此小節為《莊氏算學》中的卷六，包含了正方形、長方形、斜方形、三角 形、方環形、圓面、橢圓、圓環形等十種，主要是給予不同的條件求出欲求之 值。莊亨陽在卷六中，即使是同一種形狀也提出了許多不同情況下的算法，例 如：已知正方形的邊長，欲求對角線長；或是已知正方形的對角線長，欲求正 方形的邊長。另外，這十種形狀是由簡單至複雜，讓讀者能逐步了解其內容。
筆者在此部分將提出其中幾題作介紹。
5.2.1. 正方形
設正方邊五十尺，求對角斜線。
【術】以方邊五十尺自乘得二千五百尺，倍之得五千尺，開方得七十尺七寸一 分零六毫有餘即對角斜線
圖 5.8
現代表示法：
∆ABD面積 (50 2) 50
50 50 2
= × × = ×
ABCD為正方形，∴所求AB= 50 50 2× × =50 2
5.2.2. 長方形
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設長方形長十二尺，濶八尺，今將長積倍之仍與原長方同式，52問得長濶各幾
【術】以中長七十五尺與底濶八十尺相乘得六千尺，折半得三千尺即三角形面
延長 AC 直線並作 AB= AG交 AC 直線於G點
凡是有關三角形面積、底、高，皆可由面積＝
形的面積＝
400×4＝1600，4000－1600＝2400，2400÷4＝600＝戊己辰寅面積 600÷20＝30＝戊己，30＋20×2＝70＝甲乙
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圖 5.12
5.2.8. 圓環形
設外周二十一尺三寸，內周七尺一寸，濶二尺二寸六分，問面積。
【術】用圓徑求周法，以內徑數求得內周，外徑數求得外周，又以內徑與外徑 相減餘數，折半為環濶，依前有內外周及濶求面積法，算之即徑。
現代表示法：
外周＝21.3，內周＝7.1，BC=2.26
面積 21.3 7.1 2 2.26
= + × = 32.092＝32 尺 9 寸 20 分
解釋：
2 2 2 2
( )( ) ( )
2
R r
R r R r R r π π R r
π −π =π + − = + × −
圖 5.13
設面積三尺三十六寸，內周一尺一寸，求外周併濶。
【術】以內周一尺一寸，用周求徑法，求得內徑三寸五分零一毫有餘，又用周 徑求積法，求得內周原面積九寸六十二分七十七厘五十毫，與圓環積三尺三十 六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十毫，即外周圓面積；乃用有圓
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面積求徑法，求得外周徑二尺零九分七釐七毫，內減去內徑三寸五分零一毫餘
5.2.9. 圓面
設原徑一尺二寸，求周。
【術】用周徑定率比例，以徑數一一三為一率，周數三五五為二率，現設原徑 一尺二寸為三率，求得四率三尺七寸六分九釐九毫有餘即所求之圓周。
現代表示法：
利用周徑定律比例知
直徑：圓周＝113：355 ⇒ 113：355＝1.2：x(x為周長)，則所求＝x ≈3.7699
設徑八寸，求面積。
【術】用徑求周法，求得圓周二尺五寸一分三釐二毫七絲有餘，折半得一尺二 寸五分六釐六毫三絲有餘，又將徑八寸折半得四寸，兩折半數相乘得五十寸二 十六分五十四釐八十二毫，即所求之圓面積
現代表示法：
直徑求面積
2 2
=圓周 直徑×
由周徑定率比例：直徑：圓周＝=113 : 355=8 : x⇒ ≈x 25.1327433 25.1327 8
( ) ( )
2 × 2 ≈ 50.265486＝50 寸 26 分 54 釐 86 毫
圖 5.15
＜補充說明＞
因為在當時尚未引入π，因此皆以比例的方法算之，有關直徑、圓周、
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圓面積的關係皆是以 直徑：圓周＝113：355、面積＝
100000000：785398163＝54：x⇒ x＝424.115 即為所求
設橢圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫，大徑九尺，問小徑(積求徑)。
利用比例算
當圓形直徑＝正方形邊長時
正方形 100000000 圓形 785398163
100000000：785398163＝424.115：x⇒ x＝54＝長方形面積 54÷9＝6＝小徑即為所求