由於超晶格結構是由多層的薄膜所組成，界面熱阻的影響也因為 層數越多以及薄膜厚度的減小而越顯著，界面熱阻會使得整個多層 N 型或P 型半導體薄膜所組成的元件整體熱傳導係數下降，加上在薄膜 厚度極小情形下，尺寸效應亦會使得薄膜的熱傳導係數隨著薄膜厚度 減小而下降。因此界面熱阻和尺寸效應會導致熱傳導係數的降低，熱 傳導係數的降低也就會使得熱電優值提升，所以界面熱阻和尺寸效應 對熱電致冷器冷卻性能的影響就是我們所要研究的主要方向。
本文以波茲曼方程式為基礎的聲子輻射熱傳方程式(EPRT)，可以
用來分析在微觀尺度下的熱傳現象，並且用非彈性散異理論模式 (inelastic DMM)來處理界面熱阻的現象，進一步分析在多層薄膜結構 下，層數多寡和薄膜厚度對熱傳導係數的影響，然後計算出熱電優 值，討論層數多寡以及厚度對熱電致冷器冷卻性能的影響。
材料A
接點1 接點2 T
T+△T
材料 B
＋ －
△V
圖 1-1 賽貝克效應(Seebeck Effect)
材料A
heat 接點1 接點 2 cooling
generation
材料 B J J
圖1-2 珀爾帖效應(Peltier Effect)
TH Hot Side
J J
N P
Cold Side
J J
TC
圖1-3 熱電發電器
圖1-4 熱電致冷器 TC
Cold Side
J J
N P
Hot Side
J J
TH
圖 1-5 熱電致冷器結構圖
N P N P N P N P
J
Cold Side
Hot Side
J
圖1-6 雙層一維平板薄膜 GaAs/AlAs 在定溫邊界條件下
，薄膜熱傳導係數隨薄膜厚度的變化，並與實驗 值的比較
1x10-9 1x10-8 1x10-7 1x10-6 FILM THICKNESS (m)
1 10
THERMAL CONDUCTIVIT
100
Y (W/mK)
present results bulk [25]
experiments [38]
experiments [39]
Wu et al. [47]
nts[45]
Bulk[40]
Experime
Experiments[46]
二、理論分析
，需要一套
.1 聲子輻射熱傳方程式(EPRT)
non radiative transfer、簡稱 EPRT
欲求得熱離子致冷器中多層半導體材料的熱傳導係數
理論模式來分析內部的熱傳行為，在本文利用聲子輻射熱傳方程式 (Equation of phonon radiative transfer、簡稱 EPRT)來分析在極小厚度 薄膜內的熱傳現象。因為薄膜與薄膜接觸的界面不平整會造成熱阻的 現象，亦會影響整個半導體材料的熱傳導係數，在此也需要利用目前 用來處理界面熱阻的一些理論模式來分析界面熱阻對熱傳導係數所 造成的影響。
2
聲子輻射熱傳方程式(Equation of pho
)是 Majumdar[7,8]在 1993 年以波茲曼傳輸方程式(Boltzmann transport equation)為基礎，將聲子類比為光子，進而推導出來的。因
示為： mann transport equation)。粒子碰撞的情形頗為複雜，為了 簡易處理碰撞的那一項，假設某非平恆狀態下的分佈函數接近於平恆 狀態的分佈函數，粒子因碰撞在固定體積下的淨流出量和某狀態下及 平衡狀態下的密度差成比例，因此一般都用鬆弛時間τR(Relaxation time approximation)來處理，將碰撞線性化：
R
再將聲子類比為光子，可以將聲子的強度(intensity) 表示為： Iω
所得到的(2-7)式就是 Majumdar[7]在 1993 年所提出來的聲子輻射熱
.2 界面熱阻
整所可能造成的界面熱阻(interface thermal resistance)。界面處的不平 整會使得聲子在穿越薄膜的過程中會有被阻礙而導致散射(scattering) 情形發生，部分的聲子會穿透過界面，而部分的聲子亦會被反射回 來，因為穿透過的聲子數會少於入射的聲子數，所以會導致兩薄膜在界面處會有溫降的產生，就如圖 2-1 所示。界面熱阻亦可稱為邊界熱 阻(thermal boundary resistance、 )，界面熱阻的定義為： Ri
net
i q
R ∆T12
= (2-8)
其中∆T12是界面處兩個介質的溫差，qnet是單位面積的淨熱通量。
目前在處理界面熱阻大致可以分成兩種理論模式，用來決定聲子 打到界面後的穿透率(transmission probability)。一個由 Little[31]在 1959 年所提出來的聲異理論模式(Acoustic mismatch model、簡稱 AMM)，另一種是 Swartz[32,33]在 1987 年提出的散異理論模式
(Diffuse mismatch model、簡稱 DMM)。Phelan[34]之前發表的文章中，
用 ζ
λd 比值的大小定義了聲異理論模式和散異理論模式的適用範圍：
>>1 ζ
λd : AMM (2-9)
≤1 ζ λd
: DMM (2-10)
其中λd為該溫度下主要聲子的波長，ζ 則是界面平均不均勻度(mean roughness)，也就是和平整界面相比的差異程度。從(2-9)、(2-10)式可 以發現，在相同溫度，也就是聲子的波長相同的情況下，聲異理論模 式適用於當界面較為平整(smooth)時，如果界面比較粗糙(rough)的 話，那散異理論模式會比較適合。至於這兩種理論模式的出發點是什 麼，各自用了什麼樣的假設，適用在什麼樣的條件下，接下來會一一 的作介紹。
2.2.1 聲異理論模式
由Little 所提出來的聲異理論模式(Acoustic mismatch model、簡 稱AMM)是假設入射的聲子在打到界面時，一部分的聲子會做鏡面反
然而上述的彈性聲異理論模式和實驗結果比較之後發現此理論 模式僅在低溫下才會比較符合實驗的結果，於是Stoner 等人[39]指出 在溫度較高的狀態下，聲子在界面處應該是非彈性的散射(inelastic scattering)，後來 Chen[40]在 1998 年提出了非彈性聲異理論模式 (inelastic AMM)，表示在非彈性散射下，聲子入射和穿透後行進的方 向不再適用Snell’s Law，並進一步推導得知在非彈性聲異理論下的聲 子入射和穿透後行進方向會符合下面的式子：
其中C 為比熱(specific heat)。從 Kittel[41]書中指出在低溫下C 會和 成正比，那(2-16)即可以簡化成(2-11)式 Snell’s Law 的形式。
−3
v
2.2.2 散異理論模式
當處理的薄膜溫度提高時，用聲異理論模式來分析界面熱阻的大 小就會出問題，Swartz[32,33]在 1987 年提出散異理論模式(Diffuse mismatch model、簡稱 DMM)，用來處理當溫度較高的時候界面上的 物理現象。散異理論模式假設聲子打到界面後，會忘了它原本入射的
從細緻平衡(detailed balance)，單位時間、單位體積下，擁有相同 (transverse)和縱向(longitudinal)兩種， 則是在相同溫度下 介質中 單位體積聲子的數量，從(2-18)式可以得到穿透率
若用德拜近似(Debye approximation)的假設，(2-19)式可以簡化成：
∑ 性散異理論模式(inelastic diffuse mismatch model)，假設入射聲子的最 大頻率一定會大於穿透聲子的最大頻率，此一假設和古典力學的非彈 性碰撞導致能量損失有相同的意義。在相同溫度下，界面處能量守恆 (energy balance)可表示為：
∫
cross-plane 這個方向上的熱傳現象時，可以假設是一維(1-D)的平板。
並且假設介質為灰體(gray body)，聲子輻射的強度和頻率沒有關係，
存在，圖2-3 是一維雙層平板薄膜的物理模型示意圖。其中 的上標
穿透率以及從介質2 進入介質 1 的穿透率， 、 分別代表聲子從
圖2-1 界面熱阻溫降示意圖
T Temperature drop
Heat Flow
q
phonon
Film 1 Film 2
) 0 (
=
+ x
I )
(x L I−
=
θ µ
=
cosθ Ｔ
Ｔ
2
L x
1
圖 2-2 一維單層平板物理模型示意圖
+
I1
−
I1 +
I2 I2−
L１ L２
L
x Ｔ1
Ｔ2
θ µ = cosθ
圖 2-3 一維雙層平板物理模型示意圖
θ Lo Le
Le
Lo Le
Lo
L
x Ｔb
Ｔt
m=n
m=n-1
m=4
m=3
m=2
m=1
圖 2-4 一維多層平板物理模型示意圖
三、多層薄膜之熱傳分析 先將積分式做近似的處理，本文採用Discrete ordinate method(簡稱 DOM)[42-44]，又可以稱為SN method，將聲子輻射強度對立體角的積 分轉變成N個分量相加，而且每個分量都要乘上相對應的權重函數 (quadrature weights) ： wi
∫ ∑
代表方向數，可以依照各種需求來決定方向數的多寡，每個方向代表 著每個方向餘弦(direction cosine)的值也就不同。在此我們用S2近似法 來處理問題，表 3-1[42]為一維平板S2近似法的方向餘弦和權重函數關 係表。
3.2 多層一維平板聲子輻射熱傳方程式之數值解
在處理完積分項之後，再來把(3-2)式的微分項利用有限差分法 (finite difference method)處理，而且又是一維平板的物理模型，所以 分 成µ >0 和 µ <0 兩 個 象 限 ， 在 µ >0 這 個 象 限 用 前 差 分(forward difference)，而在µ <0這個象限上用後差分(backward difference)來處 理。
R thermal conductivity)keff：
t b
eff T T
k qL
= − (3-10)
多層薄膜超晶格結構內部的總界面熱阻(interface thermal resistance、
Ri)的計算是將層與層之間因為界面熱阻造成的溫度降全部相加之 後，再除以熱通量得到：
q T R
n
m m i
∑
−=
∆
=
1
1 (3-11)
其中m=1~n−1，因為 層有n n−1個界面。計算總熱阻(total thermal resistance、RT)是由超晶格邊界的溫度差除以熱通量得到：
q T RT Tb − t
= (3-12)
而因為材料本身所造成的材料熱阻(material resistance、 )則由總熱 阻扣掉總界面熱阻得到：
Rm
i T
m R R
R = − (3-13)
本文計算所用到的薄膜材料參數值列於表3-2[7、40]和表 3-3[40、48]。
方向餘弦 權重函數
µ w
S2
(symmetric) ±0.5773503 6.2831853 S2
(nonsymmetric) ±0.5000000 6.2831853
表3-1 一維平板S2方向餘弦和權重函數表[43]
Diamond GaAs AlAs 德拜溫度
TD (K) 1860 344 417 比熱
Cv (×106 J/m3K) 1.81 1.71 1.58 聲速
v (m/s) 12288 3700 4430 平均自由路徑
Λ (nm) 447 20.8 37.7 密度
ρ (kg/m3) 3510 5318 3830 熱傳導係數
k (W/mK)
3320 56 84
表3-2 室溫(300K)時，薄膜所用的各種參數值[7,40]
Si Ge Bi2Te3 Sb2Te3
德拜溫度
TD (K) 645 374 165 160 比熱
C (×106 J/m3K) 1.66 1.67 1.22 1.338 聲速
v (m/s) 6400 3900 3058 2888 平均自由路徑
Λ (nm) 409 275 0.482 0.466 密度
ρ (kg/m3) 2329 532 6505 7860 熱傳導係數
k (W/mK)
148 59.9 0.6 0.6
表 3-3 室溫(300K)時，薄膜所用的各種參數值[40、48]
開始
猜測x=0處聲子強度I
-離散化統御方程式
圖3-1 數值方法流程圖 x=L處是否滿足I-(T)=I0(T2)
修正x=0處I
-否
是 結束
四、結果與討論
利用數值方法計算物理模式，通常需要和經過證實的實驗量測值 或理論分析出來的結果來做驗證。Majumdar 在 1993 年發表的聲子輻 射熱傳方程式，成功的描述了在微小尺寸下材料內部的熱傳傳輸行 為，本文將針對那篇文獻的結果來做驗證。在本章所做的理論分析結 果皆是在室溫(300K)下。
4.1 數值方法驗證
在用有限差分法來處理統御方程式中的微分項時，可以將方程式 從微分方程式變成一個代數方程式，在利用軟體解此代數方程式時，
為了不讓我們所取的格點對最後做出來的結果有所影響，因此在做數 值模擬之前，必須要先做格點測試的工作。通常格點越密所得計算出 來的結果也就會越精確，但是相對來說，電腦計算所花費的時間也就 會比較久，為了節省運算的時間，在利用有效的格點數，並且不影響 最後計算結果的情形下，需要找出最佳且合適的格點數。
圖 4-1 所示為雙層一維平板薄膜 Si/Ge 在定溫條件下，薄膜厚度 為0.1µm，其內部溫度分佈在不同格點數下的格點測試結果，在這邊 用了31、41 和 51 這三種格點做比較，結果發現這三條線幾乎已經重 疊在一起，因此為了節省電腦計算的時間，在不影響計算結果的準確 度下，我們採用41 的格點數。
圖4-2 為一維平板薄膜 Diamond 在定溫邊界條件下，不同薄膜厚 度下，溫度分佈圖。結果顯示與 1993 年 Majumdar[7]所做出來的結果 是一致的，因此可以確定我們所採用的數值方法計算的結果是正確 的。並且可以從圖中發現，隨著薄膜厚度的減小，在邊界處會有一個 溫度不連續的情形就越明顯，這是因為聲子在邊界上並未達到局部的
熱平衡所造成，在局部無法達到熱平衡的狀態下，邊界處的溫度就會 有落差，而且隨著薄膜厚度減小而越顯著，這也就是聲子類似子彈的 穿透效應(ballistically)。
圖4-3 為一維平板薄膜 GaAs/AlAs 在定溫邊界條件下，不同薄膜 厚度達到穩態時的內部溫度分佈圖。由圖中可以發現當薄膜厚度越大 的時候，在邊界處造成溫度差的現象會比較小，但是當厚度越來越小 邊界處上的溫度差情形會越來越嚴重，這也和圖 4-2 單層薄膜內部溫
圖4-3 為一維平板薄膜 GaAs/AlAs 在定溫邊界條件下，不同薄膜 厚度達到穩態時的內部溫度分佈圖。由圖中可以發現當薄膜厚度越大 的時候，在邊界處造成溫度差的現象會比較小，但是當厚度越來越小 邊界處上的溫度差情形會越來越嚴重，這也和圖 4-2 單層薄膜內部溫