模型介紹

避險模型主要分為兩類，一為靜態避險，包含Naive與OLS兩種；二為動態 避險，包含CCC_GARCH、DCC_GARCH與MIDAS三種。

1. 靜態避險

Naive hedge strategy

估計避險係數的模型有很多種，其中最簡單的模型為Naive 避險策略。這個 策略是建議投資者買入一單位現貨配合賣出一單位期貨的方式來進行避險，亦即 將當天的現貨報酬與期貨報酬直接進行差分，為完全避險，故避險比率為1。

Linear regression model

靜態避險模型除了Naive避險策略以外，傳統的避險策略是採用線性迴歸模 型來予以輔助：

t t

t f

s =α+β +ε (7) β的估計值為OLS最小變異之避險比率，這個方法被廣泛的應用在相關文獻 上。但是，OLS方法的主要缺點在於OLS之避險比率與非條件的二階動差是相依 的，當變異數為time-varying時，此避險比率就無效率。但也有部分文獻支持使 用OLS模型即可達到最佳避險績效，如Lien，Tse與 Tsui (2002)比較OLS法與固定 相關係數的VGARCH(vector generalized autoregressive conditional

heteroscedasticity)模型之避險績效，研究對象包括商品期貨及金融期貨，實 證結果顯示，採用VGARCH模型所估的避險效率不如OLS模型。

2. 動態避險

The CCC-GARCH model

Bollerslev(1986)將ARCH模型擴充為一般自我迴歸條件異質變異數模型 et.al 提出了多變量GARCH 模型，但由於研究方法上的限制，使得條件共變異數 矩陣與參數的估計變得複雜， Bollerslev（1990）提出了固定條件相關模型 (CCC,constant Conditional correlation)的估計方式：

}

Bollerslev（1990）為了簡化GARCH 模型之估計，假設條件相關係數為固定，

但此假設可能太嚴格，並不被實際資料所支持。因此，Engle（2002）提出了動 態條件相關模型，利用兩階段估計的方法，並且簡化了GARCH 模型裡條件共變異 數矩陣的估計。

The DCC-GARCH model

Dynamic Conditional Correlation (DCC)模型是Engle(2002)所提出，此方 法包括了兩個步驟：一、先估計每個資料的單變量GARCH；二、使用第一步驟估

The MIDAS model

在前面的文章已說明過MIDAS的基本模型架構，在此主要針對變異數的估計方 法進行說明。

Ghysels, Santa-Clara ,and Valkanov(2006b)的變異數估計方法，其方式 如下： 務操作不易處理，Ghysels, Santa-Clara ,and Valkanov(2006b)指出使用一年 做為落後期數的基礎，不會有太大的估計偏誤，並且採用252天做為落後期來估 計月報酬，值得一提的是，Ghysels, Santa-Clara ,and Valkanov(2006b)計算 出權重參數κ 與₁ κ 分別是-0.01與0，而學生將此權重函數的圖形描繪出來，如₂

由上圖可發現該權重函數到252天時突然被截斷，並沒有完全趨近於零，因 此，本研究基於計量的完整性另外又加上另一個長度的落後期數，即兩年落後 (504天)期做為比較的依據，來進行變異數與共變異數的估計。其中，r為日報酬，

在上式中，為了利用日報酬計算月報酬，故乘上22進行月化，由(11)式可推得 MIDAS之共變異數C 的估計方式為： _t

∑

= − −

=

0

22

d

f d t s

d t d MIDAS

t w r r

C (12)

(r_t^s_−d為第(t-d)天現貨的報酬，r_t−^f_d為第(t-d)天期貨的報酬)

將兩種計算出的變異數(252期落後期與504期落後期)與共變異數利用避險 比率的計算方式相除以後，可得到該模型之最適避險比率。

本篇論文中，利用上述公式計算各個模型之避險比率後，再計算投資組合的 變異(及期貨與現貨之投資組合) 及避險效率，針對上述五個不同的模型來做實 證，依結果做進一步的比較。

四.資料選取

在資料選取方面，本文選取三種不同交易資料的期貨與現貨，包括代表金融 指數的期貨與現貨價格資料-S&P500 (SP)、代表外匯市場的外匯期貨與現貨的瑞 士法郎(Swiss Franc ,SF)和代表農產品的期貨與現貨的大豆(Soybean)來進行實 證比較，資料來源為datastream。樣本期間為1986年1月4日到2005年12月30日，

一共5,212個日資料觀察值。利用本文所界定的日報酬率變數，計算公式如下:

) / log(

100 × P_t^close P_t^close₋₁ (13)

close

Pt 為第t天之收盤價，在此，採用日資料是因為MIDAS模型的特點為可以 使用高頻率的變數去預測低頻率的變數，而高頻率的資料所包含的資訊遠比低頻 率資料來的多，在這個特性下，模型的預測能力可以因為使用較高頻率的變數而 提高。

在月報酬方面，計算方式是假設一個月中包含22天之交易日，將此22天交易 日之日報酬加總，即為當月之月報酬，計算月報酬的主要目的是要代入計算投資 組合變異以及除了MIDAS模型之外的其他模型計算之所需。

另外，使用期貨資料的原因是因期貨資料較現貨似乎更能反應市場訊息，以 及避險工作較容易進行，反應的訊息也較完全。

五.實證分析 5.1 基本資料分析

首先，原始資料的期現貨價格如圖一，如圖所示，圖一中第一個圖為 SP_SPOT 與 SP_FUTURES 分別代表 S&P500 之現貨與期貨之價格走勢。圖一中另外兩個圖形 即分別代表瑞士法郎與大豆之期貨與現貨走勢，由圖可看出三種資料的期貨與現

而我們將原始資料經由轉換成為日報酬資料，顯示於圖二，而由圖形觀察可

1000 2000 3000 4000 5000

SOYBEAN_F_DALIY_RETURN

1000 2000 3000 4000 5000

SOYBEAN_S_DALIY_RETURN

本文假設每月有 22 天，利用加總每月 22 日的日報酬率來當做該月的月報酬 率，再將此月報酬率放入投資組合中做避險後各模型投資組合變異數的計算，因 此，我們必須分析月報酬率的走勢，進一步了解月報酬波動的波幅是否與日報酬 有差異，而月報酬波動幅度的大小也可能影響實證結果。

在加總的月報酬分析方面，前文有提及因為一年的落後期數使得權重函數可 能呈現一個被切斷的狀態，因此加入兩年的落後期來做比較。將此區分為兩個部 分，第一個部分是採用 252 筆日報酬為落後期所計算出的月報酬，第二個部分是 採用 504 筆日報酬為落後期所計算出的月報酬。

(1)第一部分-一年落遲

圖三為 S&P500、瑞士法郎與美元兌換匯率以及大豆的月報酬走勢圖，如 圖，與日報酬率相似，期貨報酬率與現貨報酬率的走勢也相當一致。表一整理出 相關的敘述統計值。首先，平均數、中位數、最大值與最小值，於期貨與現貨的 統計數據中並沒有太大的差異。其次，除了大豆之外，期貨的波動(標準差)大致 上都比其對應的現貨來得高，最後，在常態分配的檢定上，使用 Jarque-Bera 的 檢定統計量來做是否為常態分配的依據，由表知 S&P500 與大豆的期貨與現貨都 明顯拒絕常態分配的假設，唯有瑞士法郎的期貨與現貨報酬率資料，不拒絕常態 分配的假設，其報酬率的直方圖如圖四所示，是呈現接近常態分配的走勢。

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

SP_F_MONTHLY_RETURN SP_S_MONTHLY_RETURN

-10 -5 0 5 10

86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

SF_F_MONTHLY_RETURN SF_S_MONTHLY_RETURN

-40 -20 0 20 40

86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

SOYB_F_MONTHLY_RETURN SOYB_S_MONTHLY_RETURN

圖三.月報酬走勢(一年落遲)

0 Sample 1986M01 2004M12 Observations 226

Mean 0.122271 Median -0.265095 Maximum 8.997400 Minimum -9.560900 Std. Dev. 3.365095 Skewness 0.104241 Kurtosis 2.734011 Jarque-Bera 1.075527 Probability 0.584053

0 Sample 1986M01 2004M12 Observations 226

Mean 0.117068 Median -0.232275 Maximum 8.372400 Minimum -9.263300 Std. Dev. 3.323390 Skewness 0.064467 Kurtosis 2.666910 Jarque-Bera 1.201310 Probability 0.548452

圖四.瑞士法郎期貨與現貨月報酬率之直方圖(一年落遲)

表一. 期貨與現貨月報酬之敘述統計量(一年落遲)

(2)第二部分-兩年落遲

圖五為 S&P500、瑞士法郎與美元兌換匯率及大豆的月報酬走勢圖，而表二 也列出基本敘述統計量。而此部分大致上的推論與一年落遲的情況下相似。如圖 六所示，瑞士法郎期貨報酬率與現貨報酬率仍然呈現接近常態的分配。

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

88 90 92 94 96 98 00 02 04

SP_F_MONTHLY_RETURN SP_S_MONTHLY_RETURN

-10 -5 0 5 10

88 90 92 94 96 98 00 02 04

SF_F_MONTHLY_RETURN SF_S_MONTHLY_RETURN

-30 -20 -10 0 10 20 30

88 90 92 94 96 98 00 02 04

SOYB_F_MONTHLY_RETURN SOYB_S_MONTHLY_RETURN

圖五.月報酬走勢(二年落遲)

0 Median -0.031255

Maximum 10.23600

Minimum -10.67300 Std. Dev. 3.315969 Skewness -0.041366 Kurtosis 3.316480 Jarque-Bera 0.958582 Probability 0.619222

0 Sample 1988M01 2005M12 Observations 215

Mean 0.016090 Median -0.094014 Maximum 9.740100 Minimum -10.59900 Std. Dev. 3.286748 Skewness -0.031615 Kurtosis 3.240775 Jarque-Bera 0.555151 Probability 0.757618

表二. 期貨與現貨月報酬綠之敘述統計量(二年落遲) 最小值 -13.0880 -10.5990 -21.6089

標準差 3.9209 3.2867 6.3545