第四章 實例分析
4.1 座標轉換
4.2.1 自然振動頻率分析
本節以具有v 形缺口之扇形板與具有裂縫的矩形板為實例，使用 有限元數法配合二階形狀函數，於奇異點附近元素引入角函數，再藉 由收斂性分析探討角函數對收斂速度之影響。
<A>扇形板
如圖(4.5)，為α = 355°的扇形板。在徑向及環向的邊界條件皆為 自由邊界(free)，取h/a =0.1(a為扇形板半徑)，波松比ν =0.3；傳統有 限元素的分析中，當切割的網格越多，越能逼近到精確的結果。本案 例共切割了四種網格分別具有 397、635、667、779 個元素，為了方 便描述，分別給予編號，sp1、sp2、sp3、sp4，如圖(4.6)、(4.7)、(4.8)、 (4.9)所示，圖灰色區域即為加入角函數之區域。由於應力的奇異點產 生的部分都是在尖端，為方便切割，吾人皆採用三角形元素來涵蓋奇 異點附近的區域。sp1網格中，引入角函數的區域Ωc切割成 8個元素，
該元素遠比外圍的元素大。sp2 網格則將Ωc範圍縮小，用 16 個元素 連結於奇異點，如圖(4.7)，並將外圍的網格分割的更細。sp3的Ωc區 域和sp2 相同，不過又再將外圍切割更細一點，圖(4.8a)與圖(4.8b)為 角函數加在不同區域作用情況。最後的 sp4 則是將 sp3 的Ωc切的更
細，如圖(4.9)，而圖(4.10)為其內部示意圖，此時奇異點附近網格已 足夠故暫不考慮角函數作用之情形。
本案例所使用的角函數其 r 的起算點必須在奇異點上，θ的起算 點應於扇形板對稱軸上，故需將原本的r、θ座標系統轉換成r、θ1即
2 2
r= x + y
1 177.5
θ = −θ ° （4.12）
每組實例皆取前5 個模態(mode)，整理出sp1~sp4的無因自由振動頻 率Ω
2 /
a ρh D Ω =
其中
D = Eh3/12(1−ν2) (4.13) a為圓之半徑，ρ為密度，h 為厚度，E為彈性模數，ν 微波松比。表 (4.1)為所得分析之結果並與 Kim(1998)結合 corner function 與 Ritz method 所得結果作比對。
表(4.1)可明顯看出角函數對本案例中 355 度扇形板之效果，因此 以下對所觀察到之結果作一整理探討：
(a)傳統的有限元素其網格的精細度影響其數值結果，本案例 sp1~sp4 隨著網格元素的增加而收斂到準確解，但觀察加入角函數 後，明顯的加速收斂速度，以表(4.1)中的 sp1 來看，當角函數ψxc、 ψyc與wc分別由 2 項、2 項增加到 10 項、10 項及 4 項，頻率值明顯
下降，特別是增加到ψxc、ψ yc與wc分別是 10 項、10 項及 4 項，此時 已達到 sp4 所得到之分析結果。
(b)觀察表(4.1)可發現，角函數確實可以增加收斂速度，但對於高 階模態效果並不是相當良好，所以由sp3所得之結果可發現，雖然低 階模態已趨向收斂，但高階模態仍需有賴於網格的切細方能得到經準 值。
(c)如 圖(4.8a)與 圖(4.8b)所 示 sp3 可 分 成 兩 個 區 加 入 corner function，由表(4.1)中可清楚知道角函數所在的區域只要選取與奇異 點相連的元素即可獲得相同的結果，這現象在具裂縫板中有相同的趨 勢，並且避免因為較多的元素加入角函數而增加程式計算時間。
<B>具裂縫之矩形板
今再將角函數應用到具裂縫之矩形板，此時矩形板具有 c/a=0.5 的裂縫於其中間，c 為裂縫長度而 a 為矩形板之長，在四周邊界為 CFCF(與 x 軸平行之邊界為固定端)而內部裂縫處的邊界條件為自由 端(free)，且a/h=10，波松比ν =0.3。圖(4.11)為裂縫端點示意圖，圖 中裂縫視為兩平行線，但裂縫的端點須閉合成一點，因此可視為一尖 角，其開口約0.5度，；本案例將裂縫的端點模擬成 359.5 度的尖角。
由於裂縫的位於板內，故須考慮兩個應力奇異點，分別在裂縫的 起點和終點。藉由本實例也可觀察角函數對於描述角度將近360 度的 應力奇異點，是否能達到良好的效果。
為方便收斂性分析之網格劃分，將此板內部區分為三個區間如圖 所示(4.1)，其中n1及 n2 隔間數由4 個增加到8 個最後增加到10個，
而 n3由 8 個隔間數增加到 16 個最後增加到20 個，最後共產生三組
網格，分別有 128、512、800 個元素，如圖(4.12)。為了方便描述分 別給予編號，即 rec1、rec2、rec3，圖中深色部分為有角函數涵蓋之 區域。第一組網格 rec1 在兩個奇異點周圍各用了 4 個含有角函數的 元素來涵蓋奇異點；rec2 便是將 rec1 再作等分切割的動作，而在每 個奇異點附近所包圍的元素由4 個變成為16個；最後的rec3 則是將 rec2針對裂縫周圍再加以切割，而在每個奇異點附近所包圍的元素為 64個 。
本案例中則要考慮兩個奇異點所在的位置關係，如圖(4.13)，因為 奇異點不在原點，所以必須先轉換到X、 區域座標系統；此系統和Y 整體X、Y系統轉換如下：
x0
X X = −
y0
Y Y = −
tan 1Y
θ = − X (4.14)
之後再代入
2
2 Y
X r= +
+ °
= 180
1 θ
θ (4.15)
則r、θ1即符合角函數中之定義。另一個奇異點也須仿照式(4.14)、(4.15) 作轉換。引入角函數後，先在ψxc、ψ yc的對稱及反對稱項各取2 項，
w 的對稱及反對稱項各取c 1項；後來再增加角函數的項數，ψ xc ，ψ yc 的對稱及反對稱項各增加到5 項，wˆc的對稱及反對稱項增加到2 項。
每組實例皆取前5 個模態(mode)，整理出 rec1~rec3 的無因自由振動 頻率
表(4.2)為三組網格所得無因次化後所整理的自然振動頻率，並於 傳統有限元素分析中引入角函數之後所得數值結果作一比較。由表 (4.2)可觀查出 rec1~rec3 振動頻率隨著網格數目的增加而降低，而 rec1~rec3在加入角函數後，頻率降低的幅度已減小而接近於準確值。
以下是對分析結果的整理：
(a) 從 c/a=0.5 矩形裂縫厚板之收斂性分析中可知道隨著網格的增加 其振動值會越逼近正確值(exact sol.) ，在 rec1加入角函數所的到 之結果已達到rec3的數值解，由此可見角函數確實有達到加快降 低振動頻率收斂的效果。
(b) 如圖(4.12)所示rec2可分成兩個區加入corner function，由表(4.1) 中可清楚知道角函數所在的區域只要選取與奇異點相連的元素即 可獲得相同的結果，這現象在具裂縫板中有相同的趨勢，並且避 免因為較多的元素加入角函數而增加程式計算時間。
(c) 觀察分析結果可發現角函數對越高階模態的作用明顯的不如第 一、二個模態；並且在同一網格中ψ xc、ψ yc及wc的項數從分別從 4 項、4 項及2 項增加到10項、10項及 4項時，頻率值降低的幅 度不是太多，尤其是在網格越精細時越明顯，增加角函數項數所 得到的效果十分有限，所以在本論文後面其他實例分析之中 ψ xc、ψyc對稱與反對稱各取1 項，wc只取反對稱1 項。