PBG-PCF 波導色散表達式

2 0 2

( ) lim

d d

(

d

) 1 (

d

)

D k

d d d c dk

λ

τ τ β β

λ

^{Δ →}

λ λ λ ω λ

= Δ = = = −

Δ （4.2）

類似地，同時考慮到 PBGFs 的材料色散近似可以忽略，定義波導 色散為

2 2

( ) 1 ( )

W

D k d

c dk λ β

= −

λ

（4.3）

通常在 PBGFs 的討論中，將β，k 與Λ聯繫在一起（Λ為包層空氣間 距），從而有:

2 2

1 ( )

( ) ( )

( )

W

D k d

c d k λ β

λ

= − Λ

Λ

(4.4) 由上式可知，只要知道

β

Λ與k

Λ

的關係，通過二階導數就能求得 PBGFs 的波導色散曲線。PBGFs 波導色散問題研究就轉成為

β

Λ與kΛ關 係的討論，即在特定的軸向傳播常數

β

Λ時，哪些頻率kΛ的光波可在 PBGFs 中傳播。下面來具體討論

β

Λ與kΛ的關係。

4.2 PBG-PCF 缺陷態頻率及其波導色散的計算方法

要討論 PBG-PCF 的波導色散，就需要知道

β

Λ與k

Λ

的關係，即在 給定縱向傳播常數

β

Λ時，PBG-PCF 允許傳播常數kΛ。在上一章中，

就已經指出 PBG-PCF 中允許傳播的頻率kΛ與其中心缺陷密切相關；

中心缺陷的存在，在 PBG-PCF 帶隙結構的禁帶中產生缺陷態，這個缺 陷態的頻率（後面稱為缺陷態頻率）就是光波在 PBG-PCF 中允許傳播 的頻率。那麼帶有缺陷的 PBG-PCF 的帶隙如何求解呢？

在上一章進行光子晶體光纖帶隙計算時，採用了平面波法(PWM)， 對於具有週期性結構的光子晶體，可以在一個單胞內將電磁場進行平 面波展開，然後根據特徵方程式計算特徵頻率。當 PCF 在週期性結構 中引入了一個額外的空氣孔，破壞其結構的週期性，此時就不能再用 單個晶胞作為網格空間來進行計算；轉而需要採用超晶胞（super cell）的方法帶隙結構，將光子晶體光纖在橫向看作是以超晶胞作是 以超晶胞作為一個重複單元的週期性分佈結構。當超晶胞取得越大，

相鄰空氣孔缺陷之間的藕合越小，由此帶來的計算誤差就越小，在計 算的過程中就可以忽略不記，但由於選取超晶胞作為基本單元時，為 滿足相同的精度要求，選取的平面波數將以平方數增加，此時用平面 波展開法來進行數值計算將會導致計算時間急速上升，計算時間與記 憶體需求也急遽上升，從而給問題得７的求解帶來很大的困難。而 FDTD 此時就顯其優越性，它的計算時間與網格數成正比。在利用 FDTD 計算 PBG-PCF 的帶隙結構時，可以採用 PML 層作為吸收邊界，初始場 在 PCF 的缺陷處被激發，隨著時間步的演進，記錄網格點處的場值用 於以後作 Fourier 變換，就可以得到頻譜，相應的就可以得到帶隙結 構。

在計算 PBG-PCF 帶隙結構過程中，可以將 PWM 與 FDTD 兩種方法 結合起來。因為已經證明，光子晶體缺陷的存在只是帶隙中產生缺陷 態，而並不改變其帶隙結構的邊界，利用這一點，可以通過採用 PWM 計算完美週期結構的帶隙結構，確定其帶隙邊界；然後利用 FDTD 計 算缺陷態頻率，在這過程中利用 PWM 得到邊界可以確定 Fourier 變換 的頻率範圍，這樣可以及大地減少計算量。

再利用 FDTD 進行 PBGFs 缺陷態頻率計算的實際過程中，選擇一 定的空氣孔層數和 PML 層數使得光波導到網格邊界時以近似衰減為 零，將包層空氣間距Λ和空氣孔 d 與中心缺陷孔徑 r 離散成若干個網 格點，PML 吸收層設在 PBGFs 的四個橫向邊界上，。它可以使任何頻 率，任何方向的光被無反射地吸收。^[33][34]關於激勵源的選擇，由於 在這裡關心的是缺陷態頻率，所以只要使激勵源的頻譜範圍覆蓋在所 要考慮的 PBGFs 的禁帶範圍即可。

通常採用 FDTD 研究光子晶體時，包層空氣孔層數在 3-5 層即可 得到較好的結果。在本文的計算中，包層空氣孔層數選取為四層，;

在包層外，設置 20 個網格寬度的 PML 吸收層;將空氣孔間距Λ取為 50 個網格長度，中心缺陷孔徑 r 取為 45 個網格長度;激勵源設置為

2 0 2

4 ( )

( ) cos( ) exp[ ]

i

t t

E t ω t π

τ

= − − ，中心頻率

f

₀ =

ω π

/ 2 :第二項為高斯函數形

式，

t

₀通常取基頻的 2.25 個週期，

t

₀ =9 /(2 )

π ω

，t 為時間步，τ＝64 為激勵脈衝持續的時間步數。

由於存在 z 方向傳播常數β，因此需要計算三維電磁場分佈，這 樣會極大地增加計算時間和電腦記憶體空間的需求。然而。對於在軸 向折射率沒有變化的 PBGFs 來說，沿著軸向傳播的電磁場具有以下特 徵形式

( , , )

x y z

( , )

x y e

^{i βz}

ψ

=

ψ

⋅ ^Δ （4.5）

其中

ψ

表示電場分量或磁場分量。因此，沿著 z 方向場變化可以寫成 以下離散形式：

, , 1 , ,

|

ⁿ

|

^{n i z}

P i j k P i j k

E ₊

=

E

⋅

e^Δβ ,H_{P i j k}

|

ⁿ_{, , +1}

=

H_{P i j k}

|

ⁿ_{, ,}

⋅

e^iΔβz P=x,y (4.6) 令

Δ − >

z

0

時，有

e

^iΔβz-1->因此下列式子成立。

, , 1 , ,

|

ⁿ

|

ⁿ

P i j k P i j k

E ₊

−

E

= Δ

i βz,H_{P i j k}

|

ⁿ_{, , +1}

−

H_{P i j k}

|

ⁿ_{, ,}

= Δ

i βz P=x,y (4.7) 將式（4.7）帶入到第二章中相應等式中，並忽略下標 k，可以得到 在軸向量傳播常數為

β

時的二維週期性平面內電磁場傳播方程式如 下：

1/ 2 1/ 2

, , , , 1

1 1/ 2

, , ,

, , , ,

/ 2 | |

| | |

/ 2 / 2

n n

i j i j i j i j

n n n

i j i j i j

i j i j i j i j

t t Hz Hz

Ex Ex j Hy

t t y

ε σ

ε σ ε σ β

+ +

+ = −+ ΔΔ + + Δ Δ ⎧⎪⎨⎪⎩ Δ− − − + ⎫⎪⎬⎪⎭

（4.8）

1/ 2 1/ 2

, , , 1,

1 1/ 2

, , ,

, , , ,

/ 2 | |

| | |

/ 2 / 2

n n

i j i j i j i j

n n n

i j i j i j

i j i j i j i j

t t Hz Hz

Ey Ey j Hx

t t x

ε σ

ε σ ε σ β

+ +

+ = +− ΔΔ + + Δ Δ ⎧⎪⎨⎪⎩ + − Δ− − ⎫⎪⎬⎪⎭

（4.9）

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

, , , 1, , , 1

1

, ,

, , , ,

/ 2 | | | |

| |

/ 2 / 2

n n n n

i j i j i j i j i j i j

n n

i j i j

i j i j i j i j

t t Hy Hy Hx Hx

Ez Ez

t t x y

ε σ

ε σ ε σ

+ + + +

− −

+ = −+ ΔΔ + + Δ Δ ⎧⎪⎨⎪⎩ Δ− − Δ− ⎫⎪⎬⎪⎭

（4.10）

, 1 ,

1/ 2 1/ 2

, , ,

,

| |

| | |

n n

i j i j

n n n

i j i j i j

i j

Ez Ez

Hx Hx t j Ey

y β

μ

+ = − + Δ ⎪⎧⎨⎪⎩ +Δ− − ⎫⎪⎬⎪⎭ （4.11）

1, ,

1/ 2 1/ 2

, , ,

,

| |

| | |

n n

i j i j

n n n

i j i j i j

i j

Ey Ey

Hy Hy t j Ez

β x μ

+ = − + Δ ⎪⎧⎨⎪⎩ − + Δ− ⎫⎪⎬⎪⎭ （4.12）

1, , , 1 ,

1/ 2 1/ 2

, ,

,

| | | |

| |

n n n n

i j i j i j i j

n n

i j i j

i j

Ey Ey Ex Ex

Hz Hz t

x y

μ

+ +

+ = − + Δ ⎪⎧⎨⎪⎩ Δ− − Δ− ⎫⎪⎬⎪⎭ （4.13）

圖 4.1 二維 compact FDTD 網格示意圖

隨著時間步的增加，激勵源中與缺陷態對應的頻率可以保存下來，而 其餘的頻率成分將逐漸衰減。一般在時間步 t 大於 20000 步以後的場 的分佈就可以逐漸穩定下來。FDTD 是在時域得到各電磁場的值，為 了得到缺陷態的頻率，需要通過 Fourier 變換來求得頻譜。

( ) ^{i t}

u t e dt

^ω

∞

−∞

∫

(4.14) 其中，

u t

( )為場分量。由於不需要考慮整個頻譜，而僅是缺陷態所對 應的頻譜，所以，可以通過下式得當＂頻譜＂：

0 0

( ) ( ) ( )

t t

N N

i t in t

n

u ω u t e dt^ω u n t e ^ωΔ

=

= ∫ ≈ ∑ Δ

其中，

u t

( )為時間步數。函數

u

( )

ω

的峰值對應於傅立葉變換的峰值，

並且隨著

N

_t的增加，峰值明顯上升。在求解過程中，將該位置場分量 的 10000 步階儲存並求解及缺陷態頻率。

利用 FDTD 算法計算 PBGFs 的缺陷態頻率與相應波導色散曲線的 程序流程圖如圖 4.7

Hz

(i,j+1)

(i,j) (i+1,j) (i+1,j+1)

Ez Ez

Ez Ez

Ex Hx Hx

Ey Ey

Hy Ex Hy

Δ x Δ y

(i,j) (i,j) (i,j)

(i,j)

(i+1,j) (i+1,j) (i,j+1)

(i,j+1)

(i,j)

根據PWM算法在禁帶內取一 - 值 參數準備

根據PBG-PCF結構設定相關參數 設定PML吸收邊界

設定取樣場點

疊帶計算各電磁場數值 記錄取樣場點

對取樣場點作Fourier轉換,求相映的缺陷態頻率 是否取完

求相映的色散曲線 結束

β

β

N

Y

設定時間步數t 時間步n=n+1

N<T

Y

N

圖 4.2 利用 FDTD 算法計算 PBGF 的缺陷態頻率與相應的色散曲線的程序流程圖

圖 4.3 給出了 d/Λ=0.9，

β

Λ取 9.27986 時經過 50000 時間步步 長，計算得到的 PBG-PCF 中模場的分佈。可以發現經過 50000 步 FDTD 的疊帶後，模場分佈集中在 PBG-PCF 中心的缺陷中，強度分布在中心 有一明顯的峰值，而在外圍強度分布逐漸下降，直至在缺陷外基本為 零。

(a) (b)

(c)

圖 4.3 d/Λ=0.9，三角形結構 PBG-PCF(a)計算模型截面圖(b)

β

Λ=9.27986 時 50000 步後得到的模場分佈。(c)

β

Λ=9.27986 時 50000 步後得到的等高模場分佈

隨著時間步的逐漸增大，疊帶過程的進一步深入，強度分佈將進 一步將缺陷中心集中。通過對在各時間步記入記錄下的缺陷區域選取 的點的電場分量作 Fourier 轉換，可以得到如圖 4.4 的＂頻譜＂圖在 圖中可以看到 PBG-PCF 禁帶中出現一頻率分量，由計算結果可以明顯 表示隨著時間的增大，該點特徵頻率的峰值急遽的增大且頻譜變窄，

這說明在 PBG-PCF 缺陷中存在這一頻率的電磁場分量，而我們將該頻

率稱為缺陷態頻率，在下面的頻譜圖為在當

β

Λ=9.279814 的規一化常 數條件下求得的的缺陷態頻率的頻譜其對應的規一化頻率頻率kΛ＝

9.398943^。

(a)

(b)

（c）

圖 4.4 疊代(a)10000 步、（b）30000 步和（c）50000 步後變換後得到的＂頻譜＂圖

圖 4.5 d/Λ=0.9，不同的λ/Λ對應有效折射率圖

kΛ

β

Λ λ/Λ Effective index

9.014816 8.870358 0.696984483 0.983975 9.053958 8.91221 0.693971121 0.984344 9.087509 8.947846 0.691409052 0.984631 9.104527 8.966058 0.69011681 0.984791 9.161903 9.027236 0.685794828 0.985301 9.220008 9.08918 0.681472845 0.98581 9.279086 9.151913 0.677134052 0.986295 9.338649 9.215458 0.672815086 0.986808 9.398943 9.279814 0.668499138 0.987325 9.459965 9.345006 0.664187069 0.987848 9.52196 9.411057 0.6598625 0.988353 9.584442 9.477989 0.655560776 0.988893 9.647652 9.545779 0.651265517 0.989441 9.705028 9.607584 0.647415517 0.989959 9.711349 9.614498 0.646993966 0.990027

表 4.1 d/Λ=0.9 不同λ/Λ對應的缺陷態頻率Λ＝2.32×10-6m

圖 4.6 d/Λ=0.9，不同的

β

Λ 對應缺陷態頻率kΛ值

/ 0.9 4

d

rings

Λ =

當改變軸向常數

β

Λ的值，就可以獲得不同傳播常數

β

Λ下的光子 缺陷態頻率kΛ在禁帶中的位置。上面的表 4.1 是採用上述方法求得，

當結構在 d/Λ=0.9 時，由不同傳播常數

β

Λ所對應的缺陷態頻率k

Λ

值。圖 4.5 給出了各缺陷態在帶隙結構圖中位置，可以發現的缺陷態 都位於空氣線上方，說明此時模式的有效折射率小於 1，即模場是分 佈在中心缺陷的空氣孔中的，與圖 4.3(b)給出的有效折射率小於 1，

即模場是分佈在中心缺陷的空氣孔中，同時，此時d/Λ=0.9 >0.555也 滿足第三章得出的三角形結構的 PBG-PCF 實現空氣導光的條件，對上 述表 4.1 的

β

Λ、k

Λ

對進行曲線擬合可得

β

Λ與kΛ的關係作導數變 換，可得如圖 4.8 所示的波導色散曲線。由圖 4.8 可以發現在 1560nm 時色散趨近為零，且在帶隙邊界附近的色散值明顯增加。

圖 4.7 傳統單芯光纖色散 （D）與材料色散（Dm）和波導色散(Dw)圖

圖 4.8 空芯光子晶體光纖波導色散 (d/Λ=0.9 Λ=2.32μm)

而我們比較圖 4.7 傳統光纖的色散（D）與圖 4.8 光子晶體光纖，

可以瞭解光子晶體光纖的色散的多項式色散曲線，不同於傳統光纖，

其在能隙邊界兩端明顯增加，因此我們可以利用空心光子晶體光纖的 色散特性，研究其本身帶來非線性色散的影響。

4.3 PBGFs 的材料色散

在上節討論了 PBG-PCF 的波導色散，在本節中簡單討論一下 PBG- PCF 的材料色散。材料色散是由於光纖纖芯材料的折射率隨時間變化 而引起，PBG–PCF 的纖芯為空氣空氣折射率是由於空氣折射率 n 與 光波長λ，空氣溫度 T、濕度 e、大氣壓強 p 等有關，在標準大氣情 況(T=388.15K、p=1.01352 10 Pa× ⁻⁵ 、e=0)下有折射率與光波長有關係的 經驗公式。

2 4

2.4809.90 174.557 1 80.6051

1.32274 39.329957

n

^{= + +} −

λ

^{− +} −

λ

⁻ （4.16）

而光纖的模內色散主要是由材料色散和波導色散構成對於空氣 纖芯導光的 PBGFs 來說，其材料色散是由於纖芯空氣的折射率隨頻率 變化引起的，它的群折射率為

6

2 4

4.8866 0.068

1 (287.6155 ) 10

n

g

λ λ

⁻

= + + + × （4.17）

在光波導理論中，材料色散

D

_W定義為 1 g

W

D dn

c d λ

= （4.18）

因此可以得到如下圖 4.13 所示的空氣導光光子晶體光纖的材料 色散特性從圖 4.13 中可以看到，PBG-PCF 空氣導光的材料色散係數 非常小在通信波長可近似它本身為零，它遠遠低於傳統光纖的材料色 散，因此空氣導光的光子晶體光纖可以很好的克服傳統光纖中存在的 材料色散問題。

圖 4.9 PBG-PCF 空氣導光的材料色散特性

4.4 PBG-PCF 改變缺陷的條件下的影響

通過改變中心空氣孔洞邊界的導電率，並保持原先在週期性結構 的光子晶體空氣孔徑 d 與空氣空間間距Λ，計算三角形結構 PBG-PCF 在加入一新的薄膜時，不同的傳播常數βΛ與之對應的缺陷態頻率 k Λ值。

當加入一薄膜在 PBG-PCF 中心缺陷，等於改變了原先的光子晶體 缺陷。當改變原始的空芯光子晶體光纖，將本身中心為空氣的纖芯其 外環加上一層薄膜為的低折射介質，其最厚的厚度約為 1.38×10⁻⁷m 厚度的材料，當改變中心缺陷的材料，所以改變原先的缺陷模場分 佈。下面分析其間的影響，根據數據表格分析其兩者之不同，並討論 其特性。

當加入一新薄膜

CaF

₂ [n=1.26]材料，計算出如表 4.2 上的不同的 傳播常數βΛ時對應的缺陷態頻率 kΛ值。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 58-81)