即有
槡
"%$%%$!)又 "!*"' "
槡
%$%%!故点*在圆外)
例!!自点+",&!&#发出的光线-射到#轴上!被#轴反射!其反射光线所在直线与圆
#%$&%,'#,'&$()"相切!求光线-所在直线的方程) 解!将已知圆的方程化为标准方程!得$
"#,%#%$"&,%#%'!)
它关于#轴对称的圆的方程是
"#,%#%$"&$%#%'!)
由题设可知!直线-将与此圆相切)
设-$&,&)."#$&#!即 .#,&$&.$&)"!
则 "%.,",%#$&.$&"
.%$
槡
! '!)解得.',&'或.','&)
故所求直线方程为&#$'&,&)"或'#$&&$&)")
例"!已知圆/$"#,%#%$"&,&#%''!直线-$"0$%##$"%0$!#&'(0$*)
"!#证明$不论0为何实数!直线-与圆/恒相交%
"%#当直线-被圆/截得的弦长最短时!求0的值)
"!#证明!由"0$%##$"%0$!#&'(0$*得
0"#$%&,(#$%#$&,*)")
解 #$%&,()"!
%#$&,*)"
%
&
' !!得 #'&!
&'%
%
&
' )
即直线-恒过定点+"&!%#)
由"+/"' "
槡
&$%#%$"%$&#%'槡
%#%知点+在(/内部)故直线-与(/恒相交)
"%#解!当直线-与直线+/垂直时!弦长最短)
而 .+/'%$&
&$%',!!
1直线-的斜率为!)
即有,%0$%0$!'!!解得0',!)
例#!求过直线%#$&$')"和圆#%$&%$%#,'&$!)"的交点!且满足下列条件之
湖南教育出版社
80高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
一的圆方程!
!!"过原点#!!!!!!! !""面积最小!
解!设所求圆的方程为""#$"#""%#$#!$!!""#$##"&%!即
""#$"#"!!$!""#!!%#"$#!!$#!"&%
!!" '!此圆过原点$(!!$#!&%!
解得 !&%!
#!
故所求圆的方程为 ""#$"#&""%!'#$&%!
!""解法一!当半径最小时$圆面积最小$对原方程左边配方得% &"# !!$!"'"#
$#!%#
! " "
"
&(
#!!%)("
"
## (! (当!&)
(时$此圆面积最小$圆的方程是 "#!&
! ("
"
# $%! *("
"
&# (!
解法二!当圆心在直线""#$##+%上时$圆的面积最小! 圆心为!%!%!$#,!" "$代入直线方程
得! "-!%!%!"##,!
" ##+%$
解得 !&)
(!
故满足条件的圆的方程为 ""#$"#"*
("%!"
($#&' (&%!
说明!设直线)%*"#+$#,&%与圆,%""#$"#-"#.$#/&%相交$则方程""#
$"#-"#.$#/#!!*"#+$#,"&%表示过直线)与圆,的两个交点的圆系方程!本题的
解答中应用了此圆系方程!
例!!过圆外一点0!1$2"引圆""#$"&3"的两条切线$求经过两个切点的直线方程! 解!设两个切点为*$+$以40为直径的圆过*$+两点!设,!"$$"为此圆上任意一 点$则有4,"0,!
故 "$&%"%1
$%2!
求得此圆方程为!!!!!!!"!"%1"#$!$%2"&%! "
又!!!!!!!!!!!!!!""#$"&3"$ #
#%"$得 1"#2$%3"&%!
此即为过两切点的直线方程!
湖南教育出版社
81高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
相关链接
圆的一般方程式
由圆的标准方程!!"#"!$ !%"&"!'(!变形可得!!$%!"!#!"!&%$#!$&!"(!'"#
对比圆的一般方程可知#方程!!$%!$)!$*%$+'"!)!$*!"#+!""所表示的圆的圆心 坐标为!")!#"*!"#半径('
槡
)!$*!"#+! #且有如下特点$
!$"!!#%!系数都为$%
!!"没有!%项%
!%")!$*!"#+!",
比较圆的一般方程!!$%!$)!$*%$+'"和二元二次方程的一般形式-!!$.!%$
/%!$)!$*%$+'"可知#条件 !$"和 !!"仅是一般的二元二次方程表示圆的必要条 件#再增加条件$
! "-)
!
$ *
! "
-!
"#+
-!"#即)!$*!"#-+!",
这样#与条件 !$"#!!"合起来#是二元二次方程表示圆的充要条件,
因此#可知一般的二元二次方程-!!$.!%$/%!$)!$*%$+'"表示圆的充要条件 为$ -'/""#
.'"#
)!$*!"#-+!"
#
$
% ,
与圆的标准方程一样#圆的一般方程也含有三个独立的参数#因此#必须具备三个独立 的条件#才能确定圆的一般方程,
圆的一般方程和圆的标准方程从本质上讲并无区别#它们只是表达形式不同#它们也可 互相转化,
如果由已知条件容易求得圆心坐标&半径或需利用圆心&半径来求解#则用圆的标准方 程比较方便%否则#用圆的一般方程为好,
若圆的一条直径的两端点分别是-!!$#%$"#.!!!#%!"#则该圆的方程为!!"!$"!!"!!"
$!%"%$"!%"%!"'" #可以用向量方法较方便地证明#证明过程如下$
设0!!#%"是圆上任意一点#因为0-&0.#所以0-'((' 0.' !((' !"!$#%"%$"' !!"!!#
%"%!"'"#即!!"!$"!!"!!"$!%"%$"!%"%!"'",我们称此方程为端点圆方程#端点圆方 程在解析几何中有许多巧妙的应用,
湖南教育出版社
82高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
! "#!
"" ""几何问题的代数解法
"" "" "" "" "" "" "" "" "" "" ""本小节明确指出解析几何的基本思想方法就是用代数方法解决几何问题!通过三个例题 的求解与证明来揭示几何问题的代数解法的基本思路与步骤!来展示 "以数助形#的数形结 合思想!
$!了解解析几何用代数方法解决几何问题的基本思想方法!
%!掌握几何问题的代数方法解题的基本思路!
&!能运用几何问题的代数方法求解简单的几何问题!
!!重点
$$%几何问题的代数方法的基本思路与操作步骤!
$%%问题解决过程中的代数推演 $如例$中的向量运算!例&中 "!""#等%的技巧 选择与优化处理!
"!难点
$$%将几何问题中的点和曲线的几何性质用坐标和方程的代数性质来表示和处理!
$%%用解析法解决问题时恰当建立平面直角坐标系的问题!
$&%问题解决中的参数讨论问题 $如教材例%%!
#$说明
$$%例$&例%中的平面直角坐标系的建立值得留心!事实上两例展示了约束坐标系
$例$ $$%&例%%和自由坐标系 $例$ $%%%两种!在解题中要根据所要解决问题的特征! 恰到好处地选择!
$%%例&中的 "!""#是曲线与方程意义的具体体现!在解析几何解题中用好它会给 问题的解决注入活力!
$&%例%中对参数#的讨论意味着求解轨迹问题要注意其纯粹性和完备性的检验!
湖南教育出版社
83高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
!!例!的教学中还可以指导学生由"#$!"#%&'!立意思考求解!
"!例"教学中还可指导学生以$%所在直线为(轴"以线段%$中点为坐标原点建立 平面直角坐标系求解"并与课本建系方法比较"从而深化建系方法!
#!例#教学中先让学生思考求法 #很可能是求其交点"由两点式写%$的直线方程$"
再指导学生思考课本上的解法"让学生学会在比较中学习的学习方法!
例!!在等腰直角三角形%$)中""%&$%&"$*是%) 边上的中线"%+#$*交$)
于+"求证%"%*$&")*+!
图' (
证明!建立如图' (所示的直角坐标系"设$%$$&$%)$&,"
则有%#%"%$"$#%",$")#,"%$"*# $,""% ! 由斜率公式得 "$*& ,
',
"
&'"!
因为%+#$*"故可得%+所在直线方程为-&!
"(!
于是点+#(%"-%$满足 -%&
!
"(%"
(%
,.-% ,&!
%
&
' "
解得 (%&
",
#"
-%&,
#
%
&
' !
则 "*+&
,
#'%
",
#',
"
& ",
),'#,&"!
即 *+,")*+&"!
又 *+,"%*$&*+,#!'")*$$&'*+,")*$&'"$*&'#'"$&"!
则 *+,")*+&*+,"%*$!
又")*+和"%*$都是锐角"
因此 ")*+&"%*$!
说明!建立约束直角坐标系的一般原则是"充分利用图形中垂直&平行&对称的特征"
这样会使推演过程较为简捷!
湖南教育出版社
84高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
例!!求证!两条曲线!"!!#$%!!&""!!
%!#$!
"!&" #其中""%为常数"且""%"#$的四 个交点在同一圆周上'
证明!!!!!!!!!!!!
!!
"!#$!
%!&""
!!
%!#$!
"!&"
#
$
% '
!
!!
!
!"
!#"得!!!!!!!!!! ""!#"
# %!$!!##%"!#""!$$!&!"
即 !!#$!&!"!%!
"!#%!'
由此可以看出"两曲线的四个交点在以##"#$为圆心""% !#
槡
"!#%!$"!#%! 为半径的圆周上' 说明!也可解出四个交点的坐标"证各点到原点的距离相等"但过程相对较为繁琐'
相关链接
构造图形证明不等式
几何问题的代数方法是解析几何的基本方法"体现了数形结合的思想'反过来"也可以 用几何方法较为简捷直观地解代数问题'下面举出几个构造图形证明不等式的例子'
例"!已知""%"(")&#"求证! "
槡
!#%!#槡
(!#)!'槡
#"*($!##%*)$!'图$ %
证明!如图$ %"设+#""%$",#(")$"则(-+(& "**)
槡
!#%!"(-,(**)&
槡
(!#)!"(+,(& #**)槡
"*($!##%*)$!'.(-+(#(**) -,('(**) +,("**) 即"!#%
槡
!#槡
(!#)!'槡
#"*($!##%*)$!在例"中"利用不等式两端的代数式的几何意义%%%两点间的
距离"较为简便地证明了不等式'再看下面的例子'
例! ! 设 ""%"( & #+"求 证! "
槡
!#%! #槡
%!#(!*%( '(!#"!#
槡
&槡
("'分析!本例所给的不等式中"后两个根式的被开方数不全是两数平方和形式"因而难以 用与前面例题类似的方法来加以证明'通过对后两个根式的被开方数的观察并联想到余弦定 理"不难发现"根式
槡
%!#(!*%(可以看做是边长分别为%"("其夹角为'#(的三角形的第三 边长&同样地" (槡
!#"!#槡
&("可看做是边长分别为("""其夹角为")#(的三角形的第三边 长&又因为槡
"!#%!可看做是两直角边长分别是"和%的直角三角形的斜边长"再注意到三湖南教育出版社
85高 中 数 学 教 师 教 学 用 书
书 书 书
图! "#
个角度$#%!&#%!"'#%之间的关系!于是可将直角三角形与有一个 角为$#%的三角形拼成如图! "#所示的图形!则!!"#$"'#%%
由"!&"'"&#"#"!#"就可以得出所要证明的结论%
证明$如图! "#!分别在(轴")轴的正半轴上取!"&两 点!使""!"$*!""&"$+!在"'#%的终边上取点#!使得""#"$,%
在%"!&中!由勾股定理得"!&"$ *
槡
('+(#在%"&#中!由余弦 定理得!"&#"$ +槡
(',(-(+,)*+$#%$槡
+(',(-+,#在%"!#中!由余弦定理得!"!#"$ ,
槡
('*(-(,*)*+"'#%$槡
,('*('槡
,,*%又由"!&"'"&#"#"!#"!得
*('+