• 沒有找到結果。

中 華 大 學

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "中 華 大 學"

Copied!
81
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目:PBG 光子晶體光纖的電磁數值模擬

系 所 別:電機工程學系碩士班 學號姓名: M09301060 李睿哲 指導教授: 吳俊傑 博士

中華民國九十五年七月

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

摘要

光子晶體光纖與傳統光纖在結構上有著本質的區別,在傳輸特性 方面有很多顯著的優點,近幾年成為光通信領域的一個熱點。論文主 要從理論上分析了光子晶體帶隙光纖的模場與色散特性。

在分析方法上,採用了平面波法與時域有限差分法。利用平面波 法我們分析光子晶體帶隙影響導光的條件,在用其結果利用時域有限 差分法,分析光子晶體光纖的模場分佈特點,計算了光子晶體光纖的 其場值,求解有效模場面積,有效折射率及色散現象。

由計算的結果發現,當原先的空芯光子晶體光纖在其中心空氣纖 芯加入一鍍膜,影響其本身在空芯光子晶體光纖的場,由時域有限差 分法可知新的光纖結構可以改變模場及有效折射率的值,其新的結構 具有改變頻帶及色散的現象的效果。

(8)

Abstract.

Photonic crystal fiber (PCF) is quite different from standard optical;

fibers in structure and presents many advantages in optical properties, it has attracted much more attentions in recent years. Modal field and dispersion properties of Photonic Band gap PCF have been theoretically studied in this paper.

Plane Wave Method and compact 2D Finite difference Time Domain (Compact 2D FDTD) to analyze the photonic crystal fibe. In this paper, we present PWM to model PBG PCF, the calculate result are proved to answer Photonic band gap. Then using compact 2D FDTD we answer the field ,field intensity effective index and dispersion

From the calculation result,we discovered When the origin structure PCF, we reconstruction the core center of PCF adding the thin layer of low refractive index structure, It will change the field intensity , using Compact 2D FDTD we known the result the structure will effective effect field intensity more then the original structure and the effective index will change its value. The new PCFs would have the Characteristic wide or narrow the Frequency band in transmission the light through the structure

(9)

誌謝

承蒙吳俊傑老師兩年多來悉心的指導和教誨,使我不僅得以順利 完成本論文,也讓我在學業上亟待人處世方面受益良多,在此謹致上 最誠摯的謝忱與敬意。也感謝楊宗哲教授提供的寶貴意見及論文上的 指導。同時感謝鄭邵家教授在口試時對於本篇論文提出珍貴的建議。

在完成本論文時要感謝同學與學弟在各方面的協助。在修業期間 對於研究方面的不吝指教與協助工作,使我受益匪淺。在這兩年來的 相伴,提攜與關懷。此外。對於為提及之所關懷我和曾經幫助我的人,

在此誌上由衷謝意。

最後,深深的感謝有我父母親對我的栽培,家人與親友精神上的 支持與鼓勵,因為有你們,使我才能順利完成學業,願此成果與您們 共同分享。

(10)

目錄

中文摘要……… i

英文摘要……… ii

誌謝……… iii

目錄……… iv

表目錄………vii

圖目錄………viii

第一章 序論

1.1

光纖技術的現狀與發展………

……1

1.2 光子晶體光纖簡介………4

1.2.1 光子晶體及帶隙概念………4

1.2.2 光子晶體光纖研究的歷史與現狀………6

1.2.3 光子晶體光纖的兩種導光機制………8

1.3 光子晶體光纖數值計算方法簡介………9

1.3.1 轉移矩陣法………10

1.3.2 平面波法………10

1.3.3 時域有限差分法………10

1.4 論文的研究重點和內容安排………11

第二章 平面波法與時域有限差分法的基本理論………13

(11)

2.1 平面波法(PWM)基本理論………13

2.1.1 光子晶體結構的週期性………14

2.1.2 布理淵區………14

2.1.3 布洛赫定律………15

2.1.4 平面波法(PWM )………16

2.2 時域有限差分法(FDTD)基本理論………21

2.2.1 有限差分法的基本原………21

2.2.2 三維 FDTD 方程式………24

2.2.3 數值穩定與數值色散………28

2.2.4 邊界條件………29

2.2.5 激勵源設置………32

2.3 總結………33

第三章 折射率變換對 PBGFs 中心缺陷導光的影響………34

3.1 中心缺陷導光條件理論分析………34

3.2 完整結構 PBGFs 帶隙結構的計算………35

3.3 包層結構率變化對光子帶隙的影響的模擬結果與分析…38 3.4 總結………41

第四章 PBGF 波導色散特性的計算模擬結果與討論………43

4.1 PBG-PCF 波導色散表達式………43

(12)

4.2 PBG-PCF 缺陷態頻率及其波導色散的計算方法………44 4.3 PBGFs 的材料色散………53 4.4 PBG-PCF 改變缺陷的條件下的影響………54 4.5 PBG-PCF 色散特性在 DWDM 系統中的應用討論…………59 4.6 總結………60 第五章 結論………61

(13)

表目錄

表 4.1 d/Λ=0.9 不同λ/Λ對應的缺陷態頻率Λ=2.32×10-6m………51 表 4.2….d/Λ=0.9 新結構不同λ/Λ對應的缺陷態頻率Λ=2.32×10-6m…….55

(14)

圖目錄

圖 1.1 光 子 晶 體 示 意 圖 … … … . 6

圖 1.2 Kinght 等人在 1996 年首次報導的光子晶體光纖圖…7 圖 1.3 蜂 窩 狀 結 構 P B G - P C F 的 截 面 圖 。 … … … 9

圖 1.4 三 角 形 結 構 P B G - P C F 的 截 面 圖 。 … … … 9

圖 2.1 一元函數

f x

( )………22

圖 2.2 電 磁 場 在 Y e e 網 格 中 的 空 間 分 佈 圖 。 … … … 2 6 圖 2.3 吸 收 邊 界 成 在 空 間 中 的 導 電 率 配 置 示 意 圖 。 … … … 3 2 圖 3.1 三 角 形 P B G F s 的 截 面 圖 。 … … … 3 4 圖 3.2 三 角 形 結 構 和 簡 約 布 理 淵 區 示 意 圖 。 … … … 3 6 圖 3.3 P W M 求 解 帶 隙 結 構 的 流 程 圖 。 … … … 3 7 圖 3.4 完 整 週 期 結 構 的 截 面 圖 。 … … … 3 8 圖 3.5 不 同

n

b 條 件 下 的 帶 隙 圖 (

n

a= 1 的 情 況 )。 … … … … 3 8 (a) r=0.9,na=1,nb=1.35...38

(b) r=0.9,na=1, nb =1.45...39

(c) r=0.9, na =1,nb=1.7...39

(d) r=0.9, na =1,nb=2.41...39

圖 3.6 不同

n

a條件下的帶隙圖(

n

b=1.45)。...40

(a) r=0.9,na=1.05,nb=1.45...40

(b) r=0.9,na=1.1,nb=1.45...40

(c) r=0.9,na=1.2,nb=1.45...40

(d) r=0.9,na=1.33,nb=1.45...40

圖 3.7 不同 r=r/Λ條件下的帶隙圖(

n

a=1.00,

n

b=1.45)。...41

(a) r=0.55,na=1,nb=1.45...41

(b) r=0.58,na=1,nb=1.45...41

(c) r=0.7,na=1,nb=1.45...41

(d) r=0.8,na=1,nb=1.45...41

圖 4.1 二維 compact FDTD 網格示意圖。………47 圖 4.2 利用 FDTD 算法計算 PBGF 的缺陷態頻率與相應的色散曲線的

(15)

程 序 流 程 圖 … … … 4 8 圖 4.3(a) d/Λ=0.9,三角形結構 PBG-PCF(a)計算模型截面圖。…48 圖 4.3(b)

β

Λ=9.27986 時 50000 步後得到的模場分佈圖。…48 圖 4.3(c)

β

Λ = 9 . 2 7 9 8 6 時 5 0 0 0 0 步 後 得 到 的 等 高 模 場 分 佈

圖。………49 圖 4.4 疊代(a)10000 步、(b)30000 步和(c)50000 步後變換

後得到的"頻譜"圖。………50 圖 4.5 d/Λ=0.9,不同的λ/Λ對應有效折射率圖。………51 圖 4.6 d/Λ=0.9,不同的

β

Λ對應缺陷態頻率k

Λ

值圖。………51 圖 4.7 傳統單芯光纖色散 (D)與材料色散(Dm)和波導色散(Dw)

圖。………52 圖 4.8 空芯光子晶體光纖波導色散圖 (d/Λ=0.9 Λ=2.32μ

m)………52 圖 4.9 PBG-PCF 空氣導光的材料色散特性圖。………54 圖 4.10 新結構的介質分佈圖 Ps:灰色為空氣介質,白色為玻璃黑

色為

CaF

2 [n=1.26]材料………55 圖 4.11 d/Λ=0.9,中心薄膜三角形結構(a) βΛ=9.6144976 特

徵波長 1497.8nm 時的電場模場分佈。(b)βΛ=9.2798144 特徵波長 1549.9nm 時電場絕對值平方分佈圖。………56 圖 4.12 d/Λ=0.9,中心薄膜三角形結構(a) βΛ=9.08918 特徵

波長 1579.8nm 時電場模場分佈。(b) βΛ=8.9660576 特 徵波長 1599.8nm 時電場絕對值平方分佈圖。…………56 圖 4.13 相同的 d/Λ值下改變中心結構的光子晶體後的有效折射 率 值 圖 。 … … … 5 7 圖 4.14 新舊光子晶體光纖結構色散曲線圖。………57 圖 4.15 新舊光子晶體光纖結構有效截面積Aeff

/ Λ

2與 d/Λ值曲線

圖。………59

(16)

第一章 緒論

光纖通信系統是利用光纖作為傳輸的介質進行信號傳輸的系 統,80 年代以來在全球得到了廣泛的應用。到目前光纖通信的應用 已遍及長途幹線,海底通信,區域網路,有線電視網。其發展速度之 快,應用範圍之廣,規模之大,涉及領域之多(光、電、化學、物理、

材料等),是以前任何一項新技術不能與之相比的。光纖通信系統使 得通信領域上產生了重大的變化,在資訊時代的重要基礎之一。電信 網路目前正開始下一代可持續發展的方向發展,而構築具有巨大傳輸 量的光纖基礎設施是發展下一代網路的物理基礎。然而傳統光纖通信 系統中常規光纖由於色散,非線性現象以及損耗等三大因素的影響限 制了在長距離的信號傳輸方面上顯的力不從心,研究及開發新型光纖 已成為開發下一代網路基礎設施的重要課題之一。新型通信光纖的研 究越來越引起人們的關注與興趣,本文研究的 PBG-PCF 就是其中研究 的新型光纖。

1.1 光纖技術的現狀與發展

自 1966 年"光纖之父"高錕博士預言光纖可以應用於通信至 今,已過了近四十多的年頭,光纖通信系統也已經實用了三十多年,

如今說光纖通信技術發展的頂峰時期。系統的發展是與應用密切相關 的,系統和光電元件的進步又對光纖提出新的需求,促進光纖技術的 發展。目前在光傳輸系統中所用到的光纖,是由纖芯與包層所構成,

其中纖芯的折射率比包層高。按光纖能傳輸的總模數來分析,可以分 為多模光纖與單模光纖。多模光纖是指在給定的工作波長上傳輸多種 模式的光纖。一般模的數量決定於纖芯直徑、數值孔徑和波長由於多 模光纖中的傳輸模式有數百個,各模式的傳播常數與群速度不同使光 纖的色散與損耗增大所以,多模式光纖只適用於短距離與小容量的光 纖通信系統。1975 年第一個實用的光纖通信系統是應用於市區電話 的中繼而且當時的速率是 45Mbit/s,所使用的是多模光纖,而且應

(17)

用於 850nm 波長波段。隨著光纖通信系統應用從市話到長途,光纖 850nm 的通信波段的衰減顯然較大,當時又研製出了 1310nm 的長波 長的光學元件,於是就產生了應用 1310nm 的傳輸波段的長波長傳輸 系統,這些系統用的光纖規格還是使用 G.652 多模光纖。隨著傳輸距 離的進一步延伸與提高,多模光纖已經不能滿足系統需求。單模光纖 則是指在某一工作波長上,所有高階模都被截止,只傳單一基模的光 纖。他與多模光纖相比,因其只傳輸一個模式。故無模間色散、總色 散小、帶寬寬。因此單模光纖適用於長距離、大容量光纖通信系統,

以及光纖區域網路和各種光纖感測器,當單模雷射研製成功時,G.652 單模光纖也應運而生。而且由於光纖的 1550nm 頻帶衰減比 1310nm 頻 帶衰減低,所以更高速系統由於光接收靈敏度的降低,但又希望保持 一定的傳輸距離,逐步轉到 1550nm 的頻帶來應用。

由系統的角度來說,2.5Gbit/s 以下的系統一般稱為衰減限制系 統,而 10Gbit/s 及其以上速率的系統稱之為色散限制系統。從衰減 盡可能減少的方面來看,10Gbit/s 及其以上速率的系統應工作於 1550nm 的頻帶,但 G.652 光纖的色散太大,達到 18~20ps/nm.km, 傳輸距離被限制在 70~80km 左右。能否使光纖在 1550nm 傳輸波段的 衰減小而且色散小呢?當時研究出來的 G.653 色散位移光纖,就是在 G.652 光纖的基礎上,將零色散從 1310nm 波段移至 1550 波段實現的。

但是當 DWDM 系統大量被推廣應用時發現,由於 EDFA 在 DWDM 被使用,

使進入光纖的光功率有很大的提高,會使光纖產生非線性效應。由於 G.653 光纖在 1550nm 波段的色散值太小,使得在 G.653 光纖上工作 的 DWDM 系統受四波混頻效應的影響太嚴重。雖然可以採用非均勻波 道間隔,色散維持技術等方法來克服,但畢竟使系統變的複雜,或者 還減少了有效使用的頻帶,所以並不理想。G.652 光纖在 1550nm 波 段的色散較大足以抑制四波混頻現象。但因色散太大,不利於以 10Gbit/s 及其以上速度為基礎的 DWDM 系統長距離傳輸。雖然可以採 用色散管理技術來解決,也並不方便。所以人們就去尋求一種使光纖 在 1550nm 波段的色散不是很大、又不為零的解決方法,這就是 G.655

(18)

的非零色散光纖。而且各個不同的光纖廠家又設計製造出多種不同的 G.655 光纖 ,具有大的有效面積、低色散斜率等特性。

實際上,10Gbit/s 及其以上速率的系統在光纖中的傳輸距離不僅 僅受通常光纖的色度色散等限制,更嚴重的是受偏振模色散 PMD 的限 制,普通 G.652 光纖與 G.655 光纖的 PMD 較大且具有統計特性,系統 補償比較困難。為了滿足高速系統的要求,在 2000 年 10 月 G.652 光 纖與 G.655 光纖標準修訂的時候將 G.652 光纖細分成為 G.652A, G.652B 與 G.652C 三種類型。規定 G.652A 只能用在 2.5Gbit/s 及其 以下速率的系統(對光纖的 PMD 係數不做要求),G.652B 可以應用於 10G bit/s 速率的系統(簡單地說,要求光纖的 PMD 係數小於 0.5ps/km1/2)類似地,G.655 光纖也相應地劃分為 G.655A 光纖與 G.655B 光纖,前者可被用於 200Gbit/s 以上的 DWDM 系統,後者可以 於 100Gbit/s 的 DWDM 系統,並且能於 10Gbit/s 傳輸 400km 以上的距 離。同時由於光纖製造技術不斷的進步,特別的是脫水技術改進,使 原來在 1380nm 附近出現的水吸收峰基本上的消失,使得 G.652 光纖 從 1260nm 到 1670 nm 的整個範圍都可以使用於通信。於是把這種光 纖命名成 G.652C 光纖,G.652 光纖也可以應用於 10Gbit/s 的傳輸。

當光纖上傳輸的單信號通道速度達到 40Gbit/s 或對於 40Gbit/s 為基礎的 DWDM 系統,PMD 的影響更為顯著,必須進一步地嚴格對光 纖的 PMD 指標的要求。另一方面,可以看出 10Gbit/s 已經成為光纖 傳輸的主流速度,於是在 2003 年 1 月修訂 G.652 與 G.655 光纖標準 又定義了兩種新型光纖 G.652D 與 G.655C 光纖。

初期的 DWDM 系統通常工作於 C 波段(1530~1565nm),然而,C 波 段只有 35nm 的範圍,即使採用 0.4nm 的波道間格,在 1529~1600nm 也只能安排 80 個波道,要進一步的增加波道數,就必須增大可利用 的波長範圍,例如可以把 L 波段(1565~1625nm)利用起來,這樣,

就有 95nm 的範圍可以利用。由於 1600~1625nm 的範圍光纖的色散太

(19)

大,所以在 L 波段 1570~1603nm 範圍內可以安排 80 個間隔為 0.4nm 的波道。C+L 波道可以實現 160 波道的系統。要繼續增加波道數,當 然可以減少波道間隔,但波道間隔的減少是有限度的,一方面增大了 難度,另一方面太小的間隔使每個波道可傳送的速度受到較大的限 制。所以寄望於在擴大可利用的波長範圍。G.652C 的範圍可達 410nm 但整個範圍內的色散變化太大,系統進行補償的難度與代價太大。人 們又研究出了另一種光纖 G.656 光纖,這是一種適用於 DWDM 系統 S+L+C 波段應用的新型光纖,可以在 S+C+L 波段為非零色散的光纖,

並且在這個波段範圍內的色散變化維持在一個較小的範圍。雖然此種 光纖色散平坦度有了很大的改善,但其色散值相對於前面幾種光纖並 沒有得到很大的改善,而且目前這種光纖的一些性能指標並沒有受到 完整的規範。因此,傳統單模光纖將是光纖通信系統向更高速率、更 大流量發展難已逾越的障礙。從而人們展開了對新型光纖廣泛的研 究,本文研究的 PBG-PCF 就是一種,近年來引起人們的關注,日益成 為研究的重點。

1.2 光子晶體簡介

1.2.1 光子晶體及帶隙概念

我們都知道,很多研究都是起源於對於自然界不同領域存在類似 現象的假設開始的。因為宇宙萬物遵循著相同的規律,即使外表在怎 樣千變萬化,而內在的規則確有高度的一致性。這正是宇宙神奇之處,

也是人類難解的秘密。光子晶體亦是如此,它是科學家假設光子也可 以具有類似電子在普通晶體中傳播的規律的基礎上發展出來的。

光子晶體的概念是在 1987 年由 S.John[1]和 E.Yablonovitch[2]

等人在 1987 年用類比電子在普通晶體中的傳播規律的基礎上分別提 出來的。他們提出在較高的折射率材料中的某些位置週期性的引入低 折射率材料,光波受到介質週期勢場的影響而具有能帶,光子晶體能

(20)

帶之間可以出現帶隙,即光子帶隙(Photonic Bandgap ,PBG)。可以 產生 PBG 的週期性電介質被稱為光子晶體(Photonic Crystal),或 者稱之為光子帶隙材料(Photonic Bandgap materials),能量處於光 子帶隙能帶範圍內的光子被禁止在這種帶隙材料中傳播。由於這種特 性,使得他在許多方面具有著廣泛的應用價值,可製作光子晶體光 纖、光子晶體波導、光子晶體微腔、光子晶體超稜鏡,光子晶體偏振 器:還可被應用於無閥值雷射、光開關、光放大器、濾波器等新型器 件製作中。

在固態物理學的研究中可以發現,由於晶體內部的週期性排列的 原子所產生的週期性電場對電子有著特殊的約束作用。這樣的空間週 期性的場中的電子運動式猶如下的薛丁格方程式決定的[3]

2 2

( ( )) ( , ) ( , )

2

V r r t E r t

m ψ ψ

∇ + = ⋅ (1.1) 其中

V r

( )是電子的位能函數,它具有空間週期性。求解式(1.1)可 以發現,電子的能量 E 只能取得某些離散的特殊值,在某些能量區間 內該方程無解,也就是說電子的能量不可能若在這樣的能量區間內,

這些能量區間通常稱為能量禁帶(Band Gap)。

由電磁場理論,在介電常數呈空間週期性分佈的介質中,電磁場 符合 Maxwell 方程式

2 2 2

( ( ) ( , )) ( ( , ) ( )) ( )

r E r t E r t r

c r

ω ε ε

ε

∇ + = −∇ i (1.2)

其中

ε

( )

r

為介電常數,具有空間週期性。式(1.2)和式(1.1)形式 上具有一定的相似性通過求解式(1.2)可以發現,類似的該方程式 只有在某些特定的離散頻率ω處才有解,而在某些頻率ω取值區間該 方程式無解。也就是說,在介電常數成週期性結構分佈的介質中,電 磁波的某些頻率是被禁止的,這些被禁止的頻率區間相應地被稱為光 子禁帶(PBG),而具有光子帶隙的週期性介質材料被稱為光子晶體,

或光子帶隙材料。在光子晶體的最大特點是具有光子帶隙,從而 由光子帶隙結構控制著光在光子晶體中的傳輸,使能量落在禁帶帶隙 中的電磁波無法繼續傳播。

(21)

光子晶體按照空間分佈的週期性可以分為一維光子晶體、二 維光子晶體三維光子晶體如圖 1.1 所示

(a) (b) (c)

圖 1.1(a)一維 (b)二維 (c)三維光子晶體結構示意圖

其中一維光子晶體是由介電常數不同的材料在一個方向週期性 的調制,而其他兩個方向均為均勻的介電材料,就是我們通常所說的 光學多層膜,光子帶隙只能出現在那個週期性調制的方向上。對於一 維光子晶體,人們對其最常見最簡單的是一維布拉格光柵。二維光子 晶體是介電常數在二維週期性調制而在三維均勻的介電材料,由上面 的討論容易得到二維光子晶體兩個方向上存在光子帶隙。二維光子晶 體的週期性排列形式有三角形、四邊形,六邊形。由上圖三維光子晶 體是介電常數在三個方向上都被週期性調制的介電材料,如金鋼石結 構和面心立方體的反蛋白石結構,如果這種結構中的介電常數比值達 到一定,會出現完全光子帶隙,特定頻率的光進入光子晶體後將各個 方向都禁止傳播。具有完全帶隙的三維光子晶體,在光子帶隙頻率範 圍內任意入射的光都將被完全的反射。除了點缺陷與線缺陷外,三維 光子晶體還可以點缺陷,其局域模式將被局域在一個點。相對於一維 或二維光子晶體,三維光子晶體在製作過程及理論計算上比較困難。

1.2.2

光子晶體光纖研究的歷史與現狀

光子晶體光纖(Photonic Crystal Fiber, PCF)的概念最早由 ST.J.Russell 等人於 1992 年提出[4]。它是一種縱向帶有缺陷而橫向

(22)

為週期性結構的二維光子晶體,即光纖包層為空氣與石英的週期性結 構,週期常數(或晶格常數)為光波波長量級,光纖纖芯是破壞這種週 期性結構的缺陷,橫向的週期性結構將產生光子帶隙結構,從而可限 制某一項頻率範圍內的光波無法橫向洩漏,只能在缺陷中沿縱向傳 播。1996 年,J.Kinght 等人首次報導了光子晶體光纖[4],其結構如 圖 1.1 這種 PCF 的包層為三角型光子晶體結構,中心缺陷一個空氣孔 作為纖芯(纖芯是實心的介質)。研究表明這種光纖具有大頻率範圍 的單模傳輸特性。但事實上這種光纖並不是以光子帶隙效應來導光,

而是以改進的內全反射效應來導光,不是"名副其實"的光子晶體光 纖,故也有人把它稱為空芯光纖(Holey fiber, HF)。但這種光纖引 起了人們的極大興趣,隨後人們對他的色散、非線性效應等進行了較 為廣泛的研究。最初人們對光子晶體光纖的研究主要集中在這種類型 上:而針對真正的帶隙效應導光的光子晶體光纖(PBG-PCFs)的研究卻 相對較少,尤其是 PBG-PCF 的色散、非線性效應等傳輸特性。

圖 1.2 J.Kinght 等人在 1996 年首次報導的光子晶體光纖

第一次關於以光子帶隙效應導光的光子晶體光纖的報導(PBG-PCF) 是在 1998 年,其結構如圖 1.2 橫向具有蜂窩結構,中心有一小空氣 孔作為缺陷。但作為第一種 PBG-PCF,這種光纖沒有太大的實用價值。

因為在這種 PBG-PCF 中所能傳輸的光場絕大部分是分佈在中心缺陷 空氣孔周圍的矽中而非缺陷空氣中,這造成該種 PBG-PCF 在色散和非 線性效應等方面存在與傳統光纖類似的不足。隨後在 1999 年,三角 形結構的 PBG-PCF 出現[6],其結構如圖 1.3,包層為三角形週期性結 構,中心抽取七個空心介質作為纖芯,實驗發現,這種 PCF 能夠實現

(23)

PBG 導光,且光場的絕大部分集中在缺陷的空氣孔中。這可以帶來很 多好處。例如由材料引起的色散,非線性和損耗,與傳統光纖相比是 極小的,重而有可能極大的提高光波的傳輸距離。

1.2.3 光子晶體光纖的兩種導光機制

在上一節中提到了光子晶體光纖(PCP)的兩種導光機制,在節 中對此做簡單的介紹。由於光子晶體光纖的導光纖芯既可以是空氣也 可以是石英,存在著兩種截然不同的導光機制。最初提出 PCF 概念的 時候,就是希望利用其光子帶隙(PBG)效應來導光。圖 1.3 所示的光 子晶體光纖的纖芯為在週期性結構在橫向上存在完全的二維光子禁 帶,即在一定的頻率範圍內的光波無法橫向傳播。同時晶體結構中的 缺陷的引入,即在光纖的中心引入額外的空氣孔,會在禁帶中產生缺 陷態,PCF 就有可能利用這個缺陷態沿著光纖縱向導光。這種導光機 制與傳統的常規光纖的全內反射導光機制有巨大的差異,他利用了光 子晶體光纖的帶隙效應,且纖芯為空氣通道,使得其傳播模式的折射 率小於包層的折射率,這種導光機制稱為光子晶體光纖的帶隙效應導 光。這種獨特的導光機制給 PBG-PCF 帶來了獨特的傳輸特性,在後面 的章節中,將做較為詳盡的討論。需要指出的是,當採用 PBG 效應來 導光時,除了要求較大的空氣孔徑和空氣填充率外,還要求精確的週 期性空氣氣孔排列。

第二種光子晶體光纖的導光機制稱為改進的全內反射導光(TIR)。 通常將利用這種機制導光的光子晶體光纖稱為全內反射光子晶體光 纖(TIR-PCF)。與普通光纖的導光方式類似,它只要求纖芯的折射率 大於包層的等效折射率差,就可以使光波在其中傳播。這種 PCF1 不 要求包層氣孔具有嚴格的週期性結構,也不要求大孔徑的氣孔。

J.C.Knight 等人在 OFC'96 上報導了第一個 PCF(圖 1.1)就是基於 TIR 導光的。在理論上,其他類型的氣孔排列也可以達到同樣的功能。

這種導光機制的 PCF 實現起來相對簡單。儘管該種 PCF 的導光機制與

(24)

傳統光纖相似,研究的方式上有許多相似之處,但卻具有特殊的性質 如可控的色散特性和非線性特性極大頻率範圍的單模傳輸特性。目前 大多數的研究和應用都是針對這種類型。這種 PCF 的潛在應用除了用 作為光通信系統的傳輸介質外,還包括超寬色散補償,短波長光孤子 傳輸/發生,超短脈衝雷射/放大器,高功率光傳輸,高功率 PCF 雷射,

偏振保持光纖,光纖傳感器和光開關等。

需要指出的是改進的內全反射(TIR)導光光子晶體光纖並不是名 副其實的光子晶體光纖,因為他沒有充分地利用到光子晶體帶隙的效 應,從而未能充分體現光子晶體光纖的優勢。本文將重點放在帶隙效 應導光光子晶體光纖上。

圖 1.3 蜂窩狀結構 PBG-PCF 的截面圖 圖 1.4 三角形結構 PBG-PCF 的截面圖

1.3 光子晶體光纖數值計算方法簡介

光子晶體光纖具有複雜的幾何結構,由傳統電磁理論的解析方法 很難得到精確的解析解,因此需要利用數值計算方法,通過模擬電磁 場在光子晶體光纖中的傳播過程來對 PBG-PCF 進行分析研究。而為了 得到具有某一頻率範圍光子禁帶的光子晶體光纖,需要仔細的設計其 相對映的參數,比如介電常數比,填充率和晶格類型等等。因此,採 用一種簡便、快速的數值計算方法對研究光子晶體光纖是非常有意義 和非常重要的。

目前,有多種方法可以利用來分析光子晶體光纖的各種特性,一 般地都使用單元晶胞的方法來模擬一個週期無限擴展的結構,如轉移

(25)

矩陣方法(TMM)、平面波方法(PWM)、時域有限差分法(FDTD)等。這 裡簡單的介紹一下這幾種方法的特點。

1.3.1 轉移矩陣法

[8]

由電磁場在實數空間格點位置展開,將 Maxwell's 方程式轉成 轉移矩陣形式,將問題變成特徵值求解問題,轉移矩陣表示一層(面) 格點的場強與緊鄰另一層(面)格點場強的關係,它假設在構成的空 間中在同一格點層(面)有相同的態和相同的頻率,這樣可以利用 Maxwell's 方程式將場從一個位置外推到整個晶體空間。這種方法 對介電常數隨頻率變化的金屬系統特別有效,由於轉移矩陣小,矩陣 元少,計算量較 PWM 和 FDTD 較小的多,只與實空間格點數平方成正 比,精確度也非常良好。而且還能計算反射係數與透射係數。但是對 於結構複雜的物體來說,轉移矩陣變得非常龐大,計算量也極劇增 大,因此也顯得有點無能為力。

1.3.2 平面波法

[9]

這是在光子晶體光纖帶隙結構研究中用的比較早合用的最多的 一種方法,主要適於研究完整週期性結構的光子帶隙。通過將電磁場 在倒晶格向量空間以平面波疊加的形式展開,可以將 Maxwell's 方 程式化成一組特徵方成,通過解特爭執便可得到可傳播的光子特徵頻 率。這種方法的優點是直接在頻率內直接求解特徵頻率,寫程式簡 單,收斂速度較快,在計算完整週期性結構光子帶隙時不失為一種好 方法。但是,這種方法有明顯的缺點,計算計算量與平面波數有很大 的關係,幾乎正比於所用波數的立方,因此受到較嚴格的限制,對於 存在缺陷的有限週期性結構,需要將平面波展開法結合"超單胞法"

來求解,這需要大量的平面波,將導致計算量的急劇增大。

1.3.3 時域有限差分法(FDTD)

[11]

(26)

FDTD(finite difference time domain method)方法再計算幾何 結構中的電磁場分佈時,是一個非常通用的方法。它是基於離散的 Maxwell's 方程式,對波的傳播方向不做任何假設,也不需要其他 的理論假設,能直觀地得到電磁波的傳輸特性,所以它是一種非常有 效的方法。對於具有週期性結構的光子晶體,可以將一個單位單胞劃 分成許多網狀小格,把 Maxwell's 成轉換成離散的有限差分形式,

在網格邊界處可利用週期性的邊界條件。通常將整個計算時間分為 t 個時間步,隨著時間的推移,場被不斷更新,當時間步夠長時,場會 逐漸趨於穩定。然而,週期性的結構模擬並不總是很好地適應有限尺 寸的結構。對於週期性的結構存在缺陷或晶體不具有週期性時(如 PBG-PCF),可以使用非週期性的邊界條件,目前使用最廣泛的是完全 匹配層(Perfectly Matched Layer, PML)吸收邊界條件。

FDTD 方法的一個主要優點就是在一次運算過程中,記錄下所觀察 的網格點處的每個時間步的場值,對於記錄的場值作 Fourier 變換就 可以得到整個頻率範圍內的頻率響應。因此,它適於光子晶體的結構 模擬和帶隙結構的分析,尤其在帶有缺陷的光子晶體結構的計算時相 對於 PWM 有很大的優勢。

本文在 PBG-PCF 的研究過程中將 PWM 和 FDTD 兩種方法結合起來,

各取所長加以應用。這兩種方法的基本原理在第二章作詳細的介紹。

1.4 論文的研究重點和內容安排

在以傳統光纖作為傳輸介質的光纖通信系統,光纖的損耗、色散 和非線性效應極大限制了系統的通信容量。本文主要研究帶隙效應光 子晶體光纖(PBG-PCF)作為傳輸介質,在解決光纖通信系統面臨的色 散和非線性效應問題有的新的方式。由於光子晶體光纖結構的複雜 性,在對光子晶體光纖的各種特性的研究中,我們將 PWM 與 FDTD 兩 種方法結合。進行數值模擬,下面是本文內容的安排:

第一章簡單地介紹傳統光纖為傳輸介質的 DWDM 所面臨的損耗、

色散和非線性效應問題。隨後介紹光子晶體及光子晶體光纖研究的歷

(27)

史與現狀。接著簡單的討論兩種不同的光子晶體光纖的導光原理。最 後簡單地介紹用於分析光子晶體光纖的幾種常用的數值計算方法。

第二章對 PWM 和 FDTD 這兩種分析光子晶體光纖的數值方法作比 較詳細的介紹,並對兩種方法的優缺點合適用的範圍進行比較,作為 隨後第三,第四章中分析和計算模擬光子晶體光纖帶隙結構,進一步 討論光子晶體缺陷態及波導色散特性的理論基礎和基本方法與工具。

第三章對 PBG-PCF 空氣導光特性進行研究,分析在 PBG-PCF 中實 現空氣導光所必須滿足的條件,給出了利用 PWM 計算帶隙結構的算法 流程圖,最後利用 PWM 計算模擬不同參數條件下 PBG-PCF 的空氣導光 特性。

第四章對研究 PBG-PCF 缺陷態及波導色散特性的理論進行論述,

給出計算缺陷態及相應波導色散特性及算法流程,隨後利用該方法

(以 FDTD 為基礎,結合 PWM)模擬計算 PBG-PCF 的缺陷態及對應的 波導色散特性曲線。最後簡單討論 PBG-PCF 的材料色散特性及其可能 的應用。

(28)

第二章 平面波法與時域有限差分法的基本理論

光子晶體光纖具有複雜的幾何結構形式,用傳統電磁場理論分析 方法很難得到精確的解析解,因此只能採用數值計算的方法通過模擬 計算對其進行分析。光子晶體光纖各種設計參數的設計自由度較大,

比如介電常數比,填充率和晶格類型等,要得到具有某一頻率範圍光 子禁帶的光子晶體光纖,需要用心選擇相映的參數。因此採用簡便,

快速,行之有效的數值計算方法對研究光子晶體光纖以及其各種特性 是非常重要的。

目前有多種方法用來研究光子晶體光纖。一般都通過使用單元晶 胞的方法來模擬一個週期無限擴展的結構如平面波法(Plane Wave Method- PWM)[11] 、 時 域 有 限 差 分 法 (Finite Difference Time Domain-FDTD)[12]、轉移矩陣法(Transfer Matrix Method-TMM)[13]、 有限元法(Finite Element Method-FEM[14])等等。在本文中,我們 結合運用平面波法與時域有限差分的計算方法來討論 PBG-PCF 的空 氣導光特性,缺陷態等特性,其中運用 PWM 計算完整週期結構 PBG-PCF 的帶隙結構,而運用 FDTD 計算帶缺陷的 PBG-PCF 中的缺陷態進而來 研究 PBG-PCF 的波導特性。下面介紹兩種方法的基本理論,做為下面 章節的理論基礎。

2.1 平面波法(PWM)基本理論

PWM 是在光子晶體帶隙結構研究中用得比較廣泛的一種方法,主 要適用於研究完整週期性結構的光子帶隙結構,該方法通過將電磁場 在波向量空間以若干個平面波疊加的形式展開。從而將電磁場滿足的 Maxwell's 方程式轉換成特徵方程式,通過求解特爭執來可以得到 可傳播的光子特徵頻率,進一步由各 k 直點可傳播的特徵頻率得到帶 隙結構。

(29)

2.1.1 光子晶體結構的週期性

理想晶體結構可以看做是由基元在空間中按一定方式作週期性 無限排列而稱為構成的。不考慮基元的細節,用一點來代替基元某個 確定位置,這樣就得到一個空間規格,成週期性無限分布的等同點集 合,稱為布拉菲格子,布拉菲格子的嚴格數學定義為[5]

Rl

=

l a1 1

+

l a2 2

+

l a3 3 (2.1) 其中a1a2a3是不共面的三個基點,

l

1

l

2

l

3是任意整數,Rl稱為 格矢,這樣任意格點都可以用

R

l來表示。平移任何格矢布拉菲格矢都 不變,這說明所有的格點都是等同點。

布拉菲格子是在座標空間中分析晶體結構的週期性,實際上這種 晶體結構的週期性也可以在波矢空間(或 k 空間中)加以描述。前者 為正格子,而後者就是相對於這個正格子的倒格子。由座標空間變換 到波矢空間,對處理週期性結構的波動方程式等問題是十分有利的。

倒格子的數學定義為[5]

1 1 2 2 3 3

Kh

=

h b

+

h b

+

h b (2.2) 其中b1b2b3為倒格子基矢,

h

1

h

2

h

3為任意整數,

K

h為倒格矢。

倒格子和正格子基矢之間滿足以下關係:

i j 2 ij

a b

⋅ =

πδ

(i,j=1,2,3) (2.3) 每個倒格子基矢和兩個正格子基矢正交,這樣b 就可以表示為

2 3

1

1 2 3

2 ( )

( )

a a

b a a a

π

×

= ⋅ ×

3 1

2

2 3 1

2 ( )

( )

a a

b a a a

π

×

= ⋅ ×

1 2

3

3 1 2

2 ( )

( )

a a

b a a a

π

×

= ⋅ ×

(2.4)

2.1.2 布理淵區

在倒格子中,以某一倒格點為原點,從原點出發作所有倒格點的 位置向量的垂直平分面這些平面將把倒格子空間分割成許多部分,其

(30)

中原點出發不跨越任何垂直平分面的點的集合稱為第一布理淵區,重 原點出發跨越(n-1)個垂直平分面達到的所有點的集合稱為第 n 個 布理淵區。可以證明,各個布理淵區體積相同,都可以通過倒格矢平 宜移到第一布理淵區,既無空隙也無重疊,第一布理淵區也被稱為簡 約布理淵區,它是倒格子空間最小的對稱重覆單元。在用 PWM 求解 光子晶體光纖的帶隙結構時,利用波矢空間的週期性,可以只對簡約 布理淵區的波矢進行計算,這樣可以極大地節省記憶體與計算時間

(事實上在實際計算過程中,由於簡約布理淵區通常具有一定的對稱 性,對計算某些對稱點處的特徵頻率即可)

2.1.3 布洛赫定律

理想晶體中離子的排列是週期性的,因此電子所感受到的勢 場V r( )應該具有布拉菲格子的週期性,即V r

( +

Rl

) =

V r

( )

單電子薛丁格 方程為:

( ) ( 2 ( )) ( ) ( )

H r

2

V r r r

ψ

= −

m

∇ +

ψ

=

εψ

(2.5)

在獨立電子近似中,每個電子都遵循具有週期性勢場的單電子薛丁格 方程式,這樣的電子稱為布洛赫電子。

薛丁格方程式的特徵態

ψ

( )

r

可以寫成平面波與具有布拉菲格子週 期性的函數的乘積形式:

( ) i k r ( )

k

r e u r

k

ψ

= (2.6)

其中u rk

( +

Rl

) =

u rk

( )

Rl 是布拉菲格子的任一格矢 這樣布洛赫定律就可以表示為:

( ) i k Rl ( )

k

r R

l

e

k

r

ψ

+ =

ψ

(2.7)

他對任意格矢Rl 都成立。

光子晶體的結構也是週期性排列的,類似地,可以應用週期性的 布洛赫調界對計算空間進行簡化,這樣就可以大大地減少計算時間與 記憶體的需求。若在光子晶體結構引入點缺陷或線缺陷時,這時晶體

(31)

結構的週期性被破壞,理論上同樣可以用 n×n 的超晶包作為週期性結 構,並在其上應用週期性的布洛赫條件,因為當 n 較大時,超晶胞相 鄰的缺陷之間的耦合非常小以致於可以忽略不過,由此帶來的問題是 計算時間和所需計算使用的記憶體急遽增加。

2.1.4 平面波法(PWM)

[16-18]

由電磁場理論,在介電係數成週期性分佈的介質中,電磁場符合 下面的 Maxwell's 方程式:

( , ) ( , ) ( , ) 0

( , )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

D r t r t B r t

D r t

H r t J r t

t B r t E r t

t

⎧∇⋅ =

ρ

∇ ⋅ =

⎪⎪

⎨∇× = +

⎪∇× =

(2.8)

各項同性線性介質中的特徵方程式關係為:

( , )

0 r

( , ) ( , )

D r t

= ε ε

r t E r t (2.9)

( , ) ( , )

B r t

= μ

H r t (2.10)

( , ) ( , )

J r t

=

σ E r t

(2.11)

其中

D r t

( , )電位移向量,

B r t

( , )為磁感應向量,

H r t

( , )為磁場強度,

E r t

( , ) 為電場強度,

ρ

( , )

r t

為電荷密度,

J r t

( , )為電流密度,

ε

0為真空介電係 數,

μ

為磁導率,σ 為電導率,

ε

r( , )

r t

為相對介電常數(在 PBG-PCF 中

ε

r( , )

r t

為週期性函數)。

假定介質是無損耗的,且所在空間為無源空間,則有

ρ

( , )

r t

=0,

( , )

J r t

=0,

ε

r( , )

r t

為實數。如果我們輸入的是隨時間正弦震盪的場,

則電磁場可寫為:

( , ) j t ( )

E r t

=

e

ω

E r

(2.12)

( , ) j t ( )

H r t

=

e

ω

H r

(2.13)

(32)

其中ω為震盪頻率。

利用∂ ∂ ⎯⎯/ t

j ω

,(2.8)可以改寫為:

0

( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

r

r E r H r

H r j E r

E r j H r ε

ωε ε ωμ

⎧∇⋅ =

∇ ⋅ =

∇× =

⎪∇× = −

(2.14)

由(2.14)可以得出:

(1)∇ ⋅

H r

( )= ∇ ⋅

D r

( ) 0= 說明沒有空間電荷與電流源的存在,

H

可 分解為橫向的平面波,每個平面波垂直於波矢方向。

(2)

H

是連續的,而

E

不一定連續。基於這一點下面討論

H

,因 為連續性可以簡化討論與計算,而

E

可以通過電場與磁場的關係

0

( ) 1 ( )

E r

( )

H r

j ωε ε r

= ∇× (2.15)

直接求得。

由式(2.14)消去

E

可得:

2

2

1 ( ) ( )

( )

H r H r

r c

ω

∇×

ε

∇× =

(2.16)

由於

ε

( )

r

為週期性函數,由布洛赫定理。週期性結構介質中的平面波 將受到週期性調制,即:

( )

i k r

( )

k

H r

=

e h r e (2.17)

( ) (

l

)

h r

=

h r

+

R (2.18)

其中Rl 為格矢,ek為垂直於波矢 k 且平行於

H

的單位向量。

其中週期性函數

ε

( )

r

和可展開成為傅力葉級數:

( ) ( ) l

l

iG r l G

r G e

ε

=

∑ ε

(2.19)

1

1

( ) ( )

l

l

iG r l G

r

ε

G e

ε

= ∑

(2.20)

( ) ( ) l

l

iG r l G

h r

=

h G e

(2.21)

從而

(33)

,

( )

,

( ) ( , ) i k Gi

l

i k G r i

G

H r h G e e

λ

λ

λ

+ +

=

(2.22)

其中

G

i為倒晶格向量,

e

λ +,k Gi 為垂直於G

+

k 的兩個方向向量(λ=

1.2)。將(2.22)式與(2.20)帶入(2.16)可得:

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) i k G ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i

G G G

G e h G e e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

+ +

ω λ

+ +

∇×

∇×

=

(2.23)

交換上是中第二個旋度運算符號與求和的運算符的次序,可得:

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) i k G ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i

G G G

G e h G e e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

+ +

ω λ

+ +

∇×

∑ ∑

∇× =

(2.24)

利用

∇×

u A

= ∇ × + ∇×

u A u A

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) i k G ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i

G G G

G e h G e e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

+ +

ω λ

+ +

∇×

∑ ∑

× =

(2.25)

由於

e

i k r =

ike

i k r

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) i ( ) k G ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i i

G G G

G e h G e i k G e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

+ +

ω λ

+ +

∇×

∑ ∑

+ × =

(2.26)

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) i ( ) k G ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i i

G G G

G e h G e i k G e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

+ +

ω λ

+ +

∇×

∑∑

+ × =

(2.27)

再次利用交換旋度運算符與求和運算符的次序,可得:

, ,

( ) 2 ( )

1

, 2 ,

( ) l ( , ) [ i ( ) k G ] ( , ) i k G

i i

l l l

iG r i k G r i k G r

l i i i

G G G

G e h G e i k G e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

∇× + + × + =

ω λ

+ +

∑∑ ∑

(2.28)

作變量變換

G G

l+ l'->

G

l

, ,

'

' ( ) 2 ( )

1

, - 2 ,

( - ) l ( , ) [ i ( ) k G] ( , ) i k G

i i

l l l l

iG r i k G r i k G r

l l i i i

G G G G

G G e h G e i k G e h G e e

λ

c

λ

λ λ

ε

λ

∇× + + × + =

ω λ

+ +

∑ ∑ ∑

(2.29)

, ,

'

' ( ) 2 ( )

1

2

, - ,

( - )

l

( , )

i

( ) [ ( )

k Gi

] ( , )

i k Gi

l l

iG r i k G r i k G r

l l i i i i

G G G G

G G e h G e i k G i k G e h G e e

λ c λ

λ λ

ε λ +

+ × + ×

+

=

ω λ + +

∑ ∑ ∑

參考文獻

相關文件

Let f being a Morse function on a smooth compact manifold M (In his paper, the result can be generalized to non-compact cases in certain ways, but we assume the compactness

In this section, we consider a solution of the Ricci flow starting from a compact manifold of dimension n 12 with positive isotropic curvature.. Our goal is to establish an analogue

 Promote project learning, mathematical modeling, and problem-based learning to strengthen the ability to integrate and apply knowledge and skills, and make. calculated

Now, nearly all of the current flows through wire S since it has a much lower resistance than the light bulb. The light bulb does not glow because the current flowing through it

Holographic dual to a chiral 2D CFT, with the same left central charge as in warped AdS/CFT, and non-vanishing left- and right-moving temperatures.. Provide another novel support to

The closing inventory value calculated under the Absorption Costing method is higher than Marginal Costing, as fixed production costs are treated as product and costs will be carried

In the proposed method we assign weightings to each piece of context information to calculate the patrolling route using an evaluation function we devise.. In the

Therefore, this research paper tries to apply the perspective of knowledge sharing to construct the application model for the decision making method in order to share the