) ,$+-$
-$ 0*##+ ,$
,$+
-" $#$+,$$+-$
槡
$!2!,$+-$ -$ %#!
3!当0)##* ,$
,$+-$)##*,",##+-$#+.#
,$+-$ ! 1)$#*-",##+-$#+.#
,$+-$ 时!
""/"取得最小值""/"&'() $$ ,$+
-槡
$) "$",$+
-槡
$)",#槡
#,+$-$+-#$+."!3点到直线的距离4)",##+-$#+."
,$+
-槡
$ !该法带字母的运算较为复杂!但不过多依赖图形!且不需要讨论,$-是否为#!对问 题中不是字母而是具体数字的问题不失为一种很好的方法!
例!求抛物线$)#$上的点到直线#*$$*$)#的距离的最小值!
变式!在抛物线$)#$上找一点!使它到直线#*$$*$)#的距离最短!求出该点坐 标和最短距离!
湖南教育出版社
68高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
!图! !
让已知直线平行移动!设为!""#$%&#!最先遇到的抛物线上 的点 "切点#到已知直线的距离即为最短 "如图! !#'这种转化为 平行线间距离的方法与前面的方法二遥相呼应'
变式则是利用方法四中的函数思想!设抛物线上的动点坐标为
"!#!!"##!则(&"!#""!"#"""
槡
$ &" !"#"%&#
"
$%$
槡
$ %' !由此得出点"%&! %%'#到直线的距离最短!最短距离为()
槡
$!不仅求出了最短距离!而且找到了抛物线上的点'
! "# "$! 直线的斜率
本小节给出了表现直线倾斜程度的另外两个数学概念!即倾斜角和斜率!再根据它们的 定义!得出用两点坐标表示的斜率公式!并由此得到直线的点斜式方程和斜截式方程'
准确掌握倾斜角!斜率的定义!掌握斜率公式!了解利用斜率研究直线方程的方法!了 解直线的点斜式方程和斜截式方程'
%'重点!斜率的定义及斜率公式'
#'难点!倾斜角与斜率的关系'
&'倾斜角与斜率
除利用法向量可以表示直线的方向外!直线的倾斜角和斜率也都可以反映直线的方向' 倾斜角和斜率都反映了直线相对于!轴正方向的倾斜程度!二者既有联系又有区别!倾斜角 是几何概念!斜率是数!应当准确掌握它们的定义!并掌握斜率公式'
$'倾斜角的定义
必须着重讲清倾斜角!定义中的几个条件$%'若直线与!轴相交!则 "%#!轴逆时针 旋转%""#与直线重合% "(#取最小正角'"'若直线与!轴平行或重合!则规定!&#'这 说明倾斜角的范围是#*#!$%)#*'这样定义倾斜角可以使平面上任何一条直线都有唯一一 个倾斜角'倾斜角的大小确定!则直线的方向也就确定了'
湖南教育出版社
69高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
!!斜率及变化情况
在给出直线斜率的定义后!应说明斜率是一个数值!是一个比率!没有单位!提醒学生 注意!当!"!"#时!直线没有斜率!对学有余力的同学!可以讲斜率随倾斜角增大的变化情 况!即当"#!!"!"#时!斜率随倾斜角的增大而增大!范围是 ""! # $#$当!"#"!"$%"#
时!斜率也随倾斜角的增大而增大!范围是 %%$!"#!
"!点斜式方程与斜截式方程的缺陷
点斜式方程与斜截式方程都要用到直线的斜率!而当倾斜角为!"#时!直线有倾斜角但 无斜率!故不能将此时的直线表现为点斜式和斜截式!事实上!只有一般形式&'#()#*
""可以表示平面内的任意一条直线!
$!本节内容相对较多!从基本概念到基本公式再到基本方法!跨度较大!如不多用一 些课时!对相应知识点各个击破!学生难免囫囵吞枣!理解不透!
&!关于直线的点斜式方程和斜截式方程!不必死记方程形式!而均可由斜率公式+"
)&%)$
'&%'$导出!关键是掌握利用斜率研究直线方程的方法!包括利用斜率和截距研究两直线
的位置关系!
'!在推导出过两点的直线的斜率公式后!应向学生指出& %$#斜率公式与两点的顺序 无关!即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒$%&#斜率公式表明!直线对 于'轴的倾斜程度!可以通过直线上任意两点的坐标表示!而不需求出直线的倾斜角!因 而!使用时比较方便$ %'#斜率公式是研究直线方程各种形式的基本方法!应注意灵活 运用!
例##已知点&%%&!$#!(%'!&#!直线,过点-%"!%&#且与线段&(相交!求直线,的斜 率+的取值范围!
解#直线,过定点-%"!%&#!设,与&(的交点为. !当. 与点& 重合时!,的斜率
+&-"%'
&$当点.与点(重合时!,的斜率+(-"('!当点. 在&( 上变动时!+的取值 范围是+$('或+!%'&!
例$#已知直线,&%&/&%)/#'#'#%/&%!#)#'/&""的倾斜角为(!!求实数/!
解#由题设知!直线,的斜率为$!
0 &/&%)/#'*+%/&%!#!
即 '/&%)/%,*"!
湖南教育出版社
70高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
解得! !"!或!"#"
!$
当!"!时""!"##!%!$%且!"#&$%"不合题意"舍去$ 故!"#"!$
例!!依据下列条件"写出下列直线的方程$
#'$经过点&#""#'$"且与直线"'#!(%'"$%平行%
#"$经过点)##'"!$"且与直线'%"(#'$%垂直$ 解!#'$直线"'#!(%'"$%可化为(""
!'%($
因为所求直线与已知直线平行"故斜率也为"!"由点斜式方程"可知所求直线方程为
(###'$""
!#'#"$"
化简得! "'#!(##$%$
#"$直线'%"(#'$%可化为("#'
"'%'
"$
因为所求直线与已知直线垂直"故斜率为"$由点斜式方程可知"所求直线方程为(#!$
"#'%'$"化简得"'#(%)$%$
相关链接
过两直线交点的直线系
设*'!+''%,'(%-'"%"*"!+"'%,"(%-""%是相交的两条直线"."/是不同时 为零的任意实数"那么
*!.#+''%,'(%-'$%/#+"'%,"(%-"$"%! !
是经过*'和*"的交点的直线系方程$
下面分三步给出证明!
'$证明方程!表示直线$
将方程!整理可得!
#.+'%/+"$'%#.,'%/,"$(%#.-'%/-"$"%$! "
这是关于'"(的二元一次方程"且'"(的系数不同时为零"因为当.+'%/+""%且
.,'%/,""%时"++'
"",'
,""#/
."说明*'与*" 平行或重合"这与两直线相交矛盾$故! 表示直线$
湖南教育出版社
71高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
!!证明方程!所表示的直线都过""!"!的交点! 设""与"!的交点是#"$#!%##!则有
&"$#'("%#')"*#且&!$#'(!%#')!*#!
将#点坐标代入方程!!显然等式成立!所以直线系方程!表示的直线都过""与"!的 交点#"$#!%##!
$!证明所有通过#"$#!%##的直线都可以用方程!来表示!
设#""$"!%"#是平面上不同于#的任意一点!且直线##"的方程可以写成
+"&"$'("%')"#',"&!$'(!%')!#*#!! "
由于#"和#不是同一点!故&"$"'("%"')"*#和&!$"'(!%"')!*#不能同时成 立!不妨设&!$"'(!%"')!"#!可得$
,*-&"$"'("%"')"
&!$"'(!%"')!%+!
在上式中!如给+以任意确定的值!就可以相应地求出,的值!因此!以一组+!,的值代 入方程"!就得到##"的方程!也就是说!过#点的直线都包括在直线系"中!都具有方程! 的形式!
如果+"#!设+,*#!那么方程!也可以写成&"$'("%')"'#"&!$'(!%')!#*#的 形式!这直线系不包括"! "当+*#时#!只有一个参数#!应用较为方便!
湖南教育出版社
72高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
! "#!
" "" ""圆与方程
"" "" "" "" ""! "# "$! 圆的标准方程
本节内容介绍了圆的定义!并根据此定义得出了圆的标准方程!
掌握圆的定义及圆的标准方程!使学生会用待定系数法求圆的标准方程!
$!重点!利用待定系数法求圆的方程!
%!难点!根据圆的定义推导圆的方程!
#!确定一个圆需要三个独立的条件
由于方程""#$#$%"&#'#$()$含有三个参数$!'!)!因此必须具备三个独立条件才 能确定一个圆!利用待定系数法求圆的方程学生必须熟练掌握!其中$!'!)的实际意义应 当让学生清楚!还要注意方程中的 $#%号!反过来!根据圆的标准方程!可以写出圆心坐 标和半径!
&!注意数形结合思想的应用
教材例$的 解 法 一 中!可 设 圆 心 坐 标 为 * "$!$$#%#!根 据#*+#(#*,#!有
"$#&#$%"$$#%#
槡
$( "槡
$%$#$%"$$#%'$#$!解得$(#!故圆心坐标为"#!(#!半径)(#*+#(
槡
#)!同样得到圆的标准方程""###$%"&#(#$(#)!在解析几何的学习中应注意代 数与几何这两方面的结合!'!由圆的定义推导圆的标准方程时!用到了求曲线方程的一般方法!即先建坐标系! 设动点坐标为""!&#!再找动点满足的等量关系!之后将其用坐标表示并化简!得出曲线方 程!此法可用于解决不知道曲线类型时求曲线方程的问题!具有一般性!
待定系数法是求曲线方程的重要方法!教学中应该让学生反复练习!熟练运用!
湖南教育出版社
73高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
例!!已知圆过!!!"""#"#!"#"$#两点"且在$轴上截得的线段长为! $"
槡
求圆的方程%
解!设所求圆的方程为 !&"'#"(!$")#"*+"%
可知圆心到$轴的距离为"'""由勾股定理有$'"(!" $#
槡
"*+"% !将点!!"""#"!"#"$#代入圆的方程"有
!!%'#"(!""%)#"*+""! "
!"#%'#"(!$%)#"*+"%! #
联立!%"%#解得
'*#"
)*&"
+*
槡
#$#
$
% %
或
'*'"
)*!"
+*
槡
$(#
$
% %
故所求直线方程为!&"##"($"*#$或!&"'#"(!$"!#"*$(%
例"!求圆!&"##"( !$"##"*#上的点到直线$&(!$($)&的距离的最大值和最 小值%
解!圆心!#"##到直线$&(!$($)&的距离,*"$*#+!*#+$"
$"(!
槡
" *"%-圆上的点到直线$&(!$($)&的距离的最大值是+(,*$"最小值是,"+*#%
相关链接
圆的参数方程
由三角换元知"对方程&"($"*+""可令 &*+,-.$"
$*+./0$
#
$
% "这时&"$都是$的函数"且对于
$的每一个允许值"由方程组所确定的点! !&"$#都在圆.上"我们把方程组叫做圆心为 原点"半径为+的圆的参数方程"$为参数%
一般地"对方程!&"'#"( !$")#"*+""可令 &"'*+,-.$"
$")*+./0$
#
$
% "即 &*'(+,-.$"
$*)(+./0$
#
$
% %
!$为参 数#%这是圆心在!'")#"半径为+的圆的参数方程"相对于参数方程来说"前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程"叫作普通方程%
在圆的某些问题中"借助于圆的参数方程"能使它们的解决变得容易%
例!已知点!是圆&"($"*#1上的一个动点"点/是&轴上的定点"坐标为 !#""
&#%当点!在圆上运动时"线段!/的中点0 的轨迹是什么&
湖南教育出版社
74高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
解!设点! 的坐标为 !""##$
因为圆"!%#!&"#的参数方程是 "&$%&'!"
#&$'()!
"
#
$ "
所以可设'点坐标为 !$%&'!"$'()!#$
由线段中点坐标公式得点! 的轨迹参数方程为 "&#*!%&'!"
#&!'()!
"
#
$ $
移项得 "(#+!%&'!"
#&!'()!
"
#
$ $
"
#
"#两式平方相加"消去参数!"有!"(##!%#!&$$
所以"线段')的中点! 的轨迹是以点 !#",#为圆心"!为半径的圆$ 这里给出的解题方法通常叫参数法$
! "# "$! 圆的一般方程
本小节通过对两个二元一次方程的研究发现"表面不同的两个方程其实表示同一曲线"
进而引出圆的一般方程"介绍了方程"!%#!%*"%+#%,&,表示圆的条件"以及标准方 程与一般方程之间互化的方法$
掌握圆的一般方程"弄清方程"!%#!%*"%+#%,&,表示圆的条件"使学生能够熟 练地将圆的一般方程化为标准方程$
%$重点!圆的一般方程与标准方程的互化"待定系数法求圆的一般方程$
$$难点!方程"!%#!%*"%+#%,&,表示圆的条件$
#$用配方法求圆心和半径
对一般方程"!%#!%*"%+#%,&,配方可得!"%*!#
!
% #%+
! !#
!
&*!%+!($,
$ "
当*!%+!($,%,时"方程表示圆"且圆心为!(*!"(+!#"半径-&
槡
*!%+!($,! $对
此结果不必死记"而只要掌握配方的方法"即可得出圆心坐标和半径$
湖南教育出版社
75高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
!!"!#!$是三个待定系数
同圆的标准方程一样!一般方程也含有三个待定系数"!!"!##$因此必须具备三个独立 条件!才能确定一个圆!如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系!通常选用圆的一般方 程!再用待定系数法求出!!"!#$
无论是方程%!&'!&!%&"'&#("表示圆的条件!!&"!)##!"!还是圆心坐标
)!
!!)"
" !#!以及半径*(
槡
!!&"!)##! !建议都不要让学生死记!而强调用配方法 去求$
例""求过圆%!&'!)!%&#')$%&"上一点+ ")$!!#的切线的方程$
解"将圆的方程%!&'!)!%&#')$%&"化为标准方程得$"%)$#!&"'&!#!(!"!
可知圆心为,"$!)!#$
半径,+的斜率是 -,+($'")$#)!'! ()!!
故所求切线斜率为 -($
!!
由点斜式方程有 ')!&$
!"%&$#$
化简得$ %)!'&%&"$
例#"求经过."#!!#!/")$!(#两点!且在坐标轴上四个截距之和为!的圆的方程$ 解"设所求圆的方程为%!&'!&!%&"'&#("$圆在%轴上的两个截距为%$!%!!
在'轴上的两个截距为'$!'!$
令%("有'!&"'&#("!则'$&'!()"$
令'("有%!&!%&#("!则%$&%!()!$
依题意!有 %$&%!&'$&'!(!$
即 )!)"(!$ !
又将点"#!!#及")$!(#代入圆的方程!有
$)*#*#!&!"&#("! "
$*+'!&("&#("$ #
联立!"#式!解得$ !()!!"("!#()$!$
故所求圆的方程为 %!&'!)!%)$!&"$
例$"已知方程%!&'!)!"0&(#%&!"$'#0!#'&$)0#&+&"表示一个圆$
"$#求0的取值范围%