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解法"! !同一法^"过点" 作"0 #!'#垂足为0#过点% 作

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,!0%) 二垂足重合^#即作"0 #!'#连0%#则0% #!'*

!下略^"

!""由 ^!!"中解法^!#得"%#

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即"%%分别移动到!-%'$的中点时^#"%的长最小^#最小值为

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例"!如图^{# $##}在四面体!'-1 中#'1#

槡

^"&#!'#!1#-'#-1#!-#&#求 证^&平面^!'1#平面^'-1*

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书 书 书

证明!!!""#$与^"#%$是全等的等腰三角形^!

!图! "!

&!取#$的中点'!连结"'"%'!则"'##$!#$#%'!

在""#$中!"#()!#'(#

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由于"%^$("'^$+%'^$!

&!"'#%'!

!!"'##$!&!"'#平面#%$,

&!平面^"#$#平面^#%$, 相关链接

#, 直线和平面垂直的判定定理的证明

定理 ^$直线和平面垂直的判定^%如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直^!那 么这条直线垂直于这个平面^,

已知#-$!!.$!!-%.(#!/#-!/#.,

求证#/#!,

证明^!设0是平面!内的任意一条直线^!要证明^/#!!根据定义^!只要证明/#0就可 以了^,

!图! "%

先证明直线/"0都通过点^#的情况 ^$图^{! "%%,}

在直线^/上点^#的两侧分别取点"""1!使"#("1#!那么 直线-".都是线段""1的垂直平分线^,为了证明/#0!可证明 直线0也是线段""1的垂直平分线^,

当0与- $或.%重合时^!根据已知/#- $或.%!可知/#0

成立^,当0与-".都不重合时^!在平面!内作一条直线%$!与 直线 -"."0分 别 交 于 点%"$"',连 结 "%""1%""$"

"1$""'""1'!则有^#

"%("1%!"$("1$,

""%$&""1%$,

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书 书 书

得 !!"#$!!%"#&

'" #!"#$#!%"#&

得 ^!#$!%#&

'" (是!!%的垂直平分线^&

'" )%(&

"图! "#

如果直线)!(中有一条或两条不经过点^{* "}图^{! "##$}那么 可过点*引它们的平行直线)$!(^$&由于过点*的这样两条直线 所成的角^$就是直线⁾与(所成的角^$同理可证这两条直线垂直^&

因而)%(&

综上所述^$可得

)%!&

%& 二面角

在日常生活中^$我们常说山坡的坡面和水平平面成多少度角^%水坝面和水平平面成多少 度角^%在发射人造地球卫星时^$也说卫星的轨道平面和地球的赤道平面成某个角度 ^"图^!

"&#&这个角的概念就是我们要研究的两个平面所成的角&&&二面角^&

图! "&

""""""

图! '(

一个平面内的一条直线^$把这个平面分成两部分^$其中的每一部分都叫做半平面^&从一 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ^"图^{! '( "}甲^##$这条直线叫做二面角 的棱^!这两个半平面叫做二面角的面^&

棱为!*!面为!$"的二面角^$记作二面角! !* "$如果棱用+表示^$则记作! +

"&如果^,!-分别为!$"内的点^$但不是⁺上的点^$则二面角也可记作^{, + -}或^{, !*}

-&

如图^{! '( "}乙^#$在二面角! + "的棱+上任取一点.$在半平面!和_"内^$从点.

分别作垂直于棱⁺的射线^.!!.*$射线^.!和^.* 组成^!!.*$在棱⁺上另取任意一点

.%$按同样方法作^!!%.%*%&因为^.!和^.%!%!.*和^.%*%都垂直于棱^+$且分别在同一平 面内^$所以!!.*和!!%.%*%的两边分别平行且方向相同^$因此$ !!.*$!%.%*%&可见

!!.*的大小与点.在棱上的位置无关^&

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书 书 书

以二面角的棱上任意一点为端点^!在两个面内分别作垂直于棱的两条射线^!这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角^!

二面角的大小^!可以用它的平面角来度量^!二面角的平面角是几度^!就说这个二面角是 几度^!

平面角是直角的二面角叫直二面角^!

木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时^!实际上就是测量这两个面所成二面角的 平面角 ^"图^{! "##!}我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是^!$%&'!就是说卫星轨道平面 与地球赤道平面所成的二面角的平面角是^!$%&'!

图! "#

!!!!!!

图! "(

例!如图^{! "(!}山坡的倾斜度 ^"坡面与水平平面所成二面角的度数^#是^!)'!山坡上 有一条直道^"#!它和坡脚的水平线^$%的夹角是^*)'!沿这条路上山^!行走^#))米后升高多 少米^$

解!已知"#&#))米^!设#'垂直于过%"的水平平面^!垂足为'!线段#' 的长度 就是所求的高度^!在平面^#%"内^!过点^#作#("%"!垂足是^(!连接^('!

)! #'"平面%"'!%"#平面%"'!

*! #'"%"!

又)! #("%"!#' 与^#(相交于^#!

*! %""平面#('!

从而有 %""('!

因此^!$#('就是坡面#("和水平平面%"' 所成的二面角的平面角!$#('&!)'!

由此得

#' &#(+,-!)'!!!

&"#+,-*)'+,-!)' .#))+,-*)'+,-!)'

&^{(& *}

槡

%"*%* "米#!

答^%沿直线前进^#))米^!升高约^"*%*米^!

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书 书 书

!!

!!

!!

!!

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小结与复习

!!

教材按照 ^!指导思想^"#!内容提要^"#!学习要求和需要注意的问题^"对本章进行了较全

面的总结^$在 ^!内容提要^"中罗列了本章的主要公理和定理^$但没有进行再次的分析^!在最

后给出了两个较综合的例题^!

归纳总结本章内容^$并适当综合提高^!

!!以教材总结为线索^$引导学生总结提高^!比如^$在回忆到公理^!时^$要求学生说出 条件和结论^$书写出在具体应用中的符号表示^$其它公理和定理也如此^!在总结到面积体积 时^$要学生能够说出教材线索^$说出相互之间的关系^$总结出 ^!分割^"的具体应用^!同时^$ 由于在第一部分学习几何体的定义时还没有讲到点^#线^#面的位置关系^$现在回过头再来看 它们的定义^$我们是否可以更严格地说或者能够更深地理解^!

"!一定要注意一些重要的思想方法的归纳和总结^!比如 ^!线线平行^"与 ^!线面平行^"

的相互转化^#!面面平行^"与 ^!线线平行^"的转化^{# !}线面平行^"与 ^!面面平行^"的转化^#

!线线垂直^"与 ^!线面垂直^"的相互转化^#!面面垂直^"与 ^!线面垂直^"的转化以及 ^!线面垂 直^"与 ^!面面垂直^"的转化^$还有 ^!立体问题平面化^"的转化等转化思想的总结^!

#!注意在重要的思想方法的指导下的一些常见的解题方法的归纳和总结^!在解法的总 结时^$不要有口诀^$不要过细也不能总结得太绝对^!

$!注意在本章中一些易混淆的东西的区别总结^$注意在本章学习中对学生曾经犯的一 些常见错误的总结^$以进一步提醒学生不要再犯^!

%!注意学生在学习本章中所表现出来的闪光点的归纳总结^$以激励学生进一步学习和 钻研的热情和树立学生的自信^!

例!"如图^$三棱锥^{" #$%}中^$已知"##$%$"#&$%&'$"##()$$%#()$

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书 书 书

且^!"#$!求三棱锥^{% &'(}的体积⁾

图! "#

分析!直接求三棱锥% &'(的体积比较困难⁾考虑到%&"

平面^"'(!可把原棱锥分割成两个三棱锥^{% "'(}和& "'(!利 用%&"截面"'(!且#"'(的面积易求^!从而体积可求⁾

解!如图^{! "#!}连结'""(")

*!%&"!"!'("!"!

又%&"'(!+!%&"截面"'() +!,% "'(#$

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+!,% &'(#,% "'(/,& "'(#$

#-#"'(#$%"/&"%#$

#%&#-#"'(#$

!.^%$)

评注!本例的解法称为分割法^!把原三棱锥分割为两个三棱锥^!它们有公共的底面

#"'(!而高的和恰为^%&!因而计算简便⁾本题也可将三棱锥补成三棱柱求体积⁾想一

想^!怎样做^&

例!!设0"1"2为空间中三条互不重合的直线^!试讨论它们之间的位置关系⁾

$$%

解^!这三条直线的位置关系如下^' 一^"若三条直线之间有三个交点^'

如图^$$%!0$1#&!1$2#'!2$0#(!则由这三条直线只能确定 一个平面⁾

二^"若三条直线之间有两个交点^'

$!%如图^$%%!0$1#&!0$2#'!1%2!则这三条直线只能确定一个平面⁾

$%%

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$#%

$"%如图^$#%!0$1#&!0$2#'!1"2异面^!则由这三条直线可能确定两个平面

$由0"1确定平面#!由0"2确定平面_$%) 三^"若三条直线之间有一个交点^'

$!%如图^$"%!0$1$2#&!且0&由1"2所确定的平面#!则由这三条直线只能确定 一个平面⁾

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书 书 书

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!!"如图^!""#!"""#$%#且!#由"$#所确定的平面^#则由这三条直线可确定三 个平面 ^!由"$#确定平面"#由#$!确定平面_##由!$"确定平面$"&

!%"如图^!#"#!""$%#且"$##!$#异面^#则由这三条直线可确定两个平面 ^!由

!$"确定平面"#由^"$#确定平面#"&

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!&"如图^!$"#!""$%#"$#异面^#!$#异面^#则由这三条直线只能确定一个平面

!由!$"确定平面""&

四^$若三条直线之间没有交点^%

!'"如图^!%"#!$"#!$#异面^#则由这三条直线只能确定一个平面 ^!由^!$"确定平 面""&

!!"如图^!&"#!$"$##则由这三条直线或只能确定一个平面^#或可能确定三个平面

!即!$"##共一个面"#如图甲所示^&或由!$"确定平面"#由"$#确定平面_##由#$!

确定平面$#如乙所示"&

!%"

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!&" !!

!!

!'("

!%"如图^!'("#!$"异面#"$#异面^#由这三条直线无法确定平面^&

例!!已知平面"$##%%"#'%"#(%##)%##%(#')是异面直线^#点*$+分 别是%($')的中点^#求证%*+$"&

证明!如图^{# !!#}过点^*作直线^%'('$')&%'('与平面"$#分别交于点^%'$('#

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书 书 书

图! ""

连结^{!!#!!#"!###!##$%}

&!!""!平面!###$"#!'!#"!

!!平面^!###$"#"'#^#$!

(!!#""##$%

又&!"$"!###!

(!四边形^!#"$##为平行四边形^%

&!!""!平面!#!####!'!!#!平面!#!####"'##^#! (!!#!"###%

又&!!)'#)!(!!#)'##)!即点)为!###的中点^%

&!四边形!###$"为平行四边形^!且点)!*分别为对边!###!"$的中点^%

(!)*"!#"%

(!)*"!%

例!!已知在空间四边形^!"#$中!!$$"#!!"$#$!点⁺是^%"#$的垂心^!求 证^"!+$平面"#$!!#$"$%

证明!如图^{! "$!}作%"#$的高")##,#$*!它们必交于一点+%

图! "$

&!"#$!$!"#$$*!(!"#$平面^!+$%

(!!+$"#%

同理#$$平面!+"!!+$#$%

(!!+$平面^"#$%

(!"$$!+%

&!"$$#,!(!"$$平面^!+#%

(!!#$"$%

例"!三射线-.#-/#-0两两垂直相交于-!平面1截三射 线于^!#"##!则^-在平面¹上的射影为^%!"#的垂心^%

图! "!

证明!如图^{! "!!}设+为-在平面!"#上的射影^!连结!+

延长交"#于)!连结-)%

&!-+$平面!"#!"#&平面!"#!(!-+$"#%

&!-!$-"!-!$-#!

(!-!$平面^-"#%又"#&平面^-"#!

(!-!$"#%(!又-+$"#!

(!"#$平面!+-%又!)&平面!+-!

(!"#$!)%

同理可证%!"#的其他两高也经过+点^%

(!+为^%!"#的垂心^%

例#!在空间四边形^!"#$ 中^!设!"'"#'#$ '$!!)#*#,#2 分别为四边

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书 书 书

!"!"#!#$!$!的中点"%!&分别为对角线^!#!"$的中点^"试证明如下结论成立^#

$!%

$!%!#!"$& $"%!#!平面"%$& $#%'!(!)!* 四点共 面"!#"平面^'()*&$$%%&垂直于平面^{'()* +}

证# $!%连接!&"#&+

,#!"-!$""#-#$"

##且^&是^"$中点^"

.#!&!"$"#&!"$"

$"%

.#"$!平面!#&"

,#!#$平面!#&"

.#"$!!#+

$"%连^"%!$%+

,#!"-"#"!$-#$"

又^,#%为^!#中点^"

$#%

.#$%!!#""%!!#+

.#!#!平面"$%+

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,#'是!"中点^"(是"#中点⁺

.#在%!"#中"'("!#+

同理#)*"!#+

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图% $&

.#'(")*+

.#'!(!)!* 共面⁺

.#!#"平面'()*+

$$%已证&%!!#"%&!"$"()""$"'("!#+

.#%&!'("%&!()+

.#%&!平面'()*+

例!#一个球内切于一个圆锥^"已知球与圆锥侧面相切圆的半径 为^/"圆锥底面半径为^/0"求此球的表面积⁺

图% $'

解#如图% $'" %1!" 是圆锥的轴截面^"其中20是内切球的 球心^"球与圆锥侧面相切于^#!$+

由题意^"有

圆锥的底面半径为2!-2"-/0"

球与圆锥相切圆的半径为^#%-$%-/+

又设内切球20的半径为3"

设^1#-4"又知^!#-2!-/0"

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书 书 书

由!"!!"# "!"!!$%!得#!"

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^{#'('('+'' #,}

那么内切球的表面积是^#.球&$!-^#&$!'(^#'^#

#'('+'^#&$!'(^#'

#'(+',

例!#如图^{% $&}所示^!$/为直角三角形^$/"的斜边^!0$$平面$/"!$#$0/于

# !$1$0"于1 ,

图% $&

"'#求证^%/"$面0$"&

"##求证%0/$面$1#&

"(#若0$&$/&$!设%/0"&!!试用^")*!表示!$#1的面 积^,当^")*!取何值时^!!$#1的面积最大^' 最大面积是多少^'

分析#证明线面垂直^!一般是用线面垂直的判定定理^!或用面面 垂直的性质定理^,

解^{# "}'# 2#0$$平面$/"!/"&平面$/"!3#0$$/",

由于$/为斜边!3#/"$$",又0$'$"&$!

3#/"$平面0$",

"## 2#/"$平面0$"!$1&平面0$"!3#/"$$1,

又$1$0"!且/"'0"&"!3#$1$平面0/",

又^0/&平面0/"!3#$1$0/,

又0/$$#!$#'$1&$!

3#0/$平面$#1,

"(#在^!"!0$/中!0$&$/&$!

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书 书 书

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相关链接

三垂线定理

自一点向平面引垂线^"垂足叫做这点在这个平面上的射影^%这个点与垂足间的线段叫做 这点到这个平面的垂线段^%

一条直线和一个平面相交^"但不和这个平面垂直^"这条直线叫做这个平面的斜线^!斜线 和平面的交点叫做斜足^%斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段^%

过斜线上的一点向平面引垂线^"过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影^"垂 足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影^%斜线上任意一点在平面上 的射影^"一定在斜线的射影上^%

!图) *+

如图^{) *+"}对于平面""直线'(是垂线^"垂足(是点' 的射 影^%直线^')是斜线^"点⁾是斜足^"直线⁽⁾是斜线^')的射影^%线段

'(是垂线段^"线段')是斜线段^"线段()是斜线段')的射影^% 从平面外一点向这个平面所引的垂线段^&斜线段和斜线段的射影^"

正好构成一个直角三角形^"而且其中有一条边 ^#即垂线段^$是垂直这

个平面的^"因而平面内的一条直线^"必然和这个直角三角形的一条边

垂直^%如果再垂直其余两条边之一 ^#斜线或射影^$"就一定也垂直这两条边的另一条 ^#射影 或斜线$%#为什么^'$

把这个结论总结为两个定理^%

三垂线定理^!在平面内的一条直线^!如果和这个平面的一条斜线的射影垂直^!那么它也 和这条斜线垂直^%

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在文檔中        &\'%F (頁 35-71)