桁架結構最佳化設計

基本上，一項工程設計的進行必須經由工程師依照相關規範及其他規定，配 合著工程師的專業知識、以往的經驗累積以及該工程所要求的功能需求，來做出 符合該工程之設計。在工程設計中，一個符合所有應滿足之束制條件的設計，即 為一個可行設計。而大多時候的工程設計皆同時擁有多種或無限多種的可行設計，

在這麼多的可行設計中，都分別有各種程度不同的差異，以及設計結果的優劣之 分，而所謂的最佳化設計，就是利用一系列有系統的方法，在這些可行設計中尋 求最適合者。

最早的結構最佳化設計概念，是在1904 年由 Michell【29】提出的桁架理論 中所出現。一般而言，結構最佳化設計可因設計目標的不同而將其區分成三個領 域，分別是尺寸最佳化設計(Size optimization design)、形狀最佳化設計(Shape optimization design)及拓樸最佳化設計(Topology optimization design)等。尺寸最佳 化主要改變結構中的斷面大小；型狀最佳化主要改變節點連接的位置；而拓璞最 佳化則主要改變結構中的材料分配，包含節點以及桿件數目。尺寸最佳化設計於 1960 年由 Schmit【30】提出後，成為了這三個領域中最早被發展的一支。

一般而言，結構最佳化的三個領域中，以尺寸最佳化設計屬最為普遍，而尺 寸最佳化設計的操作就是針對一已知外型之結構物，在滿足應力、位移或變形等 束制條件下，透過改變桿件斷面的寬度、厚度或斷面積等方式，使該結構達到我 們所設定的最小總重或最小成本等設計目標。對於桁架結構而言，其設計目標通 常就是求該桁架總重之最小值，而控制目標函數值的限制函數，則是各桿件所受 到的應力需在該桿件的最大容許應力內，以及各自由度的位移需在該自由度的最 大容許位移內。對於一個具有 n 根桿件及 m 個自由度的桁架結構而言，假設所 有桿件及自由度皆需滿足最大容許應力及最大容許位移之限制，則目標函數及限 制函數可分別表示成如(2-1)、(2-2)及(2-3)式所示。

目標函數：

∑ (3-1)

16

17

18

(3-13) 其中 為一根桿件在整體座標下之勁度矩陣，矩陣內容如下：

L

EA (3-14)

再將各桿件所求出來的 ，依照自由度的編號，放置並加總到相對應的位置，

即可組合成完整結構在整體座標下之勁度矩陣 ，矩陣內容如下：

(3-15)

其中：

：完整結構在整體座標下之勁度矩陣 m：自由度的個數

將每個節點上所受的力及位移，按照自由度列成行向量，並配合 矩陣後，可 將其表示成如(3-13)式之格式如下：

(3-16)

其中：

：所有節點所受力之行向量 ：所有節點所受位移之行向量 m：自由度的個數

若再將(3-16)式以外力點及反力點來區分的話，則可表示成如下：

(3-17)

19

其中：

：外力點 ：反力點

因為支承點不會有位移，所以(3-17)式中的 0，因此(3-17)式可簡寫如下：

(3-18) (3-19) 將(3-18)式等號兩邊同乘 ，即可得到節點位移如下：

(3-20) 求出節點位移之後，將(3-13)式代入(3-11)式中，即可得到桿件之內力如下：

(3-21) 最後再將(3-21)式中所得到的桿件內力，除上桿件的斷面積，即可得到桿件所受 到的應力如下：

(3-22) 最後，即可將(3-20)及(3-22)式所求得之節點位移及桿件應力，拿來與最大容許位 移及最大容許應力比較，檢查該組桿件斷面是否滿足束制條件。

3.1.3 三維桁架結構分析

三維桁架結構與二維桁架結構的直接勁度法觀念，主要差異在於節點的自由 度數目。二維桁架結構的節點自由度為2，但三維桁架結構的節點自由度為 3，

如圖3-2 所示。且由圖 3-2 中可推得在局部座標及整體座標下桿件內力的關係如 下所示：

0 0 0 0 0

0

(3-23)

20

其中：

：桿件與X 軸夾角之 cos 值，即 ：桿件與Y 軸夾角之 cos 值，即 ：桿件與Z 軸夾角之 cos 值，即

因此可由(3-23)式定義座標轉換矩陣 如下：

0 0 0 0 0 0