在高分子加工中由於流域為複雜的三維流動，所以通常利用有限 元素法將實體流域系統分割成不同的大小、種類、區域的元素體，利 用有限的元素體近似熔融高分子的流動範圍。根據不同的統御方程 式，推導出以每一個元素體所組成的矩陣，再統整此流動系統元素構 成系統矩陣，最後將系統矩陣的每一係數解求出得到想要的物理參 數，以下便對有限元素法做一初步之介紹。
4.1-1 高分子加工模擬的數值方法
隨著工商社會的日新月異，電腦科技有著長足的進步且在工程上 佔有相當重要的地位。目前，電腦硬體汰換的速度愈來愈快，運算能 力也愈強，而電腦軟體的應用也得力於電腦科技的蓬勃發展，將電腦 與電腦軟體用於產品的開發、設計、分析與製造，已成為提昇近代工 業競爭力的代名詞，故經由電腦輔助從事生產，如圖 27 所示，儼然 成為主流。而電腦輔助分析的技巧可分為以下三類：
1. 電腦輔助設計(Computer-aided Design；CAD)：即使用電腦 軟體直接從事於圖形的繪製與結構體的設計。
2. 電腦輔助工程(Computer-aided Engineering；CAE)：將工程 上分析的過程及計算方法來輔助工程師做設計後的分析或進 行同步工程。
3. 電腦輔助製造(Computer-aided Manufacturing；CAM)：是直 接用電腦來輔助操縱各式各樣的精密工具機器以製造不同的
零組件。
電腦輔助分析運用了電腦快速運算的能力，可以即時的判斷出產 品設計的優劣並迅速的驗證產品在此設計下的品質，不僅可免去在時 間成本及原物料上的耗費外，更可提高生產的良率與產品的品質，加 快產品上市的時間。因此，電腦輔助分析不僅漸漸獲得業界的認同並 予以採用。近幾年有限元素法已經漸成主流，而且被應用的領域也越 來越廣。從早期的應用於土木工程方面的結構力學（包含線性及非線 性）、結構動力學到機械工程方面的熱力學、流體力學甚至於電子工 程方面的電路學、電磁學等等均已發展完備。然而，計算流體力學 (Computational Fluid Dynamics；CFD) 的有限元素法軟體在模擬靜 態及動態下流體的行為以及結構體間的關係更比其他數值模擬方法 的軟體來的精準又迅速，因此大部分專家學者仍偏愛使用有限元素法 軟體做為分析之工具。
應用於 CAE 的數值方法很多，其中包括有限元素法（Finite Element Method；FEM），邊界元素法（Boundary Element Method；
BEM），有限差分法（Finite Difference Method；FDM），流動分析網 路法（Flow Analysis Network；FAN）‥等等。而歷年來利用上述數 值方法進行螺桿及混合元件分析的研究亦不在少數，而本論文即是利 用有限元素法預測在不同幾何構形混合元件內，融熔高分子的流動情 形，並藉由流體粒子的追蹤及界面面積的變化，針對塑料在混合元件 中做一混鍊程度的量化。
4.1-2 工程學上有限元素法之應用
一般而言，工程問題即物理狀態下的數學模組，藉由基礎法則和 自然原理對系統取控制體積，可得到統御方程式，而數學模組的應用
即是一套對應邊界條件和初始條件的微分方程式。由物理現象觀察得 到的統御方程式各代表著質量（equation of continuity）、動量
（equation of motion）或能量（equation of energy）的平衡。而 由於真正的工程問題分析通常是隱含著許多非線性項而且通常呈現 不規則的模組形態，故在求解方面也無法利用傳統的計算方法，獲得 精確的解析解（analytic solution），所以利用數值計算來求解的過 程中，有限元素法扮演了一個重要的角色。一般來說，解析解由兩個 部分組成，分別為通解（general solution）跟特解（particular solution）。在任何工程問題中，有兩組參數會影響到系統的行為。
第一，是提供關於系統自然運作下所得資料的參數，而這些參數包括 應用於材料力學的彈性係數、熱傳學的熱傳導係數和非牛頓流體力學 的黏度函數..等等。第二，亦有參數會在系統內產生「擾動」，這類 型的參數如外界給予的壓力、力矩或者是介質本身的差異造成溫度分 佈及流體進出的壓力差異‥等等，而這些經由系統的自然運作支配的 特性則統一包含在統御方程式的通解裡，相同地，造成擾動的參數則 出現在特解裡。
實際上許多工程問題在處理複雜的統御微分方程式，或是難以處 理的邊界和初始條件甚至是不規則的模組形態時，通常藉數值解來近 似，與解析解不同的是，解析解顯示系統內任一點精確（accurate）
的值，而數值解卻只存在於分離不連續（separated discontinuous point）的點，我們稱之為節點（node）。因為此種特性的關係所以任 何一種數值程序的第一步驟即是做分離，其過程是將介質分成很多區 域和節點。在數值方法有兩者使用較為普遍，一是有限差分法，另一 則是有限元素法。使用有限差分法，每個節點都會被賦予一個微分方 程式，且導式會被差分方程式所取代，經由上述處理後會產生一組聯
立線性方程式，最後藉由求解聯立方程式得到所要的參數值。雖然有 限差分法易於了解，且能套用於一些流動情形件較為簡單的問題，但 一碰上複雜的幾何形狀或是邊界條件時，有限差分法的解決能力就略 顯不足。相反地，有限元素法先切割不規則的幾何形狀為有限個元素 體，再使用 Galerkin 的積分公式法建立一個由代數方程式組合而成 的大型矩陣系統，而不是單純的微分方程式，利用數值方法求解除了 可用一個近似的連續函數來表示每個元素的解答，並藉由連結或組合 個別的解而得到整個欲分析系統的物理量。