在 MIDAS 方法之下,可以計算變異數與共變異數,這部分我們一樣區分為 一年落遲與兩年落遲來解說。一年落遲所選取的資料區間方式如圖七所示,選取 的方式以抓取一年資料為估計期來計算該期間最後一個月的月變異數,然後,向 後移動 22 筆資料,再取樣 252 天以計算此區間內最後一個月的月變異。舉例來 說,第 1~252 筆的資料估計該區間最後一個月的月變異數,也就是 1986 年 12 月 的月變異數,第 23~274 筆的資料估計該區間最後一個月的月變異數,也就是 1987 年 1 月的月變異數,依此類推。
資料選取(一年落遲)
1~252筆估計 1986.12的 月變異 數
1986.1 2005.12
23~274筆估計 1987.1的 月 變異數
4951~5202筆 估計 2005.12的 月 變異數
圖七.MIDAS 計算月變異數之資料選取方法(一年落遲)
同理,二年落遲所選取的資料區間方式如圖八所示,選取的方式以抓取兩年 資料為估計期來計算該期間最後一個月的月變異數,而後,向後移動 22 筆資料,
再取樣 252 天以計算此區間內最後一個月的月變異。舉例來說,第 1~504 筆的資 料估計該區間最後一個月的月變異數,也就是 1987 年 12 月的月變異數,第 23~526 筆的資料估計該區間最後一個月的月變異數,也就是 1988 年 1 月的月變異數,
依此類推。
資料選取(2年落遲)
1~504筆估計 1987.12的月變異數
1986.1 2005.12
23-526筆估計 1988.1的月變異數
4709~5212筆估計 2005.12的月變異數
圖八. MIDAS 計算月變異數之資料選取方法(二年落遲)
下方圖示(圖九)代表權重函數的圖形,因每組資料(S&P、瑞士法郎與大豆) 所選取的權重之估計參數(即κ 與1 κ )並不相同,因此各組資料的權重參數2 κ 與1 κ 都要分別求取,一共有六組參數。在此簡述2 κ 與1 κ 之求法,可以利用迴圈的2 設計將κ 與1 κ 各 1000 個值帶入 MIDAS 的變異數與共變異數估計,計算出避險比2 率後代入投資組合計算投資組合變異數,取變異數最小時所對應的κ 與1 κ ,此2 即為該資料的估計參數。另外,在 Ghysels, Santa-Clara ,and Valkanov(2006b) 建議可以帶入κ =-0.01 和1 κ =0,而經過代入參數值後,發現2 κ =0 時大部分會使2 投資組合變異數為最小,因此沿用 Ghysels, Santa-Clara ,and Valkanov(2006b) 的κ =0 這個部分,而2 κ 則取 1000 個值帶入權重函數,再帶入投資組合變異數做1 比較;本文所估計的參數如表三所示:
表三.權重函數之參數估計(一年落遲)
資料類型 κ 1 κ 2
S&P -0.0037 0
瑞士法郎 -0.01 0
大豆 -0.006 0
sp_weight(k1=-0.00037,k2=0)
由上圖(圖九),可以明顯看出,權重函數呈現遞減的形式,並且當落後期 越長,權重係數估計值也越小,符合長記憶形式的假設,但當落後期為 252 天時,
若以κ =-0.01,1 κ =0 為參數之權重函數為例,權重函數好像被切尾一般,沒有2 與零非常接近,而切掉的那個部分也可能影響估計結果,因此值得再增加一年的 落遲項,也就是落後期為兩年之下,再進行估計一次。同理,與先前估計方式相 同,將κ =0 代入參數值後,發現2 κ =0 同樣會使投資組合變異數為最小,因此延2 用前述(一年落遲)的估計方式,將兩年落後期的估計參數列於表四:
表四.權重函數之參數估計(兩年落遲)
資料類型 κ 1 κ 2
S&P -0.07 0
瑞士法郎 -0.0055 0
大豆 -0.1 0
圖十也同樣畫出取樣的圖示以及權重函數的圖形,可以明顯看出,在權重函 數的部分,切尾的情形明顯改善許多。
利用上述估計出的權重參數,帶入權重函數,即可推得 MIDAS 模型下所設定 的變異數與共變異數估計值。
sp_weight(k1=-0.07,0)
Lag (in Days)
sf_weight(k1=-0.0055,k2=0)
x 10-3 Exponential weights
Weights
Lag (in Days)