清代算學家莊亨陽及其算學研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生博士蔡蓉青博士. 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 研究生：林芳羽. 中華民國 103 年 7 月.

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(3) 摘要中世紀時期之後，歐洲文化有了新的發展，科學技術突飛猛進，許多數學名著都在歐洲流傳著，而歐洲的數學家分別對這些古書進行註解和研究，並寫出許多新的著作。也有許多劃時代的科學理論也都相繼誕生。明末清初時，耶穌會為了維護在歐洲受到衝擊的神權與教權，因此有組織的派遣一批傳教士到東方傳教以開闢新的據點，為了獲得中國統治者與學者的信任，藉由當時中國修改曆法的需要，帶來一批天文學和數學著作，就在這樣的背景下，西方數學傳入中國，康熙帝深知數學天文學是非常精確嚴密的科學，因此決定編纂《數理精蘊》，《數理精蘊》是部西方數學著作、中國近代一部非常重要的編譯作品，於清康熙年間製作，更被冠以「御製」二字，於雍正元年(西元 1723 年)刊行。《數理精蘊》把當時已傳入、新傳入的西方數學知識編排的很有條理，也對於中國古代數學進行了比較性的研究。本文主角莊亨陽，即在《數理精蘊》的基礎下，對於其政務以及治理水患上，作了一系列的數學統整，並以《莊氏算學》一書聞名於世。《莊氏算學》共八卷，其內容以幾何為主，包括平面幾何與空間幾何，內容有平方與立方帶縱、比例十法、空間中的多面體、幾何中的截積、併積、分積以及容面等。此外，在卷七末亦提到了有關測量、治理水患以及事務政策上的相關問題。本論文將藉由上述的歷史回顧，探討莊亨陽如何在當年的時代背景－清朝海禁時期、水患頻傳的黃河與淮河，精進自己的數學知識。而在研究《莊氏算學》文本的過程中，筆者亦會就 HPM 的觀點，針對莊亨陽的數學思考模式以及數學概念，參考現今的教學現場以及教學教材，作整理與對照，希望能提供教學者在教學上的一些省思與助益。. 關鍵字：莊亨陽、莊氏算學、差分、比例十法、截積、容面、重表.

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(5) 致謝歷經一年來的辛勤耕耘，心中除了喜悅之外，更油然興起感恩之心。首先必須向我的指導老師洪萬生教授致上最深的謝意，這兩年來，洪教授給了芳羽許多指導及啟發，讓我在解讀文本上有所增長，也培養自己能從不同的歷史脈絡與角度切入，老師細心引導且有耐心地不斷鼓勵，讓芳羽在論文的寫作階段中成長不少。此外，我要感謝兩位口試委員張海潮教授與蔡蓉青教授，兩位師長所提供的寶貴意見，使我的論文能更加完善。再者，也要感謝就讀研究所期間的同學、學長姐以及學弟妹們，大家互相研究討論，彼此打氣鼓勵的情景依然歷歷在目。最後，我要感謝我的家人，謝謝家人時常關心我的作息，健康與課業，並支持我，讓我能夠心無旁鶩，專心寫作。由衷感謝關心我的每一個人，謝謝你們！林芳羽 103 年 7 月.

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(7) 目錄. 目錄第1章. 緒論. 1.1 研究動機……………………………………………………………………..1 1.2 研究回顧……………………………………………………………………..2 1.3 研究取向……………………………………………………………………..4. 第2章. 清初算學之歷史脈絡. 2.1 明末清初西學的傳入………………………………………………………..5 2.2 西學中源、康熙皇帝與梅文鼎……………………………………………..6 2.3 《數理精蘊》的編纂、內容及影響………………………………………..9. 第3章. 莊亨陽生平事蹟與學術成就. 3.1 生平事蹟……………………………………………………………………13 3.2 治理水患……………………………………………………………………14 3.3 政治背景與立場……………………………………………………………16 3.4 學術成就……………………………………………………………………18. 第4章. 《莊氏算學》內容分析（上）. 4.1 同式形與同式體……………………………………………………………20 4.2 直角三角形…………………………………………………………………31 4.3 圓……………………………………………………………………………35 4.4 球體與橢圓體………………………………………………………………39 4.5 尺規作圖……………………………………………………………………46 4.6 等差數列與等差級數………………………………………………………54 4.7 面積中的截積、分積、併積及容面………………………………………59 4.8 按分逓折比例………………………………………………………………69.

(8) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 第5章. 《莊氏算學》內容分析（下）. 5.1. 曲線體………………………………………………………………………85 5.2. 比例十法(平面)……………………………………………………………101 5.3. 直線體(立體)………………………………………………………………111. 第6章. 結論……………………………………………………………….127. 附錄…………………………………………………………………………135 參考資料.………………………………………………………………...…151.

(9) 目錄. 圖目錄圖 3.1. 莊亨陽像……………………………………………………………….…...13 圖 3.2. 莊亨陽紀念館(位於南靖縣奎洋鎮上洋村)…………………………….....15 圖 3.3. 莊氏家廟…………………………………………………………………....15 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4.1. ……………………………………………………………………………....21 4.2. ………………………………………………………………………………22 4.3. ………………………………………………………………………………23 4.4. ………………………………………………………………………………26 4.5. ………………………………………………………………………………26 4.6. ………………………………………………………………………………27 4.7. ………………………………………………………………………………27 4.8. ………………………………………………………………………………28 4.9. ………………………………………………………………………………29 4.10. ………………………………………………………………………………30 4.11. ………………………………………………………………………………32 4.12. ………………………………………………………………………………32 4.13. ………………………………………………………………………………33 4.14. ………………………………………………………………………………34 4.15. ………………………………………………………………………………35 4.16. ………………………………………………………………………………36 4.17. ………………………………………………………………………………37 4.18. ………………………………………………………………………………37 4.19. ………………………………………………………………………………38 4.20. ………………………………………………………………………………39 4.21. ………………………………………………………………………………40 4.22. ………………………………………………………………………………41 4.23. ………………………………………………………………………………42 4.24. ………………………………………………………………………………42 4.25. ………………………………………………………………………………43 4.26. ………………………………………………………………………………44 4.27. ………………………………………………………………………………46 4.28. ………………………………………………………………………………47 4.29. ………………………………………………………………………………48 4.30. ………………………………………………………………………………49 4.31. ………………………………………………………………………………49 4.32. ………………………………………………………………………………50 4.33. ………………………………………………………………………………50.

(10) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4.34. ………………………………………………………………………………51 4.35. ………………………………………………………………………………53 4.36. ………………………………………………………………………………54 4.37. ………………………………………………………………………………59 4.38. ………………………………………………………………………………61 4.39. ………………………………………………………………………………61 4.40. ………………………………………………………………………………62 4.41. ………………………………………………………………………………63 4.42. ………………………………………………………………………………64 4.43. ………………………………………………………………………………65 4.44. ………………………………………………………………………………65 4.45. ………………………………………………………………………………66 4.46. ………………………………………………………………………………67 4.47. ………………………………………………………………………………67 4.48. ………………………………………………………………………………68 4.49. ………………………………………………………………………………69 5.1. ………………………………………………………………………………86 5.2. ………………………………………………………………………………87 5.3. ………………………………………………………………………………88 5.4. ………………………………………………………………………………90 5.5. ………………………………………………………………………………93 5.6. ………………………………………………………………………………99 5.7. ……………………………………………………………………………..100 5.8. ……………………………………………………………………………..101 5.9. ……………………………………………………………………………..104 5.10. ……………………………………………………………………………..105 5.11. ……………………………………………………………………………..106 5.12. ……………………………………………………………………………..107 5.13. ……………………………………………………………………………..107 5.14. ……………………………………………………………………………..108 5.15. ……………………………………………………………………………..109 5.16. ……………………………………………………………………………..116 5.17. ……………………………………………………………………………..117 5.18. ……………………………………………………………………………..118 5.19. ……………………………………………………………………………..118 5.20. ……………………………………………………………………………..119 5.21. ……………………………………………………………………………..120 5.22. ……………………………………………………………………………..121.

(11) 目錄. 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 5.23. ……………………………………………………………………………..121 5.24. ……………………………………………………………………………..122 5.25. ……………………………………………………………………………..123 5.26. ……………………………………………………………………………..124 5.27. ……………………………………………………………………………..124 5.28. ……………………………………………………………………………..125 5.29. ……………………………………………………………………………..126 6.1. ……………………………………………………………………………..129 6.2. ……………………………………………………………………………..129 6.3. ……………………………………………………………………………..130.

(12) 清代算學家莊亨陽及其算學研究.

(13) 第 1 章緒論. 第1章緒論 1.1 研究動機中國清朝的算學一直是筆者所感興趣的，其中清初的算學尤其值得注意，因此，筆者決定以清朝初期的算學家為主要研究方向。而在清朝初期海禁政策的時空背景下，有一批主張解除海禁，對外開放的開明人士，其中包含了算學家莊亨陽。筆者對於莊亨陽及其算學研究感興趣的原因有以下幾點： 1.. 在海禁政策的清朝初期，這樣的社會背景之下，莊亨陽是如何精進自己的學問，研讀西方數學？. 2.. 莊亨陽是清朝著名的治水專家，若莊亨陽既是一位治水專家又是一位算學家，那麼他是如何將算學應用在治理水患的方法上？. 3.. 莊亨陽在擔任政府官員時，除了治理水患，是否也有將自己的算學知識應用到其他的政策事務上？. 4.. 莊亨陽所著的《莊氏算學》一書，比照現今的數學教材，相同處與相異處有哪些？適合何種程度與年齡的學生或學者學習與研讀？對於現今的中學教材是否有所幫助？. 以上為筆者對於莊亨陽及其算學研究最主要的四大研究動機，因此，筆者在本文中除了整理並補充未完全的資料之外，會從了解一個算學者、治水專家著書的心路歷程，提出一個教育工作者的見解與看法。. 1.

(14) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 1.2 研究回顧對數學史家而言，莊亨陽在清朝初期是一位次要的算學家，因此，關於他的生平事蹟以及算學研究相關論述並不多，以專文討論更是少見，以下僅就筆者所能蒐集到的文獻作概略介紹。莊亨陽生平的專論或與《莊氏算學》有關的論述，分列如下： 1.. 方苞，＜莊復齋公墓誌銘＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 2.. 袁枚，＜淮徐海道按察司副使莊復齋先生傳＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 3.. 李清馥，＜祭莊復齋先生文＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 4.. 莊亨陽，＜序海圖說＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 5.. 莊亨陽，＜禁洋私議＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 6.. 莊亨陽，＜河防說一＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 7.. 莊亨陽，＜河防說二＞，收入莊亨陽《秋水堂遺集》。. 8.. 楊海紅，＜莊亨陽經濟思想論＞，《民風》2008 年 11 期(2008 / 07 / 11)，湖北教育報刊社出版。. 9.. 阮元等撰，《疇人傳彙編》，1廣陵書社。. 10. 張美玲，《《數理精蘊》中的《幾何原本》》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2008 年。 11. 郭書春譯注，《九章算術》，瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年。 12. 郭書春，《古代世界數學泰斗－劉徽》，台北：明文書局股份有限公司，1995 年。 13. 清《數理精蘊》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭州：河南教育出版社，1993 年。 1. 中國古代將天文曆法和數學合稱「曆算」，而把從事「曆算」的專家稱作「疇人」。 2.

(15) 第 1 章緒論. 14. 李素幸，《清代許桂林《算牖》之研究》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文，2009 年。 15. 郭守德，《朝鮮算學家．南秉吉《測量圖解》初探》，台北：國立台灣師範大學數學研究所碩士論文，2008 年。 16. 英家銘，《朝鮮兩班算家南秉吉與其算學著作》，中華科技史學會學刊第 17 期，2012 年 12 月。莊亨陽所處的時代中，中國水患問題十分嚴重，許多官員以及人民對於此問題常常治標不治本。又黃河與淮河下游是水患災害嚴重的地區，歷史上也曾多次決堤。莊亨陽對於屢發洪災的黃河與淮河，制定了疏導上游河道和排洪方案以防水患，他所使用的方法也正是我們所感興趣的，因此，在本文中，筆者先從莊亨陽的時代背景著手，探討莊亨陽所生存的歷史環境、生平事蹟，接著研究《莊氏算學》一書，最後，針對一開始所提出的問題作全盤性的整理。在以上論述或著作中，有機會參考莊亨陽《秋水堂遺集》最令筆者開心。《秋水堂遺集》包含了莊亨陽的文學、詩詞、治水方法以及政治立場與想法，從中我們可以清楚了解莊亨陽的理念與抱負，也能了解後世對莊亨陽的看法。楊海紅＜ 1 .民本重衣，心繫百姓安危；○ 2 . 莊亨陽經濟思想論＞針對三點來評論莊亨陽：○ 3 .放眼看天下，主張對外經濟交流。從楊海紅的文章，精於算學，經世致用；○. 筆者更能了解莊亨陽所處的時代背景以及水患問題的嚴重性。. 3.

(16) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 1.3 研究取向本次研究是以莊亨陽為主軸，因此，筆者會從清代算學家莊亨陽所處的時代背景－清朝海禁時期談起，包含了清朝初期的執政思想、不同黨派的士大夫們所持的意見、水患頻傳的黃河與淮河，接著，說明莊亨陽的生平、治理水患的方法與政績、政治立場，以及莊亨陽是如何在這樣的時代，精進自己的數學知識，以及如何應用在河防治理的工程上。在這部分所討論的資料來源，主要是以莊亨陽《秋水堂遺集》和楊海紅＜莊亨陽經濟思想論＞為主，而其中《秋水堂遺集》為莊亨陽一生著作的集大成，因此，藉由《秋水堂遺集》一書中，我們可以看見莊亨陽的政治立場和文學素養，以及對於水患的見解與治理辦法。而在研究主要《莊氏算學》文本的過程中，筆者亦會就 HPM 的觀點，針對莊亨陽的數學思考模式以及數學概念，參考現今的教學現場以及教學教材，作一整理與對照，希望能提供教學者在教學上的一些省思與助益。. 4.

(17) 第 2 章清初算學之歷史脈絡. 第2章清初算學之歷史脈絡 2.1 明末清初西學的傳入明末清初，耶穌會為了維護在歐洲受到衝擊的神權與教權，因此有組織的派遣一批傳教士到東方傳教以開闢新的據點，目的是傳播耶穌教的教義，這些傳教士為了獲得中國統治者與學者的信任，藉由當時中國修改曆法的需要，帶來一批天文學和數學著作，就在這樣的背景下，西方數學傳入中國。最早在中國傳播歐洲數學知識的是利瑪竇，由於數學與天文、曆法之間關係最為密切，因此，當時的傳教士在譯撰天文或立法書籍時多與數學相關，再加上算術、代數、幾何、三角在當時的歐洲得到快速的發展，所以，利瑪竇在向中國學者介紹歐洲學術時，所選擇的書籍即為《幾何原本》和西洋曆法等科學知識，而這些知識受到了以明末徐光啟爲代表的部分知識分子的歡迎；但同時也遭到了以清初楊光先爲代表的保守派的抵制和反對。 2 之後利瑪竇和徐光啟合譯了《幾何原本》前六卷(1697)，3和李之藻合譯《同文算指》(1613)， 4是西方數學傳入中國的開始。 5. 2. 楊光先生於 1597 年，徽州歙縣人。楊光先處於清初修訂立法之時代，由於曆法的失修，所以西方傳教士希望藉由此機會將數學及天文學知識傳入中國，因此清朝政府任用湯若望、南懷仁等人按照西方天文學成果制定新立法，但遭到保守派楊光先激烈反對，寫出《辟邪論》等文章加以駁斥，更以《不得已》一書以自明心志，楊光先屢次上書，稱傳教士意圖謀反，提出「寧可使中夏無好曆法，不可使中夏有西洋人」，在鰲拜的支持下，多位欽天監官員被處死，此為著名的「康熙曆獄」。 3 徐光啟，生於西元 1562 年，卒於西元 1633 年，自子先，號玄扈，教名 Paul，為中國明末數學家、政治家及軍事家，徐光啟為中西文化交流的先驅之一，是上海地區最早的天主教徒。徐光啟在天文學上的主要成就為主持曆法的修訂以及《崇禎曆書》的編譯。而在數學方面最大的貢獻即為《幾何原本》的翻譯。 4 李之藻，生於西元 1565 年，卒於西元 1630 年，字振之，一字我存，號凉庵居士，又號凉庵逸民，李之藻曾作《中國十五省地圖》，甚為精確，又與利瑪竇合譯《同文算指》，在數學成就方面，李之藻與徐光啟同譯《幾何原本》，《幾何原本》為西方數學最早的著作，在數學史上占有重要的地位。除此之外，李之藻也與徐光啟共同修訂曆法，吸收歐洲曆法的優點，補《大統曆》之所失，編撰新曆《崇禎曆書》，奠定我國現行農曆的基礎。 5 引自錢寶琼，《中國數學史》，收入杜石然主編，《李儼、錢寶琼科學史全集》第五卷，瀋陽：遼寧教育出版社，1998 年，p.256-257 5.

(18) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 2.2 西學中源、康熙皇帝與梅文鼎從明末西方數學傳入中國之後，如何融合中西科學便成了一大問題。徐光啟曾提出「熔彼方之材料，入大統之型模」的主張， 6強調的是兩者的相似性，希望能在中學與西學之間建立某種連繫，並且縮小中學與西學之間的隔閡，使西學不至於被視為異學而令人難以接受。但到了康熙時代，這種觀點被「西學中源」說所取代。雖然梅文鼎與康熙帝同倡「西學中源」說，但內在想法可能是不同的。康熙帝希望能藉由「西學中源」說，賦予來自西方的科學知識合法的地位，使西方科學知識成為中國學術的一部分，並且也能讓康熙帝自己獲得合理的藉口，為他學習西方科學知識找一個合法的理由。康熙帝在「西學中源」扮演著極關鍵的角色，他曾在《三角形推論法論》中提到：舉朝無有知曆者，朕目睹其事，心中痛恨，凡萬幾餘暇，及專至於天文曆法二十餘年，所以略知其大概，不至於混亂也。論者以古法今法之不同，深不知曆原，原出自中國，傳及於極西，西人守之不失，測量不已，歲歲增修，所以得其差分知疎密，非有他術也。 7 又說：「算法之理，皆出自於《易經》。即西洋算法亦善，原係中國算法。彼稱『阿爾朱巴爾』。『阿爾朱巴爾』者，傳自東方之謂也。」 8 「阿爾朱巴爾」是代數學 algebr’e (法文)的音譯。由於阿拉伯對於代數學有極大的貢獻，又對歐洲來說，阿拉伯屬於東方，但康熙帝將這個「東方」解釋為 6. 此處的「大統」即為大統曆。章梫纂，《康熙政要》卷十八曆算。 8 王光縑，《東華錄 ⋅ 康熙四十九》。引自洪萬生，（清初西方代數之輸入），收入洪萬生著，《孔子與數學：一個人文的懷想》(台北：明文書局，1999)，頁 6 7.

(19) 第 2 章清初算學之歷史脈絡. 中國，認為「阿爾朱巴爾」傳自中國。過了不久，梅文鼎之孫梅瑴成發現當時傳入的代數方法與中國傳統的天元術名異實同，9因此，「代數學」原自中國即成為「西學中源」說的著名例證。梅文鼎（1633 年－1721 年），字定九，號勿庵，安徽宣城（今宣州）人。生於明崇禎六年，卒於清康熙六十年。中國清初天文學家、數學家、曆算學家。明末清初西方科學知識的傳入，對梅文鼎產生了巨大影響。康熙四十一年，李光地向康熙帝推薦梅文鼎之著作《曆學疑問》， 10康熙帝大爲折服，次年南巡，特召至龍舟中聊天。著有天文數學著作七十餘種，其中數學著作二十餘種。一生博覽群書，著述 80 餘種。由於梅文鼎正處於長達 10 年之久的新、舊曆法之爭的時代，又深知曆法的制定和修改離不開算學，更需要用數學原理來闡明，因此梅文鼎爲研究天文曆法的需要，對數學進行了深入的研究，並取得了重大成就。梅文鼎主張「去中西之見，以平心觀理」，並且是第一個真正實踐中西會通的人，他認為中國應接受西方曆算學的知識，但也必須兼顧中國已有的曆算學傳統。梅文鼎闡揚西學要旨，表彰中學精粹，並致力於會通兩者，成為「西學中源」的先導。梅文鼎析辨中西二法之同的結論為﹕「其言曰五星之最高加減也即中法之盈縮歷也，在太陰則遲疾歷也；其言曰五星之歲輪也即中法之叚目也（遲留逆伏）；其言恒星東行也即中法之歲差也；其言節氣之以日躔過宮也即中法之定氣也；其. 9. 為了證明「天元術」與「借根方法」名異實同，梅瑴成分別以「借根方法」解《授時曆》、《測圓海鏡》、《四元玉鑑》等中國古書上的問題，積極闡揚「西學中源」說，提供新證據證明中國天元術即借方根。 10 成書原因有兩點：1、西方曆算學的傳入後和中法曆算鬥爭不斷地進行著，這也促使明末清初的學者去探尋當時曆算的古代源流，《歷學疑問･序》中：「《歷學疑問》梅子定九之所著也，先生于是學潭思博考四十年。」2、推廣清初天文知識，因為梅文鼎於康熙二十八年（1689）左右及京謁李光地于邸第，謂曰﹕「歷法至本朝大備矣，而經生家猶若望洋者，無快論以發其趣也。宜略仿元趙友欽《格象新書》體例，作簡要之書，俾人人得其門戶，則從事者多，此書庶將大顯。」成書主旨：平息中西曆法之爭。梅文鼎試著為中法派與西法派找出他們彼此能接受的中西會通理由，因此，梅文鼎特別注重中西曆法相同與相異之處。 7.

(20) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 言各省直節氣不同也即中法之里差也。」所以，簡而言之，在梅文鼎心目中論定中西曆法有不少相同之處，只是雙方論述方式不同且名詞互異，因此梅文鼎結論﹕「中歷缺陷之大端，得西法以補其未備矣，夫於中法之同者，既有以明其所以然之故，而于中法之未備者又有以補其缺。」至於〈論中西之異〉﹕「中法步月離始于朔而西法始于望，一也；中法論日始子半而西法始午中，二也；中法立閏月而西法不立閏月惟立閏日，三也；黃道十二象與二十八舍不同，四也；餘星四十八象與中法星名無一同者，五也；中法紀日以甲子六十日而周，而西法紀日以七曜凡七而周，六也；中法紀歲以甲子六十日而周，而西法紀年以總積六千餘年為數，七也；中法節氣起冬至而西法起春分，八也。」凡此八類為梅文鼎所類舉中西天文方面的差異處。 11 當梅文鼎見到康熙《三角形推論法論》後大表讚賞，他說：疇人守師說，蔑肯窺西書。歐羅衿別傳，寧能徵昔儒。兩者不相通，樊然生齟齬。大哉聖人言，流傳自古初。(伏讀聖制三角形論，謂古人曆法流傳西土，彼土之人習而加精焉爾。天與煌煌，可息諸家聚訟) 12 梅文鼎在研究數學知識上不遺餘力，有人認為梅文鼎是為了討好康熙帝而說了這一段話，但筆者認為梅文鼎是真正希望天文學與數學知識能夠廣泛傳給大眾，而非為了求取一官半職。在清初的數學書籍編纂中，梅文鼎實占了不可或缺的地位。. 11. 國立清華大學歷史所，陳敏浩《初探《歷學疑問》、《歷學疑問補》》刊於《第七屆科學史研討會彙刊》（臺北：中央研究院科學史委員會， 2007）， 12 梅文鼎，《續學堂詩鈔》卷四「上孝敢相國」四首，乾隆刊本，北京中國科學院圖書館藏。轉引自韓琦，〈白晉的《易經》研究和康熙時代的「西學中源」說〉 8.

(21) 第 2 章清初算學之歷史脈絡. 2.3 《數理精蘊》的編纂、內容及影響《數理精蘊》是部西方數學著作、中國近代一部非常重要的編譯作品，於清康熙年間製作，更被冠以「御製」二字，於雍正元年(西元 1723 年)刊行。《數理精蘊》把當時已傳入、新傳入的西方數學知識編排的很有條理，也對於中國古代數學進行了比較性的研究。因為《數理精蘊》這部書涵蓋了當時所有已知的數學概念與知識，因此我們可以將《數理精蘊》視為當代的一本數學百科全書。數學是制訂和改革曆法的重要工具，又因每逢天上有日蝕、月蝕等所謂凶兆出現，皇帝都會請群臣上奏指出其為政的疏漏之處，因此一部曆法實為最高統治權力之象徵。由於康熙初年的曆法之爭、 13禮儀之爭、 14海禁政策， 15使的康熙帝對於學習西方數學有了更迫切的需要，希望能藉由學習數學知識結束其在科學以及天文學方面對耶穌會士的依賴，因此康熙帝希望能將數學知識傳授給滿漢官員，培養一批精通西方科學知識的中國人，當然，康熙帝也可以藉由此書奠定他的權威。康熙帝深知數學天文學是非常精確嚴密的科學，學習過程中必須嚴謹，修書撰文更需字句斟酌，因此《數理精蘊》的編纂是由對於數學擁有極大興趣的皇三子胤祉親自主持，16而參與編書的人數在百人以上，其中較著名的有梅文鼎之孫. 13. 明末清初的曆法誤差日益嚴重，以至出現曆法危機，有識之士如徐光啟、李之藻等人，都主張修改曆法；而通曉天文學、數學知識的西方傳教士，為了鞏固在華的立足之位，也積極參與中國的曆法改革。但曆法改革是廢舊立新的大事，既要動搖某些傳統觀念，又不可避免的要損害一部分靠舊曆維持聲望和俸祿的人之利益。因此，修改曆法乃至廢除舊曆法必然會引發一場曆法之爭。 14 中國禮儀的主要論點是在於祭孔祭祖，由於教士們來華的目的主要的是傳佈福音，但他們對於祭孔祭祖的事是否與天主教的禮儀衝突、是否是宗教式的儀式、抑或迷信、或是社交習俗、這些問題都要解釋的。當時天主教內對中國社會祭祖祭孔的行為以及部分教徒以「天」和「上帝」稱呼天主的作法，意見非常分歧。某些教士們認為，這種祭孔祭祖的儀式很類似西方的宗教儀式，，教士們對此儀式很感困惑，不知如何是好；但某些傳教士對中國的文化傳統採取較為寛容的調適策略，亦將祀孔祭祖視為可接受的禮俗。 15 本文第 3 章 3.3 政治背景與立場。 16 胤祉(1677-1732)，康熙第三子。年齡比大阿哥胤褆小五歲，比太子胤礽小三歲，比四阿哥胤禛大一歲。康熙三十七年三月，封誠郡王。翌年九月，因在敏妃喪百日中剃頭，降貝勒。胤祉從小無論是文學、書法或是騎射，表現都是極突出的，因此備受康熙喜愛。又胤祉是一位學識淵博的學者與科學家。 9.

(22) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 梅瑴成、陳厚耀、 17方苞等。 18 在編纂過程中，西方傳教士經常受康熙帝召見，並回答康熙帝的各種問題，但因康熙帝希望能結束其在科學事務上對傳教式的依賴，所以傳教士並沒有參與此次編纂工作。《數理精蘊》又稱《御製數理精蘊》，是一部數學百科全書，全書分上下兩編及附錄，其上編「立綱明體」，下編「分條致用」。 19 上編分為幾何和算法兩類，卷二至卷四為《幾何原本》，取材自巴蒂所著之《幾何原本》，內容包含三角形、四邊形、圓、內切多邊形、外接多邊形、比例、相似形、勾股定理、幾何作圖法、圓錐體、球體、橢圓體之體積與表面積。卷五為《算法原本》，取材自歐幾里得之《幾何原本》，但只保留了較為實用的一些方法，大部分有關歐幾里得之《幾何原本》的數論內容皆已刪除。卷五分成兩章，以討論自然數的性質為主，包括自然數的相乘積、公倍數、比例、等差數列與級數、等比數列與級數等性質。下編分首部、線部、面部、體部、末部等五部分共四十卷：首部為卷一與卷二皆為實用算術，卷一為整數四則運算、記數法；卷二為分數運算。線部為卷三至卷十，內容為比例與其應用，詳細討論各種比例的運算方法，包含正比例、反比例、配分比、合分比例、盈不足、皆衰互徵、疊借互徵等。面部為卷十一至卷二十二，內容主要為與平面圖形的相關問題，包含勾股定. 17. 陳厚耀(1648~1722)，字泗源，號曙峰，清泰州人。早年師從梅文鼎研究天文历算，康熙四十五年(1706)中進士，曾任康熙五十七年會試同考官。在算学、天文外，著有《借根方算法》8 卷、《算法纂法總綱》3 卷、《八線根表》1 卷等。 18 方苞，生於 1688 年，卒於 1749 年，字靈皋，一字鳳九，晚年號望溪，安徽桐城人，生於江蘇六合之留稼村。方苞為清代散文家，是桐城派散文的創始人，與姚鼐、劉大櫆合成桐城三祖，官至禮部右侍郎。 19 張美玲《《數理精蘊》中的《幾何原本》》，台北：國立臺灣師範大學數學研究所碩士論文，2008。 10.

(23) 第 2 章清初算學之歷史脈絡. 理、割圓術、三角形邊角關係、三角形內切圓、直角三角形與斜三角形之解法、測量、圓與正多邊形互容、直線形面積問題、圓與橢圓的面積、正多邊形面積、外切圓徑、內容圓徑關係。體部為卷二十三至卷三十，內容主要為解決立體問題，包含計算柱體等直線以體積、圓柱與球與橢圓體等曲線體體積、各整正多面體體積、球內接各等面體、求外切各等面體、各種多面體的邊長和外接球徑、內切球徑的關係。末卷為三十一卷至四十卷，包括借根方比例、對數計算、比例、以及各種難題，其中《借根方比例》中的開帶縱平方是二次方程的求正根法，開帶縱立方是三次方程的求正根法。由於《數理精蘊》被冠以「御製」的名義，又稱《御製數理精蘊》，因此對清代的數學產生了一定的影響力，其中清中葉乾嘉學派研究古算與清末數學關於二項展開式、級數展開式、幾何形體等深受《數理精蘊》的影響；《數理精蘊》亦成為清朝學堂的數學教材，不算各種抄本，光是印刷本就有三十種左右，由此可見《數理精蘊》影響數學教育之深遠。梅瑴成，20梅文鼎的長孫，從小就跟祖父學習數學和曆法。在祖父的指導下，參與曆算書稿的校訂和制圖工作。當李光地迎梅文鼎到保定官署設館校書時，梅瑴成同去，一面學習，一面參予梅文鼎所著《弧三角舉要》、《環中黍尺》和《堵測量》等算書的校訂和繪圖。康熙五十一年，徵召梅瑴成到內廷學習和編纂歷算書籍；梅瑴成等所編書，總名《律曆淵源》，分三大部分：《律呂正義》、《曆象考成》和《數理精蘊》共 100 卷，分別論樂律、曆法和數學。前一部於康熙五十三年完成，另兩部於康熙六十一年完成，前後共用 10 年時間。全書於雍正元年（1723 年）九月刊. 20. 梅瑴成(1681～1763)，字玉汝，號循齋，宣城人。 11.

(24) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 刻出版。其中數學部分《數理精蘊》純出自梅瑴成一人之手。這部書包括了當時中西算理、算法，內容豐富，又是「欽定」，故成為清代重要的教材。梅瑴成一生的主要學術活動是編書，《數理精蘊》包含自己獨到見解。另外，他所著《赤水遺珍》等兩篇數學論文，有重要的學術價值，首先介紹了西方用級數展開來計算圓周率的「割圓密率捷法」（時稱「杜氏三術」），突破了以往「割圓術」的傳統方法；再者，提出要對古算書《測圓海鏡》等進行研究。這對清代中葉數學家們有很大啟示。乾嘉時期學者對我國傳統數學的研究成就卓著，梅瑴成是有先導之功的。. 12.

(25) 第 3 章莊亨陽生平事蹟與學術研究. 第3章莊亨陽生平事蹟與學術成就 3.1 生平事蹟莊亨陽乳名天鐘，字元仲，號復齋，福建南靖縣奎洋鎮人，父母以務農為生，生於清聖祖康熙二十五年，卒於清高宗乾隆十一年，年六十一歲(西元 1686-1746)。莊亨陽於 19 歲中秀才(清康熙四十二年－西元 1703 年)，26 歲中舉人(清康熙五十年－西元 1711 年)，33 歲中進士(清康熙五十七年－西元 1718 年)，殿試二甲第 8 名。. 圖 3.1 莊亨陽像. 莊亨陽官至淮徐海道，歷任山東萊州濰縣知縣、國子監助教、吏部檢封司主事、漢陽府同知、湖北內監試、徐州府知府、江南按察使分巡淮安、徐州、海州道。莊亨陽為官清廉剛正，克盡職守，政績顯著，體察民情，愛民如子，常說：「官為民，乃天職，官能愛民，民不欺官；官視民如赤子，民視官為嚴父」，21更是清代著名的學者、科學家、治水專家，深受百姓愛戴。莊亨陽在辭官歸隱時，仍懷著憂國憂民之心，從他作的一首《雜詩》中即可. 21. 楊海紅《莊亨陽經濟思想論》刊於期刊：《民風》；2008 年 11 期(2008/07/11)，P61-62。湖北教育報刊社出版。 13.

(26) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 以看出，詩云：耽隱聊藏拙，原非高尚人。曾為三月吏，重憫一方民。驅虎無仁政，聞鴻但愴神。不知花下坐，頭裹小烏巾。莊亨陽學問淵博，平易近人。在漳州芝山書院任教期間，求教者有時一日「數以百計」。在國子監任教時，亦極受尊崇。他平時極少評論別人，而對年輕人則多有鼓勵。莊亨陽對上不阿諛奉承，對下卻寬宏大量。另外，莊亨陽作風正派，廉潔從政，他明示各地官員不准搜括人民之物品以迎貪官之歡，肥貪官之私。因此在莊亨陽過世時，身無長物，兩袖清風，無一件新衣可入殮，足見莊亨陽之清廉。莊亨陽大膽學習西方科學知識，並提出對外開放的思想，他的主張和作法是一世紀後鴉片戰爭魏源及林則徐等人的模範；也對後來李鴻章等人的洋務運動提供了借鑒。 3.2 治理水患莊亨陽任職徐州知府和江南按察副使期間，黃河、淮河屢發洪災，又徐州地處淮河下游，上有洪水壓境，下有海潮頂托，是水患災害嚴重的地區，歷史上曾多次決堤，給徐州人民造成生命、財產的嚴重損失。因此莊亨陽率領治河官員勘察山川湖澤地形地貌，走遍洪澇村落，傾聽父老鄉親的治水意見，並且制定疏導上游河道和排洪方案，以解徐淮百姓疾苦為己任。遍歷河幹，審查形勢，訪碩而諮官僚，早夜講求，頗得其所以水患之由，及所以御水之法。 22 莊亨陽認為解除水患「宜導而疏之」，主張「蓄匯兼籌」，宜在河流之上游建水庫蓄水，中游綜合治理，下游開渠洩洪，因此他組織百姓修築了南四湖、黃淮堤防，擴大了中小水庫庫容，並且修健數十座水閘，以提高蓄水能力，同時也清理河道沙障、拓寬運河狹窄地段、開挖和疏浚渠道以及種植防沙林。莊亨陽任徐州知府三年期間，曾遇到三次洪水，兩次飢荒。他都親自實地督察，與人民同難， 22. 莊亨陽《秋水堂遺集》之〈上陳中堂〉 14.

(27) 第 3 章莊亨陽生平事蹟與學術研究. 解除人民疾苦。在辦理防洪賑災急務，莊亨陽經常寢食俱廢，終於得出造成洪災之因，於是他在《河防說二》提到：今日弊只在一壅字，毛城浦壅，而徐州壞。天然減水壩壅，而上江之風穎泗壞。三滾壩壅，而淮揚之上下河皆壞。 23 因此莊亨陽主張：疏浚去其壅塞，務令深通。夫為川者，決之使導，不可雍也。雍及而潰，傷人必多。 24 觀去歲臨淮之城浸以古溝决而甦高寶之地淹以三壩掘而退興鹽之民溺以范公堤開而免此其明效大驗也。究其所以致患之由及所以免患之故，則今日治水之策唯有仍靳文襄之舊貫而不必別置一議者，至於興鹽之地本屬鍋底，但需於受水兩旁陂而澤之，然後徐導使入海所棄無幾而所全實大矣。 25. 圖 3.2 莊亨陽紀念館(位於南靖線奎洋鎮上洋村). 圖 3.3 莊氏家廟. 23 24 25. 莊亨陽《秋水堂遺集》之〈河防說二〉莊亨陽《秋水堂遺集》之〈上白總河暨尹總督〉莊亨陽《秋水堂遺集》之〈河防說二〉 15.

(28) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 3.3 政治背景與立場莊亨陽所處的時代正是清政府實施海禁政策，也就是有名的南陽禁海令。此時期由於日益嚴重的海寇活動和西方勢力在東亞海域的潛在威脅，於康熙五十五年(1716 年)，康熙帝召見大臣，提出禁海問題，次年規定擬定，正式實行禁海，這就是南洋禁海令。南洋禁海雖然並非全面禁海，但對於正在不斷發展的中國民間對外貿易力量無疑是嚴重的打擊。南洋海禁和清初的海禁政策是不同的，明朝末期，鄭芝龍形成了強大的海上力量，明朝滅亡後，雖然鄭芝龍轉而歸順清政府，但其兒子鄭成功卻依然效忠明朝，且其實力主要掌握在鄭成功手中，所以清朝初其幾乎沒有海軍力量，因此清朝政府為避免沿海居民資助鄭成功，因此採取了海禁政策。為防禦鄭成功的進攻，於清康熙元年(1662)下令在潮州實行海禁，將沿海居民遷入內地 50 裡；至康熙三年(1664)又再遷徙 50 裡(包括今潮安縣庵埠、彩塘、鐵鋪、官塘一帶)，禁止出海捕魚和貿易。康熙十年(1671)重申海禁，不准閩粵二省船隻過洋。海禁一直延續至康熙二十三年(1684)清政府收復台灣之後始解除，准許南澳等地居民回原籍耕種，准許對外貿易。自開海禁之後，每年造船出海貿易者，多至千餘，不少人留居南洋。清政府因而擔心數千人聚集海上，不可不加意防範；並認為南洋各國歷來是海賊之淵藪，於康熙五十六(1717)年復行海禁，即為南洋海禁，嚴禁與南洋往來貿易，嚴令沿海砲台攔截前往船隻，水師各營巡查。南洋海禁之後，本來一度繁榮的對外貿易，又復萎頓。沿海經濟日趨蕭條，給當地居民造成嚴重後果，因此生活無著之窮民，被迫逃亡海上，或鋌而走險，或為犯亂。為此不少人奏請開禁。雍正五年(1727)，即南洋海禁十年後，清政府再開南洋海禁。限令出洋貿易之人三年內回國，否則不許回籍。 26 清政府的海禁政策，造成福建沿海的社會經濟極大的破壞、阻礙了商品流通，. 26. 陳尚勝，《文史哲》：閉關”或“開放”類型分析的局限性——近 20 年清朝前期海外貿易政策研究述評，2002 年 06 期、汪敬虞，《中國社會經濟史研究》：論清代前期的禁海閉關，1983 年 02 期。 16.

(29) 第 3 章莊亨陽生平事蹟與學術研究. 也限制人口的自然流動，使福建沿海在東南亞的貿易一落千丈，因此福建沿海民眾對於海禁政策進行了反抗與抵制，造成了社會矛盾。此時漳州一帶的士大夫階層中湧現了一批主張解除海禁，對外開放的開明人士，而莊亨陽即為其中的代表之一。莊亨陽在《禁洋私議》中指出與南洋發展貿易的好處及海禁的弊端：福建僻在海隅，人滿財乏，惟恃販洋。番銀上以輸正供，下以濟民用。如交留吧(噶喇吧，即今印尼雅加達)，我民興販到彼，多得厚利以歸，以未歸者，或在彼處為甲必丹轉徙貿易，每歲獲利千百不等，寄回贍家。其族戚空手往者，咸資衣食給本錢為生，多效巨富。故有久而未歸者，利之所存，不能遽舍也，去來自便，人各安其生。自海禁嚴，年久不聽歸，於是獲利者既多。徒望故鄉而隕涕者，又有在限內歸，而齎金過多，為官吏垂涎，肆行勒索無所控告者，皆禁之弊也。夫不聽其歸，不可。若必促使盡歸，令島夷生疑惑，盡逐吾民，則自絕利源，奪民生而虧國計，尤不可也。 27 這句話說明了莊亨陽認為福建人多財乏，若實施海禁政策，會限制了經濟流通，於國計民生都將不利。莊亨陽敢於衝破陳規俗律，認為應要開放海禁，發展海外貿易，並且建議在開放的同時加強海關管理：為今之計，莫如聽其自變，不給照，不掛號，永馳前禁，令海船得以及時往返，不遭惡風，無覆破之患，此上策，其次於出口時，取具船戶甘結，不得將奸人載回，違者罪之，中策也。又次則於入口之時，嚴加議察，異服異言不得入港，其年久在限外回者，令自供籍貫，造冊報關存案，到家安插後，陸續請其族長或鄰居甘結，地方官不得藉端蒙騙。 28 《禁洋私議》是莊亨陽隱居靖南龜山時以處士橫議朝政的文字，因此他的意. 27 28. 莊亨陽《秋水堂遺集》之〈禁洋私議〉莊亨陽《秋水堂遺集》之〈禁洋私議〉 17.

(30) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 見是否通過某種途徑上達當道而對中央決策有所影響，則不得而知了。 29 莊亨陽與清朝前期的讀書人不同，莊亨陽並不只研習八股、鄙視自然科學，相反的，他大膽學習西方科學知識，並且提出對外開放，這在當時是十分難能可貴的。 3.4 學術成就莊亨陽不論是在文學、詩詞、書法以及科學知識上皆有一番成就。在《秋水堂遺集》中，我們可以看出莊亨陽在文學詩詞上，雅建清新，兼有陽剛之氣與陰柔之美；據說莊亨陽的書法風格為遒勁有力，龍飛鳳舞，變化無窮；另外，在莊亨陽任分巡淮徐海道時，他運用自己的數學知識指導修造河防工程，並把研究過程整理成筆記，該書被收入《四庫全書》，名為《莊氏算學》。莊亨陽一生博學多才，文理斐然，這一點從他的遺作《秋水堂遺集》即可管窺一斑。30從他的遺集中我們可以看到，他與前清一般讀書人只把精力用在研習八股，為一旦中試可以皓首窮經，鄙視自然科學的封建士大夫不同，他大膽學習西方科學知識，並提出對外開放的思想是十分難能可貴的。. 29 30. 《十八世紀的中國政治》郭成康，雲龍出版社，2003.3.14 《秋水堂遺集》是莊亨陽一生著作的集大成者。 18.

(31) 第 4 章《莊氏算學》內容分析(上）. 第4章《莊氏算學》內容分析（上）《莊氏算學》中的卷二是以《數理精蘊》上編中的卷三與卷四，幾何原本八至十二為主；卷三則是《數理精蘊》下編中的卷四＜按分逓折比例＞與卷五＜按數加減比例＞；卷四是《數理精蘊》下編中的卷二十六＜曲線體＞；卷七則是《數理精蘊》下編中的卷二十五＜直線體＞。細讀《莊氏算學》不難看出此書重點著重於幾何部分，包括了平面幾何與空間幾何。筆者認為莊亨陽在治理水患的期間時常會需要依賴數學知識來幫助他製作堤防或是計算一些水流量、水的深度等等，在這樣的過程中整理出有關數學的知識，也就是《莊氏算學》。其中《莊氏算學》共有八卷，筆者於下表列出此八卷主要論述的內容：卷一. 說明平方與立方帶縱以及籌算. 卷二. 以《數理精蘊》中的《幾何原本》為主. 卷三. 幾何中的截積、併積、分積、容面以及按分逓折比例的差分. 卷四. 探討以定率表來計算曲線體、正多面體的體積與邊長. 卷五. 單位換算. 卷六. 說明比例十法，以平面中的多邊形，給予不同的條件求出面積、邊長或直徑、周長. 卷七. 空間中的多面體，給予不同的條件求出體積、邊長. 卷八. 天文. 筆者在本文主要研究的卷數為二、三、四、六、七卷，以下章節筆者將一一介紹。本文的 4.1~4.6 為《莊氏算學》中的卷二，也就是莊亨陽以《數理精蘊》中的《幾何原本》為主的內容；而 4.7~4.8 則為《莊氏算學》中的卷三，也就是幾何中的截積、併積、分積、容面以及按分逓折比例的差分為主。 4.1~4.6 的內容主要是以相似形、直角三角形(畢氏定理)、圓與球體以及針對平面圖形所作的尺規作圖和數列與級數作探討。. 19.

(32) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 4.1 同式形與同式體此小節為《莊氏算學》第二卷的部分，主要介紹相似圖形，除了常見的正方形與三角形，亦提出了多邊形；除此之外，有關相似形的邊長與面積的比例關係(面積=邊長平方比)，在此小節亦有提出說明。筆者在此部分將提出幾題作介紹。凡兩直角平面形，欲相比例，有兩比例，焉如大形之長度與小形之長度幾倍為均，大形之寬度與小形之寬度幾倍為均是也，然合比兩比例仍是一比例。【術】甲方之長與乙方之長三倍為均，甲方之寬與乙方之寬兩倍為均，二、三相乘為六，則甲方之形與乙方之形之比例為六倍為均也。若長四倍為均、寬三倍為均，三四一十二，31則大形與小形之比例為十二倍為均也。在若大形之橫度比小形十二為均，小形之直度比大橫直度三倍為均，則以三除十二得四，32大形比小形四倍為均也。若四倍，則以四除十二得三倍為均， 33皆成一比例也。現代表示法：如甲的長為乙的三倍，甲的寬為乙的兩倍，則甲面積為乙面積的 2 × 3＝6 倍。若 1 甲寬為乙寬的 12 倍，乙長為甲長的 3 倍，則甲面積為乙面積的 12 × = 4 倍。 3. 有兩直角形，若此形之長倍於彼形之長，而彼形之寬反倍於此形之寬，則此兩形之積為等也，或一倍、或三四五六倍皆然。凡有相比例四率，其在中之二率三率相乘所得數必同於一率四率相乘所得數也。如一率二、二率四、三率三、四率六，以中率三、四相乘為十二，首尾率二六相乘亦十二也。試將三度四度之線相乘作長方形，又將二度四度線相乘作長方形，形雖不同而積等也。故一、二、三率已之者也，所求四率為之者也，既求得四率，則以一率與四率相乘所得數，與二率三率相乘所得數無以異也。現代表示法：有兩個直角平面形(即為長方形)甲與乙，若甲長為乙長的兩倍(或 n 倍)，乙寬為甲寬的兩倍(或 n 倍)，則甲面積與乙面積會相等。由此可知若 A：B＝C：D，則 A × D＝B × C，因此一、二、三、四共四率中，只要知道其中的三率，第四率必可求出。. 31 32 33. 此句之意為三、四相乘得一十二。此句之意為三除以十二得四。此句之意為四除以十二得三。 20.

(33) 第 4 章《莊氏算學》內容分析(上）. ＜補充說明＞莊亨陽在此提到將此方法運用至治水及用兵的部分。如東河之水流速三倍，西河之水流速六倍，東河之流一秒十缸，欲知西河之流一秒幾何缸？【術】以東河之三倍為一率，西河之六倍為二率，34東河之十缸為三率，求得西河之流二十缸，是相乘之數為等也。又如三個兵每月餉六兩，今已五月應餉幾何？【術】以三兵為一率，六兩為二率，五月為三率，求得餉銀一十兩，是相乘之數又等也。比例的方法可以運用到許多不同的問題，當河流之流速與流量不好求時，我們便可以利用已知的資訊及比例方法來求得欲求之值。而莊亨陽便是利用此種方法將數學運用在治河方面。. 有兩個直角面，苟此面之橫界與他面之橫界、此面之縱界與他面之縱界比例若等，則此兩面相比之比例即為兩界相比之比例隔一位加一倍之比例，即前相連比例一條所云也。【術】兩界之比例第為一倍之比例，而兩面之比例為加一倍之比例也。如甲之橫界大於乙一倍而為二，縱界亦大於乙一倍而為二，則甲之面大於乙之面三倍而為四，為二倍為均者二，若甲之橫界、縱界各大於乙五倍，則甲乙面內與乙之面內六倍為六矣。現代表示法：有兩個直角平面形甲與乙，若甲長：乙長＝甲寬：乙寬，則甲與乙的面積比即為兩界相比之比例(隔一位加一倍之比例)。因此兩界之比例為第一位之比例，兩面之比例為加一倍之比例。. 圖 4.1. 34. 文本為西河之六倍為一率，應為誤，此改為西河之六倍為二率 21.

(34) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 丙乙之邊線為相連比例，丙乙之面於相連比例中為隔一位加一位比例，今設一甲線為一分，乙線為二分，丙線為四分為相連比例，則丙面與乙面之比同於丙線與甲線之比，蓋丙面大於乙面三倍，丙線長於甲線三倍，共為隔一位加一位之比例也。現代表示法：假設甲線一分，乙線二分，丙線四分，甲乙丙三線為相連比例（隔一位加一倍之比例），則丙面：乙面＝甲線：丙線。. 圖 4.2. ＜補充說明＞所謂隔一位加一倍之比例即為 1：2＝2：4。以平面來說，因為面積比＝邊長平方比，因此，若已知邊長之比，則面積比為隔一位加一倍之比例。現今教材中，較少使用「隔一位加一倍之比例」，但是觀念仍在教材中出現，例子如同以上所說：面積比＝邊長平方比。. 凡兩直角同式體，互相比之比例為界比例之隔二位加二倍之比例也。【術】大體長寬厚比小體各大一倍，則此兩體相比之比為隔兩位相加之比例也。蓋界線為相連之比例者，倍而為平面，為隔一位相加之比例；又倍而為體，則為隔二位相加之比例也，苟作一相連比線之率，甲為一分、乙為二分、丙為四分、丁為八分，又作一直角體與三界各加一倍之直角體，則小體與大體之比同於一率甲線與四率丁線之比，若知甲線比丁線為八分之一，即可知大體比小體為八分之一也。現代表示法：有兩個直角體甲與乙，其體積比為邊長比例之隔兩位加兩倍之比例，如甲的長寬高比乙的長寬高各大一倍，則體積比為隔兩位相加之比例也（1:2=2:4=4:8），即甲的體積：乙的體積＝8：1。證明：邊長為相連之比例；倍而為平面，面積為隔一位相加之比例；有倍而為體，體積為隔兩位相加之比例也。例如：A 為一分、B 為二分、C 為四分、D 為八分， 22.

(35) 第 4 章《莊氏算學》內容分析(上）. 則乙的體積：甲的體積＝A：D＝1:8. ＜補充說明＞此題為空間中的立體體積，所謂隔兩位相加之比例即為 1：2=2：4=4：8。以空間來說，因為體積比＝邊長立方比，因此，若已知邊長之比為 1：2，則體積比為 1： 23 ＝1：8，即為隔兩位相加之比例也。現今教材中，較少使用「隔兩位相加之比例」，但是觀念仍在教材中出現，例子如同以上所說：體積比＝邊長立方比。. 凡二平行線內所有凡平行四邊面互相之比，同於其兩底界互相之比也。【術】同底所立之直面、斜面積俱同，則直面、斜面之比例俱等，故底若大三倍，則面亦大三倍也。現代表示法：在兩平行線內的平行四邊形，面積比皆等於其底邊之比。. 凡在二平形線之間若有兩三角形，以兩形積互相之比必同於兩底界互相之比也。【術】同底所作之三角形為四邊形之一半，四邊形之比例等，則三角形之比例亦等，故三角底若大一倍，則三角形積亦大一倍，底若大三倍，則積亦大三倍也。. 圖 4.3. 現代表示法：在兩平行線之間，兩個三角形的面積比等於其底邊之比。因為同底三角形的面積為同底平行四邊形面積的一半，因此三角形面積之比會等於平行四邊形面積之比，又平行四邊形面積之比為底邊之比，因此得證。. 23.

(36) 清代算學家莊亨陽及其算學研究. 凡三角幾形之底俱在於一直線又與各底相對之眾角皆聚於一處，則具三角眾形必在二平形線之間也。現代表示法：眾三角形，只要底在同一條線上，而且角皆聚集於一處，則這些三角形必在二平行線之間。. ＜補充說明＞底×高 (高＝ 2 距離)，則不論三角形的形狀為何，只要三角形的三頂點皆在兩平行線上，三角. 因為兩個平形線間不管何處，距離皆相等，又三角形的面積＝. 形的面積比就會等於其底邊之比。平行四邊形可以分割成兩個三角形，已知三角形面積比＝底邊之比，因此平行四邊形的面積比亦等於底邊之比。. 凡三角形作與底線平行之線，，不拘何處截斷，則兩旁之線皆成四比例線。【術】甲丁與丁乙之比同於甲戊與戊丙之比，是二段互相比之比例同也、又甲丁一段與甲乙全線之比同於甲戊一段與甲戊全線之比，是分線之比例同也，故曰四相比例也。蓋自乙至戊、自丙至丁作乙戊、丙丁二線分為幾三角形，此內之乙戊丁、丙丁戊兩三角形既在二平形線之間由同立於丁戊之底，則其積等也，又各增入甲戊丁三角形，其積亦等也。又甲丁戊、丙丁戊兩三角形，其底線同在甲丙一直線，而兩角又相遇於丁，即如前所云，二平形線之間有兩三角形，則兩形積互相之比必同於兩形底界互相之比。則甲丁戊形積比丙戊丁形亦同於底線甲戊比戊丙之比例，再彼甲丁戊、乙丁戊兩形積之比，亦同於甲丁、丁乙兩底線之比也，再甲乙戊、甲丁丙兩形之積既等，則甲丁戊形積與乙丁戊形積之比同於甲丁段與乙丁段之比，而又同於甲戊段與丙戊段之比，是以甲丁段與乙丁段之比必同於甲戊段與丙戊段之比也。故以甲丁為一率，丁乙為二率，甲戊為三率，可以求戊丙之四率也。誠如是以甲乙丙全形之三角或與所分甲乙戊三角或與所分甲丙丁三角之比例俱為同也；因其比例同，而此三角全形所分兩形之積既為等，則甲丙丁所分形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相之比，其甲乙戊所分形之甲戊底與甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱為同也，則甲丁段之一分為一率，甲乙全線三分為二率，甲戊段一分為三率，甲丙全線四分為四率，亦為相比例率也。現代表示法： 24.