五、 垂向二維水流與熱流偶合數值模式模擬與驗證
5.2 水流與熱流偶合案例驗證與模擬
本節探討水流熱流偶合案例，以下將分為三個不同的案例進行 數值驗證與討論。案例 5.2-1 透過 Dirichlet 邊界條件定義溫度與總水 頭，透過邊界條件之設定使其有不同之熱流傳遞方向與水流流動方 向；案例 5.2-2 藉由在底部逐步加溫，藉此探討當溫度逐漸提高後，
水流流動狀況。
表 5.2-1 偶合水流熱流案例列表 案例
5.2-1 穩態 水流方向與熱流方向垂直
案例
5.2-2 暫態
規則 網格
單一
材質 在左下角邊界有熱源加入
1. 案例 5.2-1 案例說明：
本案例透過 Dirichlet 邊界條件定義溫度與總水頭，透過邊界條 件之設定使其有不同之熱流傳遞方向與水流流動方向，案例配置圖如 圖 5.2-1 所示。
邊界條件如圖 5.2-1 所示，從水流方面來說，左側邊界設定為總 水頭等於 120(m)，右方邊界設定為總水頭等於 80(m)，上下兩方則設 定為無流量邊界條件；從熱流方面來說，上方邊界設定為溫度等於 20(℃)，下方邊界設定為溫度等於 70(℃)，左右兩方則設定為無熱通 量邊界條件。網格切割方面，沿用案例 5.1-1 設定，為規則網格。材 質方面，整體區塊設定為相同材質，其中土壤孔隙率為 0.38，土壤熱 傳導係數為 207,360(
m Kday
J ⋅ )，水流熱傳導係數為
48,038(J Kday⋅m)，土壤密度為 2323(kg/m3)，土壤比熱為
710( kg K
J )。另外，水力傳導係數則分別設定為 0.001、0.005 與 0.01( )時，進一步探討水流流動對於溫度變化之影響。本案例為 穩態模擬。
day m /
數值結果：
本案例在水流方面藉由相同的邊界條件但是不同的水力傳導係 數，而有不同的水流流速，因此對於熱流模式而言，其對流項亦因此 不同。由於水流之上下邊界設定為無流量邊界，且左右邊界設定為定 水頭邊界條件，因此水流會由左往右流動。本案例之水力傳導係數分 別為 0.001( )、0.005( )及 0.01( )，若藉由達西公式計 算流速，分別為 0.0036( )、0.0182( )與 0.0364( )，隨 水力傳導係數增加而逐步增大。由於水流流速為對流項之成因，因此 對流項形成熱能流動之水平向分量。
day
m / m /day m /day
day
m / m /day m /day
在熱流方面由於上下邊界設定為不同溫度之定溫度邊界條件，
左右邊界反而是無熱通量邊界條件，因此熱流之擴散項是有下往上傳 遞，因此擴散項形成熱能流動之垂直向分量。
圖 5.2-2 為若不考慮對流項或水流流速為 0 時之溫度分佈等值 圖，其等值線由下往上等距離分佈。圖 5.2-3 至 5.2-5 則分別為不同 水力傳導係數下之溫度分佈等值圖，因此在不同的水平向分量與垂直 向分量之比值下，溫度分佈會有不同之傾斜程度，當對流項越大時，
則越傾斜。
由於在熱流模式中，左右兩方之邊界條件均設定為無熱通量邊 界條件，但水流又不斷地由左往右流動，因此對流項則不斷地將熱能 由左往右帶動，但因為無熱通量邊界條件的關係，左方邊界並無熱能 向內補充，右方邊界又無法向外排出，因此形成左方邊界溫度大幅降
低，右方邊界則有累積的情形。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
圖 5.2-3 水力傳導係數 0.001(m /day)溫度分布等值圖
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
圖 5.2-4 水力傳導係數 0.005(m /day)溫度分布等值圖
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
案例 5.2-2 案例說明：
本案例藉由在底部逐步加溫，藉此探討當溫度逐漸提高後，水 流流動狀況，圖 5.2-6 為案例配置圖。其網格切割沿用案例 5.1-1 之 網格切割，在在材質方面，本案例為均值案例，其中土壤孔隙率設定 為 0.38，土壤熱傳導係數為 207,360(
m Kday
J ⋅ )，水流熱傳導係數為 48,038(J Kday⋅m)，土壤密度為 2323 ( )，土壤比熱為
710(
/m3
kg
K kg
J )，水力傳導係數設定為 0.001 (m /day)，土壤壓密係數(αs) 設定為 0.001。
在地下水邊界條件設定上，上邊界總水頭設定為 30(m)，其餘邊 界則設定為無流量邊界(No Flow Boundary)。地下水初始條件上，則 設定所有節點總水頭亦為 30(m)。傳統上，前述之邊界條件與初始條 件下之地下水流模擬，其模擬結果應為不流動。
在熱流邊界條件的設定上，由圖面顯示，右上方 1(m)寬之邊界 設定為 20(℃)，左下方 1(m)寬之邊界設定為前 10 天邊界溫度為 20 (℃)，自第 10 天後之邊界溫度為 90(℃)，其餘邊界則設定為無熱通量 邊界(No Heat Flux Boundary)。在熱流初始條件的設定上，則所有節 點之初始溫度為 20(℃)。本案例為暫態模擬。
數值結果：
圖 5.2-7 至 5.2-17 為案例各時刻之總水頭分佈等值圖，圖 5.2-7 為尚未加溫前之總水頭分佈圖，因此其總水頭分佈與初始條件相同。
然從 10 日後逐漸開始加溫後，模式開始由左下往上略微流動，總水 頭分佈亦由左下往上些微遞減，直至上方邊界設定之 30(m)為止。
圖 5.2-18 至 5.2-28 為案例各時刻之溫度分佈等值圖，由於前述
各時刻之總水頭變化差異並不大，因此形成之水力梯度與流速亦不 大，因此本案例之對流項較傳導項為小。由圖面顯示，地下水溫度則 由左下高溫邊界為中心，以同心圓型式往上逐步加溫，隨時間之增加 加溫影響範圍亦隨之擴張。
圖 5.2-29 至 5.2-39 為案例各時刻之密度分佈等值圖，由於本模 式之水流密度轉換公式為壓力與溫度之函數，因此當溫度提升時，其 密度會隨之降低，意即相同質量之水體，其體積會隨之膨脹增加。由 此可以得知，因為水體膨脹且左右與下方邊界均為無流量邊界條件，
因此所膨脹的水體則從上方邊界流出，如此可以解釋總水頭之變化。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
z
溫度 20(℃) 總水頭 30(m)
x
時刻(天) = 0~9.99 20℃
時刻(天) =10~500 90℃
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
前述案例以水力傳導係數 0.001( )與土壤熱傳導係數 207360(
day m /
m Kday
J ⋅ )進行探討，本案例亦進一步探討不同參數對於模擬 結果之影響。圖 5.2-41 為不同水力傳導係數對於節點(5, 5)之影響，
其中分別比較水力傳導係數 0.005、0.001 與 0.01( )。節點(5, 5) 位於模擬區塊的正中央(如圖 5.2-40 所示)，因此受到邊界條件之影響 最小，由圖面所示模擬結果僅在前 30 天有些微差異。
day m /
模擬差異不大之原因是因為本案例之水流流動極緩，因此造成 對流項相較於傳導項影響極小，因此該參數對於節點(5, 5)之溫度變 化敏感度極小。
圖 5.2-42 為不同土壤熱傳導係數對於節點(5, 5)之影響，其中分 別比較土壤熱傳導係數 129,600、86,400 與 216,000(
m Kday
J ⋅ )。從圖
面顯示，節點(5, 5)於約 100 天後之溫度開始有所差異，且土壤熱傳 導係數越大者，其溫度抬升亦越快。
由於節點(5, 5)距離左下方之加熱邊界有段距離，因此 100 天前 溫度不變是因為熱能尚未傳導到節點(5, 5)。此外，傳導項為熱傳導 係數與溫度梯度之乘積，因此在相同之溫度梯度下，熱傳導係數越 大，所傳遞之熱能亦越多，是故所提升之溫度亦越高，因此模擬結果 符合熱傳理論。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
z
x
節點 (5,5)
圖 5.2-40 節點(5, 5)示意圖
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
時刻(天)
溫度(攝氏溫度)
水力傳導係數0.005 熱傳導係數129600 水力傳導係數0.001 熱傳導係數129600 水力傳導係數0.01 熱傳導係數129600
圖 5.2-41 節點(5, 5)隨時間溫度變化圖(不同水力傳導係數)
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
時刻(天)
溫度(攝氏溫度)
水力傳導係數0.005 熱傳導係數129600 水力傳導係數0.005 熱傳導係數86400 水力傳導細數0.005 熱傳導係數216000
圖 5.2-42 節點(5, 5)隨時間溫度變化圖(不同熱傳導係數)