圖4-7 是一維雙層平板薄膜 GaAs/Si 在定溫邊界條件下，不同薄 膜厚度達到穩態時內部溫度分佈的情形，就厚度為0.1µm的那條線來 看，可以發現在x L<0.5的溫度分佈曲線比較陡，而x L>0.5的溫度 分佈曲線比較前半部平緩，這是因為GaAs 此材料的熱傳導係數比 Si 來得低，所以在熱傳量不變的情形下，溫度梯度就會比較大，在這邊 也可以確認此理論以及數值方法的正確性。
圖4-8 為三種一維雙層平板薄膜，AlAs/Si、GaAs/Si 和 GaAs/AlAs 在定溫邊界條件下，到達穩態時，薄膜厚度和熱傳導係數的關係圖，
這三條線隨著薄膜厚度變小，熱傳導係數都會有下降的趨勢，其中 AlAs/Si 的熱傳導係數最高，GaAs/Si 次之，GaAs/AlAs 最低，這是因 為Si、AlAs 和 GaAs 三種材料的熱傳導係數的大小分別為：Si > AlAs
> GaAs 的關係，因此 AlAs/Si 雙層薄膜得到的熱傳導係數會是最高，
而GaAs/AlAs 反之。
接下來，把薄膜的層數增加，圖 4-9 是多層一維平板薄膜超晶格 (superlattice、簡稱 SL)的結構，在 Si 和 Ge 的薄膜厚度比為 5:5 的情 形下，SL 的總厚度為 ，比較1、5、50 periods 三種，其 SL 內 部溫度分佈的情形，其中 1 個 period 代表 Si/Ge 兩層，在 Si 和 Ge 薄膜彼此交錯層數達到100 層(50 個 periods)時，在邊界上的溫度差變 得非常不明顯，在層與層之間會有因界面熱阻所造成的溫降，因此而 呈階梯狀，當period 數減少時，1 個 period 在邊界上的溫度差比 5 個 periods 在邊界上的溫度差來得大，所以可以得到一個結論，當 SL 總 厚度相同的時候，層數的多寡也會影響在邊界上溫度差的大小，而層 數越少，界面上溫度差的現象就會越來越明顯，主要的原因也來自於 層數增加使得界面熱阻的影響越來越大，因此SL 內部溫度降幾乎都
nm 100
是來自於界面熱阻的關係，且薄膜厚度變小而在每層薄膜內部聲子產 生的類似子彈的穿透效應也就會更明顯，所以每一層薄膜內部溫降的 情形就變得更小，因此在尺寸效應和界面熱阻雙重的影響之下，可以 預測其等效熱傳導係數是會更低的。另外可以從圖中發現有趣的一 點，period 數越多，在邊界的地方溫度不連續的現象就不明顯，SL 內部溫度分佈整體來看似乎是和沒有界面(interface)所得到的 Fourier Law 溫度分佈情形是很相似的，然而其中的現象卻是大大的不同，因 為SL 內有著界面熱阻和每層薄膜厚度變小而造成聲子類似子彈穿透 的效應，因此內部溫度分佈看起來雖然很像，但是對SL 整體內部的 等效熱傳導係數是會遠低於用Fourier Law 所計算出來單層薄膜的熱 傳導係數。
圖4-10 是一維超晶格結構，Si 和 Ge 厚度比為 5:5 且 2 periods(4 層)下，總厚度為10、100、 ，SL 內部溫度分佈情形，從圖中 可以看出超晶格厚度增加，會使得在邊界上溫度不連續的情形減小，
在層與層的界面熱阻所造成的溫度降也會比較不明顯，因此當薄膜的 厚度減小，使得界面熱阻加上邊界上溫度不連續的現象更明顯，這也 是厚度變小熱傳導係數會降低的原因。
nm 1000
圖4-11 是 Si/Ge 超晶格結構總厚度為1µm下，Si 和 Ge 單層薄膜 厚度比分別為 2:8、5:5、8:2 時，層數多寡和熱傳導係數的關係圖。
從圖中可以證明當層數越多，熱傳導係數是會有明顯下降的情況，且 由於 Si 的熱傳導係數比 Ge 來得大，因此當 Si/Ge 比為 8:2 時的熱傳 導係數會比5:5 以及 2:8 來得高，當 periods 數少的時候，很明顯可以 看出三者的差異，但是當 periods 數越來越多時，三者熱傳導係數間 的差異就越來越不明顯，這也可以說明當層數越多，界面熱阻的影響 就越大，並且配合每一層薄膜厚度變小造成聲子在穿透薄膜現象的改
變，使得整體的等效熱傳導係數降低，即使不同材料其熱傳導係數的 低，因此其聲子的平均自由路徑(mean free path)相對來說也就變得很 小，因此在厚度太大的情形下，尺寸效應的影響就沒辦法顯現出來，
低會在某個薄膜厚度區間內會是最顯著的，而當每一層的薄膜太厚或
p-type的超晶格結構，1 個、5 個和 10 個period數下，SL總厚度和熱 傳導係數的關係圖。Bi2Te3和Sb2Te3材料目前是作為熱電致冷器的當 紅熱電材料，因為它們的熱傳導係數都不高，加上層與層之間僅有薄 弱的凡得瓦鍵結，所以很自然而然的成為目前熱電材料的新寵兒。從
圖4-16 中可以看出不管是 1 個、5 個period數的或是 10 個period數的 曲線，都在總厚度小到一定程度時，熱傳導係數會有明顯下降的情形 發生。就10 個period數那條線和圖 4-15 的 10 個period數那條線相比，
圖4-15 使用Si/Ge材料的SL因為其聲子的平均自由路徑比較大，所以 在Bi2Te3/Sb2Te3和Si/Ge兩種超晶格在總厚度相同的情況下，尺寸效應 在Si/Ge這種材料的影響就會先顯現出來，使得熱傳導係數降得比較 快。
圖 4-17 是Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3 p-type的超晶格結構，1 個、5 個和 10 個period數下，SL總厚度和總 熱阻的關係圖，圖中顯示在總厚度很薄的情形下，層數越多超晶格的 總熱阻也就會越大，這是因為除了界面熱阻的影響之外，每一層薄膜 厚度變小使得總熱阻變大的尺寸效應就會顯現出來，但是在總厚度變 厚的情形下，層數多寡對總熱阻的影響就不明顯了。
圖4-18(a)和圖 4-18(b)是 5 個和 10 個 period 數的超晶格總熱阻、
總界面熱阻和材料熱阻隨著厚度變化的分佈情形，很明顯的可以發現 5 個 period 數的界面熱阻比 10 個 period 數的界面熱阻來得小，但是 材料熱阻並沒有差別，因此可以發現在薄膜的厚度很小的情況下，界 面熱阻對整個超晶格的總熱阻的貢獻就會越大，而且薄膜層數越多影 響越顯著，可以歸納出在薄膜厚度越小的情況下，界面熱阻的影響就 會更為重要。
圖 4-19 是Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3
p-type的超晶格結構，考慮 10、30、50 三種period數，比較每個一period 厚度改變對超晶格等效熱傳導係數的影響，從圖中發現隨著period的 厚度變小，等效熱傳導係數會有明顯下降的情形，然而層數的增加並 不會使得熱傳導係數改變，因此可以歸納出在製作超晶格的時候，每
一層薄膜的厚度是決定整個熱傳導係數大小的主要因素，並不會因為 薄膜鍍得越多層而降低熱傳導係數。
圖4-20 則是Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3 p-type的超晶格結構，考慮 10、30、50 三種period數，比較每個一period 厚度改變對超晶格總熱阻的影響，可以發現圖4-20 和圖 4-19 不同的 地方是層數增加並不會使等效熱傳導係數增加，而會使得總熱阻上 升，這是因為整個超晶格的總厚度增加的關係。再細看圖 4-20 可以 發現三條曲線在period厚度變小的情況下，總熱阻會有些微上升的情 形，這和圖 4-17 的 10 個period數那條線趨勢是相同的，因為層數固 定(界面熱阻不變)的情況下，每一層薄膜小到一定程度時，薄膜內部 聲子傳輸時類似子彈穿透(ballistic transport)的現象就會越明顯，使得 薄膜內部溫度降低的量變小，而薄膜每一層邊界上溫度不連續的現象 會更明顯，而造成等效熱傳導係數下降和總熱阻上升的情形，這也就 是所謂的尺寸效應。
圖 4-21 是Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3 p-type的超晶格結構，period厚度為 、 、 ，比較其period 數多寡和界面熱阻的關係圖，圖中發現隨著層數增加，界面熱阻和層 數是成線性增加的趨勢，而且並不會因為period厚度的改變而影響界 面熱阻的大小，因此層數的多寡是決定界面熱阻大小的唯一因素，並 不會因為單層薄膜厚度的改變而有所變化。
nm
1 5nm 10nm
圖 4-22 是Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3
p-type的超晶格結構，比較 1、5、10 三種period數，其超晶格總厚度 對材料熱阻和界面熱阻比值(MTR/ITR)的關係圖，從圖 4-18(a)和圖 4-18(b)已經得知層數的改變，對材料熱阻並不會有影響，只有界面熱 阻會因為層數的增加而上升，因此在圖 4-22 這張圖可以看到，就比
較1、5、10 三種period數，10 個period數這條線因為界面熱阻比較大，
p-type的超晶格結構，比較室溫下 50 個period數，其每一個period的厚 度和熱傳導係數的關係，並與Touzelbaev等人[25]在 2001 年實驗量測 的結果作比較，發現本文用聲子輻射熱傳方程式(EPRT)計算的等效熱
的關係圖。計算熱電優值如 1-5 式所示，方程式分子的部分又稱為功 率因子(power factor、 )是從Venkatasubramanian等人在 2001 年提 出的文獻得到，在那邊文獻中量測得到的最低的熱傳導係數為 0.22
1000 1000nm
圖4-27 為Bi2Te3和Sb2Te3單層薄膜厚度比為5：5 的Bi2Te3/Sb2Te3
p-type的超晶格結構，考慮 10、30、50 三種period數，比較每個一period
厚度改變對熱電優值(ZT)的影響，圖 4-27 是假設功率因子(power factor)不變的情況下，利用圖 4-19 計算出來的等效熱傳導係數去推算 熱電優值，發現在每一個period厚度固定的情況下，層數增加並不會 使得熱電優值上升，而熱電優值只會因為period的厚度降低而上升，
Venkatasubramanian等人[26]在 2001 年文獻中敘述其量測得到的熱電 優值不太會因為超晶格總厚度的變化而改變，這和本文做出來的結果 是相同的。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 x/L
1 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
(T-T 2)/(T 1-T 2)
Grids
31 grids 41 grids 51 grids
圖4-1 雙層一維平板薄膜 Si/Ge 在定溫條件下，薄膜厚度 為0.1µm的溫度分佈，不同格點數下的格點測試結果
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(T-T 2)/(T 1-T 2)
L=10µm L=1µm L=0.1µm
Majumdar [7]
圖4-2 一維平板薄膜 Diamond 在定溫條件下，不同薄膜 厚度下，溫度分佈圖
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1x100 1x101 1x102 1x103 Total Film Thickness (nm)
1x10-1 1x100 1x101 1x102
Thermal Conductivity (W/mK)
present results Chen [40]
圖4-4 一維平板薄膜 GaAs/AlAs 在穩態定溫邊界條件下，薄膜 厚度變化對熱傳導係數的分佈圖
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1x100 1x101 1x102 1x103 Total Film Thickness (nm)
1x100 1x101 1x102
Thermal Conductivity (W/mK)
present results Chen [40]
圖4-6 一維平板薄膜 Si/Ge 在穩態定溫邊界條件下，薄膜 厚度變化對熱傳導係數的分佈圖