模型研究方法

3-1 時間序列研究方法

3-1-1 自我迴歸模型(autoregressive model)

說起時間序列模型，可以從自我迴歸模型開始說起。AR(1)為最基本的

3-1-2 Box-Jenkins---ARMA 模型

Box-Jenkins(1976)發展出的 ARMA(autoregressive moving average) 模型，即所謂的均數方程式，AR 模型在前一章節已經加以描述，不過在這

𝑡=𝑎₀+ _𝑡+𝑏_{1 𝑡−1}+𝑏_{2 𝑡−2}…………MA(2)

⋮

𝑎₀為常數的截距項，q 為落後的期數(lag)， 𝑏_𝑖為各落後期數的係數， _𝑡 即為第 t 期的殘差項。

(四) ARMA(p，q)

ARMA 模型是由兩種 DGP(Data generating process)AR 和 MA 所組合而 成的。

ARMA 講的就是現在變數資料和過去的資料一種統計的關係。它的方程式為

𝑡=𝑎₀+∑^𝑝_𝑖=1𝑎_{𝑖 𝑡−𝑖}+ _𝑡+ ∑^𝑞_𝑖=1𝑏_{𝑖 𝑡−𝑖}

p 為 AR 項的落後期數，q 為 MA 項的落後期數。可以使用上述的原則 產生任意的 ARMA 模型。透過 ARMA 的分析我們可以知道資料它的自我相關 程度和誤差修正的情況。

3-1-3 落後期數的判別

了解了 ARMA 模型之後，另一件重要的事情就是我們要如何判別資料延 遲的期數(決定 p q 的大小)。很慶幸的是時間序列的發展已經讓我可以有 簡單的根據判斷落後期數。當時間序列有 AR 和 MA 性質的時候，其自我相 關係數(autocorrelation function ACF)和偏自我相關係數(partial autocorrelation function PACF)會有重要的性質讓我們去判斷變數的 ARMA 模型。

(一) AR 的 ACF，PACF

圖 3-1 AR(1) _𝑡=0.2+0.95 _𝑡−1+ _𝑡圖 3-2 AR(1) _𝑡=0.01-0。71 _𝑡−1+ _𝑡

圖 3-3 AR(2) yt=0.01+0.33yt−1+0.25yt−2+εt 圖 3-4 AR(2) yt=0.01+0.4yt−1-0.21yt−2+εt

(二) MA 的 ACF，PACF

圖 3-5 MA(1) yt=εt+ εt−1 圖 3-6MA(2) yt=εt+ εt−1- εt−2

(三) ARMA

圖 3-7AR(2)，圖 3-8ARMA(1,2)---取自時間序列分析-楊亦農 著

從圖 3-1~3-4 的 AR 自我相關係數我們不難發現，當一個變數含有 AR(1) 性質的時候，所繪出來的偏自我相關係數在第一期就異常的顯著。而 AR(2) 在第一期和第二期的偏自我相關係數異常顯著。而自我相關係數是有規律 性的逐漸遞減，係數出現負值的時候會來回震盪，但是持續有遞減的現象。

從圖 3-5~3-6 得知，含有 MA 性質的變數所出現的結果剛剛好和 AR 相反，

MA(1)的自我相關係數在第一期時異常的顯著。MA(2)也有相同的性質。

雖然藉由自我相關係數和偏自我相關係數我們可以很快的判斷出模型 的型態，但是在真實的世界裡，並沒有如此的單純，ARMA 相互混和著，落 後的期數也有可能大不相同。由圖 3-7~3-8 來比較，都會判斷出兩種 DGP 都是 AR(2)，但是事實上卻非如此，圖 3-8 的真實 DGP 是 ARMA(1,2)。這 種失真可能會讓模型偏離真實。因此在後面的章節還有介紹各式各種的時 間序列檢定法，像是 ACI，SBC，Q 檢定法，JB 統計量，還有應用在異質變 異檢定的 ARCH-LM，Q 平方檢定法等等。

不過在做模型檢測的時候，直接用自我先關係數和偏自我相關係數觀 察，是最直接而且便利的工具，所以在任何檢定之前，都是需要使用到的。

3-2 時間序列所隱含的問題

3-2-2 多變數隱含的自我相關

的影響，這樣的影響即所謂的”衝擊反應函數(Impulse Response

Function)”。大波動會跟隨著大波動而出現，小波動也會跟隨著小波動 而產生。而經由多變量 GARCH 模型分析，將可以得到變異數衝擊反應量化 後的值(變異數即時間序列上的波動)。

3-2-3 自我相關條件異質變異-非定態

Engle(1982)的 ARCH(autoregressive conditional

heteroscedasticity)模型，Bollerslev(1986)的 GARCH(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity)模型，GJR-GARCH(即 T-GARCH)以及後面一連串的變形模型，都是在近一二十年來如雨後春筍般 被研究出來，並且經常被經濟和財務的實證研究使用，這些模型都是自我 相關條件異質變異類的代表研究。

說到異質變異，那就必須從波動性(Volatility)說起。波動性就是一 般常見的條件變異數(conditional variance)。是不容易觀測得知，在現 今的財務和經濟上，它顯得愈來愈重要。不過它擁有以下的性質

1. 波動叢聚現象(Volatility clustering) 即所謂的大波動通常伴隨著 大波動出現，小波動伴隨著小波動產生。

2. 波動是一連串的行為，很少有出現規格外的劇烈震盪，就是前面所提 及的「結構轉變」為一個原因。

3. 在財務和經濟面，高的波動代表著高的風險，較低的波動代表著低風 險值。

4. 對過去而言，波動會在固定的範圍內變化，即所謂的安定性。

然而第四點，經過了許多年的研究發現，變異數出現了不一樣的情況，

10 年的變異數和現今 10 年的變異數會有拒絕相關的檢定。因此有了異質 變異的觀念發展，在這一章節開頭所提到的 ARCH 等模型，都是異質變異 下的產物，它的基本概念也很簡單，像 ARMA 模型所使用自我相關概念，

套用到條件變異數的估計，因此變異數將會隨著時間而有不同的值了，它 們的基本模型將會在下一節所詳加描述。

3-3 ARCH/GARCH/T-GARCH 模型 Engle(1982)-ARCH 基本模型

由前一章節提到自我迴歸和異質變異的性質，推倒出基本模型

舉列來說，ARMA(1,1)-ARCH(2)的模型為

𝑡=𝑎₀+𝑎_{1 𝑡−1}+𝑏_{1 𝑡−1} 了。再者，適當的選取 ARCH 模型也可以更符合財務經濟上厚尾(heavy-tail) 的性質。ARCH 含有的波動模型架構在經濟意義上也是顯而可見的。

Bollerslev(1986) GARCH 基本模型

而所謂的 GARCH 模型，其中 G 代表 generalized 的縮寫。即所謂的更一 般化的 ARCH 模型。Bollerslev 把落後期條件變異數的觀念加入 ARCH 模型

裡 GARCH(p，q)

舉例來說，ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型為

𝑡=𝑎₀+𝑎_{1 𝑡−1}+𝑏_{1 𝑡−1} 減則可以視為「衝期之持續性(persistence of volatility)」。

不動產市場所存在的波動性不對稱性-T-GARCH (GJR-GARCH)

由於波動性和殘差落後項的關係，在式子中皆以平方項處理，所以殘 差不因為正或負而有所差異。基於上面的理由，ARCH 和 GARCH 模型皆無法 考慮到波動的不對稱性。Zakoian(1994)於是提出了 T-GARCH 模型。考慮 到了落後期數的殘差是正或是負會不會帶來不相同的影響。

在住宅學報(民國 97 年 12 月)中的研究發現，房地產市場存在著反槓

桿效果。在上一期發生房價相關負面消息的時候，當期的報酬波動性會減 小。產了上下不同的波動的不對稱性。因此本論文將以 T-GARCH 作為研究 的重心。

T-GARCH(p，q，r)

𝜎_𝑡²=𝛼₀+∑^𝑞_𝑖=1𝛼_{𝑖 𝑡−𝑖}²+∑^𝑟_𝑗=1𝛾_{𝑗 𝑡−𝑗}²𝐷_𝑡−𝑗+∑^𝑝_𝑖=1𝛽_𝑖𝜎_𝑡−𝑖²

D_𝑡−𝑗 = { 𝑖𝑓 _𝑡−𝑗 <

𝑜 ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 ， for all j T-GARCH(1，1，1)模型

𝜎_𝑡²=𝛼₀+𝛼_{1 𝑡−1}²+𝛾_{1 𝑡−1}²𝐷_𝑡−1+𝛽₁𝜎_𝑡−1²

3-4 多變量 GARCH

以下介紹多變量 GARCH 模型的基本式，矩陣型態表示 GARCH(1，1)

𝐻_𝑡 = 𝐶 + 𝐴 ⊗ _𝑡−1 ^′_𝑡−1+B⊗ 𝐻_𝑡−1

矩陣 C，A，B 和原來的元素內容不一樣了，除了對角的元素之外，多了共 變異數的參數需要估計。

雖然式子很簡單易懂，係數卻是不容易估計的。尤其是多變量 GARCH 模型，每增加多一個變數，其中要估計的係數呈現幾何的方式成長，在數 據長度不足的時候，根本無法做到估計。所以我們必須簡化一些公式，以 達到更好效率的工作。

(一) 下三角化堆疊模型(vech model)

這個模型較為一般化，在理論上，可能影響變數的除了自身的 ARCH 和 GARCH 項之外，其他變數的 ARCH 和 GARCH 項也會影響到這一個變數。

因此參數估計數量會非常龐大。

簡化成

(二) 對角化下三角堆疊模型(diagonal-vech model)

這個模型待估的係數大幅的精簡了，它把上述會影響條件變異數項目 減少了許多，只留下對角線的係數，本身的 ARCH 和 GARCH 項和條件共變 數的向次。不過因為 h 是條件變異數，它的值不應該出現負值，但是在矩 陣運算的結果，會出現非正定矩陣(indefenitie matrix)。為了解決這個 問題，文獻上出現兩種方法將在下面討論之。

簡化成

(三) Cholesky 分解以及 BEKK

若 A 為正定(positive definitenses)則 A 可以分解為 A=aa’的形式，

其中 a 為下三角矩陣，且主對角線上的項皆為正數。此種分解方法稱之為 Cholesky 法，以下為三種 Cholesky 分解法(GARCH(1.1)為例子)

1. 矩陣對角化模型 Matrix-diagonal model 2. 向量對角化模型 Vector-diagonal model

[ℎ_11,𝑡

3. 純量對角化模型 Scalar-diagonal model

[ℎ_11,𝑡

4. BEKK 模型(1991 年 Baba，Engle，Kraft，Kroner)

[ℎ_11,𝑡

3-5 模型檢定

在 3-1 節已經簡單介紹了如何判定 ARMA 模型的落後期數，不過在這一 章節會再介紹幾種常見的檢定量，好讓我們能選取較佳的配適模型。而自 我相關條件異質變異(ARCH，GARCH 模型)的檢定方法也會在這一章節介 紹。

Jarque-Bera 統計量(JB 統計量)

JB =𝑇 𝑛

6 (𝑆²+ (𝐾 )²) T:為樣本數

n:為待估的係數個數 S:偏態係數(skewness) K:峰態係數(kurtosis)

JB 統計量的分配是屬於自由度 2 的卡方分配，可以檢定是否符合常態 分配，JB 的虛無假設為

𝐻₀=變數符合常態分配

自我相關條件異質變異的檢定(ARCH/GARCH 檢定)

常見的自我相關條件異質變異檢定法有兩種，一種是 ARCH-LM 檢定法。

另外一種是本研究所使用的 Ljung-Box ² 檢定量，將在下面介紹。

Ljung-Box 𝑸^𝟐 檢定量

2(𝑞)=T(T+2)∑ ^𝜌(𝑖)

𝑇−𝑖 𝑞 𝑖=1

T:為樣本數

q:為 ARCH 項落後期數

ρ(i):此自我相關係數與前面的自我相關係數不同。同樣的先用 OLS 估計 適當的均數方程式，並且取得殘差後，將殘差平方後存成另一時間序列，

之後計算新的時間序列方程式自我相關係數，即為現在所指的𝜌(𝑖)。

此統計量是自由度 q 的卡方分配，其虛無假設為 𝐻₀=𝛼₁=𝛼₂=𝛼₃=…=𝛼_𝑞=0

𝛼_𝑞:ARCH 項落後期數的係數

在文檔中 台灣房地產波動性分析-不對稱T-GARCH模型的實證 (頁 23-40)