優秀學生。. S23 ：第二類組女生，個性坦率真誠，主觀意識較強，情感方面較為脆弱，常與導師談話時激動落淚，學習方面認真積極，但有時不知如何變通。. S24 ：第二類組男生，個性頑皮好動，腦筋很靈活，但是較為愛玩，對於課業學習方面較不積極認真，容易滿足於現狀覺得這樣就好。. S25 ：第二類組男生，個性直來直往，熱衷於管樂表演，擅於電腦程式設計，能接受老師的建議而改進，學習不拘小節故經常粗心。. 36.

(50) 四、受測學生的選取本研究的受測學生，執行第一階段的施測活動時，學生在處理問題時，研究者會在學生身邊就近觀察，即便與研究者熟識的學生亦會有些不自在。為了避免降低學生的焦慮與不安，所有學生皆為研究者所曾經教導過一年以上的學生，已建立的師生關係作為研究互動的信賴基礎。研究者在邀請學生受測前給予鼓勵與肯定，並保證此施測活動不會影響到學生的學業成績，所有施測活動僅提供本研究進行分析，個人資料絕對不會外洩。執行第二階段的施測活動時，邀請學生上台講述處理問題的過程，此階段需要學生勇敢、清楚、明確的表達能力，已建立的師生關係再次作為信賴的基礎，使學生願意忠實的將想法表達出來。重複組合是高中數學第二册第二章排列組合單元中的內容，受測學生於高中一年級下學期首次接觸，高二升高三的暑假進行學測總複習時，會進行重複組合的複習。參與本研究的十位學生中，文組的五位學生( S1 j , j )皆於高二分班以後，才在研究者的導師班完成高中學業，研究者並非他們高一的數學老師；另一方面，理組的五位學生( S 2 j , j )恰好相反，他們都是研究者高一的導師班學生，研究者並沒有擔任他們高二分班以後的數學老師。. 37.

(51) 第三節研究的工具本節分為兩個部分：一、蒐集資料的工具，二、分析資料的工具。一、蒐集資料的工具. (一) 重複組合試題 1. 重複組合試題的發展受測學生是高三的學生，研究者假設他們應該習得完整的重複組合概念，並且可以靈活運用，從而能夠處理較複雜的重複組合題目。在正式對學生施測之前，研究者設計了如表 3-4 所示的 13 道與重複組合相關的應用問題，並且找幾位學校數學教師與前導測試學生(非正式受測的十位學生)進行前導測試。表 3-4 重複組合非正式施測題目. 重複組合題目 1. 五男三女排成一列，女生不相鄰，共有幾種排法？ →先排男生 →先排女生. 2. 六種不同口味的飲料，小華一人買三杯，飲料可重複選取，其方法數共有幾種？ 3. 六種不同口味的飲料，倒入三個相同的杯子，每種飲料不限倒一杯，共有幾種倒法？ 4. 將六支相同的原子筆，分給甲乙丙三人，每人所拿不限，共有幾種分法？ 5. 將六顆相同的乒乓球放入三個不同的箱子，每箱球數不限，共有幾種放法？ (續下頁) 38.