&\'%F

书 书 书

! " # $

!"# !$% & ' ( ) * + , - . / " " 0 1 2 3 4 #5 6 $% 7 . 8 . 1 9

"!:;<=./">?&@ A B' C ? D E F G H I ? 7 . 1 J *& . K L M&

.1NO&(<ABNO'PQ= . / " > @ : ;' C @ R S T U . K V W& . 1 J*&.K>X&.1NO&YZ[\&]^_ `' a C ? 7 b Q c d . / " ' e f&f\ghf\7YZij!

:;k" 7 J 7 # l H m n . 8 o p q r s . / "' T U . K V W& . 1 J

*&.K>X&RStuv.1'w x y ^ z 7 { | g } |' ~  . 1 N O v Y Z [\€.8a.1‚)'YZ!a]^_`'~7ƒ„#:…†‡ˆ;‰Š

I?&@]^7RS' ‹ a Œ  . 8 7 Ž   ‘' ’ . 8 9 “ & 7 ” | r s . K'

•–—1˜™s!

š›!"œl.8’9./" 7 p m ž' Ÿ   ¡  . 8 a ’ 9 ‚ ) '  d ¢

£¤¥gNO!¦¦(

!!"

湖南教育出版社

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!!!"

!!"!#$%&'(

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^!

! "#!!"#$%&

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^"

"#!#!!!"#$%!&' !!!!!!!!!!!!!!!!!!! "

!"#$!!"#$%&'#$()*!!!!!!!!!!!!$

"#!#%!()*+,-'./ !!!!!!!!!!!!!!!!!! &

!"#$!+,-.(/0 !!!!!!!!!!!!!!!! !!

"#!#'!*01'023 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'

!"#$!12345!6"789'7 !!!!!!!!!!!"

! "$!!"#'()*+

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^!(

"#%#!!4"5"*%6789 !!!!!!!!!!!!!!!!! !(

!"#$!:;<"=>?@(A !!!!!!!!!!!!!%%

"#%#%!):89 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%'

!"#$!.BC8 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! %$

"#%#'!;<89 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%&

!"#$!!!=>D!"E=(FGG4(CH!!!!!!! ''

%!I"A!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ')

=>?@A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '"

!^!"#$!+E>G4 !!!!!!!!!!!!!!!!!! )%

,-./01

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! _)*

!%"!)*%&'(

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^*%

% "#!2#34

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ^**

!"#$!:J.KLMN(OPG4QRS8 !!!!!!! *$

% "$!'(#56

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ^*(

$#%#!!<5%BCDE !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! *(

!"#$!T>(SU%SU(T> !!!!!!!!!!!!"+

$#%#%!FG<5%6789 !!!!!!!!!!!!!!!!!! "!

湖南教育出版社

１

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!"#$!!"!"#!! ""$"%#$$$%"

"^%_$#$

槡

^{%$! "}

槡

^{%%#$%%#$% !!!!!! &'}

()%)*!!"#$%&' !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!&'

!"#$!&'()#*+!"$%,-./ !!!!!!!! &(

()%)'!#$%() !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!&+

!"#$!01()2&#()3 """""""""""""($

! "#!!"#$

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ^(*

()*)$!*%+,-. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(*

!"#$!4#56,7 !!!!!!!!!!!!!!!!! ('

()*)%!*%/0-. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(,

!"#$! #89:$ !!!!!!!!!!!!!!!!!! ((

()*)*!#$1*"*1*%2345 !!!!!!!!!!!!!! (-

!"#$!4#;<,7" !!!!!!!!!!!!!!!! -%

! "$!%&'()*+,-

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^-*

!"#$!=>?@ABCD" !!!!!!!!!!!!!! -,

! "%!./01234

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^-(

!"#$!EF89#GHI%%%JKL !!!!!!!!!!--

67189!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +.

5(67,8

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +,

湖南教育出版社

２

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

第!章!立体几何初步

通过观察具体实例^!尤其是从整体观察入手^!引导学生认识空间图形^!了解一些简单几 何体的表面积和体积的计算方法^"

#"能认识柱^"锥^"台^"球及简单几何体的结构特征^"

$"能画出简单空间图形的三视图^!会用斜二测画法画出它们的直观图^"

%"了解柱^"锥^"台^"球的表面积和体积的计算公式 ^#不要求记忆$"

&"借助长方体模型^!在直观认识和理解空间点^"线^"面的位置关系的基础上^!抽象出 空间线^"面位置关系的定义^!并了解本章中的四个公理^"

'"通过直观感知^"操作确认^!掌握线面^"面面平行及垂直的判定定理和性质定理^"

!"能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题^"

一^!本模块的内容与地位作用

几何学是研究现实世界中物体的形状^"大小与位置关系的数学学科^"立体几何是几何学 的重要组成部分^"为了使学生能够从现实世界中的具体实物抽象出几何图形^!建立点^"直线 和平面的概念^!培养他们的空间观念和想象能力^!以及运用这些几何知识解决问题的能力^!

%普通高中数学课程标准 ^#实验稿^$&把立体几何的教学分成两部分^"第一部分是在必修课程 的立体几何初步中^!将从现实世界中具体实物的整体观察入手^!认识最基本的空间几何图形

#柱^"锥^"台^"球^$及其直观图的画法^!并了解这些简单几何体的表面积与体积的计算方法^"

然后^!再以长方体为载体^!直观认识和理解空间点^"直线^"平面的概念及其相互位置关系^' 通过直观感知^"操作确认^"思辨论证^!认识和理解有关直线和平面平行^"垂直的性质与判 定^!论证一些有关空间直线和平面位置关系的简单命题^"第二部分是在选修课程的系列^$

#中^!与空间中向量的学习相结合^!进一步论证和解决一些有关空间图形的位置关系和度量 问题^"

本册教科书的第六章的第一部分 ^#即^!(#$!通过较多的实例^!引导学生观察自己身边 现实世界中的建筑和实际物体^!认识它们都是由柱^"锥^"台^"球及其简单组合体构成的立体 图形^!并引导学生认识柱^"锥^"台^"球的结构特征^!让学生能够运用这些特征去描述现实生 活中简单物体的结构^"在这一部分中^!还要求学生学习绘制简单空间图形的三视图和直观

湖南教育出版社

1

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

图^!了解柱^"锥^"台^"球的表面积和体积计算公式^!目的是为了帮助学生进一步发展空间观 念和想象能力^!画图的要求不像学习机械制图那样严格^!计算公式也不要求学生记忆^!

本册教科书的第六章的第二部分中^!改变了以往教学立体几何的顺序^!没有从抽象的概

念出发^!推导点^"直线和平面的相互位置关系^!而是借助直观具体的实物或长方体模型^!让

学生通过一系列的实际活动^!直观感知^"操作确认^"思辩论证^!认识点^"直线和平面的垂直 与平行等相互位置关系^!使学生经历了从直观到抽象^!从特殊到一般的学习过程^!既学习了 立体几何的知识^!发展空间观念^!又循序渐进地培养了学生的抽象思维和逻辑推理能力^!

二^!编写中考虑的几个问题

"!立体几何的内容安排^!遵循从整体到局部^"具体到抽象的原则^!先从现实生活中的

实物讲空间几何体^!再从空间几何体的整体结构^!讲构成空间几何体的点^"直线^"平面之间 的位置关系^!

与以往教学立体几何的内容体系相比^!本册教科书立体几何的内容体系结构有重大改 革^!以往立体几何教学^!常从研究点^"直线和平面开始^!先讲它们之间的位置关系和有关公 理^"定理^!再研究由它们组成的几何体的结构特征^"几何体的体积^"表面积等等^!基本上是 从局部到整体^!现在^!是先从对空间几何体的整体感受入手^!再研究组成空间几何体的点^"

直线和平面^!这种安排有助于发展学生的空间观念^"培养学生的空间想象能力^"几何直观能 力^!适当减轻几何论证的难度^!降低立体几何学习入门的门槛^!提高学生学习立体几何的兴 趣^!本教材在讲点^"直线和平面的关系时也不是从元素入手^!而是从关系入手^!教材的两大 节的标题分别是 ^#平行关系^$和 ^#垂直关系$!这些都和传统教材不一样^!

第一部分 ^%即^#$"&和第二部分 ^%即^#$%&是一个有机的整体^!第二部分讲完后^!可引 导学生从点^"直线^"平面的角度重新认识空间几何体^!把握空间几何体的结构特征^!对空间 几何体的结构特征有更本质的认识^!

%!强调几何直观^!渗透公理化思想^!进行适当的几何推理

立体几何实际上与学生的联系非常密切^!很多实物都可以看成是各式各样的空间几何 体^!这些物体的棱与棱^"棱与面^"面与面之间的关系^!实际上就是直线与直线^"直线与平

面^"平面与平面的位置关系^!学习时^!一方面要引导学生从生活实际出发^!把知识与周围的

实物联系起来^!另一方面^!要引导学生经历从现实的生活中抽象出空间图形的过程^!注重探 索空间图形位置关系^!抽象概括它们的判定与性质^!比如^!在有关直线与直线^"直线与平面 以及平面与平面的平行或垂直的判定定理的教学中^!要注重引导学生通过观察^"操作^"有条 理的思考和推理等活动^!从多种角度认识有关直线与直线^"直线与平面以及平面与平面的平 行或垂直的关系^'在性质定理的教学中^!同样不能忽视学生从实际问题出发^!进行探究的过 程^!要引导学生借助图形直观^!通过归纳^"类比等合情推理^!来探索直线^"平面的平行与垂 直等性质及其证明^!然后再一步步地过渡到比较严格的证明^!尤其是在^#$"的教学中要特别 注意^!这里所涉及到的平行^"垂直等都是直观的^"模糊的^!不要提前在理论上去深究^!

湖南教育出版社

2

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

立体几何在构建直观^!形象的数学模型方面有其独特作用^!图形的直观^"不仅为学生感 受^!理解抽象的概念提供了有力的支撑^"而且有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力^! 欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来^"几何就与演绎推理结下了不解之缘^"很久以 来几何学就成为训练逻辑推理的素材^!然而就推理来说^"既有合情推理^"又有演绎推理^"而 且从数学自身发展的过程来看^"即使演绎推理也并非 ^#几何^$所独有^"它广泛存在于数学的 各个分支中^!"#世纪^$#年代以来^"国际数学教育对几何推理的要求发生了一些变化^"从纯 粹的演绎推理转向较少的演绎推理^"更多地强调从具体情境或前提出发^"进行合情推理^%从 单纯强调几何的逻辑推理^"转向更全面地体现几何的教育价值^"特别是几何在发展学生空间 观念^"以及观察^!操作^!试验^!探索^!合情推理等 ^#过程性^$方面的教育价值^!本册教科书 的第一^!二两部分 ^&即^%&'和^%&"两大节^'就特别注意^"使学生一步一步地从特殊到一般^"

从具体到抽象^"认识空间直线和平面的位置关系^"并在推理过程中逐步渗透公理化思想^"养 成言必有据的理性思维精神^"但同时^"本章对推理论证的要求又比传统教材要求要低^!

'!认真把握 ⁽普通高中数学课程标准 ^&实验^')的教学要求

与以往的立体几何教学要求相比^"本册教科书在几何推理证明方面的教学要求大大降低 了^"削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明^"减少了定理的数量^"删去了大量的几何证明

题^"淡化了几何证明的技巧^"对于直线^!平面平行和垂直的判定定理只需通过直观感知^!操

作确认^!思辩论证的方式归纳得出^"不进行系统的推理证明^!同时大大地加强了对于空间图 形的整体认识和把握^"从看实物到想图形^!再从三视图或直观图到想象空间图形^%然后从空 间图形的整体^"到把握直线与直线^!直线与平面^!平面与平面的位置关系^"更加强调发展学 生的空间想象能力^"以及联系实际运用几何知识^"观察和解决现实世界中有关图形的问题^!

"!承上启下^"注意相关知识内容的联系^!通过不同数学内容的联系与启发^"强调类比^! 推广^!特殊化^!化归等思想方法的运用

本册内容的起点是义务教育阶段 ^#空间与图形^$的相关知识^"特别是 ^#空间几何体^$的 内容^!在 ⁽全日制义务教育数学课程标准 ^&实验稿^')#空间与图形^$的视图与投影内容中包 括^*&''会画基本几何体 ^&直棱柱^!圆柱^!圆锥^!球^'的三视图 ^&主视图^!左视图^!俯视 图^'"会判断简单物体的三视图^"能根据三视图描述基本几何体或实物原型^{% &"'}了解直棱 柱^!圆锥的侧面展开图^"能根据展开图判断和制作立体模型^%&('了解基本几何体与其三视 图^!展开图 ^&球除外^'之间的关系^"通过典型实例^"知道这种关系在现实生活中的应用 ^&如 物体的包装^'%&)'通过实例了解中心投影和平行投影^!

教学时^"应适当回顾上述知识内容^"在义务教育阶段学习的基础上^"进一步提高对空间 几何体的认识^!按照 ^#画法$ ! #算法$ ! #证法^$展开知识内容^!

在每章 ^#小结^$中^"利用数学内容的内在联系^"使不同的数学内容相互沟通^"提高学生 对数学的整体认识水平^!特别地^"在教科书中强调类比^!推广^!特殊化^!化归等思想方法^!

湖南教育出版社

3

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!"关注现代信息技术的运用

!#"通过现代信息技术^#如计算机^$网络等展示丰富的图片^#让学生感受大量的实物^#

抽象出空间几何体及其结构特征^"

!$"运用现代信息技术和有关软件^#制作一些课件^#如动态演示空间点^$直线^$平面之

间的位置关系^#空间中的平行与垂直关系^#等等^#我们在本章特别安排了数学建模和数学实 验的内容供学生阅读^#有条件的学校^#老师可以给学生演示或让学生利用计算机进行具体的 实验^"

%"需要注意的问题^%

!#"本章主要内容是借助长方体研究空间的线线^$线面^$面面的位置关系^#在位置关系

中着重研究的是平行和垂直关系^"一定要借助实物模型 ^!教具或者充分利用我们身处的教室 以及学生的课桌^$椅子^$粉笔盒等^"或计算机软件呈现空间几何体^#去认识其结构特征^#反 过来^#运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构^"

!$"通过实际模型的认识^#注意将自然语言转化为图形语言和符号语言^"例如^#在对长

方体直观感知的基础上^#认识空间中一般的点^$线^$面的位置关系^#通过图形的观察^$实验 和说理^#进一步了解平行^$垂直关系的基本性质及判定方法^"

!!"关于线线^$线面^$面面位置关系的判定定理和性质定理是本章的主要内容^#运用这

些定理时^#要弄清定理的题设和结论^#要敢于将题设和结论换位思考或部分换位多角度思 考^#从而熟练地掌握这些定理^#并能灵活运用^"

!%"立体几何问题中的点^$线^$面关系^#往往通过在某些特定的面上来研究^#从而将空

间问题转化为我们熟悉的平面问题来解决^#这种转化的思想方法在本章显得尤其重要^"

!&"教材删除了传统意义上重要的三垂线定理 ^!实际上可以通过线面垂直与线线垂直进

行转换^"等许多内容^#直线与平面平行的判定定理等许多传统的重要定理也没有要求掌握证

明了^"我们必须丢掉过去那些传统的内容^#不要花过多精力去补充^#否则就偏离了新课改的

方向^"

&"关注 ^&观察与思考^'$&多知道一点^'$&想象与思考^{'$ &}观察^$想象与思考^{'$ &}问题 探索^'$&数学实验^'和 ^&数学建模^'等栏目以及边空和边空小字的作用

本套教科书在体例结构上有重大改革^#增添了许多栏目^#教学中要注意发挥这些栏目以 及边空的作用^"

问题是创新的关键^#在知识形成过程的 ^&关键点^'上^#在运用数学思想方法产生解决问 题策略的 ^&关节点^'上^#在数学知识之间联系的 ^&联结点^'上^#在数学问题变式的 ^&发散 点^'上^#在学生思维的 ^&最近发展区^'内^#通过 ^&观察与思考^'$&多知道一点^'$&想象与思 考^'$&观察^$想象与思考^'$&问题探索^'等栏目^#提出恰当的^$对学生数学思维有适度启发 的问题^#引导学生的思考和探索活动^#使他们经历观察^$实验^$猜测^$推理^$交流^$反思等 理性思维的基本过程^#切实改进学生的学习方式^"

设置 ^&数学实验^'和 ^&数学建模^'等栏目^#为学生提供丰富的具有思想性^$实践性^$挑

湖南教育出版社

4

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

战性的^!反映数学本质的选学材料^!拓展学生的数学活动空间^!发展学生 ^"做数学^#$"用数 学^#的意识^!

在边空中^!提出数学知识形成过程中的具体问题^!以旁白方式强调重要的数学思想方法 或知识点^!

本章教学时间约需^!"课时^!具体分配如下 ^%仅供参考^&'

#$%!空间的几何体

"#$#$!几类简单的几何体!!!!!!!!!!!!%课时

"#$#%!在平面上画立体图形 ^%课时

实习作业 ^%课时

"#$#&!面积和体积公式 ^%课时

#$!!空间的直线和平面

"#%#$!点^$线^$面的位置关系 ^&课时

"#%#%!平行关系 ^&课时

"#%#&!垂直关系 ^&课时

小结与复习 ^&课时

湖南教育出版社

5

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

! "#!

^{" "" ""}

空间的几何体

^{"" "" "" "" "" "" ""}

! "# "#! 几类简单的几何体

本小节在观察现实生活中的实际照片的基础上^!在回忆小学和初中的相关几何知识中引 入^!通过寻找实际图片上类似于我们知道的几何体开始^!引入有关概念^$本节的所有概念都 是观察出来的^!更多的是学生通过观察总结出来^!最初允许学生的说法不够严密^!要大胆鼓 励学生用自己的语言说出来^!在此基础上再逐步规范化和严密化^$实际上有些概念是暂时无 法严密化的^!比如平面的平行我们暂时就无法严格的说^$

#$要能较准确地识别所给出的几何体^$

%$知道几种常见几何体的定义^$

#$重点^"学生在小学及初中学习的基础上^!归纳出各种几何体的较准确的概念^!并能

够准确地判断给出的各种几何体^$

$$难点^"从在实际生活中的各种物体中抽象出一般性的几何体的概念^!以及对有关几

何体的判断^$

%$本节所涉及到的几类简单的几何体^!学生在小学或初中时已经有所了解^!本节要做 的是进一步严格的定义^!但又不完全是严格的定义^!比如平面的平行我们暂时就无法严格的 定义^$

本节的重点和难点都在于概念^!为此^!在给出定义时^!要先让学生观察各种实际中的物 体^!除教材上的照片外^!老师可以多找些照片或者实物给学生观察^!引导学生通过观察后大 胆地猜测^!归纳出一般的几何体的概念^!在这个过程中老师不能心急^!不要急于说出结论^! 要不断引导学生修正不全面或不完善的说法^$

湖南教育出版社

6

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

例!!指出棱柱^!棱锥^!棱台之间的关系^!

提示^!棱柱的下底不变上底缩小就可以变成棱台^"再变小为一点就是棱锥^!建议用电脑 动画或实物展示帮助理解^!

例"!指出圆柱^!圆锥^!圆台之间的关系^!

提示^!圆柱的下底不变上底缩小就可以变成圆台^"再变小为一点就是圆锥^!建议用电脑 动画或实物展示帮助理解^!

例^#!将一块正方体豆腐切^!刀^"最少被分成几块^"最多能被分成几块^#

提示^!最少被分成^"块 ^$!刀平行地从一个方向切^%"最多被分成^#块 ^$!刀从^!个不同

的方向切^"使每刀都能够将原来的豆腐一分为二^%!

例$!一刀切一个正方体^"切口最多边时是几边^# 提示^!当这刀切到正方体的^$个面时是^$边形^!

相关链接

平面几何与立体几何的类比

类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似^"推出它们在其他方面的相同或相似点的 一种推理方法^!

由于类比推理所得结论的真实性并不可靠^"因此它不能作为严格的数学推理方法^"但它 是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉^!

平面几何和立体几何在研究对象和方法^!构成图形的基本元素等方面是相同或相似的^"

因此^"在两者之间进行类比是研究它们性质的一种非常有效的方法^!

为了对二者进行类比^"可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系^&

!!!!!平面^!!!!!!!!!!空间

!!!!! 点##########"点或直线

!!!!!直线#########"直线或平面

!!!!平面图形######"平面图形或立体图形

$%%由平面几何定理类比到立体几何命题^"再尝试判断该命题是否成立^! 例^"如图^{$ %"}对勾股定理进行类比^!

$&%由立体几何问题^"用类比的方法构造辅助的平面几何问题^"通过这个问题的解决^"

类比猜想立体几何问题的解决方法^!

例^"如图$ &"求证^&正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值^!

湖南教育出版社

7

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

图! "

图! #

第一步^!类比构造一个辅助平面几何问题 ^!求证^"正三角形内任意一点到三边的距离之 和为定值^#!

第二步!通过分割的方法^$利用面积的关系解决平面几何问题^! 即^{!""#$%&""'#$(""'$%(""'%#$}

!!"

#)%*&"

#)%'+("

#)%',("

#)%'-$

.!'+(',('-&*!

其中^*为三角形高^!

第三步!类比猜想^$所给立体几何问题是否也可以通过分割的方法^$利用体积的关系来 证明^&

这个猜想是正确的^$证明如下^"

/!00 #$%&0' #$0(0' #$%(0' #%0(0' $%0$

即^!"_$*%"&"

$'+%"("

$'-%"("

$'1%"("

$'2%"!

.!'+('-('1('2&*!

其中*为正四面体的高$"为一个侧面正三角形的面积^!

勤于运用类比推理去探索和研究问题^$有利于创造性思维能力的培养^!

湖南教育出版社

8

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

! "# "$! 在平面上画立体图形

三视图是学生在初中学习过的^!在复习三视图的基础上^!引导学生画直观图^!在画直观 图时^!是先具体地画^!然后再总结出一般性的方法^!本节还包括中心投影和平行投影^!这两 部分也是学生在初中已经知道的^!本节是进一步理论化^!但是又没有去很系统和十分完善^! 目的还是让学生了解有关知识就是了^!

!!会画三视图和直观图^"

"!能够判断中心投影和平行投影^!

#!重点^#通过师生具体的画图掌握用斜二侧画法画直观图^!并归纳出画法的规则^!

$!难点^#通过三视图认识立体图^!仅给出三视图学生要能够想象出立体图大概是怎么 样的^!初中画三视图时是定性而没有定量地画^!对接受能力较强的同学要让他们注意各边的 长短和各角的大小^!

由于三视图是学生在初中学习过的^!一定要在复习三视图的基础上^!引导学生画直观 图^!最好是先让学生画三视图^!并且选题比初中时难些^!还要有给出三视图后让学生口头说 出其大概形状和摆法的训练^!在画直观图时^!一定是先具体地画^!最好是老师先画一个^!再 让同学依样类似地画一个^!然后再同同学一起总结出一般性的方法^!在总结时一定要给学生 足够的时间^!要有耐心逐步地修改学生的说法^!千万不要直接由老师给出^!为此^!最好不要 让学生先看书^!而是上完课后再让学生看书^!

在讲解中心投影和平行投影时^!要多结合实际生活进行讲解^!比如手电筒^!太阳光^!日 光灯等^!对这些学生身边的东西进行分析^!学生更能理解和接受^!这部分虽然是在进一步理 论化^!但是仍然是在理论上不要过度地深化提高^!重在直观^!在感性认识^!

例#!画一个有手柄的水杯的三视图^!

湖南教育出版社

9

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

例!!画一个三棱锥的三视图 ^!拿一个具体的模型^"建议用正四面体^#!

注意^$由于三棱锥具体放置方向不同^"其三视图也有区别^"尤其是定量的分析时更要注 意^"无论我们怎么摆放^"实际上我们的三视图都是没有原三棱锥的任何一个面的^"因为我们 所得的三角形的高都是原来的三棱锥的高^!

例"!画一个长^%宽^%高分别为!"#"$"#"%"#的长方体的直观图^! 例#!画一个三棱锥的直观图^!

注意^$怎样将边分解为平行于"轴和平行于#轴^!然后确定相应的点^"再连接出有关 线段^!

以下两例要用正等测画法^$

例$!一个圆锥的底面半径是^&'("#"在它的内部有一个底面半径为⁾'*"#"高为

&'%"#的内接圆柱^!画出它们的直观图^!

画法^!!&#画轴!取"轴%#轴%$轴^"使它们两两相交成^&+),角^"如图^{( $ !}甲#!

!+#画底面^!以^%为中心^"按^"轴%#轴画半径等于^&'("#的圆的直观图^!

!$#画内接圆柱^!以^%为中心^"按^"轴%#轴画一个半径等于^)'*"#的圆的直观图^"

然后在$轴上^"取线段%%&'&'%"#"过点%&作%&( ""轴"%&) "#轴^"再以%&为中心^"

按^%&( "%&) 画一个半径相同的圆的直观图^!画圆柱的两条母线^"使它们与这两个椭圆 相切^!

!!#成图!画圆锥的两条母线与椭圆*+,和*&+&,&相切^"再加以整理^"就得到所要画 的直观图^"如图^{( $ !}乙^#!

图( $

!图( !

球的直观图^"一般也采用正等测画法^"这时球的轮廓是一个圆^! 例%!画半径为^-的球的直观图^!

画法^{! !&#}画轴^!经过点^%画^" 轴%#轴^%$轴^"轴间角为

&+),"如图^{( !!}

!+#画大圆^!以^%为中心^"分别按^"轴%#轴"#轴^%$轴^"$

轴%"轴画半径为-的圆的直观图 ^!三个椭圆#!

湖南教育出版社

10

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!!"成图^!以点^!为圆心画一个圆与三个椭圆都相切^#最后经过整理^#就得到球的直

观图^"

相关链接

三维空间的表示

我们经常需要把物体画在纸上^#作三维空间的表示^"从^"#世纪开始^#就有艺术家研究 这个问题^#因而发展出投影几何^#即研究透视图的数学^"后来又发展出绘制建筑物及其结构 的标准方法^#供建筑师及工程师使用^"本课题可供学生做工艺及设计的练习^"

透视法

!""请查阅意大利画家乌切罗 ^{!$%&'& ())*''}&"#及德国艺术家丢勒 ^{!+',-*)./01-*-"}

等人早期使用透视法的例子²

!3"画出某些物体的透视图^#例如由正方形瓷砖铺成的地板的透视图²

!!"正方形的影子可以变成什么形状^$

等距画法第二种表示立体物体的常用方法就是在等距图纸 ^!等边三角形的格子^"上绘图² 课题^%利用互相连接的立方体^#探寻有多少种方法可以组合⁴个立方体^#并把它们画在 等距图纸上²更难一点的课题^%以^#个立方体重做此题²

平面图及立面图

建筑师及工程师所使用的平面图及立面图的标准方法^#是在^"56#年由法国人蒙日

!7%89%-: ;&<=*"发明的^"他把物体想象成置于玻璃盒子内^#然后将投影画在盒子的各 面上^"

湖南教育出版社

11

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

课题^!设计一栋房屋^"画出其平面图及立面图^! 不可能的物体

我们的眼睛很容易被二维的图欺骗^"上图就是一个很著名的例子^!

荷兰画家埃舍尔 #!"#"$%&'()$据此曾创作了一些有趣的图画^"可参考埃舍尔的画 集 ^{#*'(+),-'.& /0)10}2!"#"$%3&'()$"找出一些不可能的物体的图^"并试画几个^!

实习作业 ! 画建筑物的视图与直观图

本节没有具体的内容^"主要是老师根据学校的具体情况^"选实物让学生画^"锻炼学生的 实物与几何图形的相互转化的关系^"锻炼学生认识几何图形的能力^"为后面学习打下基础^!

建议老师在可能的情况下用相机拍些相片^"在相片上突出棱角^"与学生画出的图形进行 比较^!在评价学生的作品时要多肯定^"切不要全盘否定^%重点看学生作品中的线条的相互关 系是否妥当^"是否适当注意了比例关系等^!

湖南教育出版社

12

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

! "# "$! 面积和体积公式

本节内容先讲面积^!后讲体积^!在讲解时^!对棱柱^"棱锥和棱台的面积^!又没有给出具 体的面积公式^!只是说明了如何通过 ^#分割^$达到各个击破^{% #}先求侧面和底面^!后求和^$这 种转化的方法^!在圆柱^"圆锥和圆台部分^!通过 ^#展开^$将侧面转化为平面图形来求侧面积^! 还归纳了圆柱^"圆锥和圆台的侧面积之间的关系^!在体积部分^!先给出拟柱体的体积公式^!用 拟柱体来统一棱柱^"棱锥和棱台的体积^!它们都是特殊的拟柱体^!这样可以有效地回避掉判断 是否是棱台的问题^!在圆柱^"圆锥和圆台以及球体部分^!把圆柱和圆锥归结为特殊的圆台^!所 有的面积和体积的计算公式都没有要求掌握公式的推导^!只要求会直接利用公式求解^!本部分 特别注重 ^#分割^$的转化思想^!为此^!在最后安排了一个求较复杂的图形的体积的例题^!

!!了解圆柱^"圆锥和圆台以及棱柱^"棱锥和棱台的表面积公式^&

"!了解圆柱^"圆锥和圆台以及棱柱^"棱锥和棱台的体积公式^&

#!理解和掌握通过 ^#分割^$达到各个击破这种转化方式在求复杂问题 ^'面积^"体积⁽ 中的作用和一些常见技巧^!

#!重点^%面积和体积公式的理解和应用以及如何通过 ^#分割^$求一些组合图形的面积 和体积^!

%!难点^%球的表面积和体积公式的理解^!#分割^$的方法^!

$!本节教材比较枯燥^!内容多^!在讲解时^!关键要学生理解和掌握好通过 ^#分割^$达 到各个击破这种转化方式在求复杂问题 ^'面积^"体积⁽中的作用和一些常见技巧^!面积部分 的许多公式学生初中时都知道^!在这里要进一步让学生体会它们的相互关系^!尤其是教材

$%"&的图表所体现的圆柱^"圆锥和圆台的侧面积公式之间的关系^!这种关系是由图形本身 的特点所决定的^!也可以引申到棱柱^"棱锥和棱台之间的关系上^!

在体积部分本书与传统教材不一样^!本书直接给出拟柱体^!用拟柱体来统一棱柱^"棱锥 和棱台的体积^!实际上我们知道^!现实生活中要判断是否为棱台是比较麻烦的^!而拟柱体又 是更普遍的^!教材^$%"!的图^{' "#}就是取自 ⁾课程标准^*给出的例题^!它就不是棱台^!当 然^!学生如果已经掌握了棱柱^"棱锥和棱台的体积的计算方法^!对能够直接肯定是棱柱^"棱

湖南教育出版社

13

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

锥和棱台的^!还是建议直接用它们各自的体积公式进行计算^!

由于所有的面积和体积都没有要求掌握公式的推导^!只要求会直接利用公式求解^!为 此^!建议老师不要花过多精力于推导上^!但可以适当介绍推导思路而不具体推导^!注意通过 例题让学生体会通过 ^"分割^#达到各个击破这种转化方式在求复杂问题 ^$面积^%体积^&中的 作用和一些常见技巧^!直接给出拟柱体是本书的一大特色^!教材^!"#$的 ^"观察与思考^#中

的图^{% #&!}可以引导学生先思考判断是不是棱台^!进而点出本节教材安排拟柱体的好处^!

例^!!已知直角三角形^"#$的两直角边"$%%!#$%'!将此直角三角形绕斜边^"#所 在直线旋转一周形成一个几何体^!求该几何体的表面积和体积^!

!图% (

解^!&!$'%"$'#$_"# ^%)"'!

表面积是两个底面半径为^)"'!高之和为^$*的圆锥的侧面积 之和^!

体积是两个底面半径为^)"'!高之和为^$*的圆锥的体积之和^!

(!)%!')"'+$),#$$!

!!*%$

&+)"'^#'!+$*"#)$"$(!

例^"!已知一个圆锥的底面半径为^#*!高为^#*!内有一个高为^,的内接圆柱^!

$$&求圆柱的侧面积 ^$用,表示^&(

$#&,为多少时圆柱的侧面积最大^!并求此最大面积^!

!图% %

解^!由相似三角形得

!!-.%#''".

"' %#*-,!

(!)侧^%#$#*-,&'!',%/#!,^#0)*!,

%/#!$,/$*&^#0#**!!

(!当,%$*时^!侧面积最大^!此最大值为#**!"%#'!

例#!一个倒置的圆锥形容器^!它的轴截面是正三角形^!在容器内放一个半径为^$*的 铁球^!并向容器内注水 ^$容器内铁球的下面部分也注满水^&!使水面刚好与铁球面相切^!求 将球取出后容器内水的高度^!

分析!本题的本质是球与圆锥相切的问题^!作出截面使空间问题平面化是关键^!基本思 路是⁾

$$&如图^{% .}所示^!作出圆锥的轴截面!#"#$为正三角形^!圆1是球的大圆^!它内 切于^#"#$!

湖南教育出版社

14

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!图! "

!#"设球在容器中时水面的高为^!"#当球从容器中取出后水面 高为!##圆台 $%&'的体积(台 等于球) 的体 积(球^#从 而 知

(!$%*(!'&+($%&'*(!'&+(球^#而(!$%,(!&'*!#^$,!"^$-

解!已知圆⁾是球的大圆^#它内切于"'&!#又球的半径为^.#

则")*.#'"*

槡

^$.#'&*'!*&!*^{# $}

槡

^{.#所以!"*$.-}

(圆锥^!$%

(圆锥^!'&*

%

$!$$#^#$!#

%

$!$'"^#$!"

*!#^$

!"^$#

由题设知^#(圆锥^!$%*(圆锥^!'&+(球⁾

*!

$'"^#$!"+&

$!.^$

*!

$!

槡

^$."#$$.+&_$^!.$

*'

$!.^$#

所以^'!_$^.$,$!.^$*!#^$,!$."^$#可得!#*

槡

^{$%'.#即球从容器中取出后#水面高度为}

槡

^$%'.-

特别地^#当.*%(时#/*

槡

^$%')%(##&*!-

例!!如图^{! + !%"}中有面积关系^%0"1'2&2

0"1'& *1'2$1&2

1'$1&#则有图^{! + !#"}中有体积 关系^%(1 '2&2!2

(1 '&! *!!!!-

图! +

分析!利用公式并结合类比^&猜想作答^#首先若大胆猜想^#可以填写^1'1'$1&$1!^2$1&2$1!2'

若结合推理^#则可把三角形1'2&2&1'&作为三棱锥的底^#有⁽1 '2&2!

(1 '&! *

%

$0"1'2&2$3%

%

$0"1'&$3#

*

1'2$1&2$3%

1'$1&$3#

#其中3%#3#分别是!2&!到面1'2&2 !1'&"的距离^#由线面垂直的知 识有³₃^%

#*1!2

1!#故有⁽1 '2&2!2

(1 '&! *1'2$1&2$1!2 1'$1&$1! -

例"!求棱长为^%的正四面体外接球的体积^-

湖南教育出版社

15

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!图! "

分析^!关键是找出四面体的棱与球的半径的关系^!从而求出半径^! 如图^{! "!}

解^!设^"##为正四面体" $%&的高^!由外接球的球心^#在^"## 上^!设外接球半径为'!$##()!则在"$%&中^!用解直角三角形知 识得⁾⁽

槡

^$

$!从而^"##(

槡

^{"$%*$#%# (}

槡

^#&#$(

槡

^%$!

在'("$###中^!由勾股定理得

!!'^%(

^" 槡

^%$*'

^#

^%+

^{" # 槡}

^$$%!

解得^'(

槡

^!

)! ,!-球⁽⁾

$!'^$()

$!

" # 槡

)^!

$

(

槡

^!

*!!

相关链接

祖 ^! 原理及平均面积法求体积

取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上^!将它如图^{! #+}那样改变一下形状^!这时高度没有 改变^!每页纸的面积也没有改变^!因而这摞书或纸张的体积与变形前相等^!

我国齐梁时代的数学家^$祖冲之的儿子祖^{! "}公元前^,到^!世纪^#提出一条原理^{% &}幂 势既同^!则积不容异^!'这里 ^&幂^'指水平截面的面积^{! &}势^'指高^!因此^!这句话的意思 是^%两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等^!则这两个几何体的体积相等

"如图^{! ###!}

图! #+

!!!!!

图! ##

祖^!不仅首次明确地提出了这一原理^!还成功地将其应用于球体积的推算^!我们把这条 原理称为祖^!原理^!

祖^!原理在西方文献中称 ^&卡瓦列利原理^'!它在^#!$,年由意大利数学家卡瓦列利

"-./01023453!#,"*"#!)6#独立提出^!对微积分的建立有重要影响^!

以长方体体积公式和祖^!原理为基础^!我们就可以求出柱^$锥^$台^$球等几何体的

湖南教育出版社

16

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

体积^!

根据祖^!原理^!易得如下求体积的近似方法^"

平均面积法^!如果几何体的剖面由一种形状逐渐变化为另一种形状^!这时可用两头面积 的平均值来估算^!

如图^{! "#!}该几何体的体积为

""#"$##

# %&!

图! "#

!!!!!!

图! "$

例^!图^{! "$}显示了某路段的三个横断面^!其面积分别为^{#"'%!&#'#!##'(#&)'#!}

#$'$(&$'^#!相邻两个横断面的间距为^#(&*'!筑路时需将这部分沙土清除掉^!试估算这 部分沙土的体积^!

解!先计算#"和##之间的体积^!

!! """"

#%##"$##$%&!!

'"

#%#%!&#+(#&)$%#(

'"#$!&#(#'^$$!

再计算^##和^#$之间的体积^!

!! "#""

#%###$#$$%&!!

'"

#%#(#&)+$(&$$%#(

'""**#'^$$!

因此^!需清运沙土的体积约为

"#$!&#(+""**"#$$!&#(#'^$$!

湖南教育出版社

17

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

! "#!

^{" "" ""}

空间的直线与平面

^{"" "" "" "" "" "" "" "" ""}

! "# "$! 点 ^! 线 ^! 面的位置关系

本节通过和初中平面几何的类比以及对现实生活中的一些现象的归纳和总结得出立体几

何的^$个公理 ^!包括推论^"和一个定理^#除了以问题探索的形式给出了定理的证明以外^#其

余的都是说明^#没有进行严格的证明^!除此以外^#还通过例题等形式得到了一些有用的结 论^#教材中都用黑体字加以表示^!

借助长方体模型^#在直观认识和理解空间点^$线^$面的位置关系的基础上^#抽象出空间 线^$面位置关系的定义^#并了解四个公理^!

$!重点^%点^$线^$面的位置关系的理解和掌握^#包括表述及书写^#了解四个公理和一 个定理以及三个推论^!

#!难点^%异面直线的理解和判断^!

%!本节在开始的时候首先介绍一些基本的常识和表示方法^#这些是后续学习所必需的^# 我们知道公理是不需要逻辑证明就被公认的命题 ^!或称不证自明的命题^"#几何中我们也连 同基本概念 ^!或某些概念的定义^"一起作为推理论证的基础^!在讲解公理^$定理以及它们的 推论时^#教材没有进行过多的论证及说明^#往往是通过现象进行总结的^#尤其是充分利用长 方体模型^#还有就是结合现实生活进行说明^!

平面是一个不加定义^#只需要理解的一个最基本的原始概念^#要注意它和我们通常所说的平 面图形相区别^%平面是无限延伸的^#没有大小^#没有厚薄之分^#而我们生活中所说的平面图形是 有限的^#是一些具体的图形^#只是给我们平面的感觉^#平面几何中的平面图形是有大小之分的^!

公理^%反映的是直线和平面的关系^#由有两点在平面内推出整条直线都在平面内^#可用 于判断直线是否在平面内以及点是否在平面内^!

公理^#是用来确定平面的根据^#这里要强调 ^&不共线三点^'#如果三点在一条直线上^#

湖南教育出版社

18

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

那么就不能确定一个平面^!确定 ^"即有且只有^#的意思是这样的图形 ^"平面^#存在而且只唯 一存在^!即表达了存在性又表达了唯一性^!三个推论也是类似的^!

公理^!是初中的定理的适用范围的推广^!初中也有这样的结论^!但适用于三线在一个平 面内^!本公理不再要求三线共面^!

公理^"实际上可以看成是对平面无限延伸的理解^!要强调两个平面没有单纯的共点存

在^!只要共点则就有一条相交线^!这里尤其要学生注意在用一些具体的平面图形表示平面时 要特别注意这个结论^!不要因为一些具体的图形而造成错觉^!

#!在立体几何中我们画图的原则是^$眼见为实^!眼不见为虚^%!即凡是我们能够直接看见的线 条^!不管是已知的还是辅助线都用实线^!凡是直接看不见的不管是已知的还是辅助线都用虚线^!

$!画平面时我们通常用平行四边形^!但许多时候也要根据具体情况^!就用具体图形的 面来表示其所在平面^!而不再需要把平面画出来^!

!!本节在证明中用到了 ^$反证法^%!其基本思路是直接证明不好证时^!考虑结论的反 面^!如果结论的反面我们能够证明是假的^!则所要证明的结论就是真的^!在用反证法时^!要 特别注意反面是什么^!也就是要能够准确地否定结论^!比如 ^$都是^%的反面许多学生会认为 是 ^$都不是^%!这是错误的^!应该是 ^$不都是^%&$不全是^%!$大于^%的反面不是 ^$小于^%!而 是 ^$不大于^%或 ^$小于或等于^%等^!要让学生仔细体会^!

"!在用字母表示时有一些基本原则^!包括点^&线^&面用不同类别的字母表示以及相互 关系中用到的一些集合符号一定要理解和灵活应用^!我们知道^!数学符号语言的恰当应用也 是非常重要的^!要逐步掌握好几何中的三种语言 ^"文字语言^&符号语言^&图形语言^#以及三 种语言之间的转化^!

本节使用了!&"&#&$&%等符号^!它们都源于集合中的符号^!在读法上仍用几何语言^! 比如^!"!#读作 ^$点^"在直线^#上%!""#读作 ^$点^"不在直线^#上^%'##!读作 ^$直 线#在平面!内%!#$!读作 ^$直线#不在平面!内%'!%"$#读作 ^$平面!&"相交于直线

#%!本章中有关这类符号^!在读法上都这样处理^! 常见的集合符号所表示的意思总结如下⁽

数学符号表示 数学语言表达

"!% 点"在直线%上

""% 点^"在直线^%外

"!! 点^"在平面^!内

""! 在^"在平面!外

%#! 直线^%在平面^!内

%%&$" 直线%&&相交于点^"

%%!$" 直线^%与平面!相交于^"

!%"$% 平面!&"相交于直线^%

湖南教育出版社

19

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

需要指出的是^!使用这些符号原则上与集合符号的含义是一致的^!但为了方便起见^!个 别地方的用法与集合符号略有不同^!比如直线"与#相交于点$!记作"!#%$!而不记作

"!#%"$#!这里的^$既是一个点^!又可以理解为只含一个元素 ^$点^%的集合^! 例!"空间中有^!点^!无三点共线^!可以确定多少个平面^&

解"本题要分情况讨论^'

"!如果^!点在一个平面内^!则只能确定一个平面^!

#!如果有^$点在一个平面内则可以确定^%个平面^'比如用$!&!'!(!)这^!个字 母表示^!个点^!不妨假设$!&!'!( 四 点 共 面^!则 确 定 的 平 面 共 有'$&'(($&)(

$')($()(&')(&()和'()!

&!如果无^$点共面^!则确定的平面共有^"'个'$&'($&(($'((&'(($&)(

$')($()(&')(&()和'()! $实际上^!前^$个是将第^#小问的$&'(分出来的^!因 为已经没有^$点共面了^!后⁽个就是第^#小问的后⁽个^%

注意^'在讲解此题时要注意给学生灌输分类讨论的思想^!同时告诉学生分类的基本原则 是不重不漏^!为此要找准分类的标准和方法^!

例"" $"%一个平面将空间分成几部分^&

$#%两个平面将空间分成几部分^&

$&%三个平面将空间分成几部分^& 画出图形 ^$要求^'至少有两种情况有画法过程^%!

解" $"%一个平面将空间分成两部分^!

$#%两个平面平行时^!将空间分成三部分⁾两个平面相交时^!将空间分成四部分^!

$&%本小题情况比较复杂^!需分类予以处理^!

!当平面"(平面_#(平面$互相平行 ^$即"###$%时^!将空间分成四个部分^!其图形 如图^{( "$!}

图( "$

""""""

图( "!

%当平面"与平面_#平行^!平面$与它们相交 ^$即"##!$与其相交^%时^!将空间分成 六部分^!其图形如图^{( "!!}

&当平面"(平面_#(平面$都相交^!且三条交线重合 ^$即_"!#%*且"!$%*%时^!将 空间分成六部分^!其图形如图^{( "(!}

湖南教育出版社

20

高 中 数 学 教 师 教 学 用 书

书 书 书

!!!!!!

图! "!

!平面"!平面_#!平面$都相交且三条交线共点^"但互不重合 ^#即""#!""且$与"!

#都相交^"三条交线共点^$时^"将空间分成八部分^"其图形如图^{! "##}

图! "#

%平面"!平面_#!平面$两两相交且三条交线平行 ^#即""#!""$与_"!#都相交且三 条交线平行^$时^"将空间分成七部分^"其图形如图^{! "$#}

!!!!!!

图! "$

例!!已知#$%&在平面"外"$%""!'"$&""!("%&""!)"如图^{! "%#}

!图! "%

求证^%'!)!(三点共线^#

证明^!*!$%""!'"

+!'$$%"'$平面"#

又^$%%平面$%&"

+!'$平面$%&#

+!由公理可知^%点'在平面$%&与平面"的交线上^#

!图! &'

同理^"可证^)!(也在平面^$%&与平面"的交线上^#

+!'!)!(三点共线^#

例"!如图! &'"在正方体$%&, $"%"&"," 中"-!.

分别为^&&"和^$$"上的中点^"画出平面^%-,".与平面^$%&, 的交线^#

解^!在平面^$$",",内^"延长^,"."

*!,".与^,$不平行^"

湖南教育出版社

21