第三章 研究方法
第一節 模糊理論
人類生活當中一直不斷的在作各式各樣的決策，在思考時常伴隨著各種不確定 性，自然界很多現象也是如此。一般人在用口語描述事件時，常常有語意模稜兩可、
混淆不清的情況，例如在形容一件事情或是一個人時，這種不確定性可能會更加明 顯，以形容一個人為例，「漂亮」這個詞，對接收訊息的人就有模糊的意思，甚至與 發送資訊者所認知的「漂亮」，也不盡然一致。
為了解決此方面之問題，美國加州大學柏克萊分校L. A. Zadeh (1965)教授在 1965 年提出了模糊理論，目的是探討如何將真實世界中的模糊現象，以數學方式將語意中 的不確定性予以量化處理。此理論顛覆了傳統明確集合(Crisp Set)之二元邏輯概念，
使得隸屬函數並非僅存在0 或 1，而是將隸屬函數介於 0 與 1 之間。然而，模糊理論 並非如名稱一樣模糊不清，其是運用更為科學的方式加以解決資訊缺乏、不確定性和 模糊性之問題，進而使決策評估更為精確(馮正民、邱裕鈞，2004)。
目前模糊理論的應用已經相當廣泛，諸如近似推論、圖像辨識、模糊資料庫、模 糊決策系統、控制理論、模糊專家系統、模糊類神經以及人工智慧等，涉及諸多的領 域。
一、 模糊集合(Fuzzy Set)
模糊理論是以模糊集合為基礎，其基本精神是接受模糊現象存在的事實。在現實 社會當中，充斥著許多各式各樣具有模糊性質的形容詞，例如「高」、「矮」、「胖」、
「瘦」、以及「很熱」、「很冷」等，由於決策者主觀意識的不同，所表達出來的語 詞定義也有所不同。在現實社會中所遇到的現象大致可分為二類：確定現象：如投擲 一硬幣必定會落地；與隨機現象：如硬幣落地後出現正面、反面的隨機現象。然而，
在傳統集合中元素與集合之間的關係是採用二分法來區分，也就是「屬於」或「不屬 於」來區隔。將一集合以 A 表示，任一元素 x 若屬於集合 A，我們通常以x 表示A
x 屬於 A 集合，反之則以x 表示 x 不屬於 A 集合。因此在傳統的集合理論與二元A
邏輯只能解決確定現象與隨機現象，對於模糊現象無法給予一個明確的表達。
故 Zadeh 教授為解決這些不明確的模糊性問題，提出了隸屬函數(Membership Function, MF)之概念來處理這些不明確的數學問題。Zadeh 更將其定義為：「一個集 合元素中，隸屬於該集合的程度，應該介於0 至 1 之間的數值表示，用來表示此元素 與模糊集合之間的關係」(Zadeh, 1965)，也就是將 U 定義為全部對象，稱為論域 (Universe of Discourse)，而論域中的元素為 x，U 上的模糊子集則為 A，故當A~
x
越 趨近於1 時，則表示其隸屬函數度越高，反之則隸屬函數越低。 x U ,
A~ ： 01
x
A~ x
，x U 包括U ：為論域(Universe of Discourse)，論域中的對象為元素。
：論域上的模糊子集，當x 則表示在論域中的元素，被定義在 0~1 之間的實數， U 即~A
0,1 ，故A~ x
則為 A 的隸屬函數。二、 模糊數與隸屬函數
所謂的隸屬函數(Membership Function, MF)，即表示在模糊集合中，元素隸屬於 該模糊集合的程度，假設元素的隸屬程度越高，則隸屬在此集合的程度也越高，又可 稱為隸屬函數。模糊數(Fuzzy Numbers)為實數中的模糊子集(Dubois & Prade, 1978；
林俊宇，2009)。依 Dubois and Prade (1978) 對模糊數定義如下：模糊數為實數線 R 上的一個模糊子集，其隸屬函數A~
x
具備下列的基本性質：1. ~(x)
A 需為連續性。
2. A~(x)需為一凸模糊子集(Convex Fuzzy Subset)。
3. A~(x)需為正規化模糊子集(Normality of A Fuzzy Subset)。
當滿足上述條件則稱為模糊數，而在模糊數中又可區分為三角模糊數(Triangular Fuzzy Number)、梯形模糊數(Trapezoid Fuzzy Number)、鐘型模糊數(Bell-Shaped Fuzzy Number)與其他等數種(Pedrycz, 1994)，如圖 2 所示。而近年來文獻中，最常使用則為 三角模糊數與梯形模糊數兩種(Lee, Chen & Kang, 2002)。
圖2 三角形模糊數與梯形模糊數之示意圖
三、 三角形模糊數(Triangular Fuzzy Number)
三角模糊數~ ( , , )
n m l
A
則是以蒐集來的三個數值做計算，可由式1 表示三角模糊 數隸屬函數，其定義如下：1. 需符合
l m n
。2. 當 m
n，即構成三角模糊數(Triangular Fuzzy Number)。
otherwise
0
n x m m
n x n
m x l l m
l x
A
x
~
，
，
，
(1)
四、 梯形模糊數(Trapezoid Fuzzy Number)
梯形模糊數是將收集來的資料
A ~ a , b , c , d
四個數值計算，可由式2 表示梯形模 糊隸屬函數，其定義如下：1. 需符合abcd。
2. 當
x a , b
，A~ x
則為線性連續遞增；當x c , d
，A~ x
則為連續遞減。3. 當
x a , b
，A~ x 0
；當x a , b
，A~ x 1
。
otherwise
d x c c d
x d
c x b 1
b x a a b
a x
A x
~
，
，
，
，
0
(2)
在本研究當中，模糊資料運算使用三角模糊數作為研究工具之一，由於三角模糊 數除了能符合專家學者的意見，更不會遺漏少數專家獨特見解，由圖2(a)可以看出三 角形左右兩端(l,n)之隸屬度為 0，此表示專家學者認知的最小值與最大值，而隸屬度 為1 時，則視為專家學者於認知上較不易受離散值影響。
本研究建立三角模糊數，不僅在計算公式較為簡易外，更可以透過三角模糊數代 表群體專家的認知，也較符合實用性。故本研究僅對三角模糊數的特性與運算進行說 明。
五、 模糊數運算
依三角模糊函數的性質，以及 Zadeh (1965)所提出的擴張近似原理，假設有
1 1 1
1
,
,
M ~
與M ~
2
2,
2,
2
兩個正三角模糊數，其可包括加、減、乘、除、倒 數、模糊距離及開根號之代數運算如下(Zadeh, 1965；Chen, 2000)：
1. 模糊加法
M
~1 M
~2) ,
, (
) , , ( ) , ,
(1 1 1 2 2 2 12 12 12
：為模糊數加法之運算
2. 減法運算 1
M ~
2-M ~
1,
1,
1
2,
2,
2
1
2,
1
2,
1
2
3. 乘法運算 1
M ~
2M ~
1,
1,
1
2,
2,
2
1
2,
1
2,
1
1
：為模糊數乘法之運算
4. 除法運算
1,
1,
1 /
2,
2,
2
1/
2,
1/
2,
1/
2
5. 模糊數倒數
11
1 1 1 1 1 1
,
,
M ~
6. 模糊數距離運算
1M ~
2
, M ~ d
1 2
2
2 2 1 2 2 1 2
1 3
1
M~ , M~ d
7. 模糊數開根號運算
/n /n /n
n
/
, ,
M ~
11 1 1 1 1 1
1
六、 模糊語意變數(Fuzzy Linguistic Variable)
人類通常都是在不確定的環境下做出選擇，而Zadeh 在語意變數是以自然語言中 的詞句或詞字作為值的變數，而不是以數作為值的變數。一般語意變數涵蓋了範圍、
名稱、程度、以及種類等資料，主要是用來處理語意上過於繁雜或無法解決之問題。
當我們要明確反映出語意變數所代表的價值與意義時，則需有適當的訊息轉變方式才 能達成。例如，在人類自然語言中，語意所代表的權重可視為一種語言變數，其值可 分為「很低」、「低」、「中」、「高」、「很高」等五種不同程度的語詞，再給予不同的權 重值。本研究中使用語意變數主要在進行決策人員以語意變數評估各準則的重要性，
如圖3 所示。
圖3 語意變數
然而，在眾多文獻中，也有許多學者提出語意變數之尺度量表模式，本研究將模 糊語意資料轉換為模糊數值表示，此方法能有系統的將決策者之語意措詞，轉換成相 關之模糊數值，語意轉換表之範例，如表11 所示(Buckley, 1985; Lee, Chen & Chang, 2008)。
表11
語意措詞轉換尺度表
語意變數 正三角模糊數 正倒數三角模糊數
極為重要 (9,9,9) (1/9,1/9,1/9)
介於兩者之間 (7,8,9) (1/9,1/8,1/7)
相當重要 (6,7,8) (1/8,1/7,1/6)
介於兩者之間 (5,6,7) (1/7,1/6,1/5)
重要 (4,5,6) (1/6,1/5,1/4)
介於兩者之間 (3,4,5) (1/5,1/4,1/3)
稍微重要 (2,3,4) (1/4,1/3,1/2)
介於兩者之間 (1,2,3) (1/3,1/2,1)
一樣重要 (1,1,1) (1,1,1)
七、 解模糊化
解模糊化主要目的即為將最後所得到模糊集合轉換成明確的數值，其是為了讓模 糊排序的過程更加便利。解模糊化方法可分為「重心法」、「形心法」、「最大隸屬度法」
與「
截集法」等，皆須視問題本身之需求，選擇適當方法求解。在許多文獻中較 常被拿來使用的方法為「重心法」，由於其重心法計算上較為簡易，故本研究將使用 重心法解模糊化。重心法介紹如下：重心法(Center of Gravity Method)由 Yager (1981)所提出，重心法概念是以模糊集 合中三角型面積的「中心值」視為整個模糊集合，如圖4 所示。在眾多模糊求解中最 常被使用，也是較為簡易之計算方法，其計算如式3：
i A~A i i ~
x u
x u x F g
(3)
：模糊集合之重心 F
x
ig
：對隸屬度重要性的測量權數
i A~x
u
：模糊集合的隸屬函數當模糊數為三角模糊數
A ~ a , b , c
時，可以轉換成線性公式如下：
a a b a
F c 3
F：解模糊化明確值
圖4 三角模糊數重心法示意圖