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第貳章 文獻探討與死亡率模型介紹
近年來各國都面臨壽命延長及人口老化的問題，與老年人相關訊息，如:高 齡死亡率、平均餘命等格外受到大眾重視。老年人相關議題在國外自 1960 年代 即受到關注，隨著時代變遷時有新的老年研究結果發表，高齡死亡率模型的研究 也隨之不斷推陳出新，以提高老年人口死亡率的精確性。高齡死亡率模型的使用 早期有 Gompertz 於 1825 年提出的 Gompertz 模型，假設瞬間死亡率服從指數成 長趨勢。此外，近年來也有其他高齡死亡模型的研究，如:Coale and Kisker(1990) 提到的 Coale-Kisker 模型，可視為 Gompertz 的推廣情形。另外常見的用於推估 人口死亡率的做法為假設各年齡間存在某關聯性，例如:估算出各年齡間死亡率 比值，人數較少、震盪幅度大的高齡死亡率可由人數較多的中高齡死亡率求出，
英國的縮減因子(Discount Factor)模型、王信忠、余清祥(2011)折扣數列(Discount Sequence)模型等都是可適用於高齡死亡率的模型。本文將探討眾多模型中，那 些模型是可用於預測高齡死亡率較佳的方法。本章節將分為三個部分，第一部介 紹不同型態之死亡率模型；第二部分則探討具機率意涵的區塊拔靴法，探討其區 塊長度的選取以及區塊權重的抽樣方法；最後一部分則為後續延伸至保險年金商 品之精算公式。
第一節 模型介紹
死 亡 率 模 型 可 分 為 死 亡 率 關 係 模 型 (Relational Models) 與 隨 機 模 型 (Stochastic Models)。關係死亡率模型主要用於衡量死亡率與年齡之間的關係，如 Gompertz (1825)發現瞬間死亡率的對數值隨年齡直線上升。但是關係死亡率模型 僅考慮了年齡與死亡率的變化，並不能看出隨著年代的變化死亡率會如何改變；
隨機死亡率模型，除了年齡與死亡率間的關係，再加入年代(Period)或世代(Cohort) 的參數，試圖找出年代、年齡與死亡率之間的關係。隨機死亡率模型如 Lee and
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Carter (1992)提出的 Lee-Carter 死亡率模型；與 Cairns et al. (2006) 提出的 CBD 隨機死亡率模型。由於動態模型已包含預測未來的概念，因此較常應用於預測未 來的死亡率。以下分別介紹關係與隨機模型。
一、Gompertz 模型
Gompertz(1825)根據 19 世紀介於 20 至 60 歲成年人的死亡率資料，發現死 力會隨著年齡呈現指數上升。其假設瞬間死亡率滿足年齡函數，如 3-1 式：
(3-1)
其中B> 0、C > 1為Gompertz假設參數，x代表年齡。
在此模型假設下，根據上式(3-1)假設，可推得x歲人之存活機率 ，如(3-2)式:
(3-2)
透過對(3-2)式取對數，參數可用存活機率 表示，因此，
(3-3)
對於Gompertz參數估計方法，可分為三種數值方法：加權最小平方法 (Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值法(Nonlinear-Maximization；NM)及 最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)。本研究以加權最小平方 法估計Gompertz模型參數B和C。首先我們對（3-3）式取一次對數，則
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(3-4) 令
； (3-5)
利用(3-5)式及下列(3-6)式加權最小平方法估計 和 :
(3-6)
其中 為x歲的生存人口數。
二、Coale-Kisker 模型
Coale and Kisker(1990)提出高齡死亡率的編算方法，想法類似 Gompertz 模 型，其假設死亡率比值
在 85 歲以後為年齡的線性函數:
(3-7)
x 表示為年齡，s 為線性函數斜率。在(3-7)式假設下，可得各年齡中央死亡率為:
(3-8)
當中參數估計方法利用加權最小平方法(WLS)仿造 Gompertz 的估計方式，但使 用的為中央死亡率與二次式:
(3-9)
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上式(3-9)的權數為各年齡層人數。另，男女性中央死亡率上限
為 1.0 及 0.8。
三、Discount Sequence 模型
王信忠與余清祥(2013)提出的規律折扣數列模型主要是引進吃角子老虎 的規律折扣數列概念。在吃角子老虎問題中，根據 Berry and Firstedt(1979)定義，
如果對每一個觀察值 n，
滿足:
(3-10)
則折扣數列(
……)為一規律數列。將折扣數列套用至生命表函數檢驗，
發現生存數與平均餘命隨著年齡遞減；死亡率與死亡數在高齡組也滿足規律性。
定義折扣數列比值
(3-11)
當中 為 x 歲之存活機率，且 服從 Weibull 分布 。本研究 對於規律扣數列方法的參數值估計，以加權最小平方法估計:
(3-12)
根據最小平方法推估的參數值 a, b 以及實際的存活機率 ，找出存活機率估計 值 。
四、Lee Carter 模型
Lee and Carter(1992)年提出可預測美國死亡率變動的模型:
(3-13)
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上式(3-13)中
代表在年代 t, x 年齡組人口的中央死亡率(Central Death Rate)。
三個參數:
為年齡組死亡率的平均曲線，
為年齡組之相對死亡率變化速 度， 是 t 年之死亡率強度，誤差
為常態分配。該模型對於各年齡在不同基 準下，死亡率隨著時間做不同幅度的改善，一般來說會預期死亡率隨著時代的演 進逐漸下降，則
是一條遞減的曲線。
為大於 0 的數，數值越大表示該年 齡死亡率改善幅度越快。
參數求解時，為避免可能有無限多組解，通常增加限制式
和
。過去文獻對於 Lee Carter 模型之參數配適研究，發展許多配飾方法，
如 Lawson and Hanson(1974)提出之奇異值分解(Singular Value Decomposition；
SVD)及其近似法、主成份分析(Principal Component Analysis ; PCA)和最大概似估 計法(Maximum Likelihood Estimation；MLE)，SVD 也可配合 Wilmoth(1993)的最 小平方法參數修正。
SVD 求解過程如下: 首先對中央死亡率取對數，根據最小平方法估計
(3-14)
可得
(3-15)
再對[
]
此式子做 SVD 可得
和
。將死亡率矩陣分 解為 ，其中 和 為正交單位向量矩陣， 為奇異值的對角矩陣。
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五、CBD 隨機死亡率模型
Cairns et al. (2006) 提出一個預測英國(United Kingdom)未來死亡率變動的 模型，且假設第一個參數
對所有年齡的死亡率皆會影響，第二個參數
對 於高齡死亡率的影響幅度會高於低年齡層所受的影響。模型設計如下：
(3-16)
其 中 ，
，
，
代表採用資料範圍年齡的平均數，
代表在年代 t, x 年齡組人口的中央 死亡率，
為 x 歲年齡組在年代 t 的死亡人數，
為 x 歲年齡組在年代 t 的生 存人數。
、
表期間效應(period Effect)，
為死亡率水準(Level of
Mortality)，
為斜率(Slope Coefficient)，
為 x 歲年齡組在年代 t 的隨機誤差。
CBD 隨機死亡率參數估計方法根據 Cairns et al.(2007) 提出最大概似估計 法(Maximum Likelihood Estimation；簡稱 MLE)，並參考 Brillinger(1986)假設死 亡人數服從 Poisson 分配
Poisson(
)。使用遞迴方式來估計參數，CBD 隨機死亡率模型的最大概似函數如下：
(3-17)
對概似函數採一階為分等於 0，二階微分小於 0 可估出參數。微分方程式如下:
(3-18)
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而 CBD 模型參數的起始值
利用最小平方法所求得，且 h=0.000001。
CBD 死亡率模型參數估出後，套入 CBD 模型，即可求得所需的 CBD 模型的死 亡率。