第四章 實例分析
4.3 案例分析
透過收斂性分析中已證實角函數對於含有應力奇異之問題的收
斂速度有明顯的效果，因此本節將此方法應用到其他裂縫的矩形板，
如圖(4.17)所示(長寬比值為0.5)，ψ xc、ψyc 對稱與反對稱各取 1 項，
w 只取反對稱 1 項，波松比c ν =0.3，分析探討當裂縫大小、位置與 角度不同時，對振動頻率及模態之影響。
4.3.1 裂縫位於中間之矩形板分析
為了探討裂縫長度對板振動的影響，吾人將探討裂縫位於板中間 並逐漸向兩邊延伸之實例，如圖(4.17)此時固定 b1/b=0.5。首先利用有 限元素分析了邊界條件為CFCF 之無裂縫厚板，如圖(4.18)，共有512 個元素，再分別對於c/a 值為
8 1 、
8 2、
8 3、
8
6 在寬厚比(a/h)為10 及20 時的實例分析，在四周邊界為CFCF 而內部裂縫處的邊界條件為自由 端(free)。所切割的網格每個長寬都是
16
a ，一共 512 個元素，每個奇 異點都將附近16個元素引入角函數，如圖4.19(a)~4.19(d)而灰色部分 是有角函數加入的區塊。四組網格分析所採取的角函數項數ψ xc、ψyc 對稱與反對稱各取 1 項，w 只取反對稱c 1 項，每組實例皆取前 5 個 模態，連同a/h =10與 20無因次化後整理於表(4.4)與表(4.5)，藉由表 可了解裂縫的長短對於不同寬厚比之圓板振動頻率的影響及趨勢。另 外也將完整矩形板、c/a=
8
1及c/a=
8
6三個實例的振態(mode shape)整理
於圖(4.20)，其中整個板 w位移為 0 的點連接起來的直線或曲線稱之 為節點線(nodal line)，用來比較各個振態之差異性。
由於具有裂縫之矩形厚板，其振動頻率必定比完整的矩形厚板 小，這個是必然的物理現象，由表(4.4)與(4.5)的結果可再次驗證此推 論。振動頻率會隨著裂縫長度的增加而遞減，在 c/a=
8
1 時，裂縫對於 自然振動頻率的影響十分有限，和無裂縫板的頻率相差不大，尤其是 第二個的模態更是幾乎沒有改變。當 c/a=
8 3或6
8，裂縫造成勁度明顯 下降，所以振動頻率已有明顯的變化，不論a/h為10 or 20 皆符合此 情況。對於高階模態而言，因為變形已趨向複雜，因此裂縫影響會大 於低階模態，這些結果也都符合了物理直覺及現象。
觀察圖(4.20)，c/a=0是一個無裂縫的矩形板，c/a=0、c/a=
8 1及
c/a=8
6三組實例模態雖不相同，但仍應與無裂縫板前五個模態有對稱 y 軸、反對稱 y 軸、對稱 y 軸、反對稱 y 軸及對稱 y 軸具有相同之物 理特性。第一模態 c/a=
8
1及 c/a=
8
6兩案例同樣的也是對稱的；第二個
模態因為c/a=
8
6裂縫過大，彎矩勁度明顯降低，導致裂縫錯開，因而
振動頻率有顯著的差異；第三個模態可發現c/a=
8
1恢復對稱性質，而
c/a=8
6此時才呈現出與無裂縫第二個模態相同的性質(反對稱 Y 軸)。
第四個與第五個模態 c/a=
8
1仍呈現出與無裂縫板高度的相似，而
c/a=
8
6因為裂縫過大，所以造成振動頻率有顯著的差異。
4.3.2 裂縫位置 c
1/a=0.25 之矩形板分析
前一節所分析的實例裂縫是位於中間，本節是將裂縫平移到 c1/a=0.25 且 b1/b=0.5 的位置，參考圖(4.17)，探討此時裂縫對板的影 響。板四周邊界仍為CFCF 而內部裂縫處的邊界條件為自由端(free)， 分別對於c/a 值為
8 1 、
8 2、
8 3、
8
6在寬厚比(a/h)為10及 20時作實例分 析，所切割的網格精細度仍以圖(4.18)為標準，即每個元素長寬都是
16
a ，一共 512 個元素。最後選取 16 個元素導入角函數作用，如圖 4.21(a)~4.21(d)，灰色區塊即為角函數作用處。四組網格分析所採取 的角函數項數ψ xc、ψyc對稱與反對稱各取1 項，wc只取反對稱 1項，
每組實例皆取前5 個模態，連同a/h =10與 20的結果整理成無因次化 自由振動頻率於表(4.4)及(4.1)，由表可了解裂縫的長短對於不同寬厚 比之圓板振動頻率的影響及趨勢。另外也將完整矩形板、c/a=
8 1及
c/a=8
6三個實例的振態(mode shape)整理於圖(4.22)，用以比較各個振 態之差異性。
由表(4.4)與(4.5)可發現不論a/h為10 or 20自然振動頻率皆隨裂 縫長度增加而下降。當裂縫a/h為10 時，除了裂縫發生c/a=
8
6會與其
他組數有較大的差異，其他比值的模態值差異都不是很明顯；並且可 發現雖然裂縫長度增加，但裂縫對於偶數個模態值的影響卻較奇數格 模態小，除了裂縫比值為c/a=
8
6 外，這情況在a/h為10 or 20都是具 有相同的特性。
為了方便觀察裂縫對模態的影響，所以將c/a=0, c/a=
8
1及c/a=
8 6三 組實例之振態(mode shape)整理於圖 (4.22)來做與完整板詳細的探討 比對。觀察圖(4.22) c/a=0與 c/a=
8
1之模態圖可發現，裂縫導致圖中的
節點線(nodal line)變化不大，因此振動頻率下降不多；c/a=
8
6這例子
由於已開裂至邊界，造成彎矩勁度明顯降低，模態圖變的與無裂縫時 不同，所以振動頻率有顯著的下降也可是合理的。
4.3.3 裂縫位置 c
1/a=0 之矩形板分析
當c1/a=0 時也就是裂縫已從邊界開始，參考圖(4.17)，所取的四 邊邊界仍採用CFCF 而內部裂縫處之邊界條件為自由端(free)，分別 對於 c/a值為
8 1 、
8 2、
8 3、
8
6在寬厚比(a/h)為10 及20 時作實例分析，
圖(4.18)的矩形板為網格精細度標準，每個元素長寬都是
16
a，皆取512 個元素來做分析，此時奇異點只剩一個，並在奇異點附近選取16個 元素來加入corner function，所採取的角函數項數ψ xc、ψ yc對稱與反 對稱各取1 項，w 只取反對稱c 1 項，每組實例皆取前5個模態，連 同a/h =10、20的結果整理成無因次化自由振動頻率於表(4.4)及 (4.1)。圖4.23(a)~4.23(d)為四組所要分析之網格mesh 圖形。另外再 對無裂縫(c/a=0)、c/a=
8
1 及c/a=
8
6 三個實例之模態圖(mode shape)以 圖(4.24)表示之。
由表(4.4)與(4.1)可知到振動頻率隨裂縫增加而下降無論是在(a/h) 為10 或20都成立，這也可驗證上面的分析結果。對於c/a=
8
6 所得
到的振動頻率數值與上節c1/a=0.25
中
c/a= 68 之分析結果完全一樣，
這是因為所選取的邊界兩兩相同，因此結構具有對稱的性質，所以當 裂縫長度相同時，而且當裂縫所在位置亦發生幾何對稱時(參考圖 4.21(d)與圖 4.23(d))，則會有相同的結果，這也符合直觀的看法。
觀察圖(4.24)，c/a=
8
1 的模態圖，第一個模態因為已經開裂，所 以板的彎矩勁度明顯降低導致與c/a=0之振動頻率有較明顯的差別；
第2 模態與第4 個模態為反對稱Y 軸，並且可看出裂縫並沒與節點 線(nodal line)接觸到，所以沒有直接影響到振動行為，而分析出來的 振動頻率值可驗證出吾人判斷是合理的；觀察第 5個模態，此時模態 圖已觀察不出與c/a=0之圖形相似點，這情形表示裂縫已影響原先振 動行為，進一步可推斷出高階模態受到裂縫的影響會大於低階模態，
而所得到之分析結果與無裂縫比較也確實可看出兩者明顯差異，這結 果也是可接受的；c/a=
8
6 與上節c1/a=0.25，b1/b=0.5 裂縫位置具有對 稱關係且邊界對稱，所以物理性質相同也是必然的，故不再贅加討 論。觀察裂縫由中間到c1/a=0的過程，可明顯發現前兩個模態值隨著 裂縫的移動又下降，這應該是當裂縫越向邊界其進度降低越多，所以 模態值會有遞減的情形。
4.3.4 裂縫位置
b1/b=0.25之矩形板分析
本節要探討的裂縫位置是位於板中間並逐漸向兩邊延伸之實 例，但高度已從b1/b=0.5下降到 b1/b=0.25參考圖(4.17)，分別對於c/a 值為8
1 、
8 2、
8 3、
8
6在寬厚比(a/h)為 10 及 20 時作實例分析。在四周 邊界為 CFCF 而內部裂縫處的邊界條件為自由端(free)。所切割的網
格精細度以圖(4.17)的矩形為標準，皆為 512 個元素，每個元素都是 邊長16
a 的正方形方塊，並且在奇異點附近選取 16 個元素來加入角函 數，如圖 4.25(a)~4.25(d)所示。四組網格分析所採取的角函數項數 ψ xc、ψ yc對稱與反對稱各取 1 項，wc只取反對稱 1 項，每組實例皆 取前5 個模態，連同a/h =10與 20的結果整理成無因次化自由振動頻 率於表(4.4)與表(4.1)。另外也將c/a=0、c/a=
8
1及 c/a=
8
6三個矩形板實 例的振態(mode shape)整理於圖(4.26)，用以比較裂縫對各個振態造 成之差異性。
表(4.4)與表(4.1)再次驗證振動隨裂縫增加而下降，並由前些章節可 知，此情況不會因為位置不同而改變；對第一個模態而言，c/a=
8 6時 振動頻率下降的相當明顯，可推估此時裂縫長度過長，所以造成板的 振動行為改變；第二個模態除了 c/a=
8
6這實例與其他三個實例所得到 之分析結果都相差無幾，可知到此時裂縫並不影響板的振動行為；在 第 3 與第 5 模態，可看出c/a=
8
6頻率下降趨勢已趨向平緩。
圖(4.26)以選取c/a=
8
1與c/a=
8
6用以比對無裂縫板。當 c/a=
8 1發生 時，可看出各模態圖中的節點線(nodal line)與 c/a=0 的圖形變化不 大，所以知道裂縫並沒有改變原本之物理性質；當裂縫持續增加到 c/a=8
6，第一模態因裂縫明顯改變了原本的行為，而振動頻率也明顯 的下降；第 2 個模態雖然裂縫通過節點線(nodal line)，但仍然反對稱 y 軸，所以影響不大；其他高階模態則因為裂縫過長，而影響到原先 的模態，甚至第五個模態的節點線(nodal line)已呈現合併的情形，呈
現曲線形式，並以再與 c/a=0的圖形發生同樣對稱 y 軸的情況，並且 觀察模態值可加以驗證。
比對裂縫在中間但高度不同的兩種情況，由表(4.4)與(4.1)可觀察 出當c/a=
8
1時b1/b=0.25的奇數個模態值會高於b1/b=0.5 的模態值，偶 數個模態則剛好相反；圖(4.20)與(4.26)可知到奇數模呈現對稱 Y 軸的 情況，而偶數模態則是反對稱 Y 軸，所以可知道裂縫對 b1/b=0.5 實 例中的對稱模態影響較大，反對稱則較小，因此會反映在模態值中。
4.3.5 不同角度之矩形裂縫板分析
前幾節的實例分析以裂縫在不同位置，並配合增加裂縫長度，
探討裂縫對模態的影響；本節將選擇以 c/a=
8
3的縫長度，以不同旋轉 角參考圖（4.27），瞭解裂縫旋轉角度不同時對自然振動頻率的影響 及模態圖變化的趨勢。所選取的四邊邊界仍採用CFCF 而內部裂縫處 之邊界條件為自由端(free)。由於是探討裂縫旋轉角度對自然振動頻 率的影響，因此選擇了三組案例，分別是當旋轉角為30、60、90度 時，分割的網格圖如圖4.28(a)~4.28(c),並考慮長厚比為10及 20情況 下的差異。三組網格分析所採取的角函數項數ψ xc、ψ yc對稱與反對 稱各取1 項，w 只取反對稱c 1項，每組實例皆取前 5 個模態，連同 a/h =10與20 的結果整理成無因次化自由振動頻率於表(4.6)。另外也 將旋轉角分別是θ = 30°、θ = 60°與θ = 90°三個實例的振態圖(mode shape)整理於圖(4.29)，用以比較不同角度各個振態之差異性。
觀察表(4.6)可發現第一個模態值，隨著角度變大而遞增，這表是 當角度趨向 90 度時，此時裂縫對板的影響是最低的，因此模態值會
與無裂縫狀態最接近；對第 2 與第 3 模態值而言，角度造成的影響是 不明顯的，特別是當厚度下降時如表(4.6(b))更可以清楚的看出，只有
與無裂縫狀態最接近；對第 2 與第 3 模態值而言，角度造成的影響是 不明顯的，特別是當厚度下降時如表(4.6(b))更可以清楚的看出，只有