第二章 平面波法與時域有限差分法的基本理論
2.2 時域有限差分法（FDTD）基本理論
2.2.1 有限差分法的基本原 理
解析式得到，從而大大減少了計算時間與記憶體的要求。
例如，假設面積為 A 的單胞中心為一圓孔(光子晶體光纖就是這 種結構)，介電常數分佈表示為 f(r)，則其 Fourier 積分轉換可以表 示為:
( ) 1 ( ) i k r
A
F k f r e ds
A
=
∫∫
− ⋅ (2.38)( ) 0
a a b
b b
r R r R
f r r R r R
ε ε ε
ε ε
< − <
⎧ ⎧
= ⎨ ⎩ > = + ⎨ ⎩ >
(2.39) Fourier 轉換可寫成2 2
cos cos
0 0 0 0
2 1 0
0
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
R R
ikr ikr
b a b b a b
R
b a b b a b
F k k rdr e d k rdr e d
A A
J kr
k rJ kr dr k r
A A kR
π π
φ φ
ε δ ε ε φ ε δ ε ε φ
ε δ ε ε π ε δ ε ε π
= + − = + −
= + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫
(2.40)
需要指出的另一點是，根據布洛赫定理，由於介電常數結構存在 週期性，帶隙結構也將存在週期性，因此在計算過程中，僅需計算布 理淵區中的某些 k 值點即可。而利用簡約布理淵區的對稱性，計算可 以進一步簡化，僅需計算一些邊界上具有對稱性的 k 值即可，其餘 k 值點相應的頻率ω都是落在帶隙內，利用這一點可以大幅度的減少計 算，提高計算速度。
在求解完整週期性結構的光子晶體光纖帶隙結構時，PWM 能較快 地得出結果，不失為一種理想的方法。但是，這種方法有明顯的缺點，
及計算量與平面波的波數有很大的關係，幾乎正比於所用波數的立 方，因此會受到較嚴格的限制。
場擴展至時變場。雖然現階段電磁場數值計算方法發展得很快，即使 是在時域有限差分法與變分法相結合的基礎上形成的有限元法日益 得到廣泛的應用，有限差分法也因其固有的特點仍然是一種不可忽視 的數值分析方法。
將有限差分法引入光波導模式分析中是近幾十年的發展。目前分 析光波導的方法有有效折射率法，有限元法，和有限差分法。有效折 射率法因其直觀，但它本身的忽略了波導的複雜結構，不能計算模式 的特性，如傳播常數及色散。有限元法和有限差分法克服了有效折射 率法其不能分析複雜結構的缺點，並適用於計算折射率任意分佈的光 波導。與有限元法相比較，有限差分法更簡單，易於寫程式實現。
有限差分法是把電磁場連續場域內的問題轉換成離散問題來求 解，也可說是通過網格狀的離散化模型上將各離散點的數值解來逼近 連續場區域內的真實解，是一種近似的計算方法，有限差分法是以差 分為基礎，它用於各種離散點上函數的差商來近似替代該點的導數，
這樣微分方程的與邊界條件的求解就可以結合成為一線性方程式，從 而得到數值解。對微分方程離散化可以用泰勒級數法、積分法或變分 法，在這裡我們用泰勒級數法建立差分方程
圖 2.1 一元函數
f x
( )下面以一個一元函數為例用泰勒級數推導函數一階和二階導數 的中心差商表達式。假設
f x
( )為 x 的連續函數（如圖 2.1 所示），在 x 軸上每隔Δx=h 長取一個點，其中任一點用x
0來表示與x
0相鄰的左 邊點為x
1 =x
0−h
，右邊點為x
2 =x
0+h
，x
1點的函數值f
1，應用泰勒公x1 x2
f x
∂
∂
x0
f1
f0
f2
式，通過
x
0點的函數值f
0可表示為：2 3
2 3
1 0 2 3
1 1
( ) ( ) ( ) ...
2! 3!
df d f d f
f f h h h
dx dx dx
= − + − + （2.41）
x
2點的函數值f
2，應用泰勒公式，通過x
0點的函數值f
0可表示為：2 3
2 3
2 0 2 3
1 1
( ) ( ) ( ) ....
2! 3!
df d f d f
f f h h h
dx dx dx
= + + + + （2.42）
由（2.41）可得
0 1
(
df
)f f
1( )dx h R h
= − + (2.43)
由（2.42）可得
2 0
(
df
)f f
2( )dx h R h
= − + (2.44)
以上兩式中的
R h
1( )和R h
2( )稱為餘數項，它們包含了增量 h 的一次項 與高次項。如果在式（2.43）中捨去餘項
R h
1( )，即得一階向後項差分：0 1
(
df
)f f
dx h
= − （2.45）
同理，由是（2.44）可得一階前項差分：
2 0
(
df
)f f
dx h
= − （2.46）
因為用式（2.45）或（2.46）的單側差分來代替所求的一階導數(
df
)dx
， 將存在較大的誤差，所以，應尋求較精確的差分關係式，方法是：（2.41）與（2.42）兩式相減
3 3
2 1 3
2 ( ) 2 ( ) ...
3!
df d f
f f h h
dx dx
− = + + （2.47）
若忽略 h 的三次項或高次項，便可以得到一階導數(
df
)dx
的差分表達式 為：2 1
( ) 2
f f df
dx h
= − （2.48）
顯然這就是一階中心差分相應中心差分表達式。由推導過程可知，用 節點
x
0處的中心差分 2 12
f f
h
− 來近似替代該點的一階偏微分(
df
)dx
，其誤差大致與增量 h 的二次方成正比，這比用前述單側差商替代的逼近度
要好很多。
現繼續推導和二階偏導數相對應的差分表達式。將（2.41）與
（2.42）式相加：
2 2
2 1 2 0 (
d f
2 ) ...f f f h
+ = +
dx
+ （2.49）若忽略 h 的三次項與高次項，便可得到二階導數(
d f
22 )dx
的中心差分表 達式：2
2 1 0
2 2
(
d f
)f f
2f
dx h
= + − （2.50）
有限差分法正是用（2.48）與（2.50）的一階與二階中心差商代替偏 微分方程中的一階和二階偏微分來建立差分方程。