退休數學教育工作者
這可能是耳熟能詳的話題，大家可以用很多圖或隱喻去解 釋2，又或用數學的運算去推斷，但（起碼在一些學生而言）
都搔不著癢處︰因為做數（刻意用口語「做數」而不用問 題解決，其實是指很具體的操作 manipulate 和運算）時根 本不是這麼做！就如分數加減，我們會畫些圖形去解釋，
做數時根本不會這麼畫，於是出現做了數才把圖畫回的情 況。
+ =
+ = 先看看以下幾題。
38 + 72
72 – 38
38 – 72
–38 – 72
1感謝鄧國俊博士提供寶貴意見。
2例如見榊忠男（2002）。《愛麗絲與孫悟空的數學之旅》。台北：
國際村文庫書店。
School Mathematics Newsletter Issue No. 23
38 + (–72)
38 – (72)
–38 + (–72)
–38 – (–72)
我們想像一個「成年人」（如各位）如何「做」以上的題目。
所謂「成年人」是指受過數學訓練又未忘記數學的人，不 需要是數學家這類數學專業人士。所謂「做」當然是不用 電腦或計數機去做。
首先，用數線跳前跳後只是一種解釋或輔助的意象，你不 會向前跳72 格吧！
是「正常的加法」
當然不用計數機或數線的話，我們會這樣加，這個是大家 熟知的了。
3 8 + 7 2 1 0 1 0 1 1 0
這其實用了「結合律」： 38 + 72 = (30 + 8) + (70 + 2) = (30 + 70) + (8 + 2)
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= 100 + 10
= 110
72 – 38 是大家熟知的了，亦是用了結合律3︰ 72 – 38 = (70 + 2) – (30 + 8)
= (60 + 12) – (30 + 8)
= (60 – 30) + (12 – 8)
= 30 + 4
= 34
如涉及借位便稍複雜點。
38 – 72 不夠減︰反向變成 – (72 – 38)。72 – 38 是熟知的了。
抽出負號得 – (38 + 72) 【用分配律「反拆括號」！】變 成第題。
拆括號變成 38 – 72 ，即第題。
拆括號變第題。
拆括號後變 –38 – 72，即第題。
3 見黃毅英、張僑平、許世紅、蘇洪雨、陳鎮民、張家麟、黃麗珍、謝
明初、蔡勁航（2012）。《數學教師不怕給學生難倒了！——中小學數
學教師所需的數學知識》。武漢：華中師範大學出版社。
繁體字版：香港教育局數學教育組（2013）。
https://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/res/Cabinet%2014.pdf
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拆括號後得 –38 + 72，用交換律變成第題。
一個受過數學薰陶的人很可能傾向於潔淨主義（不敢說「潔 癖」:p），希望能用單一方法處理同類問題。但以正負數加 減而言，事與願違。我們很可能要接受不同情境用不同方 法。不過是否要搞出八類這麼多呢？也不必。我們（起碼 以我而言）的機略4（schema）很可能是︰
換言之是8 類濃縮為 4 類。而其實 C、D 最後會化成 A、
B。故此只要
I. 看出不夠減的情況，
II. 懂得把「– 」 號抽出來（包括 C、D），
以上4 類數就可化成兩類數。而這兩類數都是「正常」的
4這類強調是做數時我們的機略而不一定是有人教我們必須這樣做。
因為問題解決策略可以因人而異。
有括號 的話
A︰正常加法 (①)
B︰正常減法（即「夠減」）()
C︰減法但不夠減 ()︰把 「– 」號抽出來然後倒轉減 D︰–a – b (a，b 為正數) 形式 ()︰也用
上面方法把 「– 」號抽出來
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加減法。
把數題分拆成四類是否太麻煩呢？首先就算麻煩也得接 受。此外，我們做到正負數乘除不也是要分成正正得正、
正負得負、負正得負、負負得正嗎？
那麼數線解釋真的不會在做數過程中產生作用、變成「白 學」嗎？這也未必，人處理問題往往不是單一策略（當然
亦因人而異），數線除了給出槪念上的完整解釋5外，在做
數過程中，縱使採用上述機略，數線的意象很可能會產生 作用6。例如對於38 + 72（當然不會逐格數）便知道是向前
（右）走、再向前，於是數會很大（相加）。72 – 38 會向前 走後折返，故此數值會細。38 – 72 也一樣，故此數值（絕 對值）不會是 72 及 38 的和那麼大，應該是它們的差。
–38 – 72 便是向後走得很遠，應該是「負很多」……
我們只有從「成年人」做數的角度考慮才會既不失槪念，
亦能協助學生做數！
盲操瞎練、不求甚解當然不是我們想要的，但我們不必以 二分法看待概念和運算。處理得宜，可以做到「從執行加
深理解」這些都談過了7。現補充一點。何以我們好像要拚
5 數線亦是對「實數」（real number）最貼切的模型（model）。亦可參
考註腳2 的書。
6 亦可參考黃毅英、張僑平（2014）。數學教學的幾個最基本問題：做
數 、 概 念 與 理 解 。《 學 校 數 學 通 訊 》。18 期 ，1-18。
https://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/res/smn_18.pdf
7 黃毅英（2007）。數學化過程與數學理解。《數學教育》25 期，2-18。
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命撇除圖像和實際處境而重視算式呢？首先前者不等於概 念。它們也只是概念的一些表像和模型吧了。此外，我們 亦要考慮日後的發展。例如對數字很大、很多數字、非整 數、甚至高維度……已無圖可畫了。所以我們早晚要脫掉 畫圖進入符號世界。正如上面所說，適當的圖示（貼近兒 童思維的圖示而不是爲了畫圖而畫圖）不只有助理解亦爲 算式做數提供有幫助的意像當然何時「轉軌」就要看老師
對學生的了解。〈從分數除法之例看螺旋變式課程〉一文8
便提出多個連接點的想法。即在一段時間，學生同時運用
圖示和算式（以這兩個表像爲例），並平行出現，讓他們知
道和熟習它們的「互換」，這對「轉軌」可能順暢點。
8 孫旭花、黃毅英、林智中（2009）。從分數除法之例看螺旋變式課程。
《基礎教育學報》18 期，1-19。
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