邊界條件

用 FDTD 法求解電磁場問題假定空間無限大的多，即所謂的開放 系統，由於 FDTD 計算時，每個網格上的六個場分量均需在任一時間 步上儲存起來以供下一步時間計算之用。因此所取的問題空間越大，

所要記憶體量也越大，電腦的記憶體存量是不可能無限的。因此問題 空間應是有限的，要求它能將被研究的模型載入，並實施 FDTD 的運 算過程。為了讓這種有限空間與無限空間等效，需對有限空間的周圍 邊界作特殊處理，使得向邊界行進的波在邊界處保持外向行進的特 徵，無明顯的反射現象，並且不會使內部空間產生場崎變。具有這種 功能的邊界條件，稱之為吸收邊界條件(ABC)，或幅射邊界條件，或 網格截斷條件。吸收邊界條件從開始簡單的差值邊界，到後來廣泛採

用的 Mur 吸收邊界條件，以致於最近發展出來的完全匹配層(PML)吸 收邊界，其吸收效果越來越好。

完全匹配層（PML）首先由 Berenger 在 1994 年提出，通過在 FDTD 區截斷邊界設置一種特殊的介質，該層介質的波阻抗與相鄰介質波阻 抗完全匹配，因而入射波將無反射的通過分界而進入 PML 層。並且，

由於 PML 層為有耗介質，進入 PML 層的透射波將迅速衰減，使得有限 厚度的 PML 層對於入射波仍然有很好的吸收效果。實際計算中，PML 是一種常用的吸收邊界。

以二維 TE 波為例，TE 波只有 Ez,Hx,Hy 分量，直角座標系中空間 的 Maxwell＇s 方程式為

0

E

x

H

z

t y

ε

^∂ = ^∂

∂ ∂ ₀

^E

^y

^H

^z

t x

ε

^∂ = −^∂

∂ ∂ ⁰

x y

z E E

H

t y x

μ ^∂ = ^∂ − ^∂

∂ ∂ ∂

(2.71) 在 PML 介質中，Berenger 假設磁場分量 Hz 分量 Hzx,Hzy,

Hz=Hzx+Hzy，

進而，將 Maxwell＇s 方程式改寫成以下形式：

0

(

_{zx zy}

)

x

y x

H H

E E

t y

ε ^∂ + σ = ^{∂ +}

∂ ∂

⁰

( )

y zx zy

x y

E H H

t E y

ε ^∂ + σ = − ^{∂ +}

∂ ∂

0 zx y

zx zx

H E

t H x

μ

^∂ +

σ

= −^∂

∂ ∂ ₀ ^Hzy _zyH_zy ^Ex

t y

μ ^∂ + σ = ^∂

∂ ∂

（2.72）

其中

σ

_x，

σ

_mx，

σ

_y，

σ

_my為介質的電導率與磁阻率，。描述了 PML 介質 的各向異性。可以看出當

σ

_x =

σ

_mx =

σ

_y =

σ

_my =0時，（2.72）是可表示為 自由空間的 Maxwell＇s 方程式，因而可以認為（2.72）式描述了一 種普通情況，自由空間是一種特例。

當滿足關係式時場分量與介質波阻抗可以寫成：

0

0 0

cos sin cos sin

exp[ (

x y

]exp( ^x ) exp( ^y )

j t x y

c c c

σ ϕ

σ ϕ

ϕ ϕ

ω ε ε

Ψ = Ψ − + − − （2.73）

0 0

0

z

μ

z

= ε =

（2.74）

其中Ψ表示電場 E 或磁場 H。（2.73）式後兩個指數項表示波振幅沿 x 軸和 y 軸呈指數衰減，衰減的快慢與介質的電導率直接相關。（2.73）

式表明，PML 介質波阻抗與真空中的波阻抗

z

₀完前相同。阻抗匹配條 件是 PML 介質的重要條件可以寫為：

0

0 0

σ σ

m

ε

⁼

μ

（2.75）

當兩種 PML 介質參數

σ

_x，

σ

_mx，

σ

_y，

σ

_my滿足一定條件時，在分界 處對任意頻率、任意角度的入射波都可以完全無反射的由分界的一側 進入另一側，這種特殊情況是完全匹配層作為吸收邊界應用於 FDTD 方法的理論基礎。

當兩種 PML 介質分界面反射係數r_p為零的條件為：

（1） 若分界面垂直於 x 軸，要求兩者具有相同的橫向電導率與磁阻 率( ,

σ σ

_{y my})並且橫行和縱向電導率、磁阻率均滿足阻抗匹配條 件。

（2） 若分界面垂直於 y 軸，要求兩者具有相同的橫向電導率與磁阻 率( ,

σ σ

_{x mx})並且橫行和縱向電導率、磁阻率均滿足組抗匹配條 件。

在 FDTD 計算區域中，網格中央是常規的介質區域，四周是 PML 介質 層。計算區域內的散射體或輻射源產生波穿過常規介質和 PML 介質的 分界面，

在 PML 層中被吸收。

在實際計算中，PML 介質層不可能無限延伸，只能有限的厚度，

PML 層的外側通常採用理想的導體作截斷，計算中 PML 層電導率通常 採用以下的函數形式：

( ) max( )ⁿ

d

σ ρ

=

σ ρ

（2.76）

其中 d 為 PML 層的厚度，σ為 PML 層最靠近常規介質區的截面位置，

n 為整數。由此可看出，電導率在內邊界處為零（等於常規介質區的 電導率），在外界邊界處為最大值的

σ

_max，對於上述電導率為均勻的 PML 層，其反射係數為：

' '

0 0

( ) exp( 2cos ( ) )

R d

c

θ θ σ ρ ρ

ε

∞

= −

∫

^（2.77）

研究結果表明，在第 n 層的

σ

_max值可由下式取為：

max

1 150 _r

σ n

ε πδ

= + （2.78）

其中δ 為 FDTD 單胞尺寸，這樣設置的 PML 層具有較好的吸收效果。

圖 2.3 吸收邊界層在空間中的導電率配置示意圖

在文檔中 中 華 大 學 (頁 44-47)