模糊理論之發展與應用

模糊理論的觀念，最初是由美國加州大學控制論專家Zadeh (1965)所提出 的，其主要目的在於解決難以利用傳統數學在量化上明確呈現之模糊性的現 象。換言之，模糊理論是一項為了解決真實生活中普遍存在模糊現象，而發展 出來的定量工具，並已成為各研究或實務領域所積極探討與應用之理論(Bottani

& Rizzi, 2006; Chen & Ko, 2008; Lee, 2009; Wu, 2009)，而模糊理論之主要架構是 以模糊集合(fuzzy set)、模糊邏輯(fuzzy logic)、模糊測度(fuzzy measure)為核心，

並利用隸屬函數(membership function)來表示事物得模糊現象。以下將依序介紹 模糊理論之四項主要架構。

一、模糊集合

為了透過量化上定意這些具模糊性的現象(集合)，Zadeh (1965)透過隸屬函 數以訂出模糊集合的特性。而模糊集合 A~

在一個全域

U

上，其定義式如下:

} ))

( , {(

A ~

~

x x U

x

_A

∈

=

µ ;

μ

^~_A

( x ) : X → [ 0 , 1 ]

(1)

其中， µ_A^~

( x )

為一隸屬函數，表示也就元素 x 屬於模糊集合

A

^~ 的程度，而 成度範圍〔0,1〕則表示由 0 到 1 的區間內的所有實數值。因此，若 µ_A^~

( x ) = 1

則 表示元素 x 完全屬於模糊集合 A~

。若 µ^~_A

( x ) = 0

則表示元素 x 完全不屬於模糊集 合 A~

，若

0 <

µ_A^~

( x ) < 1

則表示元素 x 部分屬於模糊集合

A ~

。

二、模糊數與隸屬函數

模糊數乃為實數中的一個模糊子集，且根據Dubois and Prade (1980)對模糊 數的定義，模糊數的隸屬函數 µ_A^~

( x )

須具備以下基本特質：

1. µ^~_A

( x )

的底集必需是有借線且具有連續的。

2. µ^~_A

( x )

必須是一個凸模糊集合，亦即

A ~

的α 子集必須是一個閉區間。

3. µ^~_A

( x )

必須為一正規化之模糊子集(normality of a fuzzy subset)；亦即至少存在

一元素 x 使得 µ^~_A

( x ) = 1

。

一般常用之模糊數包含三角模糊數(triangular fuzzy number)、梯形模糊數 (trapezoidal fuzzy number)、常態模糊數(normal fuzzy number)等。其中，最被廣 泛 運 用 者 ， 即 為 三 角 模 糊 數 ， 因 此 以 下 將 三 角 模 糊 數 進 行 說 明 。 令

(

₁, ₂, ₃

)

A~

a a

= a ，則隸屬函數定義如下：

( ) ( ) ( ) ( )

 

 



<

≤

−

−

<

≤

−

−

=

others a x a a a x a

a x a a a a x

A

x

, 0

, , )

(

_{3 3 2 2 3}

2 1

1 2 1

µ~

三、解釋模糊化

解模糊化之主要目的在於將模糊統計量轉換為明確數值，以供後續分析之 用。而解模糊化之方式包含面積中心法、重心法、最大集合與最小集合、最大 隸屬度法等。其中，最簡易且最廣泛運用之解釋模糊方式即為面積中心法 (Chen,1996; Chien & Tsai, 2000; Runkler,1997)，因此，以下將以面積中心法介紹 解模糊化之運算程序；令模糊集合A~

(

₁, ₂, ₃

)

a a

= a ，而

V

_A^~為模糊集合 A~

解模糊 化後之數量值，則面積中心法之運算公式如下：

4 / ) 2

(

_{1 2 3}

A~

a a a

V = + +

由上述解釋模糊化的公式可知，解釋模糊化過程須經過四則運算，然而，

模糊運算與傳統實數的運算並不相同，因此以下將簡單介紹模糊運算的法則(以 三角模糊數進行說明)：若有兩模糊數集合 A~

、 B~

，其中，A~

(

₁, ₂, ₃

)

a a

= a ，而

(

₁, ₂, ₃

)

B~

b b

= b ，則：

1. 加法： B~

(

_{1 1}, _{2 2}, _{3 3}

)

A~

b a b a b

a

+ + +

= +

2. 減法： B~

(

_{1 1}, _{2 2}, _{3 3}

)

A~

b a b a b

a

− − −

=

−

3. 乘法： B~

(

_{1 1}, _{2 2}, _{3 3}

)

A~

b a b a b

a

× × ×

=

×

4. 除法： B~

(

₁/ ₁, ₂/ ₂, ₃/ ₃

)

A~

b a b a b

=

a

÷

四、模糊語意變數

模糊語意辨識是針對語意程度的不同所產生相對應的變數；亦即將人類的 自然語言中不同程度的詞語轉換為一模糊變數值。舉例而言，一般常用語意措 詞可表達不同的認知程度(如：「極低」、「很低」、「低」、「中」、「很高」、「極高」)，

因此分析者可依此給予不同的權重值，而模糊語意則進一步透過隸屬函數反應 出適當的語意訊息如下圖3：

圖 3 模糊語意示意圖

由於模糊理論能夠解決傳統數量方法所無法呈現的複雜、精確的問題，因 此模糊理論已被廣泛運用在其他領域當中。如Hu, Hsu, Kuo, and Wu(2008)於研 究中透過模糊層及程序分析法決定製造廠對於垃圾零件的風險程度，並進一步 結合失效模式擬定品管的策略。而Hu(2008)則運用模糊決策分析法定義出旅遊 網站服務品質的評估準則。為了提出電子商務的評估指標，Liu, Zeng, Xu, and Koelh(2008)於研究中亦透過模糊概念建構了一項模糊滿意度評估模式。另外，

) (

~

x

µA

1 2 3 4 5 6 7

很低 低 中 高 很高

極低 極高

Benitez, Martin, and Roman(2007)則將模糊方法運用於評估飯店業之服務品質 上。有此可知，直至今日，模糊理論仍受到極大得重視，且能夠協助管理者有 效地解決管理決策上的各種問題。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 30-34)