高齡死亡模型與年金保險應用之研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學風險管理與保險學系碩士學位論文. 政治大立高齡死亡模型與年金保險應用之研究. ‧ 國. 學. A Study of Elderly Mortality Models. ‧. and Their Applications in Annuity Insurance. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：余清祥博士研究生：陳怡萱撰. 中華民國一百零三年六月.

(2) 謝辭兩年的研究所生活一眨眼即將過去，在指南山下的生活總是充滿各式各樣的樂趣，這段期間，雖然總是忙碌著論文、修課、接計畫，以及努力學習不曾接觸的各種人、事、物，但我很喜歡這樣的生活，這些挑戰讓我不斷不斷的超越自己，真誠的感謝政大和我身旁的每位讓我能擁有這一切。首先我要感謝我的指導教授余清祥老師，余老師是位很棒、很優秀的老師。在專業研究上，老師永遠是如此細心的指導我，常常在看著老師抄給我的筆記，看了多時還是不知如何下手，或是當面臨 R 程式出現一行行程式錯誤的資訊，而. 政治大位和藹可親的長輩，不時的關心我們生活中大小事，並給予建議，真的很感謝我立感到灰心時，老師總不斷地提點我當中的盲點。另外，在日常生活中，老師就像. ‧ 國. 學. 能遇到風趣幽默又有海納百川般博學多聞的余老師。. 緊接著要感謝統計博班的小馬學長、論文好夥伴志軒。總是被我戲稱為小. ‧. 老師的小馬學長，在與你討論的過程中總是激發出我許多不同的想法，讓我每次. sit. y. Nat. 在與你討論完論文後，都更加的有信心，也感謝你在我有任何疑惑時，總是隨時. al. er. io. 隨地的替我解惑，並幫忙我處理許多技術性的問題。一起完成論文的好夥伴志軒，. v. n. 雖然每次看到你逗趣的模樣，都會忍不住想哈哈大笑的嘲笑你，但真的很謝謝你. Ch. engchi. i n U. 總是那麼可靠的把一切事物都打理好，能與你一起做研究、一起討論並完成計畫與論文，真的好幸運，謝謝你!! 謝謝風管所這個大家庭，感謝老師與助教們，有您們的帶領，讓我可以學習到許多寶貴的知識與經驗。感謝上一屆的學長姊，你們總是大方與我們分享各種事物，無論是課業上或生活上。感謝我所有同學們，因為有你們互相幫忙，讓我在忙碌之餘能很安心地寫論文，有你們的陪伴，讓我在煩悶時能有伴可以一起打鬧歡笑，你們每位都像是個漂亮顏色，跟你們相處的每個時刻都像見到彩虹般，令人愉快。我真的好愛你們每一位，如今要與你們分開，總有點不捨，祝福你們在未來都能一切順遂。.

(3) 最後是感謝我最愛的家人，生我、育我、養我的父母親，謝謝你們一路以來的支持，不論我想做什麼事，你們總是在充分溝通後，全力支持，做我既堅強又柔軟的後盾，讓我無後顧之憂地完成我的學業，我愛你們。感謝我的姐姐、姐夫們，你們總是那麼的關懷我，當我面臨任何挫折或不愉快時，你們細細地傾聽我吐苦水，讓我感到溫暖，也謝謝你們總是大方與我分享你們的一切。另外，要特別感謝我的二姊，當我隻身北上至台北時，有妳與我互相扶持、互相照顧，讓我在這陌生的環境，不曾感到孤單，雖然一直沒說出口，但其實我很慶幸有一位那麼棒的姐姐，謝謝妳!感謝你們，我愛你們，謹以此文獻給你們!. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(4) 摘要傳統上國人寄望養兒防老，但面臨少子化及壽命延長，家庭已無法獨力負擔照顧老年人的責任，必須仰賴個人（老年人自己）、國家及政府分擔人口老化造成的需求，這也是政府在過去二十年來積極投入更多資源，制訂與老年人有關的社會保險、福利及政策的原因。像是 1995 年開辦的全民健康保險提升了全民健康，其中老年人受惠尤多；2005 年的勞工退休金條例、2008 年的國民年金保險等，則是因應我國國民壽命延長的社會保險制度。對於未來費用的需求估算，需要依賴可靠的死亡率預測，但大多數預測並沒有將死亡率改善列入考量，勢必低. 政治大. 估長壽風險的衝擊，影響個人的財務規劃、增加國家負債。. 立. ‧ 國. 學. 有鑑於此，本文研究常用的死亡率模型，評估哪些適合用於描述高齡死亡率的變化，且能用於計算年金商品的定價。本文考量的模型大致分成兩類：關係. ‧. 模型(Relational Models)及隨機模型(Stochastic Models)，第一類包括常用於高齡的. sit. y. Nat. Gompertz、Coale-Kisker 模型，以及 Discount Sequence 模型，第二類則有 Lee-Carter. io. er. 及 CBD 等模型。模型比較的方式以長期預測和短期預測，選用交叉驗證的方式. al. 驗證死亡率模型的預測結果與觀察值之間的差異。研究結果顯示 Discount. n. v i n Ch Sequence、Lee-Carter、CBD 隨機模型較能準確描述台灣、日本與美國等三個國 engchi U 家的死亡率特性；但這三個模型在年金險保費並沒有很明顯的訂價差異。另外，若用於短期預測、長期預測比較，又以 Discount Sequence 的預測結果優於 Lee-Carter 模型的預測。. 關鍵詞：長壽風險、高齡死亡模型、死亡改善、電腦模擬、交叉驗證. I.

(5) Abstract Traditionally in Asia, families played the main role in caring their own elderly (i.e., parents and grand-parents), but the declining fertility rates and longer life expectancy make it difficult for the families to take care of the elderly alone. The elderly themselves and the government need to share the burden caused by the aging population. In fact, most Taiwan’s major social policies in the past 20 years are targeting the elderly, such as National Health Insurance, Labor Pension Act and National Pension Insurance. Their planning and financial solvency rely on reliable. 政治大 mortality models do not take into account the mortality improvements and thus 立. mortality models and their projections for the elderly population. However, many. underestimate the cost.. ‧ 國. 學. In this study, we look for elderly mortality models which can reflect the mortality. ‧. improvements in recent years and use them to price the annuity products. Two types. sit. y. Nat. of mortality models are of interest: relational models and stochastic models. The first. io. er. group includes the Gompertz model, Coale-Kisker model and Discount Sequence; the other group includes the Lee-Carter and CBD models. We utilize these mortality. al. n. v i n C hrates in Taiwan, U models to project future mortality Japan and U.S., along with the engchi block bootstrap and ARIMA for projection. The model comparison is based on. cross-validation, and both short-term and long-term projections are considered. The results show that the Discount Sequence, Lee-Carter model and CBD model have the best model fits for mortality rates and, for the short-term and long-term forecasts, the Discount Sequence is better than the Lee-Carter model.. Key words: Longevity Risk; Elderly Mortality Models; Mortality Improvement; Simulation; Cross Validation.. II.

(6) 目錄第壹章緒論 ………………… ………………… …… ………………… …… .1 第一節研究動機………………………………………………….1 第二節研究目的………………………………………………….3 第貳章文獻探討與死亡率模型介紹 … … … … … … … … … … … … … … . 5 第一節. 模型介紹…………………………………………………………5. 第二節. 死亡率預測方法…………………………………………………11. 第三節. 年金險之精算公式……………………………………………..11. 政治大資料來源與模型比較基準……………………………………..13 立. 第參章實證資料分析………………………………………………………...13. 高齡死亡率模型比較分析……………………………………..15. 學. 第二節. ‧ 國. 第一節. 第肆章預測模型比較…………………………………………………………30. ‧. 第一節. 模型預測方法…………………………………………………..30 推估年數…………………………………………………………31. 第三節. 預測結果………………………………………………………..32. al. er. io. sit. y. Nat. 第二節. v. n. 第伍章商品應用……………………………………………………………….37. Ch. engchi. i n U. 第一節. 存活曲線………………………………………………………..37. 第二節. 年金商品保費比較………………………………………………38. 第陸章結論與建議…………………………………………………………..40 第一節. 研究結論…………………………………………………………40. 第二節. 後續研究建議………………………………………………….42. 參考文獻……………………………………………………………………….43 附錄一高齡死亡率模型比較分析…………………………………45 附錄二預測結果…………………………………………………59 附錄三. 存活曲線與年金險保費…………………………………………..61 III.

(7) 圖目錄圖 3-1、1992-2009 各國 Gompertz 模型參數 B 之估計結果……………16 圖 3-2、1992-2009 各國 Gompertz 模型參數 C 之估計結果……………17 圖 3-3、台灣 Gompertz 模型推估歷年死亡率變化之結果…………………18 圖 3-4、1992-2009 各國 Coale-Kisker 模型參數 kx 之估計結果…………19 圖 3-5、1992-2009 各國 Coale-Kisker 模型參數 s 之估計結果…………19 圖 3-6、台灣 Coale-Kisker 模型推估歷年死亡率變化之結果………………20 圖 3-7、台灣規律折扣數列模型推估歷年死亡率變化之結果…………….….21. 政治大. 圖 3-8、台灣男性 Lee-Carter 模型參數估計結果………………………….22. 立. 圖 3-9、台灣女性 Lee-Carter 模型參數估計結果………………………….23. ‧ 國. 學. 圖 3-10、台灣 Lee-Carter 模型推估歷年死亡率變化之結果……………………..24. ‧. 圖 3-11、台灣男性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果……………………..…25 圖 3-12、台灣女性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果……………………..…25. y. Nat. io. sit. 圖 3-13、台灣 CBD 模型推估歷年死亡率變化之結果……………………….….26. n. al. er. 圖 3-14、台灣各模型推估死亡率之比較……………………………………….…27. i n U. v. 圖 4-1、不同推估年數之推估誤差 (MAP E)………………………… ……31. Ch. engchi. 圖 4-2、不同起始推估年之推估誤差 (MAP E)………………………… …32 圖 4-3、台灣五種模型預測結果比較……………………………………33 圖 4-4、瑞典兩種模型歷年推估誤差 MAPE 比較………………….36 圖 5-1、台灣預測存活曲線………………………………………………38 圖 5-2、台灣即期年金保費差異…………………………………………39. IV.

(8) 表目錄表 1-1、扶養比推計………………………………………………………………1 表 1-2、壽險業 102 年各險別初年度保費收入統計表…………………………2 表 3-1、各國死亡率資料說明 ……………………………………………………13 表 3-2、短期預測資料描述………………………………………………………14 表 3-3、長期預測資料描述……………………………………………………….14 表 3-4、MAPE 預測能力分級…………………………………………………15 表 3-5、各模型配適結果與觀察值間差異(MSE)………………………………28. 政治大. 表 3-5、各模型配適結果與觀察值間差異(MAPE)……………………………28. 立. 表 3-7、各死亡率模型 AIC………………………………………………………29. ‧ 國. 學. 表 3-8、各死亡率模型 BIC………………………………………………………29. ‧. 表 4-1、預測值與觀察值 MAPE…………………………………………………34 表 4-2、長期預測結果 MAPE…………………………………………………..35. y. Nat. n. al. er. io. sit. 表 5-1、保費差異………………………………………………………………..39. Ch. engchi. V. i n U. v.

(9) 第壹章緒論第一節研究動機醫療技術的進步、環境衛生的改善與人類追求健康生命之趨勢，人類死亡率持續逐年下降，各國都面臨人口老化的挑戰，臺灣也不例外，行政院經建會「中華民國2012年至2060人口推計」中推估國人男、女性零歲平均餘命將從2011年的 75.98歲、82.65歲，增加為2060年的82.0歲、88.0歲。平均餘命的增長，再加上生育率的下降，將會造成每單位勞動人口必須扶養的老年人口逐年增加（表1-1）。. 政治大. 台灣老年人依賴比將由2012年的每6.7位青壯年人口負擔1位老年人口，至2060年. 立. 轉變為每1.3位青壯年人口負擔1位老年人口，由此不難看出台灣人口老化的快速. ‧ 國. 學. 及其造成的負擔。然而，正因為台灣高齡化快速，對政府政策的規劃、社會福利改革、財務負擔等，形成非常大的壓力。. ‧. Nat. 年別 2012 2015 2020 2030 2040 2050 2060. 15-64 歲:65 歲以上 6.7 ： 1 5.9 ： 1 4.4 ： 1 2.7 ： 1 2.0 ： 1 1.5 ： 1 1.3 ： 1. Ch. engchi. y. sit. 20-64 歲扶養比(%) 合計扶幼比扶老比 48.6 32.0 16.6 47.8 29.3 18.6 50.4 26.1 24.2 67.4 27.4 40.1 82.8 27.7 55.1 100.3 27.3 73.0 111.6 28.2 83.5 生產者與高齡人口之比 20-64 歲:65 歲以上 6.0 ： 1 5.4 ： 1 4.1 ： 1 2.5 ： 1 1.8 ： 1 1.4 ： 1 1.2 ： 1. 20-69 歲扶養比(%) 合計扶幼比扶老比 41.9 30.6 11.3 39.3 27.6 11.7 37.7 23.9 13.7 49.3 24.4 24.9 61.8 24.5 37.3 72.1 23.4 48.7 81.7 24.2 57.5. er. al. n. 2012 2015 2020 2030 2040 2050 2060. 15-64 歲扶養比(%) 合計扶幼比扶老比 34.7 19.7 15.0 35.1 18.1 16.9 40.1 17.5 22.6 56.1 18.7 37.3 69.8 18.6 51.2 85.3 17.8 67.6 97.1 19.4 77.7. io. 年別. 表 1-1、扶養比1推計. i n U. v. 20-69 歲:70 歲以上 8.9 ： 1 8.6 ： 1 7.3 ： 1 4.0 ： 1 2.7 ： 1 2.1 ： 1 1.7 ： 1. 資料來源：行政院經建會「中華民國2012年至2060人口推計」。 1. 扶養比＝扶幼比＋扶老比。 1.

(10) 死亡率的下降不僅影響政府的社會福利政策，也影響商業保險商品的訂價。例如壽險商品保費主要由利率與死亡率決定，前者通常根據整體經濟環境訂定，後者則以經驗發生率來計算，不適當的利率、死亡率會導致壽險公司財務的健全。以近幾年市場上常提到的利差損(Loss from Difference of Interest Rate)為例，導因於 1990 年代的保單預定利率較高，但金融海嘯以來市場利率低迷，兩者差異引起保險公司的收益赤字，整個台灣壽險業的利差損高達數千億以上，壽險業者推估單單 2012 年，利差損的數值即高達新台幣 1400 億元（資料來源：金管會）。死亡率下降同樣也會造成壽險商品價格低估（或高估），影響保險公司的營收，. 政治大金商品的純保費低估 30%以上，亦即造成死差損；死亡險商品則有嚴重高估之虞，立根據 Willets (1999)的假設條件，以每年平均可延長約 1/4 歲的壽命，會使現行年. 近年有些保險公司透過死差分紅回饋保戶。. ‧ 國. 學. 根據中華民國人壽保險同業公會統計資料（表 1-2），年金保險初年度保費. ‧. 收入成長極為快速，就民國 102 年與 101 年保費收入比較，年金保險保費收入成. y. Nat. 長率高達 105.8%，雖然與壽險差距仍大，但卻是成長幅度最多的險種。近年來，. er. io. sit. 政府的勞退新制改革以及商業保險業者積極推動下，未來必定會有更多退休基金湧入年金市場，此現象更加凸顯死亡率推估模型的重要性，以避免年金保險保費. n. al. 短收的情況。. Ch. engchi. i n U. v. 表 1-2、壽險業 102 年各險別初年度保費收入統計表(百萬元)及比例險壽. 別險. 傷害險健康險年金險合計. 102 年. 101 年. 100 年. 成長率（%）. 占總保費比例. 723,019. 960,858. 748,802. -24.8. 70.5%. 10,566 29,740 262,472 1,025,798. 10,966 33,948 127,512 1,133,284. 10,322 30,954 127,456 917,534. -3.6 -12.4 105.8 -9.5. 1.00% 2.90% 25.6% 100%. 資料來源：中華民國人壽保險同業公會統計資料. 2.

(11) 本文尋求較合適之死亡率模型，因應壽命延長對年金險造成的死差損問題，以台灣、日本、美國等三個國家的未來死亡率變化趨勢為目標，探討各死亡率模型於死亡率推估上的差異，做為預測死亡率的參考依據。另外，透過比較不同模型預測出來的死亡率，估算未來的人數存活曲線以及代入計算出年金商品保費，評估若以不同模型預測死亡率其保費的差異，以及如果忽略未來死亡率改善造成的影響。. 第二節研究目的. 立. 政治大. 政府在制訂各項有關人口相關政策，或是保險業者在訂定保險費率（壽險、. ‧ 國. 學. 年金商品），都需藉由死亡率模型預測未來生命數值的變化。死亡率模型用於預測時通常得仰賴過去的經驗資料，藉由分析歷史變化趨勢捕捉人類死亡率的特性，. ‧. 其中分析結果也取決於資料的可信度，像是資料品質、資料量等，但許多國家缺. y. Nat. sit. 乏足夠數量及優良品質的高齡人口記錄，即使在擁有較為可信戶籍登記制度的台. n. al. er. io. 灣，高齡人口的質與量也有不少瑕疵。例如：西元 1950 年代最高年齡組僅至 70. i n U. v. 歲、1980 年代為 85 歲、西元 1990 年代才有 100 歲高齡人口的紀錄，因此資料. Ch. engchi. 匱乏是研究高齡死亡率常見的問題，經常需使用插補（包括內外插、修勻等）方法。另外，即使有完整及可信的資料，高齡人口常因人數較少，死亡率較易呈現不規則震盪的情形，因此有年齡越高，死亡率震盪程度越大的現象。本文主旨在於探討高齡死亡率模型，以修勻方法降低變異數，以及資料品質（例如：資料紀錄不正確）的議題，在此不做討論。關於高齡死亡率模型，本文將考量兩大類型的模型：相關模型(Relational Model)及隨機模型(Stochastic Model)。第一類方法包括 Gompertz (1825)提出的 Gompertz 模型，Coale and Kisker (1990)提出類似 Gompertz 模型的 Coale-Kisker 高齡死亡率編算方法模型、王信忠與余清祥(2011)引進吃角子老虎的規律折扣數列概念的 Discount Sequence 模型。 3.

(12) 第二類模型則有 Lee and Carter (1992)發展出可預測美國死亡率變動的模型 Lee-Carter 模型，Cairns et al.(2006)用於預測英國(United Kingdom)未來死亡率變動的 CBD 隨機模型進行死亡率配適與預測。另外，在死亡機率推估中，我們假設未來的變化趨勢會與過去相同，因此必須仰賴一定數量的歷史資料，但高齡人口資料數量較少，較易有大幅度的變動，其所面臨的推估誤差也會比較大。Smith and Sincich (1990)提出增加基底年數可增加推估的效果；王信忠等人 (2012)發現如果基底年數由 5 年增加至 10 年、10 年增至 20 年，都可大幅降低推估誤差，但增至 20 年以上的基底年數效果較不明. 政治大數誤差的影響，因此對於評估推估誤差時，也分成短期、中長期預測兩種類別。立顯。因為本研究使用區塊拔靴法推估未來的死亡率，也需探討基底年數對推估年. 本文各章安排如下：第貳章回顧過去對於高齡死亡率模型探討之理論基礎，. ‧ 國. 學. 並簡介本文所使用的死亡率模型，第參章為實證資料分析，透過各模型配適過去. ‧. 死亡率，比較各模型在各國死亡率資料上配適的結果，以及其參數的變動情形；. y. Nat. 第肆章為模型預測分析，將第參章的模型比較結果套用至死亡率預測之中，討論. er. io. sit. 死亡率改善的情形下何種模型較適用於預測未來的變化；第伍章為延伸在未來的人數存活曲線以及保險業年金商品上之應用，計算利用年金險的保費與真實死亡. n. al. Ch. 率之差異；最後一章節為討論與建議。. engchi. 4. i n U. v.

(13) 第貳章文獻探討與死亡率模型介紹近年來各國都面臨壽命延長及人口老化的問題，與老年人相關訊息，如:高齡死亡率、平均餘命等格外受到大眾重視。老年人相關議題在國外自 1960 年代即受到關注，隨著時代變遷時有新的老年研究結果發表，高齡死亡率模型的研究也隨之不斷推陳出新，以提高老年人口死亡率的精確性。高齡死亡率模型的使用早期有 Gompertz 於 1825 年提出的 Gompertz 模型，假設瞬間死亡率服從指數成長趨勢。此外，近年來也有其他高齡死亡模型的研究，如:Coale and Kisker(1990) 提到的 Coale-Kisker 模型，可視為 Gompertz 的推廣情形。另外常見的用於推估. 政治大. 人口死亡率的做法為假設各年齡間存在某關聯性，例如:估算出各年齡間死亡率. 立. 比值，人數較少、震盪幅度大的高齡死亡率可由人數較多的中高齡死亡率求出，. ‧ 國. 學. 英國的縮減因子(Discount Factor)模型、王信忠、余清祥(2011)折扣數列(Discount. ‧. Sequence)模型等都是可適用於高齡死亡率的模型。本文將探討眾多模型中，那些模型是可用於預測高齡死亡率較佳的方法。本章節將分為三個部分，第一部介. y. Nat. io. sit. 紹不同型態之死亡率模型；第二部分則探討具機率意涵的區塊拔靴法，探討其區. n. al. er. 塊長度的選取以及區塊權重的抽樣方法；最後一部分則為後續延伸至保險年金商品之精算公式。. Ch. engchi. i n U. v. 第一節模型介紹死亡率模型可分為死亡率關係模型 (Relational Models) 與隨機模型 (Stochastic Models)。關係死亡率模型主要用於衡量死亡率與年齡之間的關係，如 Gompertz (1825)發現瞬間死亡率的對數值隨年齡直線上升。但是關係死亡率模型僅考慮了年齡與死亡率的變化，並不能看出隨著年代的變化死亡率會如何改變；隨機死亡率模型，除了年齡與死亡率間的關係，再加入年代(Period)或世代(Cohort) 的參數，試圖找出年代、年齡與死亡率之間的關係。隨機死亡率模型如 Lee and. 5.

(14) Carter (1992)提出的 Lee-Carter 死亡率模型；與 Cairns et al. (2006) 提出的 CBD 隨機死亡率模型。由於動態模型已包含預測未來的概念，因此較常應用於預測未來的死亡率。以下分別介紹關係與隨機模型。一、Gompertz 模型 Gompertz(1825)根據 19 世紀介於 20 至 60 歲成年人的死亡率資料，發現死力會隨著年齡呈現指數上升。其假設瞬間死亡率滿足年齡函數，如 3-1 式：. 立. 政治大. (3-1). 其中B> 0、C > 1為Gompertz假設參數，x代表年齡。. ‧ 國. 學. 在此模型假設下，根據上式(3-1)假設，可推得x歲人之存活機率. ，如(3-2)式:. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. (3-2). v. e n g c 表示，因此， hi. 透過對(3-2)式取對數，參數可用存活機率. (3-3). 對於Gompertz參數估計方法，可分為三種數值方法：加權最小平方法 (Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值法(Nonlinear-Maximization；NM)及最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)。本研究以加權最小平方法估計Gompertz模型參數B和C。首先我們對（3-3）式取一次對數，則. 6.

(15) (3-4) 令；. (3-5). 利用(3-5)式及下列(3-6)式加權最小平方法估計和 :. (3-6). 其中. 為x歲的生存人口數。. 二、Coale-Kisker 模型. 立. 政治大. ‧ 國. 學. Coale and Kisker(1990)提出高齡死亡率的編算方法，想法類似 Gompertz 模型，其假設死亡率比值. ‧. 在 85 歲以後為年齡的線性函數:. n. er. io. sit. y. Nat. al. (3-7). Ch. i n U. v. x 表示為年齡，s 為線性函數斜率。在(3-7)式假設下，可得各年齡中央死亡率為:. engchi. (3-8). 當中參數估計方法利用加權最小平方法(WLS)仿造 Gompertz 的估計方式，但使用的為中央死亡率與二次式:. (3-9). 7.

(16) 上式(3-9)的權數為各年齡層人數。另，男女性中央死亡率上限. 為 1.0 及 0.8。. 三、Discount Sequence 模型王信忠與余清祥(2013)提出的規律折扣數列模型主要是引進吃角子老虎的規律折扣數列概念。在吃角子老虎問題中，根據 Berry and Firstedt(1979)定義，如果對每一個觀察值 n，. 滿足:. (3-10). ……)為一規律數列。將折扣數列套用至生命表函數檢驗，. 則折扣數列(. 政治大. 發現生存數與平均餘命隨著年齡遞減；死亡率與死亡數在高齡組也滿足規律性。. 立. 定義折扣數列比值. ‧. ‧ 國. 學. 當中. 為 x 歲之存活機率，且服從 Weibull 分布. (3-11). Nat. y. 。本研究. al. er. io. sit. 對於規律扣數列方法的參數值估計，以加權最小平方法估計:. (3-12). 根據最小平方法推估的參數值 a, b 以及實際的存活機率. ，找出存活機率估計. n. v. 值. Ch. engchi. i n U. 。. 四、Lee Carter 模型 Lee and Carter(1992)年提出可預測美國死亡率變動的模型:. (3-13). 8.

(17) 代表在年代 t, x 年齡組人口的中央死亡率(Central Death Rate)。. 上式(3-13)中三個參數:. 為年齡組死亡率的平均曲線，. 度，是 t 年之死亡率強度，誤差. 為年齡組之相對死亡率變化速. 為常態分配。該模型對於各年齡在不同基. 準下，死亡率隨著時間做不同幅度的改善，一般來說會預期死亡率隨著時代的演進逐漸下降，則. 是一條遞減的曲線。. 為大於 0 的數，數值越大表示該年. 齡死亡率改善幅度越快。參數求解時，為避免可能有無限多組解，通常增加限制式. 和. 政治大如 Lawson and Hanson(1974)提出之奇異值分解(Singular Value Decomposition；立。過去文獻對於 Lee Carter 模型之參數配適研究，發展許多配飾方法，. ‧ 國. 學. SVD)及其近似法、主成份分析(Principal Component Analysis ; PCA)和最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation；MLE)，SVD 也可配合 Wilmoth(1993)的最. ‧. 小平方法參數修正。. Nat. n. al. er. io. sit. y. SVD 求解過程如下: 首先對中央死亡率取對數，根據最小平方法估計. Ch. engchi. i n U. v. (3-14). 可得 (3-15). 再對[ 解為. ] ，其中和. 此式子做 SVD 可得. 和. 。將死亡率矩陣分. 為正交單位向量矩陣，為奇異值的對角矩陣。. 9.

(18) 五、CBD 隨機死亡率模型 Cairns et al. (2006) 提出一個預測英國(United Kingdom)未來死亡率變動的模型，且假設第一個參數. 對所有年齡的死亡率皆會影響，第二個參數. 對. 於高齡死亡率的影響幅度會高於低年齡層所受的影響。模型設計如下：. (3-16). 其中，. ，治政大 t, x 年齡組人口的中央代表採用資料範圍年齡的平均數，代表在年代立. 、. 為 x 歲年齡組在年代 t 的生. 表期間效應(period Effect)，. 為斜率(Slope Coefficient)，. 為死亡率水準(Level of. ‧. Mortality)，. ‧ 國. 存人數。. 為 x 歲年齡組在年代 t 的死亡人數，. 學. 死亡率，. ，. 為 x 歲年齡組在年代 t 的隨機誤差。. y. Nat. io. sit. CBD 隨機死亡率參數估計方法根據 Cairns et al.(2007) 提出最大概似估計. n. al. er. 法(Maximum Likelihood Estimation；簡稱 MLE)，並參考 Brillinger(1986)假設死亡人數服從 Poisson 分配. Ch. i n U. v. )。使用遞迴方式來估計參數，CBD. Poisson(. engchi. 隨機死亡率模型的最大概似函數如下：. (3-17). 對概似函數採一階為分等於 0，二階微分小於 0 可估出參數。微分方程式如下:. (3-18) 10.

(19) 而 CBD 模型參數的起始值. 利用最小平方法所求得，且 h=0.000001。. CBD 死亡率模型參數估出後，套入 CBD 模型，即可求得所需的 CBD 模型的死亡率。. 第二節死亡率預測方法區塊拔靴法由拔靴法延伸而出，拔靴法最早為 Efron(1979) 提出，藉由對已知的觀察值重複抽樣以模擬母體分配。區塊拔靴法概念最早則是由 Hall(1985)提出，相關完整介紹於 K nsch(1989)論文中才被加以討論。區塊拔靴法屬於無母數. 政治大. 的統計方法，不需對母體作分配假設，即可根據過去資料所包含的特性去推估未. 立. 來的趨勢。. ‧ 國. 學. 區塊拔靴法依照資料分塊的特性可分為非重疊(Non-overlapping)區塊拔靴法及重疊(Overlapping)區塊拔靴法，前者為按照區塊長度依序分割資料時，同一. ‧. 資料區塊不可分割於其他區塊上，後者是指同一區塊的後區塊可能為下一區塊地. Nat. sit. y. 開始區塊。最佳的區塊長度的選取目前尚無定論，一般認為最佳區塊長度決定於. n. al. er. io. 資料長度、資料抽樣模式。本文在區塊長度和隨機樣本的抽樣沿用何正羽（2006）. i n U. v. 的做法，區塊長度選擇為5。除此之外，區塊抽取的權重也需詳加考量，區塊抽. Ch. engchi. 取的權重常見的有均勻分配和線性權重，前者表示各區塊被選中的機率都相等，後者是指越接近現在的區塊其發生的可能性越大，被抽重的機率也會越大，本文參考Bühlmann（2002）所抽取的統計量和區塊拔靴法的用途，以線性權重的方式選取區塊。. 第三節年金險之精算公式影響年金定價的主要因素有死亡率和利率。本文假設年金為每年年初領取一次，每次可領取一塊錢，則 x 歲的人在第 t 年死亡率下計算出之即期年金躉繳. 11.

(20) 純保費公式如下:. (3-19). 其中. 年金躉繳純保費，. 為利率折現因子，. 是 x 歲人可以存活至 x+k. 歲的機率。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 12. i n U. v.

(21) 第參章實證資料分析過去高齡人口死亡率的資料紀錄不完全或資料品質缺失，導致死亡率模型在預測高齡死亡率時，會受到資料品質的侷限，近年來，有賴於台灣戶籍登記制度以及資料記錄越加詳細，使得本研究可使用完整的高齡死亡率統計資料做死亡率模型的分析研究，並透過不同模型的推估探討死亡率改善應用於實務上保費的訂價以及存活人數的改善。本章分為兩個部分，第一節說明所使用的資料來源與其特性以及各死亡率模型比較的標準；第二部分高齡死亡率模型比較分析。. 政治大. 第一節資料來源與模型比較基準. 立. 一、資料來源. ‧ 國. 學. 本研究參考 2014 年統計至今之 HMD(Human Mortality Database)以及內政. ‧. 部統計資訊服務網所提供之資料，選取平均餘命較高的國家，認為較能真正反映. Nat. sit. y. 真實高齡死亡率的情形，且透過不同洲別或國家的選擇，可試圖從中了解其在死. n. al. er. io. 亡率改善上的差異，本文分別以台灣、日本、美國三個國家的歷年死亡率，以五. i n U. v. 種模型推估其未來死亡率變化，由於各國死亡率資料年度並不一致，為達分析之. Ch. engchi. 一致性，以選取西元 1992 年至 2009 年近期之研究資料，共計 18 的年度作為模型死亡率推估資料，資料描述如表 3-1。表 3-1、各國死亡率資料說明國家. 資料年分. 年齡層. 年齡分配. 台灣. 1992~2009 年. 60-99 歲. 單齡組. 日本. 1992~2009 年. 60-99 歲. 單齡組. 美國. 1992~2009 年. 60-99 歲. 單齡組. 13.

(22) 模型預測部分，將分為短期預測及長期預測進行。短期預測選自台灣、日本、美國的資料並以規律折扣數列模型、Lee-Carter 模型、CBD 隨機死亡模型做五年的短期預測，短期資料描述於表 3-2。再根據短期預測結果，選擇規律折扣數列模型 1000 次區塊拔靴法及 Lee-Carter 模型 ARIMA 進一步做長期預測，利用長壽國家的資料研究高齡死亡模型預測結果，國家分別以瑞典、日本及美國做為比較，長期資料描述於表 3-3 所選用的資料年度為 1995 年至各國資料的最後一年度。. 政治大台灣日本立. 表 3-2、短期預測資料描述(單齡組) Period. Testing period. 1992-2004. 2005-2009. 2005-2009. y. 1955-1984. 1957-1986. sit. 美國. er. 日本. a1985-2009 iv l C 1987-2011 n hengchi U. n Testing period. 2005-2009. ‧. io. Training Period. 1992-2004. 表 3-3、長期預測資料描述(單齡組). Nat. Period. 1992-2004. 學. ‧ 國. Training Period. 美國. 瑞典 1958-1987 1988-2012. 二、模型比較標準在誤差比較上，以 MAPE(Mean Absolute Percentage Error)作為比較 Gompertz 模型、Coale-Kisker 模型、Discount Sequence 模型、Lee Carter 模型和 CBD 隨機死亡率模型在配飾與預測能力的比較基準。其定義如下:. 14.

(23) 其中為觀察值，為觀察值殘差項。根據 Lewis(1982)依 MAPE 的預測能力分級，以 20%為良好、50%為合理預測界限，詳細分級參照表 3-4。. 表 3-4、MAPE 預測能力分級 MAPE. <10%. 10%~20%. 20%~50%. >50%. 預測能力. 高精確度. 良好. 合理. 不正確. 另外，本文也利用 AIC (Akaike Information Criterion) 和 BIC (Bayes. 政治大銷參數數量的影響能力之外，對模型的配適能力作一適當的修正；BIC 則是將觀立. Information Criterion) 兩種指標檢驗模型，前者是將參數個數加入 AIC 公式中抵. 學. ‧ 國. 察個數加入公式中抵銷觀察值個數的影響，兩者皆為值越小，表示模型配適能力越佳。以下分別定義 AIC 與 BIC:. ‧. n. al. BIC=-2log(L)+klog(n). Ch. engchi. er. io. sit. y. Nat. AIC=-2log(L)+2k. i n U. v. 其中 L 為最大概似估計量，k 為模型中參數個數，n 為觀察值個數。. 第二節高齡死亡率模型比較分析本節根據前章所提及的死亡率模型，以台灣、日本、美國三個國家資料做為高齡死亡率分析，討論各模型的參數估計結果以及歷年死亡率推估情形，並藉此找出適合用以估計各國高齡人口死亡率的高齡死亡率模型。本節僅列出台灣比較結果，其餘國家結果之詳細資料可參考附錄。. 15.

(24) 一、Gompertz 模型. 首先我們使用Gompertz模型敘述各國死亡率變動情形，並以加權最小平方法(WLS)估計各年度的Gompertz 模型中參數B值和C值，各年度的參數走勢分別描繪於圖3-1和圖3-2，我們發現男、女性參數B值都呈現逐年下降的變化，變化情形又以美國與日本為相似，台灣的變化則與其他國家差異較多。男性C值部分近年來也是呈現逐漸遞減，日本及美國女性C值則是近似收斂之一定值，總體而言，參數B值女性會低於男性，參數C值為女性高於男性。一般來說，估計參數B、C時，我們會希望每個國家的參數最後都能收斂到某一個特定值，但從三. 政治大. 個國家的估計結果發現不管是男性還是女性，不同國家的參數B和C的走勢皆不. 立. 相同，這對於之後在進行模型預測時，較難以利用過去的資料特性預估未來的死. 模型。. ‧. ‧ 國. 學. 亡率情形。因此在後續預測的部分我們將不採用Gompertz模型作為預測死亡率的. y. Nat. engchi. i n U. v. 台灣日本美國. -13.0. -11.0. -12.5. -10.5. er. -10.5 -11.0. Ch. log(B). -10.0. 台灣日本美國. -11.5. al. n. log(B). sit. 女性參數 B值. -12.0. io. -9.5. 男性參數 B值. 1995. 2000. 2005. 1995. year. 2000. 2005. year. 圖 3-1、1992-2009 各國 Gompertz 模型參數 B 之估計結果. 16.

(25) 男性參數 C值. 1.120 1.115. 台灣日本美國. 1.100. 1.105. 1.110. C value. 1.100. 台灣日本美國. 1.095. 1995. 2000. 2005. year. 立. 1995. 2000. 2005. year. 政治大. 圖 3-2、1992-2009 各國 Gompertz 模型參數 C 之估計結果. 學. ‧ 國. 接下來，以 Gompertz 模型估計歷年死亡率變化，以上述所估計的參數結果，. ‧. 估計各年齡層死亡率，並加入實際的死亡率資料做比較，檢驗模型的配適結果是. sit. y. Nat. 否恰當，圖 3-3 是根據臺灣的男性及女性死亡率資料，將估計出來的死亡率與真. io. 實的死亡率做比較。發現台灣資料的配適結果，在男性部分 65 歲至 85 歲年齡間. al. er. C value. 1.105. 1.125. 女性參數 C值. v. n. 的配適結果較佳，但在 85 歲至 99 歲，Gompertz 模型的配適結果有明顯高估死. Ch. engchi. i n U. 亡率的情形，另外，由於 90 歲以上男性死亡率資料在近年來明顯的下降，但 Gompertz 模型未能準確地描述；女性部分在 90 歲以下配適的結果都還不錯，但 90 歲以上也是明顯高估，其中又以死亡率變動幅度大的歷史資料估計的結果誤差最大，男女性在 1995 年至 1997 年的死亡率有明顯的變化，而模型估計尚未捕捉此變化趨勢。. 17.

(26) 台灣女性 qx. -3. -2. 1995-1997Raw data 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997Gompertz 2001-2003Gompertz 2007-2009Gompertz. -4. -3. log(qx). -2. 1995-1997Raw data 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997Gompertz 2001-2003Gompertz 2007-2009Gompertz. -5. -4 60. 70. 80. 90. age. 立. 60. 100. 70. 80. 90. 100. age. 政治大. 圖 3-3、台灣 Gompertz 模型推估歷年死亡率變化之結果. 學. ‧ 國. 二、Coale-Kisker 模型. ‧. io. sit. 值，各年度的參數走勢分別描繪於圖3-4和圖3-5，函數，當. 值和s. y. Nat. 本文以加權最小平方法(WLS)估計各年度Coale-Kisker模型中參數. 表示中央死亡率比值取對數. er. log(qx). -1. -1. 台灣男性 qx. 越小時表示年齡間死亡率的差異越小，近年日本與美國的資料中發現. al. n. v i n C h ，此表示其死亡率曲線往下彎的幅度較小，參數值結果相近都呈現遞減的情形 engchi U. 台灣男性部分，又以高齡死亡率下降的幅度較中高齡人口死亡率多。表示死亡率. 曲線斜率的參數s，其值越小，死亡率曲線越趨於平緩。參數估計結果，以日本與美國的參數變化趨勢較接近，唯獨台灣男性不管是參數. 或s其變化的程度與. 另外兩個國家完全呈現相反狀態。但相較於Gompertz參數估計的結果，本文覺得 Coale-Kisker參數逐漸收斂到某一個特定值，但其收斂的狀態尚無法完全從三個國家的估計結果下一個定論，因此也較難以利用過去的資料特性預估未來的死亡率情形。. 18.

(27) 女性參數. 0.10. 台灣日本美國. 0.05. kx. 0.06. 台灣日本美國. -0.05. 0.00. 0.02. 0.00. 0.04. kx. 0.08. 0.10. 0.12. 男性參數. 1995. 2000. 2005. year. 立. 1995. 2000. 政治大. year. 圖 3-4、1992-2009 各國 Coale-Kisker 模型參數. ‧ 國. ‧. 2e-04. engchi. 台灣日本美國. sit er. 8e-04 6e-04 s. Ch. i n U. v. 台灣日本美國. 0e+00. 0e+00. 2e-04. n. al. 4e-04. 6e-04 4e-04. io. -2e-04. y. 1e-03. 女性參數. Nat. s. 之估計結果. 學. 男性參數. 1995. 2005. 2000. 2005. 1995. year. 2000. 2005. year. 圖 3-5、1992-2009 各國 Coale-Kisker 模型參數 s 之估計結果. 我們利用上述的參數估計結果估算歷年的死亡率，想了解 Coale-Kisker 模型對於變動幅度大的死亡率是否能準確的描述其特性，結果發現 Coale-Kisker 模型. 19.

(28) 所推估的死亡率曲線在 60 歲至 85 歲時，配適的結果還不錯，能準確地描述實際觀察值情況，但 85 歲以上極高齡死亡率則明顯高估，甚至估計情形比 Gompertz 的結果更差，本文認為的可能原因為 Coale-Kisker 模型所呈現的是二次曲線圖形，模型再進行配適時，由於受到 85 歲以下人口死亡率的影響，而導致模型估計結果比 Gompertz 高估。. -1. 台灣女性 qx. -2. 1995-1997Raw data 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997CK 2001-2003CK 2007-2009CK. -2. 政治大 log(qx). -5. -4. ‧ 國 80. 90. 100. 60. ‧. 70. 學. -4. -3. log(qx). 立. 60. 1995-1997Raw data 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997CK 2001-2003CK 2007-2009CK. -3. -1. 台灣男性 qx. 70. 80. age. 90. 100. io. sit. y. Nat. age. n. al. er. 圖 3-6、台灣 Coale-Kisker 模型推估歷年死亡率變化之結果三、Discount Sequence 模型. Ch. engchi. i n U. 規律折扣數列主要先估計年齡間存活機率的比值活機率估計值，進一步推導出. v. 以及存. 等存活機率。當比值越趨近於 1 時，. 表示死亡率逐漸改善。比較台灣歷年的死亡率變化，實際值與規律則扣數列估計值，由下圖 3-7 可以看出在男性部分 1995-1997 以及 2001-2003 年在 60 歲至 90 歲間估計值與觀察值非常接近，但較特殊的是 2007-2009 年的不管是 90 以下或以上其配適的效果都不佳，本文認為其可能原因是因為原始資料中，年齡間死亡率比值大於 1 的數量較多，即年齡間的死亡率關係不符合規律數列的規則，導致在估算存活機率時，許多原始值被迫扔掉不得使用，因而使得其估計結果無法 20.

(29) 確切的反映出真實的死亡率。另外，若從日本與美國等人數較多的國家來看，模型配適結果發現，不管是男性或女性規律折扣數列方法都優於上述先前提及的 Gompertz 和 Coale-Kisker 兩種模型，同樣的，我們以台灣女性資料來看，不管是哪個年度的資料，規律折扣數列方法都優於 Gompertz 和 Coale-Kisker 兩種模型。台灣男性 qx -1.0. -1. 台灣女性 qx. -2. 1995-1997Raw data 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997DSW 2001-2003 DSW 2007-2009 DSW. -3. log(qx). -2.5. 政治大. 70. 80. 90. 100. 60. 學. 60. ‧ 國. -5. -4. -3.0 -3.5 -4.0. 立. -4.5. 70. age. 80. 90. 100. age. ‧ sit. io. 四、Lee Carter 模型. y. Nat. 圖 3-7、台灣規律折扣數列模型推估歷年死亡率變化之結果. er. log(qx). -2.0. -1.5. 1995-1997Raw data 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997DSW 2001-2003 DSW 2007-2009 DSW. al. 項. n. v i n Ch 首先觀察到台灣男性歷年參數估計的結果，描述如圖 3-8，觀察到年齡效果 engchi U 在各年齡層皆為負值，其曲線呈現隨著年齡增加而增加，表示第一個年齡. 層的死亡率最低，最後一年齡層則最高。觀察至近大約為 0.03，但至 90 歲以後呈線反轉的現象，. 項，60 至 90 歲的值相當接呈現直線上升最後一年齡. 發現從 1992 年的正值逐漸下降到 2005. 層的值為 0.1。若再搭配時間效果項年開始轉為負值，整題而言時間效果項. 是逐年遞減，將. 和. 兩項相乘. 可得知，各年齡組歷年死亡率是為遞減的情況，除此之外，在 95 歲時，其對於其他年齡組來的低，表示當時間效果. 逐漸降低時，該年齡層的變化幅度. 會比其他年齡層小，相對的死亡率遞減速度也會較緩慢。. 21. 相.

(30) Taiwan Male. 0.05 0.00. Beta2(x). -4. -0.05. -6. -0.10. -8 -10 60. 70. 80. 90. 60. 100. 70. 80. 90. 100. age. age. 政治大. 10. 立. Taiwan Male. 5. ‧ 國. 學. 0. ‧. n. -10. io. al. er. -5. sit. y. Nat. Kappa2(t). Beta1(x). -2. 0. 0.10. Taiwan Male. Ch 1995. engchi 2000. i n U. v. 2005. age. 圖 3-8、台灣男性 Lee-Carter 模型參數估計結果. 同樣由圖 3-9 觀察女性的結果，整體而言所有參數結果與男性相似，但有明顯差異的為參數. 項，女性資料中每個年齡層的. 並沒有大幅上升或下降. 的情況，即說明台灣女性的資料並沒有哪一個年齡層死亡改善幅度較其他年齡層快或慢的情況。. 22.

(31) Taiwan Female. 0.05 -0.05. 0.00. Beta2(x). -4 -6. -0.10. -8 -10. 60. 70. 80. 90. 80. 100. Taiwan Female. 立. 0. ‧. n. al. er. io. sit. -5. y. Nat -10. 90. age. 政治大. 5. 10. 70. 學. Kappa2(t). 60. 100. age. ‧ 國. Beta1(x). -2. 0. 0.10. Taiwan Female. Ch 1995. 2000. engchi age. i n U. 2005. v. 圖 3-9、台灣女性 Lee-Carter 模型參數估計結果. 再以 Lee-Carter 模型做死亡率估計，我們知道 Lee-Carter 模型參數中僅和年齡有關，而時間效果項. 和. 項. 則是具有考量時間效果的參數，因此在除了考. 量年齡與死亡率之間的關係，更多加了時間與死亡率的關係，Lee-Carter 模型做死亡率估計結果可由圖 3-10 得到，男性部分，可以很明顯的看出 Lee-Carter 模. 23.

(32) 型與高齡死亡率的觀察值的變化蠻一致，沒有明顯高估或低估的問題，其估計結果比先前所討論的死亡率模型結果表現更加，而在女性的部分其估計效果也與真實值相當接近。因此後續作死亡率預測時，我們將會以 Lee-Carter 模型作為預測死亡率的模型。. 台灣男性 qx -1.0. -1. 台灣女性 qx. -2 -4 -5. ‧ 國. -3. log(qx). -2.5 -3.0 -4.0. -3.5. 80. 90. 100. 60. 70. 80. ‧. 70. 學. 60. 1995-1997Raw data 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997LC 2001-2003LC 2007-2009LC. 政治大. 立. -4.5. age. 90. 100. age. sit. y. Nat. 圖 3-10、台灣 Lee-Carter 模型推估歷年死亡率變化之結果. io. n. al. er. log(qx). -2.0. -1.5. 1995-1997Raw data 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997LC 2001-2003LC 2007-2009LC. 五、CBD 隨機死亡率模型. 首先是比較參數. ，. Ch. engchi. i n U. 描述如圖 3-11，. 的推移，所有年齡層的死亡率普遍在改善。. v. 下降的趨勢，表示隨著時間. 上升的趨勢，曲線越趨陡峭，表. 示高齡死亡率改善的幅度會比低齡部分多。從台灣資料來看，男女性部分參數，. 的變化蠻一致，男、女性資料顯示歷年的. 齡層的死亡率確實是有改善的。. 呈現微幅的遞減，所有年. 項，男性約為 0.08 至 0.1，女性約為 0.1 至. 0.12，表示女性在高齡的部分的死亡率其改善幅度比男性的改善幅度多。. 24.

(33) Taiwan Male. -5. 0.06. -4. 0.08. 0.10. Kappa2(t). -3. Kappa1(t). -2. 0.12. -1. 0.14. 0. Taiwan Male. 1995. 2000. 1995. 2005. age. 2000 age. 政治大. 立. 2005. 圖 3-11、台灣男性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果. ‧ 國. 學 Taiwan Female. y. 0.14. engchi. er. sit. 0.12 0.10 0.08. Ch. i n U. v. -5. 0.06. -4. -3. n. al. Kappa2(t). io. -2. -1. Nat. Kappa1(t). ‧. 0. Taiwan Female. 1995. 2000. 1995. 2005. 2000. 2005. age. age. 圖 3-12、台灣女性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果. 接著利用上述所求的參數. ,. 以及 CBD 模型，進一步推導出. 死亡. 機率。比較出各個國家歷年的死亡率變化，首先看到男性部分，在 60 歲至 70 25.

(34) 歲的結果顯示，CBD 模型或多或少低估或高估死亡率的情形，1995-1998 年在 85 歲以上的資料，CBD 模型的估計雖比其他模型更貼近觀察值，但其效果還是不如 Lee-Carter 的結果。2001-2003 年與 2007-2009 年的資料不管是在哪個年齡層，CBD 估計結果都有明顯的誤差。女性結果則比男性結果好一點，其配適的效果都較接近觀察值。. 台灣男性 qx -1. -1.0. 台灣女性 qx. 70. -2 -3 -4 -5. -4.0. -3.5. ‧ 國. log(qx). 立. -2.5 -3.0. 政治大. 80. 90. 100. ‧. 60. 1995-1997Raw data 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997CBD 2001-2003CBD 2007-2009CBD. 學. -4.5. 60. 70. 80. 100. Nat. y. 90. age. io. sit. age. n. al. er. log(qx). -2.0. -1.5. 1995-1997Raw data 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997 CBD 2001-2003 CBD 2007-2009 CBD. i n U. v. 圖 3-13、台灣 CBD 模型推估歷年死亡率變化之結果. Ch. engchi. 六、各模型比較透過上述五種模型對死亡率做估計後，本小節將結合五種模型的估計結果比較各死亡率模型的優劣，我們比較的資料為 2007-2009 年三年平均的資料，首先我們觀察到圖 3-14，男性部分，在五種模型當中，以 Lee-Carter 的配適效果為最佳，其次為 CBD 模型，而 Gompertz 和 Coale-Kisker 則都明顯高估死亡率，規率折扣數列由於年齡間死亡率比值多數小於 1，使得其配適較果不佳。女性資料，並沒有明顯差異哪一個模型的效果較佳，但可看出依舊是以 Lee-Carter 的配適效 26.

(35) 果為最佳，其次為規律折扣數列方法，當存活機率比值小於 1 時，表示死亡率呈現規律的狀態，因此使用規律折扣數列方法確實能捕捉其死亡率變化趨勢。再者以 CBD 的配適效果為佳，Gompertz 和 Coale-Kisker 模型於估計及高齡死亡率時，由於受到中高齡人口死亡率對整體參數估計的結果的影響，進而導致在極高齡部分的估計效果較不佳。. 台灣男性 qx. -3.5 -4.0. -2 -3 -4 -5. 80. 90. 100. ‧. 70. 學. ‧ 國. -3.0. -2.5. 立. 60. Raw data Gompertz Coale Kisker DSW CBD LC. 政治大 log(qx). -2.0. -1.5. Raw data Gompertz Coale Kisker DSW CBD LC. -4.5. 60. 70. 90. 100. Nat. y. 80. age. io. sit. age. al. er. log(qx). -1. -1.0. 台灣女性 qx. n. 圖 3-14、台灣各模型推估死亡率之比較. Ch. engchi. i n U. v. 除以圖形比較模型的差異，本文進一步以 MSE、MAPE 探討模型估計值與觀察值間的誤差，並利用模型參數個數計算各模型間的 AIC 及 BIC，藉由 MSE、 MAPE、AIC 和 BIC 檢視模型的優劣。首先，若以 MSE 描述各模型估計情況，從表 3-5 中可發現，在台灣資料中死亡率模型中以 Lee-Carter 模型為最佳，其次為 CBD 隨機模型的配適結果為佳，而 Lee-Carter 模型在日本與美國表現也為較佳，緊接著以規律折扣數列模型優於其他模型表現。. 27.

(36) 表 3-5、各模型配適結果與觀察值間差異(MSE) Taiwan. Model. Japan. U.S.. Male. Female. Male. Female. Male. Female. Gompertz. 0.0149. 0.0155. 0.0081. 0.0059. 0.0079. 0.0071. Coale-Kisker. 0.0194. 0.0152. 0.0184. 0.0180. 0.0063. 0.0095. DS. 0.0132. 0.0068. 0.0027. 0.0034. 0.0039. 0.0036. LC. 0.0039. 0.0037. 0.0013. 0.0006. 0.0024. 0.0023. CBD. 0.0104. 0.0050. 0.0042. 0.0041. 0.0069. 0.0070. 表 3-6、各模型配適結果與觀察值間差異(MAPE%) Taiwan. Model. Male. Female. Male. U.S. Female. Male. Female. 18.8 16.2 治政 21.1 20.2 23.1 大. 12.8. 18.1. 17.5. 19.2. 5.18. 5.74. 6.40. 6.58. 5.74. 7.39. 2.59. 2.02. 2.70. 3.28. 3.00. 9.81. 3.98. 8.68. 7.91. 7.58. 6.62. 13.88. Coale-Kisker. 18.6. DS. 10.2. LC. ‧. ‧ 國. 立. 14.9. 學. Gompertz. CBD. Japan. 以 AIC、BIC 比較各模型的優劣，結果顯示於表 3-7 和 3-8，根據表格結果. y. Nat. sit. 可得知不管是台灣、日本或美國的資料依舊是以 Lee-Carter 模型的表現結果為最. n. al. er. io. 佳，其次，在日本與美國以規律折扣數列表現為佳，台灣資料則是以 CBD 模型. i n U. v. 表現為佳。藉由比較的結果，隨機死亡率模型估計效果確實會比傳統只考量年齡. Ch. engchi. 與死亡率關係的關係死亡率模型 Gompertz 、Coale-Kisker 模型表現好，但事實上，傳統只考量年齡與死亡率關係的死亡率模型未必表現的隨機死亡率模型差，若模型本身能捉到死亡率的特性，用於估計高齡死亡率的效果也不錯，根據結果顯示規律折扣數列方法由於捕捉到年齡間死亡率比值的特性，因此在估計日本與美國單一年度資料時都表現不錯。後續我們會以規律折扣數列模型、Lee-Carter 模型和 CBD 模型做高齡死亡率短期與長期的預測。. 28.

(37) 表 3-7、各死亡率模型 AIC Taiwan. Model. Japan. U.S.. Male. Female. Male. Female. Male. Female. Gompertz. -1004.6. -994.53. -1150.2. -1224.8. -1156.2. -1181.7. Coale Kisker. -939.97. -998.23. -952.46. -958.12. -1209.4. -1111.1. DS. -1032.0. -1191.0. -1410.4. -1353.1. -1320.0. -1341.2. LC. -1324.9. -1336.7. -1588.8. -1764.0. -1434.8. -1441.8. CBD. -1091.8. -1265.4. -1308.6. -1312.2. -1190.0. -1184.6. 表 3-8、各死亡率模型 BIC Taiwan. Female. -1149.2. -1174.7. -1199.0. -1100.7. -1021.5. -1180.6. -1400.0. -1342.6. -1309.5. -1330.8. -1314.4. -1326.2. -1578.4. -1753.5. -1424.3. -1431.4. CBD. -1084.8. -1258.4. -1301.6. -1305.2. -1183.1. -1177.6. ‧. Nat. y. LC. io. sit. DS. 學. Male. Female. ‧ 國. Coale Kisker. U.S.. Male Female 治政 -997.67 -987.57 -1143.2 -1217.9 大 -929.53立-987.79 -942.01 -947.68 Male. Gompertz. Japan. n. al. er. Model. Ch. engchi. 29. i n U. v.

(38) 第肆章預測模型比較根據上章結果，可得知規律折扣數列、Lee-Carter、CBD隨機死亡率模型於死亡率配適的效果，較Gompertz、Coale-Kisker模型更能描述各國高齡死亡率的情形，延續上章的結果，我們使用此三種模型做高齡死亡率的預測。本章分為三個部分，第一節說明模型的預測方法；第二節描述基底年數對推估年數誤差的影響，比較相同基底年數下，不同推估年數所產生的誤差；第三節呈現各模型在短期和中長期預測的結果，並說明選擇該種模型預測方法原因。. 政治大. 第一節模型預測方法. 立. 使用規律折扣數列、CBD隨機死亡率模型與Lee-Carter死亡率模型，預測. ‧ 國. 學. 2005-2009年台灣、日本、美國三個國家男性與女性的60~99歲年齡的死亡率。規. ‧. 律折扣數列預測高齡死亡率方法可分為兩種，首先使用Lee-Carter死亡率模型預，且選擇區塊長度5的區塊拔靴法，. y. Nat. 測起始點死亡率，即60歲時的死亡率. ，死亡機率. 可. al. er. io. sit. 以1000次模擬預測60歲至99歲高齡人口之存活機率的比值. 計算而出 (model DS1)。第二、假設高齡人口的中央死亡率. n. 經由. Ch. engchi. i n U. v. ，選擇選擇區塊長度5的區塊拔靴法，以1000次模擬. ，. (model DS2)。 . Model DS1:以 Lee-Carter 估計次模擬存活機率的比值. . ，選擇區塊長度 5 的區塊拔靴法，1000. 。. Model DS2:區塊拔靴法，1000 次模擬. 、. 。. Lee-Carter 模型分別使用 ARIMA 及區塊拔靴法進行死亡率的預測，首先，以 ARIMA 預測方法推估 1000 次參數的 sample path，並取其平均值作為預測值。第二為以區塊長度 5 的區塊拔靴法模擬 1000 次 Lee-Carter 模型的參數，並以取其中位數作為預測值。 30.

(39) . Model LC1:ARIMA 預測方法。. . Model LC2: 選擇區塊長度 5 的區塊拔靴法，1000 次模擬參數 kt。。我們對參數. CBD模型為. ，. 做預測即可. 得未來死亡率的值，預測方法採用選擇區塊長度5的區塊拔靴法。 . Model CBD: 區塊長度5的區塊拔靴法模擬1000次參數. ，. 。. 第二節推估年數預測未來死亡率充滿著不確定性，不同預測方法所推估的誤差也會不同，. 治政除此，不同基底年數與推估年數也會造成誤差間的差異大，當推估年數越來越大時，立推估誤差也會隨之增加，根據金碩、余清祥(2011)提出以 15 年基底年數的資料， ‧ 國. 學. 可推估未來 15 至 20 年的預測，但不超過 20 年的預測。根據此想法，本文選用. ‧. 相同基底年數假設下，不同推估年數與推估誤差間的關係。在選用台灣歷史資料及 LC1 預測方法下，我們以固定的基底年數 15 年，分別推估未來 1 至 20 年的. y. Nat. n. al. er. io. 結果描述如圖 4-1。. sit. 資料，並以交叉驗證方法檢驗推估值與觀察值間的差異及描述其推估誤差的關係。. Ch. engchi. 日本女性. MAPE. 0.10. 0.15. 0.20. 0.20 0.15 0.10. 0.05. 0.05. MAPE. v. 0.25. 0.25. 日本男性. i n U. qx.1... 1. qx.4... 5. qx.7.... qx.10... qx.13... 15 qx.16... qx.19... 10 20. qx.1... 1. 預測年度. qx.4... 5 qx.7.... qx.10... qx.13... qx.16... qx.19... 10 15 20 預測年度. 圖 4-1、不同推估年數之推估誤差(MAPE) 31.

(40) 以 15 年長度作為基底年度時，推估未來 1 至 20 年的死亡率時，可發現其隨著推估年限越大，所產生的推估誤差隨之增加，即當推估年數越長，所產生誤差越大。且不同起始點的資料，其所產的推估誤差也有所不同。以 55 年的資料，考量中長期預測不同起始點的差異，發現當預測起始點越接近現在資料，誤差越小，無論是 20 年、10 年或 5 年的推估年數，三者之間的推估誤差都隨著時間的增加而遞減，越接近現在的資料，所預測出的死亡率結果與觀察值差異越小。. 日本男性. 0.15. 1985. 1990. 1970. n. al. 1980. er. io. year. 1975. sit. 1980. y. 0.05. Mape. ‧ 國. 0.15 0.10 0.05. ‧. 1975. Nat. 1970. 20year 10year 5year. 學. Mape. 0.20. 立. 政治大. 20year 10year 5 year. 0.10. 0.25. 0.20. 日本女性. Ch. engchi. i n U. 1985. 1990. year. v. 圖 4-2、不同起始推估年之推估誤差(MAPE). 第三節預測結果一、短期預測結果本次研究著重於死亡率模型對於未來高齡死亡率的預測。故分別以不同模型做預測，對於預測結果，選用交叉驗證的方式驗證死亡率模型的預測結果與觀察值之間的差異，更進一步以 MAPE 比較其結果。資料呈現部分也是以台灣的 2009 年預測結果作為分析，模型短期預測結果描述如圖 4-2，首先為男性部分，在 2009 32.

(41) 年資料當中 90 歲以後的實際死亡率有明顯向下彎的趨勢，模型預測結果中 DS2， LC1，LC2 及 CBD 等四種模型預測的結果與觀察值較為接近，但對死亡率的預測還是明顯稍微低估死亡率，而 DS1 模型的表現結果則較不佳，可發現 DS1 是在極高齡約 95 歲的部分很明顯的高估死亡率狀況，而在中高齡死亡率部分 DS1 也無法描述準確實際死亡率狀況，DS1 模型明顯都低估了死亡率。女性部分， DS2、LC1、LC2 的結果較相似，在 95 歲以上的死亡率都呈現微幅下彎的趨勢，但其在 95 歲以後極高齡死亡率的預測不如 DS1 和 CBD 的表現，CBD 模型在五種模型假設下，為較準確地預測高齡人口的死亡率，DS1 模型在 95 歲以下的中. 政治大. 高齡結果與男性的結果並無明顯差異，都為低估死亡率狀態，但極高齡部分則明顯優於 DS2、LC1 和 LC2。. 立. ‧ 國. 學. Taiwan Female. y. sit. -2. er. -3 -4. Ch. engchi. i n U. v. -4.5. -5. -4.0. -3.5. n. al. log(qx). -2.0 -2.5 -3.0. io. log(qx). Nat. Raw data DS1 DS2 LC1 LC2 CBD. Raw data DS1 DS2 LC1 LC2 CBD. ‧. -1.5. Taiwan Male. 60. 70. 80. 90. 60. 100. 70. 80. 90. 100. age. age. 圖 4-3、台灣五種模型預測結果比較. 模型預測死亡率時，可能會高估或低估死亡率，我們透過比較 MAPE 檢視這五種預測方法的優劣，在第三章介紹 MAPE 比較的基準，具有較低 MAPE 的模型具有較佳的預測能力，我們觀察各國的男性與女性之間的 MAPE，從表 4-1MAPE 分析比較，發現台灣資料中男性以 DS2 的 9%預測結果為最佳，女性 33.

(42) 以 CBD 的 6.3%預測為最佳，且 DS2 和 CBD 預測都屬高精準度的預測。日本資料結果中，不管是男性或女性的表現都以 LC1 模型的預測誤差為最小，分別為男性 4.9%和女性 5.7%，美國資料中則皆以 DS2 的推估誤差為最小，男性的預測誤差為 3.5%，女性為 4.8%，本文認為此五種模型當中，屬 DS2 和 LC1 的預測結果為最佳，因此後續也會以此兩種模型進行長期資料的預測。表 4-1、預測值與觀察值 MAPE(單位%) Taiwan. Model. Japan. U.S.. Female. Male. Female. Male. Female. DS1. 15.0. 11.8. 7.20. 8.10. 7.30. DS2. 9.00. 3.50. 4.80. LC1. 9.10. 5.20 治 6.30 政大 7.60 4.90 5.70. 6.50 5.40. 8.40. LC2. 9.30. 7.70. 5.50. 6.20. 5.40. 8.40. CBD. 13.4. 6.30. 5.50. 9.40. 10.2. 11.2. ‧. ‧ 國. 立. 7.40. 學. Male. 二、長期預測結果. sit. y. Nat. io. er. 上述為利用不同的模型對各國死亡率做五年的短期預測，本文想進一步了解這些模型在長期預測上的效果，本小節著重於死亡率模型長時間的預測。模型. al. n. v i n C h DS2 以及 LC1U兩種模型的預測結果，為五的選擇根據短期預測結果分析，認為 engchi 種預測法中較適用於預測未來死亡率的模型，因此長時間的預測也將選用此兩個模型作分析。配適年數 30 年，預測年度 25 年，關於預測資料的選取，由於台灣高齡死亡率的紀錄資料，於 1990 後才有較完整記錄，因此在長期預測部分，將暫不考量台灣的資料，而加入了較長壽且發展時間較長的國家瑞典作為完整的討論。模型預測結果如表 4-2，從推估誤差 MAPE 可得知，若以長時間預測作為檢驗，日本資料顯示為男性以 LC1 的預測誤差為 7.9%為佳，女性部分則是以 DS2 的 9.97 表現為佳，在模型驗證上出現交叉結果，美國的資料結果，皆以規律則 34.

(43) 扣數列利用區塊拔靴法(DS2)的預測誤差較 Lee Carter 模型利用 ARIMA(LC1)的誤差小。DS2 預測結果，男性為 19.29，女性為 11.11，屬於良於預測能力，其可能的原因 ARIMA 預測方法有平均的效果。因此導致預測結果不如規律折扣數列。瑞典結果，男性以 DS2 的預測誤差為 15.79%為佳，女性部分則是以 LC1 的 7.76% 表現為佳。在 DS2 和 LC1 兩種模型假設下，利用各國資料驗證，發現模型驗證上出現交叉結果，DS2 和 LC1 的表現結果都不錯，但總體來看以 DS2 模型的表現為最佳。表 4-2、長期預測結果 MAPE(單位%) Model. Japan Male. DS2. 11.10. LC1. 7.90. U.S.. Male治Female 政大 9.97 19.29 11.11. Female. 立16.36. 40.11. 13.30. Sweden Male. Female. 15.79. 9.06. 22.97. 7.76. ‧ 國. 學. 另外我們也想了解歷年資料的預測結果，試圖比較各年度預測結果之. ‧. MAPE，根據圖 4-3，發現在瑞典資料中，男性歷年的預測誤差呈現逐年遞增的. sit. y. Nat. 情形，即做長期預測時，距離基底年數越遠的資料，其誤差越大，預測的死亡率. io. er. 也越不準確，但在 2010 年後的資料推估誤差卻又變小。女性部分則也是呈現逐年上升的趨勢，但較男性不同的是，2010 年後的資料是呈現上升狀態，誤差較. al. n. v i n Ch 早期的資料大，結果發現當預測年度越長，預測結果與觀察值的差異越大。另有 engchi U. 一有趣的現象，我們發現雖然以不同的模型 DS2 和 LC1 做長期預測，但兩種模型假設下，所估算的預測誤差會呈現相同的走勢。. 35.

(44) 瑞典 Female 0.30. 0.30. 瑞典 Male. 0.20. 0.25. DS2 LC1. 0.10. 0.15. MAPE. 0.20 0.15 0.10. 0.05. 0.05. 2000. 2005. year. 2010. 1990. 1995. 2000 year. 政治大. 圖 4-4、瑞典兩種模型歷年推估誤差 MAPE 比較. 立. 學 ‧ y. Nat. io. sit. 1995. n. al. er. 1990. ‧ 國. MAPE. 0.25. DS2 LC1. Ch. engchi. 36. i n U. v. 2005. 2010.

(45) 第伍章商品應用對於保險公司販售年金險而言，壽命的延長使得保險公司未來的支出增加，如果初期在計算保費時沒有可量到死亡率逐年降低的情況，將會導致年金險保費收入不足，進而影響保險公司的財務狀況，保險業單位在訂定保險費率及各年金精算之計算基礎時都需藉由死亡率模型準確地預測未來人口變化的趨勢，本章將根據透過模型推估的預測死亡率計算之的年金險之保費下根據模型預測結果以及估算未來的人數存活曲線。. 第一節存活曲線. 立. 政治大. 透過不同模型的死亡率短期預測之結果進一步估算各年齡層的存活人數，. ‧ 國. 學. 討論根據不同模型假設下死亡率所推算的存活人數與實際人數間的差異。年度資. ‧. 料為西元2009的死亡率資料，藉由短期預測結果描述存活曲線情形，如圖5-1，. y. Nat. 台灣男性資料中顯示DS2和LC1、LC2三種模型假設所推估的存活人數與真實人. er. io. sit. 數為較相近，而DS1和CBD的結果不如其他三個模型的結果，LC1明顯高估人男性的存活人數，CBD模型假設也是明顯高估存活人數，但其表現較DS1佳。女性. al. n. v i n 部分的結果與男性結果相似，但較有明顯差異的為CBD模型假設，CBD模型的 Ch engchi U. 推估結果與DS2和LC1、LC2三種模型所推估的存活人數相當接近，推估效果還不錯，而DS1模型在女性資料中的表現依舊是明顯高估存活人數。. 37.

(46) Taiwan Female. 6000. Raw data DS1 DS2 LC1 LC2 CBD. 2000. 2000. 4000. survival numbers. 6000 4000. Raw data DS1 DS2 LC1 LC2 CBD. 0 60. 70. 80. 90. 60. 100. 70. 80. 90. 100. age. age. 政治大. 圖 5-1、台灣預測存活曲線. 立. 學. ‧ 國. 第二節年金商品保費比較. ‧. 高齡死亡率的逐年降低，對於壽險公司販售年金商品而言，壽命的遞延將. Nat. sit. y. 使得保險公司未來支出增加，因此在計算初期年金保險費用時，需詳加考量死亡. io. 率遞減的狀況，以免年金保費收入不足，進而影響保險公司財務營運。本節透過. n. al. er. survival numbers. 8000. 8000. 10000. 10000. Taiwan Male. i n U. v. 規律折扣數列、Lee-Carter、CBD 模型推估的預測死亡率計算之下的年金商品純. Ch. engchi. 保費間的訂價差異，預定利率的假設為 2.25%，若以 2009 年資料來看，DS2 模型所需的保費為 16.7 元，LC1 為約 16.6 元，CBD 模型為 16.3 元，此三種模型計算出的保費其實差異並不大，女性部分 DS2 模型所需的保費為 17.8 元，LC1 為約 18.7 元，CBD 模型為 18.8 元，LC1 和 CBD 模型所推估的保費相當接近，而 DS2 差異則較大與 LC1 差 0.9 元，與 CBD 模型差異 1 元，雖然結果顯示在不同模型假設下，年金險的保費差異並沒有很明顯的差異，但隨著死亡率的改善，高齡死亡率的預測會越趨重要。. 38.

(47) 台灣男性即期年金保費 16.7. 台灣女性即期年金保費. 18.5 price. 18.0. 16.4 16.3. 17.5. 16.2. DS2 LC1 CBD. 16.1 2005. 2006. 2007. 2008. year. 2009. 2005. 2006. 2007. 2008. 2009. year. 政治大. 立圖 5-2 台灣即期年金保費差異學. ‧ 國. 根據上述結果，我們得知壽險公司透過高齡死亡率模型的預測，可讓年金. ‧. 險保費低估的情形，從 30%下降至 10-15%，大幅降低估情況。但上述的三種模. y. Nat. 型所得出得保費並沒有相當的差距。因此，我們進一步利用 1000 次的模擬結果，. io. sit. 計算各模型所推估的保費差異，年金險保費差異結果描述於表 5-1，透過變異數. er. price. 16.5. 16.6. DS2 LC1 CBD. 的比較，發現 DS2 模型所估算出的保費，其變異數為最小，台灣男性為 0.16，. al. n. v i n 女性為 0.197，其次為 LC 模型，結果最差的為 CBD 模型，男性為 0.249，女性 Ch engchi U. 為 0.224，即若以 DS2 模型預測高齡死亡率，其保費計算結果最為穩定。表 5-1、年金險保費變異數. (單位:. Model. DS2. LC1. CBD. Male. 0.160. 0.203. 0.249. Female. 0.197. 0.189. 0.224. 39. ).

(48) 第陸章結論與建議第一節研究結論近年來全球各國都面臨壽命延長的壓力，退休後的經濟生活與老年人醫療需求，更是目前各國政府必須面對的課題。過去國人養兒防老的觀念，隨著社會風氣的改變，傳統家庭子女扶持老人的功能逐漸式微，未來老年人的經濟安全，將有賴於政府社會保險制度與私人保險規劃。對照這幾年國內的重大社會政策，似乎都與老年人口議題相關，例如 1995 年實施的全民健保（包括二代健保、全. 政治大. 民健保補充保險費），最近幾年的勞退新制、國民年金、以及即將實施的長期照. 立. 護保險，都是在保障及照顧老年人。而對於這些政策的經費估算，需仰賴可靠及. ‧ 國. 學. 準確的死亡率預測，政府方能提出適宜的財務規劃。. 但台灣地區各年齡層死亡率逐年下降，其中又以老年人死亡率下降比例最. ‧. 多，對壽命延長的貢獻尤為明顯，但也因為老年人死亡率變化大、人數較少，其. Nat. sit. y. 死亡率的估算會有較大的誤差與不確定性。另外，台灣地區高齡人口資料記錄過. n. al. er. io. 去並不完整，西元 1990 年代後才有 100 歲高齡人口的紀錄，面對未來高齡死亡. i n U. v. 率的下降該使用何種高齡死亡率模型預測，至今也仍無定論。. Ch. engchi. 本文首先欲了解台灣、日本及美國三個國家 60-99 歲高齡人口死亡率數據 (1992 年到 2009 年)使用 Gompertz、Coale-Kisker、Discount Sequence、Lee-Carter、 CBD 五種不同模型預測死亡率的可能性及其潛在的問題，並使用 MAPE、AIC 及 BIC 基準評斷模型的估計能力。研究結果發現此五種模型當中，Gompertz 和 Coale-Kisker 參數估計結果並無明顯的變化趨勢，亦即無法以過去資料預期未來的參數變化，若運用於高齡死亡率的預測上，可能無法透過歷史資料的特性而推估未來的死亡率趨勢。而 Discount Sequence、Lee-Carter、CBD 隨機死亡率模型在參數估計結果上，有較明顯的變化趨勢，因此本文認為此三種模型較適合用於高齡死亡率的研究。 40.