機率式臨界降雨線之建立

任何一種預防天然災害的機制莫過於在災害發生以前，提供正確 與即時的資訊，以利防災監控中心人員發佈警戒、避難等決策之依 據，若配合事前所規劃之緊急災害逃生路線，可使天然災害所造成人 員、財產之損失減至最輕。

而土石流預警系統之建構概念，也是如此，然而，預警系統若太 過於靈敏，往往使得當地居民對預警系統失去信心。不夠靈敏的預警 系統，當遇到真正土石流發生，卻又造成更大的災害，達不到防治的 效果。為了解決此一問題，本研究提出以工程機率觀點來解釋土石流 發生之機率，似乎為解決之道。

在求取土石流的發生機率前，必需先定義何為土石流的發生機 率。以如圖 3.18 為例，若紅線為土石流發生機率值 30％，藍線為有 效雨量路徑，該線上第 32 小時之有效累積雨量值恰在 30％機率線 上，則在此條件下該點發生土石流為 30％。這就是本研究所要建構 機率式臨界降雨線之具體義意。未來，若把各個不同機率線標示於降 雨圖上（如圖 3.19），則有效雨量路徑上的每一個點則易與預測土石 流發生機率線進行對照，對於預警系統的監測將有極大的幫助。至於 本研究訂定機率式臨界降雨線之方法於下各節中詳述之。

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3.3.6（a） 機率式臨界降雨線之假設及概念 1.機率式臨界降雨線之假設

本研究於訂定之機率式臨界降雨線之前先提出以下三個假設：

一、線性式

機率線函數之類型可用線性和非線性等來類比，各有其優劣點。

線性方式分析在兩軸之交點與實際的物理現象不符合。雖然非線性分 析有較合理的結果，針對防災的觀點來說應該採用，但考慮實際資料 點之分佈及簡化理論之分析，故此處仍假設機率線為線性式。

二、機率線之斜率與臨界降雨線相同

臨界降雨線是為發生與未發生土石流雨場兩組群之分界，則該線 上任意一點應該有相同之發生土石流之機率，假設機率線之斜率與臨 界降雨線相同，則當某一條有效雨量路徑繪製於降雨圖上，其該線上 各點可容易地指示出其發生土石流之機率值。

三、機率線之截距愈大，機率愈大

此假設之物理意義為，同一延時下，有效累積雨量愈大，土石流 發生機率愈大。此定義符合土石流發生條件之一，充沛的雨量。因此，

往後看到的機率線，除臨界降雨可能改變出現的順序，其餘機率線在 圖上順序不變。

2.機率式臨界降雨線之概念

以統計的觀點而言，兩個組群之分佈情形可分為三種，其一為兩 個組群完全分開、其二為組群完全重合以及兩組群間有交錯之情形

（如圖 3.20）。當兩個組群完全分開時，區別分析能做最有效之分隔，

也就是所求得之臨界降雨線能完全百分之百的將發生土石流和未發 生土石流之雨場分隔開，此時臨界降雨線以下會發生土石流的機率為

零，累積雨量隨延時的增加而超過臨界降雨線則必定會發生土石流，

以機率的觀點來說為百分之百的發生率（如圖 3.20(Ⅰ)），當然這純 粹是以樣本點的分佈來推論的。當兩個組群完全重合時，則區別函數 無法做有效且明顯的分割，此為最差的情況（如圖 3.20(Ⅱ)），但絕 大部份的組群間分佈都不會完全重合。因此最常見的情形為兩個群組 間有部份區域重疊（如圖 3.20(Ⅲ)），即在兩組群邊界交界處，組群 間的樣本互相交錯，此時區別分析則會考慮樣本分佈情形，找出能將 兩組群分開之最適區別函數。但無論使用何種形式之區別分析，皆無 法將兩組群完全分開，其原因是分析之樣本點分佈本來就顯示此現 象。故由前述方式所求得線性式臨界降雨線必定落在圖 3.20(Ⅲ)中之 A 線及 B 線之間，其中 A 線為曾經發生土石流之雨場組群之下界，

而 B 線為未發生土石流雨場組群之上界。A、B 線所顯現的物理意義 為在 A 線以下完全沒有發生土石流雨場的樣本點，因此可推論為在 A 線以下，由歷史的經驗來說發生土石流的機率為零；同理在 B 線以 上，完全沒有未發生土石流的樣本點，故只要雨量超過 B 線，理論上 百分之百會發生土石流。當然在 A 線及 B 線之間，發生土石流的機 率就隨截距的增加而上升，範圍從零到百分之百。

假設在A線及B線之間若有一斜率相同之C線（如圖 3.21(Ⅰ)），

其縱軸截距在AB之間任何一點時之發生土石流機率，可以用C線掃過 兩組群交錯區之體積百分比來表示，如圖 3.21(Ⅱ)中斜線區域。若兩 組群交錯區之總體積為V，而C線所通過區域的體積為V1（斜線部份 的體積），C線在任何點所會發生土流得機率為V1 / V 。C線在下界（即 A線）時，所通過的體積為零(V₁=0)，即發生土石流機率為零，和A 線本身所代表之意義相符。同理，當C線截距到達上界（即B線）時，

所掃過區域之體積即為交錯區全部的體積(V1=V)，發生土石流的機率

即到達百分之百。如此一來就可計算出在整個組群間發生土石流分佈 之機率值。

未發生

發生 發生

未發生 未發生

發生

A B

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 圖 3.20 兩個組群空間分佈之三種情形（投影至二維）

A C B

A B C

發生

未發生 發生

未發生

(Ⅰ) (Ⅱ)

圖 3.21 計算土石流發生機率示意圖

3.3.6（b） 二維常態分佈理論

y）為二維常態分佈（Bivariate Normal Distribution）。 二維常態分佈滿足以下三特性

3.3.6（c） 土石流發生臨界降雨機率線之計算

首先說明資料之標準化。資料之標準化是將所有觀測值x的平均 值µ_x換成 0，而標準差σ_x換成 1，然後以標準差為單位用來度量常態 分佈。若以平均數為零點，將觀測值以標準差為單位表示出來，得到 的數值 z 就叫做「標準計分」 (standard score)。任何觀測值的標準 計分 z 為

x

x x

z σ

µ

= − （3.18）

此外，常態分佈曲線重要的特性為距平均數一個標準差範圍內則 會含蓋 68.26％的觀測值；距平均數兩個標準差範圍內則會含蓋 95.45％的觀測值；距平均數三個標準差範圍內則會含蓋 99.73％的 觀測值（如圖 3.22 所示）。本研究據此之目的是在計算臨界降雨線之 機率值時，可明確地決定積分所需定義域之下界。故研究計算中是以 標準計分 z=-3 為其下界。

在研究區域內之 28 條一級溪流中，收集民國 70 年～90 年間雨 量觀測站之逐時雨量資料，並找出其中 13 個曾經有發生土石流之樣 本溪流。利用 3.3.2（b）節中提及數化雨場之方法，獲得發生土石流 雨場共 64 個資料點以及未發生土石流雨場共 686 個資料點。假設土 石流發生及未發生雨場皆符合二維常態分佈並分別統計出發生土石 流雨場及未發生土石流雨場組群之平均值及標準差。首先計算出兩群 體交錯區之總體積，其範圍是以原臨界降雨線為中心向下到下界 A 線，向上至上界 B 線，如圖 3.23 綠色部份所示。而機率值之訂定是 根據任意臨界降雨線 C 座落位置的不同該發生土石流機率之計算分 為兩個部份，一是界於原臨界降雨線以下至下界 A 線之間，計算過程 中必須使用發生土石流雨場組群之平均值及標準差，而其體積之計算 範圍從 A 線到 C 線之間（如圖 3.24 紅色部份），最後除以總體積即

為 C 線土石流發生之機率。另一是界於原臨界降雨線以上至上界 B 線之間，其體積之計算範圍從原臨界降雨線到 C 線之間（如圖 3.25 藍色部份）計算過程中必須使用未發生土石流雨場組群之平均值及標 準差，加上前述之原臨界降雨線以下部份（如圖 3.25 紅色部份），其 組合之體積除以總體積即為 C 線之土石流發生機率。

圖 3.22 常態分佈曲線之特性

原臨界降雨線

A B

圖 3.23 兩群體交錯區之總體積

原臨界降雨線

A C B

圖 3.24 c 線在原臨界降雨線以下

原臨界降雨線

A C B

圖 3.25 c 線在原臨界降雨線以上

本研究為推導出積分機率密度函數過程中所需之上界，將各個樣 本溪流之水文、地文因子及土壤力學參數代入 3.3.4（a）節之式

（3.11），即可求出各個樣本溪流之地震前臨界降雨線方程式之截 距。本研究以各樣本溪流所求出之地震前臨界降雨線方程式之截距求 取平均值為 219.07（mm），則在進行南投全區機率式臨界降雨線之 計算時皆以b=219.07（mm）作為計算基準。

南投地區之機率式臨界降雨線

1.桃芝颱風雨場驗證

本研究為了驗證桃芝颱風當時之機率式土石流發生臨界降雨 線，將隆華國小雨量站所收集到之雨量資料，計算出其有效雨量路徑 和機率式土石流發生臨界降雨線，將其套疊如圖 3.27（a）；而圖 3.27

（b）為桃芝颱風雨場隨時間之土石流發生機率。由圖 3.27（a）可 以看出，新興橋在桃芝颱風侵台時發生土石流時間點約在上午七時，

而本研究所計算出當時發生土石流之機率為 91.1％，而實際上確有 發生土石流，按照機率統計的觀點來看，是相當合理的。另外有一點 值得注意的是在上午六時其發生土石流之機率為 39.1％，在一個小 時內急遽增加至 91.1％，其原因為桃芝颱風雨場最大降雨強度高達 135mm/hr，才會造成其機率值在短時間內暴增的現象。

2.納莉颱風雨場驗證

按照上述做法，將納莉颱風有效雨量路徑及其機率式土石流發生 臨界降雨線套疊，如圖 3.28（a）；而圖 3.28（b）為納莉颱風雨場隨 時間之土石流發生機率。納莉颱風雨場降雨強度不大，但是降雨延時 將近 60 個小時，還是很有可能引發土石流。經過計算，在有效降雨 開始後第 34 個小時出現土石流發生機率之最大值，其值為 11.2％，

而實際狀況並未發生土石流，所計算之機率值與實際狀況比較之後，

其結果也是可以令人接受的。