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表 4.1 355 度扇形板之收斂性分析結果(h/a=0.1)
網格名稱 sp1 sp2 sp3 sp4
node no. 1100 1810 1876 2150
no. of
element 397 635 667 779
Corner Function Corner Function Corner Function
(a) (b) Corner Function
Ritz**
Mode
(0,0,0) (2,2,1)* (5,5,2) (0,0,0) (2,2,1) (5,5,2) (0,0,0) (1,1,1) (2,2,1) (5,5,2) (0,0,0) (1,1,1) (2,2,1) (5,5,2) (0,0,0)
1 2.768 2.734 2.730 2.765 2.729 2.725 2.740 2.728 2.723 2.721 2.740 2.729 2.723 2.722 2.729 2.729 2 4.254 4.239 4.233 4.250 4.235 4.229 4.235 4.229 4.228 4.226 4.235 4.230 4.228 4.226 4.229 4.228 3 7.574 7.560 7.553 7.570 7.555 7.550 7.555 7.550 7.549 7.547 7.555 7.550 7.549 7.547 7.549 7.548 4 7.599 7.588 7.588 7.595 7.584 7.583 7.586 7.583 7.581 7.581 7.586 7.583 7.582 7.581 7.582 7.577 5 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.24 11.23
*(2,2,1) 代表ψˆ 、xc ψˆyc的對稱及反對稱項各取2 項，wˆc的對稱及反對稱項各取 1項；以此類推。
**結果出自 Kim (1998)
52
表 4.2 c/a=0.5 矩形裂縫厚板（Ω）收斂性分析結果
網格名稱
rec1 rec2 rec3 Node no.
448 1664 2560 No. of element
128 512 800 Corner function
Corner function
(a) (b) Corner function
Mode
(0,0,0) (2,2,1)* (5,5,2) (0,0,0) (2,2,1) (5,5,2) (0,0,0) (2,2,1) (5,5,2) (0,0,0) (2,2,1) (5,5,2) 1 6.038 6.021 6.009 6.017 6.003 6.002 6.017 6.007 6.003 6.009 6.002 6.002 2 7.221 7.211 7.204 7.205 7.196 7.196 7.205 7.199 7.196 7.200 7.196 7.196 3 7.966 7.966 7.966 7.959 7.948 7.947 7.959 7.959 7.959 7.958 7.943 7.943 4 8.099 8.011 7.994 8.016 7.959 7.959 8.016 7.972 7.965 7.979 7.958 7.958 5 10.13 10.11 10.10 10.10 10.09 10.09 10.10 10.10 10.09 10.10 10.09 10.09
53
*(2,2,1) 代表ψˆ 、xc ψˆyc的對稱及反對稱項各取2 項，wˆc的對稱及反對稱項各取 1項；以此類推。
表 4.3 奇異點附近不同位置之無因次內力值
Corner function
element 128 512 800
128(1,1,1)*
Distance a*1.E-05 a*1.E-03 a*1.E-01 a*1.E-05 a*1.E-03 a*1.E-01 a*1.E-05 a*1.E-03 a*1.E-01 a*1.E-05 a*1.E-03 a*1.E-01 Mxx
0.048 0.048 0.045 0.097 0.097 0.084 0.167 0.166 0.130 0.143 0.056 0.044
Myy
0.181 0.181 0.171 0.246 0.246 0.212 0.340 0.339 0.239 0.211 0.185 0.172 Mxy
-0.036 -0.036 -0.031 -0.066 -0.066 -0.051 -0.104 -0.103 -0.058 -0.035 -0.035 -0.031 Qx
-0.274 -0.273 -0.245 -0.346 -0.345 -0.292 -0.402 -0.401 -0.312 -0.272 -0.272 -0.243 Qy
0.138 0.137 0.115 0.099 0.098 0.068 0.071 0.071 0.032 0.136 0.135 0.113
54
10* 2
* M M
q a
= ，
0* Q Q
q a
=
a 為矩形板之長度而q0為分佈荷重之值
*(1,1,1) 代表ψˆ 、xc ψˆ yc的對稱及反對稱項各取 1 項，wˆc的反對稱項取 1 項
表 4.4 不同位置之矩形裂縫板之無因次振動頻率(a/h=10)
c1/a b1/b c/a
Mode 1/8 2/8 3/8 6/8
1 65.94 59.24 55.47 51.62
2 71.53 71.43 61.42 52.52
3 82.22 74.32 71.36 64.24
4 105.0 82.05 80.93 72.90
0 1/2
5 116.0 104.5 102.1 76.10
1 68.95 65.86 62.34 51.62
2 72.48 72.42 72.17 52.52
3 82.90 80.81 78.95 64.24
4 103.9 102.9 97.09 72.90
1/4 1/2
5 139.8 130.3 102.2 76.10
1 69.12 66.11 62.43 54.92
2 72.84 72.72 72.24 62.25
3 81.64 79.51 78.67 65.80
4 105.4 104.6 97.10 77.60
1/2 1/2
5 138.7 130.3 102.4 95.02
1 69.77 66.36 57.62 36.16
2 72.80 72.64 72.15 60.56
3 82.36 78.89 76.59 74.29
4 105.2 104.4 101.7 88.18
1/2 1/4
5 138.9 133.0 127.0 123.3
表 4.5 不同位置之矩形裂縫板之無因次振動頻率(a/h=20)
c1/a b1/b c/a
Mode 1/8 2/8 3/8 6/8
1 19.18 16.83 15.52 14.20 2 21.15 21.11 17.64 14.51 3 24.66 22.29 21.09 18.48 4 31.83 24.60 24.19 21.39 0 1/2
5 37.95 31.68 30.83 22.55 1 20.31 18.73 17.99 14.20 2 21.50 21.48 21.39 14.51 3 24.96 23.61 23.58 18.48 4 31.56 31.35 30.96 21.39 1/4 1/2
5 43.06 41.32 31.49 22.55 1 20.32 19.27 17.96 15.36 2 21.62 21.57 21.40 17.94 3 24.50 23.76 23.47 19.12 4 32.04 31.75 30.97 23.08 1/2 1/2
5 42.69 42.22 31.01 29.26 1 20.63 19.91 17.57 10.26 2 21.61 21.57 21.47 18.05 3 24.90 23.85 22.86 22.18 4 32.00 31.78 31.09 26.19 1/2 1/4
5 42.88 41.18 39.14 37.50
表 4.6 不同旋轉角之裂縫矩形板自然振動頻率 (c/a=3/8，c1/a=1/2，c1/b=1/2)
(a)
a/h θ
Mode 0 度 30 度 60 度 90 度
1 62.43 64.96 68.72 70.03
2 72.24 72.02 71.44 71.29
3 78.67 77.92 78.23 79.50
4 97.10 89.61 85.46 84.52
10
5 102.4 115.8 126.8 125.5
(b)
a/h θ
Mode 0 度 30 度 60 度 90 度
1 17.96 18.95 20.25 20.65
2 21.40 21.45 21.21 21.12
3 23.47 23.27 23.54 24.04
4 30.97 27.94 26.43 26.01
20
5 31.01 35.81 38.92 38.69
圖 1.1 具應力奇異點板示意圖
圖 2.1 板上內力之示意圖
A
θ
圖 2.2 最小實部λ值與扇形角之關係(節錄Huang(1994))
圖 2.3 最小λ 值與扇形角之關係(節錄Huang(1994))
圖 3.1 板上之剪力與彎矩示意圖
圖 4.1 矩 形 板 之 裂 縫 示 意 圖
y
x
θ r
圖 4.2極座標和卡氏座標的轉換關係
a
b
XY
c
Crack
n1 隔間 n3 隔間 n1 隔間
N2 隔間
N2 隔間
圖 4.3 四 邊 型 元 素 示 意 圖 其中形狀函數(shape function)如下
( , ) 1(1 )(1 )( 1)
圖 4.4 三 角 形 元 素 示 意 圖 其中形狀函數(shape function)如下
( , ) (1 )(1 2 2 )
a
b
α
圖 4.5 355 度扇形板示意圖
圖 4.6 sp1 網格切割圖
圖 4.7 sp2 網格切割圖
圖 4.8(a) sp3(a)網格切割
圖 4.8(b) sp3(b)網格切割圖
圖 4.10 sp4 網格內部示意圖 圖 4.9 sp4 網格切割圖
` 圖 4.11 裂 縫 之 端 點 示 意 圖 5D
. 0
Crack Finite Element Mesh
0.000545188a
a/16
註 ：a 為矩形板之長
rec1
rec2(a)
rec2(b)
rec3
圖 4.12 之 rec1、 rec2 與 rec3 之 網 格 切 割 圖
Y
X Y
X θ1
θ
r
(
x ,o yo)
圖 4.13 裂 縫 端 點 之 座 標 轉 換 示 意 圖
rec1
rec2
rec3
圖 4.14 之 rec1、 rec2 與 rec3 之 受 力 示 意 圖
圖 4.15 奇 異 點 附 近 位 置 示 意 圖
1E-008 1E-007 1E-006 1E-005
Log(r/a) 0.1
1 10
Log(Mxx)
Log(Mxx)=-3.016-0.447Log(r/a) FE+corner(rec1)
FE(rec3)
a 為矩形板長度
10-8a
10-7a 10-6a 奇異點
10-5a
圖 4.16 奇 異 點 附 近 各位置 moment 之趨勢圖
-8 -7 -6 -5
圖4.17 矩形板之裂縫示意圖
圖 4.18 矩形板網格切割圖 b1
a
c2 c1
b
注:c=c2–c1
X Y
Crack
c/a=1/8
(a) c/a=2/8
(b) c/a=3/8
(c) c/a=6/8
(d)
圖 4.19 裂 縫 位 於 中 間 之 網 格 切 割 圖
Mode ０ １／８ ６／８
1
70.28 69.12 54.92
2
72.85 72.84 62.25
3
83.40 81.64 65.80
4
105.5 105.4 77.60
5
140.3 138.7 95.02
圖 4.20 裂縫位於中間之矩形板節點線圖
c/a=1/8
(a) c/a=2/8
(b) c/a=3/8
(c) c/a=6/8
(d)
圖 4.21 c1/a=0.25 之 網 格 切 割 圖
c/a
Mode ０ １／８ ６／８
1
70.28 68.95 51.62
2
72.85 72.48 52.52
3
83.41 82.90 64.24
4
105.5 103.9 72.90
5
140.3 139.8 76.10 圖 4.22 c1/a=0.25 之 矩形裂縫板節點線圖
c/a=1/8
(a) c/a=2/8
(b) c/a=3/8
(c) c/a=6/8
(d)
圖 4.23 c1/a=0 之 網 格 切 割 圖
c/a Mode
０ １／８ ６／８
1
70.28 65.94 51.62
2
72.85 71.53 52.52
3
83.41 82.22 64.24
4
105.5 105.0 72.90
5
140.3 116.0 76.10
圖 4.24 c1/a=0 之 矩 形 裂 縫 板 節 點 線 圖
c/a=1/8
(a) c/a=2/8
(b) c/a=3/8
(c) c/a=6/8
(d)
圖4.25 b /b=0.25 之網格示意圖
c/a Mode
０ １／８ ６／８
1
70.28 69.77 36.16
2
72.85 72.78 60.56
3
83.41 82.36 74.29
4
105.5 104.4 88.18
5
140.5 138.9 123.3
圖 4.26 b1/b=0.25 之 矩 形 裂 縫 板 節 點 線 圖
圖4.27 矩形裂板在不同角度之示意圖 θ
30D
θ =
（a）
60D
θ =
（b）
90D
θ =
（c）
圖 4.28 不 同 旋 轉 角 之 網 格 示 意 圖
Mode θ
30 60 90
1
64.96 68.72 70.03
2
72.02 71.44 71.29
3
77.92 78.23 79.50
4
89.61 85.46 84.42
5
115.8 126.8 125.5
圖 4.29 不同旋轉角之矩形裂縫板節點線圖