國
立 政 治 大 學
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其中 為觀察值， 為觀察值殘差項。根據 Lewis(1982)依 MAPE 的預測能 力分級，以 20%為良好、50%為合理預測界限，詳細分級參照表 3-4。
表 3-4、MAPE 預測能力分級
MAPE <10% 10%~20% 20%~50% >50%
預測能力 高精確度 良好 合理 不正確
另 外 ， 本 文 也 利 用 AIC (Akaike Information Criterion) 和 BIC (Bayes Information Criterion) 兩種指標檢驗模型，前者是將參數個數加入 AIC 公式中抵 銷參數數量的影響能力之外，對模型的配適能力作一適當的修正；BIC 則是將觀 察個數加入公式中抵銷觀察值個數的影響，兩者皆為值越小，表示模型配適能力 越佳。以下分別定義 AIC 與 BIC:
AIC=-2log(L)+2k
BIC=-2log(L)+klog(n)
其中 L 為最大概似估計量，k 為模型中參數個數，n 為觀察值個數。
第二節 高齡死亡率模型比較分析
本節根據前章所提及的死亡率模型，以台灣、日本、美國三個國家資料做 為高齡死亡率分析，討論各模型的參數估計結果以及歷年死亡率推估情形，並藉此 找出適合用以估計各國高齡人口死亡率的高齡死亡率模型。本節僅列出台灣比較結 果，其餘國家結果之詳細資料可參考附錄。
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1995 2000 2005
-13.0-12.5-12.0-11.5-11.0-10.5 方法(WLS)估計各年度的Gompertz 模型中參數B值和C值，各年度的參數走勢分 別描繪於圖3-1和圖3-2，我們發現男、女性參數B值都呈現逐年下降的變化，變
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-11.0-10.5-10.0-9.5
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1995 2000 2005
1.1001.1051.1101.1151.1201.125
女 性 參 數 C值
year
C value
台灣 日本 美國
圖 3-2、1992-2009 各國 Gompertz 模型參數 C 之估計結果
接下來，以 Gompertz 模型估計歷年死亡率變化，以上述所估計的參數結果，
估計各年齡層死亡率，並加入實際的死亡率資料做比較，檢驗模型的配適結果是 否恰當，圖 3-3 是根據臺灣的男性及女性死亡率資料，將估計出來的死亡率與真 實的死亡率做比較。發現台灣資料的配適結果，在男性部分 65 歲至 85 歲年齡間 的配適結果較佳，但在 85 歲至 99 歲，Gompertz 模型的配適結果有明顯高估死 亡率的情形，另外，由於 90 歲以上男性死亡率資料在近年來明顯的下降，但 Gompertz 模型未能準確地描述；女性部分在 90 歲以下配適的結果都還不錯，但 90 歲以上也是明顯高估，其中又以死亡率變動幅度大的歷史資料估計的結果誤 差最大，男女性在 1995 年至 1997 年的死亡率有明顯的變化，而模型估計尚未捕 捉此變化趨勢。
1995 2000 2005
1.0951.1001.105
男 性 參 數 C值
year
C value 台灣
日本 美國
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2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997Gompertz 2001-2003Gompertz 2007-2009Gompertz圖 3-3、台灣 Gompertz 模型推估歷年死亡率變化之結果
二、Coale-Kisker 模型
本文以加權最小平方法(WLS)估計各年度Coale-Kisker模型中參數 值和s 值，各年度的參數走勢分別描繪於圖3-4和圖3-5， 表示中央死亡率比值取對數 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997Gompertz 2001-2003Gompertz 2007-2009Gompertz
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-0.050.000.050.10
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0e+002e-044e-046e-048e-041e-03
我們利用上述的參數估計結果估算歷年的死亡率，想了解 Coale-Kisker 模型 對於變動幅度大的死亡率是否能準確的描述其特性，結果發現 Coale-Kisker 模型
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0.000.020.040.060.080.100.12
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-2e-040e+002e-044e-046e-04
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的結果更差，本文認為的可能原因為 Coale-Kisker 模型所呈現的是二次曲線圖形，模型再進行配適時，由於受到 85 歲以下人口死亡率的影響，而導致模型估計結 果比 Gompertz 高估。
圖 3-6、台灣 Coale-Kisker 模型推估歷年死亡率變化之結果
三、Discount Sequence 模型
規律折扣數列主要先估計年齡間存活機率的比值 以及存
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2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997DSW 2001-2003 DSW 2007-2009 DSW確切的反映出真實的死亡率。另外，若從日本與美國等人數較多的國家來看，模 型配適結果發現，不管是男性或女性規律折扣數列方法都優於上述先前提及的 Gompertz 和 Coale-Kisker 兩種模型，同樣的，我們以台灣女性資料來看，不管是 哪個年度的資料，規律折扣數列方法都優於 Gompertz 和 Coale-Kisker 兩種模型。
圖 3-7、台灣規律折扣數列模型推估歷年死亡率變化之結果 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997DSW 2001-2003 DSW 2007-2009 DSW
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60 70 80 90 100
-0.10-0.050.000.050.10
Taiwan Male
age
Beta2(x)
圖 3-8、台灣男性 Lee-Carter 模型參數估計結果
同樣由圖 3-9 觀察女性的結果，整體而言所有參數結果與男性相似，但有 明顯差異的為參數
項，女性資料中每個年齡層的
並沒有大幅上升或下降 的情況，即說明台灣女性的資料並沒有哪一個年齡層死亡改善幅度較其他年齡層 快或慢的情況。
60 70 80 90 100
-10-8-6-4-20
Taiwan Male
age
Beta1(x)
1995 2000 2005
-10-50510
Taiwan Male
age
Kappa2(t)
‧ 國
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60 70 80 90 100
-0.10-0.050.000.050.10
Taiwan Female
age
Beta2(x)
圖 3-9、台灣女性 Lee-Carter 模型參數估計結果
再以 Lee-Carter 模型做死亡率估計，我們知道 Lee-Carter 模型參數中
和
項
僅和年齡有關，而時間效果項
則是具有考量時間效果的參數，因此在除了考 量年齡與死亡率之間的關係，更多加了時間與死亡率的關係，Lee-Carter 模型做 死亡率估計結果可由圖 3-10 得到，男性部分，可以很明顯的看出 Lee-Carter 模
60 70 80 90 100
-10-8-6-4-20
Taiwan Female
age
Beta1(x)
1995 2000 2005
-10-50510
Taiwan Female
age
Kappa2(t)
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2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997LC 2001-2003LC 2007-2009LC型與高齡死亡率的觀察值的變化蠻一致，沒有明顯高估或低估的問題，其估計結 果比先前所討論的死亡率模型結果表現更加，而在女性的部分其估計效果也與真 實值相當接近。因此後續作死亡率預測時，我們將會以 Lee-Carter 模型作為預測 死亡率的模型。 2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997LC 2001-2003LC 2007-2009LC
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1995 2000 2005
0.060.080.100.120.14
Taiwan Male
age
Kappa2(t)
1995 2000 2005
0.060.080.100.120.14
Taiwan Female
age
Kappa2(t)
圖 3-11、台灣男性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果
圖 3-12、台灣女性 CBD 隨機死亡率模型參數估計結果
接著利用上述所求的參數
,
以及 CBD 模型，進一步推導出 死亡 機率。比較出各個國家歷年的死亡率變化，首先看到男性部分，在 60 歲至 70
1995 2000 2005
-5-4-3-2-10
Taiwan Male
age
Kappa1(t)
1995 2000 2005
-5-4-3-2-10
Taiwan Female
age
Kappa1(t)
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2001-2003Raw data 2007-2009Raw data 1995-1997CBD 2001-2003CBD 2007-2009CBD歲的結果顯示，CBD 模型或多或少低估或高估死亡率的情形，1995-1998 年在 85 歲以上的資料，CBD 模型的估計雖比其他模型更貼近觀察值，但其效果還是 不如 Lee-Carter 的結果。2001-2003 年與 2007-2009 年的資料不管是在哪個年齡 層，CBD 估計結果都有明顯的誤差。女性結果則比男性結果好一點，其配適的 先我們觀察到圖 3-14，男性部分，在五種模型當中，以 Lee-Carter 的配適效果為 最佳，其次為 CBD 模型，而 Gompertz 和 Coale-Kisker 則都明顯高估死亡率，規 率折扣數列由於年齡間死亡率比值多數小於 1，使得其配適較果不佳。女性資料，
並沒有明顯差異哪一個模型的效果較佳，但可看出依舊是以 Lee-Carter 的配適效
60 70 80 90 100 2001-2003 Raw data 2007-2009 Raw data 1995-1997 CBD 2001-2003 CBD 2007-2009 CBD
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Coale Kisker DSW CBD LC果為最佳，其次為規律折扣數列方法，當存活機率比值小於 1 時，表示死亡率呈 現規律的狀態，因此使用規律折扣數列方法確實能捕捉其死亡率變化趨勢。再者 以 CBD 的配適效果為佳，Gompertz 和 Coale-Kisker 模型於估計及高齡死亡率時，
由於受到中高齡人口死亡率對整體參數估計的結果的影響，進而導致在極高齡部 Coale Kisker DSW CBD LC
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表 3-5、各模型配適結果與觀察值間差異(MSE) Model Taiwan Japan U.S.
Male Female Male Female Male Female Gompertz 0.0149 0.0155 0.0081 0.0059 0.0079 0.0071 Coale-Kisker 0.0194 0.0152 0.0184 0.0180 0.0063 0.0095 DS 0.0132 0.0068 0.0027 0.0034 0.0039 0.0036 LC 0.0039 0.0037 0.0013 0.0006 0.0024 0.0023 CBD 0.0104 0.0050 0.0042 0.0041 0.0069 0.0070
表 3-6、各模型配適結果與觀察值間差異(MAPE%) Model Taiwan Japan U.S.
Male Female Male Female Male Female Gompertz 13.88 14.9 18.8 16.2 12.8 18.1 Coale-Kisker 18.6 21.1 20.2 23.1 17.5 19.2 DS 10.2 5.18 5.74 6.40 6.58 5.74 LC 7.39 2.59 2.02 2.70 3.28 3.00 CBD 9.81 3.98 8.68 7.91 7.58 6.62
以 AIC、BIC 比較各模型的優劣，結果顯示於表 3-7 和 3-8，根據表格結果 可得知不管是台灣、日本或美國的資料依舊是以 Lee-Carter 模型的表現結果為最 佳，其次，在日本與美國以規律折扣數列表現為佳，台灣資料則是以 CBD 模型 表現為佳。藉由比較的結果，隨機死亡率模型估計效果確實會比傳統只考量年齡 與死亡率關係的關係死亡率模型 Gompertz 、Coale-Kisker 模型表現好，但事實 上，傳統只考量年齡與死亡率關係的死亡率模型未必表現的隨機死亡率模型差，
若模型本身能捉到死亡率的特性，用於估計高齡死亡率的效果也不錯，根據結果 顯示規律折扣數列方法由於捕捉到年齡間死亡率比值的特性，因此在估計日本與 美國單一年度資料時都表現不錯。後續我們會以規律折扣數列模型、Lee-Carter 模型和 CBD 模型做高齡死亡率短期與長期的預測。
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表 3-7、各死亡率模型 AIC
Model Taiwan Japan U.S.
Male Female Male Female Male Female Gompertz -1004.6 -994.53 -1150.2 -1224.8 -1156.2 -1181.7 Coale Kisker -939.97 -998.23 -952.46 -958.12 -1209.4 -1111.1 DS -1032.0 -1191.0 -1410.4 -1353.1 -1320.0 -1341.2 LC -1324.9 -1336.7 -1588.8 -1764.0 -1434.8 -1441.8 CBD -1091.8 -1265.4 -1308.6 -1312.2 -1190.0 -1184.6
表 3-8、各死亡率模型 BIC
Model Taiwan Japan U.S.
Male Female Male Female Male Female Gompertz -997.67 -987.57 -1143.2 -1217.9 -1149.2 -1174.7 Coale Kisker -929.53 -987.79 -942.01 -947.68 -1199.0 -1100.7 DS -1021.5 -1180.6 -1400.0 -1342.6 -1309.5 -1330.8 LC -1314.4 -1326.2 -1578.4 -1753.5 -1424.3 -1431.4 CBD -1084.8 -1258.4 -1301.6 -1305.2 -1183.1 -1177.6
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第肆章 預測模型比較
根據上章結果，可得知規律折扣數列、Lee-Carter、CBD隨機死亡率模型於 死亡率配適的效果，較Gompertz、Coale-Kisker模型更能描述各國高齡死亡率的 情形，延續上章的結果，我們使用此三種模型做高齡死亡率的預測。本章分為三 個部分，第一節說明模型的預測方法；第二節描述基底年數對推估年數誤差的影 響，比較相同基底年數下，不同推估年數所產生的誤差；第三節呈現各模型在短 期和中長期預測的結果，並說明選擇該種模型預測方法原因。