應用細胞自動機於垂向二維地下水流與熱流偶合數值模式之建立
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(2) 應用細胞自動機於垂向二維地下水流與熱流偶 合數值模式之建立 Applying Cellular Automata on the development of Vertical 2D Groundwater Flow and Heat Transport Model. 研 究 生：范為善 指導教授：張良正. Student：Wei S. Fan Advisor：Liang C. Chang. 國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of Requirements for the Degree of Master of Science in Civil Engineering September 2008 Hsinchu, Taiwan, Republic of China 中 華 民 國 九 十 七 年 九 月 2.
(3) 細胞自動機應用於垂向二維地熱數值模式之建立 學生：范為善. 指導教授：張良正 博士 國立交通大學土木工程研究所. 摘要 數值模式的建置，可分為四大階段，分別是概念模式階段、數 學模式階段、數值模式階段與數值程式階段。傳統上，在數值模式階 段均是以各式各樣的數值方法進行離散動作，其中包含有限差分法 (FDM)、有限元素法(FEM)等，數值模式是依據模擬區域、邊界條件 等離散成一個矩陣方程式，最後再透過矩陣解法求得各結點之模擬 值。傳統之矩陣解法效率雖高，然而其本質上並不適合平行運算，對 於大量結點之運算，其龐大計算量無法透過日趨便宜的處理器分散處 裡。因此本研究將以細胞自動機理論為基礎進行開發，細胞自動機特 點之一為其網格形狀並不侷限於矩形網格，因此易於針對複雜形狀邊 界之模擬。此外，細胞自動機理論本身即隱含平行特性，因此未來進 一步擴張為平行運算後，對於大量細胞之運算可以大幅降低計算時 間。 本研究的以細胞自動機為基礎，配合徐昇氏網格及守恆定律， 針對水流與熱流偶合問題發展一個水流與熱流偶合數值模式。本研究 透過九個驗證案例證實模式正確性。在水流熱流偶合案例中顯示，透 過偶合模擬，熱流模擬結果會因為水流流動而產生對流效應，因此影 響其溫度分佈；另外，相較於傳統地下水模式之定溫假設，偶合模式 之水流模擬結果會因為溫度變化而產生不同之流動情形。此外，透過 本研究結果發現，應用細胞自動機理論於數值模式之開發，可以採用 一系列分散之方程組，而無須採用整合式的偏微分方程式，因此在全. I.
(4) 新問題之模式開發上可以大幅減少數學推導之繁瑣流程。. II.
(5) Applying Cellular Automata on the development of Vertical 2D Groundwater Flow and Heat Transport Model Student：Wei-Shan Fan. Advisor：Dr. Liang-Cheng Chang. Department of Civil Engineering National Chiao Tung University Abstract Development of a numerical model generally consists of four major steps;. conceptual. model. proposing,. mathematical. formulation. construction, numerical solution derivation and program development. The numerical solution derivation is the focus of this research the derivation usually applies different numerical schemes such as finite different method (FDM) or finite element method (FEM) to discretize the associated governing equations and resulting as matrix equations. A program is then developed to solve the matrix equations solving matrix equations is usually a sequentially based approach and is difficult to be parallelized. Inspired by previous discussion, this research develops a numerical model with groundwater flow and heat transport coupling by applying the concept of Cellular Automata. The relations between cells are defined by using Vonoroi Diagram; instead of solving the conventional partial differential equations that governing the groundwater flow and head transport, this proposed methodology solves a series of fundamental equations. Conservation of water and heat are the fundamental physical laws, several hypothesical cases were simulated to validate the accuracy of the model. In the groundwater flow and heat transport coupling cases, simulation results indeed shows that groundwater flow velocity affected the overall temperature distribution. III.
(6) Comparing the results with that of conventional groundwater flow simulation in a constant temperature condition, the spatial variation of temperature distribution also affects hydraulic head distribution. Beside the simulation validation, the proposed novel simulation model can extend its computational capacity by adding new physical law with minimal code modification.. IV.
(7) 謝誌 很高興終於完成碩士班的學業，感謝吾師張良正教授對於本論 文之指導及研究生涯中對學生工作態度及學問研究之啟發，使學生受 益匪淺。承蒙口試委員 劉振宇教授、陳昶憲教授、李天浩副教授及 李明旭副教授在口試前細心審閱學生的論文，並於口試期間給予保貴 之意見，使得本文更趨於完備，在此謹致衷心謝意。 在交大求學的這段期間，特別感謝學長學們之提攜及照顧，在 此尤其感謝陳宇文學長及蔡瑞彬學長，每當我在程式編程及觀念上遇 到瓶頸時，陳文哥總是能即時幫我解惑，讓我能順利跨過種種障礙， 並對於程式編程及地下水觀念上成長許多，而在本文初步成型的時候 多虧有彬哥在觀念上的指導，讓我能在短時間內融會貫通以往所不熟 悉之數值觀念。另外還要感謝生哥於地下水實務經驗上之分享、貓哥 在計畫上之建議及協助，小朱學長對於論文之專注態度之分享。最後 要感謝的就是水資源團隊研究室裡的各位伙伴們：明穎、維珉、浚瑋、 昀柏、全佑、任馥、君儀、嘉晉、正偉、婉如、怡釧、智為及汶豪等 學長姊們經驗之傳承及學術與計畫上之指導，還有程翔、韋圻、阿爆、 敏威、水餃、瀚聖、思瑋、冠宇、雲直、阜峻因為有你(妳)們的陪伴 讓我在研究所的這段時間度過無數個歡笑日子，當然還有同窗好友柏 成及昱維，想當初要不是有你們在課業及計畫上的幫助，不然我也沒 有辦法這麼無後顧之憂的毅然決然選擇完全接觸過的數值模式開發 這個大方向當作我的論文重點，在此，很感謝大家對我的提攜及照顧。 最後要感謝我的家人及女友，因為有你們的支持，我才能順利 走過這段日子，完成這個碩士學位。我相信因為有這段日子的磨鍊， 讓我在韌性及抗壓性有所提升，對於未來的更能勇於接受種種的挑 戰。 V.
(8) 目錄 中文摘要..................................................................................................... I 英文摘要.................................................................................................. III 謝誌........................................................................................................... V 目錄.......................................................................................................... VI 表目錄................................................................................................... VIII 圖目錄...................................................................................................... IX 一、 緒論 ................................................................................................. 1 1.1 前言 ............................................................................................... 1 1.2 研究目的 ....................................................................................... 2 1.3 文獻回顧 ....................................................................................... 2 1.3.1 地下水模式之演進 ............................................................... 2 1.3.2 水流與熱流偶合模式之演進 ............................................... 4 1.3.3 細胞自動機(Cellular Automata)之應用................................ 5 二、 研究步驟 ........................................................................................ 7 三、 研究理論與方法 .......................................................................... 9 3.1 地下水流問題與熱流問題概念模式說明 ................................... 9 3.1.1 地下水流問題概念模式 ....................................................... 9 3.1.2 熱流問題概念模式 ............................................................. 11 3.2 計算細胞建立 ............................................................................. 12 3.2.1 細胞自動機(Cellular Automata)介紹................................. 13 3.2.2 計算空間架構 ..................................................................... 15 3.2.3 方程式離散化 ..................................................................... 18 3.2.4 內迭代處理方法 ................................................................. 20 3.2.5 資訊同步流程 ..................................................................... 22 VI.
(9) 3.2.6 外迭代處理方法 ................................................................. 23 3.2.7 整體數值模擬流程 ............................................................. 24 四、 垂向二維地下水流與熱流偶合數值模式開發 ................. 26 4.1 地下水流數值模式實做 ........................................................ 26 4.2 熱流數值模式實做 ................................................................ 30 五、 垂向二維水流與熱流偶合數值模式模擬與驗證 .......... 36 5.1 熱流案例驗證與模擬 ............................................................ 36 5.2 水流與熱流偶合案例驗證與模擬 ........................................ 53 六、 結論與建議 ................................................................................. 68 6.1 結論 ............................................................................................. 68 6.2 建議 ............................................................................................. 69 參考文獻.................................................................................................. 70 附錄 A 總水頭計算公式推導................................................................ 76 附錄 B 土壤壓密係數與傳統方法之關聯推導.................................... 79 附錄 C Voronoi Diagram 空間切割法................................................... 82. VII.
(10) 表 目 錄. 表 5.1-1 非偶合案例列表 ...................................................................... 36 表 5.1-2 左右邊界穿越流量比較表(往左為正) ................................... 38 表 5.2-1 偶合水流熱流案例列表 .......................................................... 53. VIII.
(11) 圖 目 錄. 圖 2-1 研究步驟流程圖 ........................................................................... 8 圖 3.2.2-1 空間架構說明示意圖 ........................................................... 17 圖 3.2.2-2 節點與連結關係示意圖 ....................................................... 17 圖 3.2.3-1 模擬網格示意圖 ................................................................... 20 圖 3.2.4-1 模式內迭代流程圖 ............................................................... 22 圖 3.2.5-1 地下水流模式與熱流模式之變數關係圖........................... 23 圖 3.2.6-1 外迭代流程圖 ....................................................................... 24 圖 3.2.7-1 整體數值模擬流程圖 ........................................................... 25 圖 5.1-1 案例 5.1-1 格網與模式配置圖................................................ 38 圖 5.1-2 溫度分佈等值圖 ...................................................................... 39 圖 5.1-3 案例 5.1-2 格網與模式配置圖................................................ 40 圖 5.1-4 溫度分佈等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-2)............................ 41 圖 5.1-5 案例 5.1-3 格網與材質配置圖................................................ 42 圖 5.1-6 溫度分佈等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-3)............................ 43 圖 5.1-7 總熱容量分布等值圖(案例 5.1-3) .......................................... 43 圖 5.1-8 案例 5.1-4 格網與模式配置圖................................................ 45 圖 5.1-9 溫度分佈等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-4)............................ 45 圖 5.1-10 熱容量分布等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-4) ..................... 46 圖 5.1-11 案例 5.1-5 格網與模式配置圖............................................... 47 圖 5.1-12 溫度分佈等值圖 .................................................................... 48 圖 5.1-13 案例 5.1-6 格網與模式配置圖.............................................. 49 圖 5.1-14 溫度分佈等值圖(案例 5.1-5 與案例 5.1-6) ......................... 50 圖 5.1-15 CC' 示意圖.............................................................................. 50 IX.
(12) 圖 5.1-16 CC' 剖面溫度分布圖(案例 5.1-5 與案例 5.1-6) ................... 51 圖 5.1-17 溫度分佈等值圖(案例 5.1-6 與案例 5.1-7 之終端溫度) .... 52 圖 5.1-18 匯流點隨時刻之溫度變化圖 ................................................ 52 圖 5.2-1 案例 5.2-1 格網與模式配置圖................................................ 55 圖 5.2-2 無水流流動情況下之溫度分布等值圖.................................. 55 圖 5.2-3 水力傳導係數 0.001( m / day )溫度分布等值圖....................... 56 圖 5.2-4 水力傳導係數 0.005( m / day )溫度分布等值圖....................... 56 圖 5.2-5 水力傳導係數 0.01( m / day )溫度分布等值圖......................... 56 圖 5.2-6 案例 5.2-2 格網與模式配置圖................................................ 58 圖 5.2-7 時刻 5(天)總水頭等值圖 ........................................................ 59 圖 5.2-8 時刻 50(天)總水頭等值圖 ...................................................... 59 圖 5.2-9 時刻 100(天)總水頭等值圖 ..................................................... 59 圖 5.2-10 時刻 150(天)總水頭等值圖 .................................................. 59 圖 5.2-11 時刻 200(天)總水頭等值圖 ................................................... 59 圖 5.2-12 時刻 250(天)總水頭等值圖 .................................................. 60 圖 5.2-13 時刻 300(天)總水頭等值圖 ................................................... 60 圖 5.2-14 時刻 350(天)總水頭等值圖 .................................................. 60 圖 5.2-15 時刻 400(天)總水頭等值圖 ................................................... 60 圖 5.2-16 時刻 450(天)總水頭等值圖 .................................................. 60 圖 5.2-17 時刻 500(天)總水頭等值圖 .................................................. 60 圖 5.2-18 時刻 5(天)溫度等值圖 .......................................................... 61 圖 5.2-19 時刻 50(天)溫度等值圖 ........................................................ 61 圖 5.2-20 時刻 100(天)溫度等值圖 ...................................................... 61 圖 5.2-21 時刻 150(天)溫度等值圖 ...................................................... 61 圖 5.2-22 時刻 200(天)溫度等值圖 ...................................................... 61. X.
(13) 圖 5.2-23 時刻 250(天)溫度等值圖 ...................................................... 62 圖 5.2-24 時刻 300(天)溫度等值圖 ...................................................... 62 圖 5.2-25 時刻 350(天)溫度等值圖 ...................................................... 62 圖 5.2-26 時刻 400(天)溫度等值圖 ...................................................... 62 圖 5.2-27 時刻 450(天)溫度等值圖 ...................................................... 62 圖 5.2-28 時刻 500(天)溫度等值圖 ....................................................... 62 圖 5.2-29 時刻 5(天)流體密度等值圖 .................................................. 63 圖 5.2-30 時刻 50(天)流體密度等值圖 ................................................ 63 圖 5.2-31 時刻 100(天)流體密度等值圖 .............................................. 63 圖 5.2-32 時刻 150(天)流體密度等值圖 .............................................. 63 圖 5.2-33 時刻 200(天)流體密度等值圖 .............................................. 63 圖 5.2-34 時刻 250(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-35 時刻 300(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-36 時刻 350(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-37 時刻 400(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-38 時刻 450(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-39 時刻 500(天)流體密度等值圖 .............................................. 64 圖 5.2-40 節點(5,5)示意圖 .................................................................... 66 圖 5.2-41 節點(5,5)隨時間溫度變化圖(不同水力傳導係數) ............. 66 圖 5.2-42 節點(5,5)隨時間溫度變化圖(不同熱傳導係數) .................. 67. XI.
(14) 一、緒論 1.1 前言 在數值模擬的領域內，基本的建構流程，均是先確立問題的概 念模式，再建立其對應的數學模式，接著再應用如有限差分、有限元 素或其它數值方法得出該數學模式的離散方程式，最後求解此離散方 程式，得出該問題的數值解。由於數值模式大多是以有限的節點代表 問題的整個解空間，因此許多的空間切割法因而產生，從基本的方形 網格、矩形網格演進至三角格網及其他格網形狀。而求解以節點上的 變數來表示的離散方程式，傳統上常見的方式有兩種，即是矩陣求解 或迭代求解。其中矩陣求解為將各運算節點之方程式組合成為矩陣方 程式，再以矩陣求解法，如高斯消去法進行求解，而矩陣求解因應節 點方程式的編排順序與特性，有各種增進時間效益的求解方法，如帶 狀矩陣求解法等；迭代求解則不將各運算節點之方程式組合成為矩陣 方程式，而每次僅以各節點之方程式更新該節點變數之值，更新時周 圍節點上之變數則採用其當下之值，如此重複更新各節點變數之值直 至達到設定之收斂標準為止，此類迭代求解也有各種的改良方式如以 內插為基礎的連續鬆弛法(Successive Over/Under Relaxation)。 常用於地下水-熱傳模擬問題常用的數值方法有有限差分法 (Finite Difference. Method, FDM)、有限元素法(Finite Element Method,. FEM)、有限體積法(Finite Volume Method, FVM)及邊界元素法 (Boundary Element Method, BEM)等，其中過去最常使用的兩種方法 為有限差分法與有限元素法，有限差分法的優點在於簡單直接且計算 效率高，因此易於實作，目前被普遍應用的 Three-Dimensional Flow, Heat, and Solute Transport Model.(HST3D) (1978) 模式即是應用有限 差分法，以往有限差分法最大的缺點，在於其格網形狀僅可是矩型而 1.
(15) 缺乏彈性，造成許多實際應用上的不便或精度上的降低。相較於有限 差分法，有限元素法的最大優點則在於其網格形狀上的彈性，理論上 可以是任意的多邊形，可適應不規則邊界與需局部加密之情況，惟相 對而言，其理論較複雜且計算效率較低。有限體積法是針對控制方程 式進行空間與時間上之積分，再以此積分形式之控制方程式配合差分 與空間內插方法，建立有限體積法之離散方程式，其優點是所得數值 解必定符合守恆條件，是近年來較為流行的數值方法，惟目前多數以 有限體積法發展的數值模式多仍採用矩形網格，仍有如有限差分模式 般在實際應用上的不便。因此，若能延續有限差分法的簡單及高效 率，克服矩形網格的限制，並整合有限體積法符合守恆條件的精神， 應可發展出更簡單、精確、高效率及高應用彈性的數值模式。. 1.2 研究目的 本研究是應用細胞自動機 (Cellular Automata, CA)理論為基 礎，依據水的質量守恆定律與熱能守恆定律，針對地熱問題發展一個 全新地下水流熱流偶合數值模式。本研究以徐昇氏網格建立控制體 積，透過相關方程式組合進行(質量與能量)守恆運算，因此基本概念 相對簡單，且可解決矩形網格實際建模上的不便，有相當高的推廣應 用價值。. 1.3 文獻回顧 本節將介紹地下水流模式及水流與熱流模式的演進、細胞自動 機(Cellular Automata)的發展以及結合上述三者之研究。. 1.3.1 地下水模式之演進 在地下水相關問題中，已有許多地下水數值模式被建立，美國 2.
(16) 地質測量局(USGS)發展的地下水相關數值模式多是以有限差分法與 有限元素法為主。在有限差分法的發展上，由 Trescott, Pinder, and Larson (1976) 發展出以迭代法為求解方式的二維飽和地下水有限差 分模式，而後 Larson (1978) 針對此數值解法部分建立出四點矩陣直 接求解法以取代先前的迭代求解法減少模擬時間，Manteuffel, Grove, and Konikow (1983) 建立出共軛梯度法，增加了對求解稀疏矩陣的效 率，此處可看出在電腦處理速度並未如現今快速的年代，許多研究均 投入在增進求解效率。Ozbilgin and Dickerman (1984) 則使用了曼寧 公式，將地表水入滲加入了二維地下水有限差分模式的計算，Weeks (1 978) 使用以有限個二維侷限層(Confining Layers)切割含水層的概 念，建立擬三維的有限差分模式。 三維飽和地下水有限差分模式由 Trescott (1975) 發表，發表的 時間早於該作者二維之發表時間，此模式為 1970 至 1980 間的主要模 式之一。而後直到 McDonald and Harbaugh (1988) 發表了模組化的有 限差分模式即 MODFLOW，此模式為最被廣泛應用之地下水模式之 一，並且功能完備，可進行三維之地下水模擬，甚至拘限與非拘限含 水層混合的多層地下含水層系統也可模擬，且除地下水系統本身外， 區域補注、蒸發散、抽水井抽水、區域排水與河床水位變動都可模擬， 其後許多研究均以 MODFLOW 為基礎，如 Kuiper (1987) 於 MODFLOW 三維模式中加入前調式共軛梯度法 (Preconditioned Conjugate Gradient Method, PCG)，加速了 MODFLOW 的求解速度， Leake and Prudic (1991) 則進行因抽水而造成含水層之下陷的研究與 模擬。 在污染傳輸上，Grove and Stollenwerk (1984) 發表了一維污染傳 輸模式，可模擬吸附與不可逆反應等問題，Konikow and Bredehoeft. 3.
(17) (1978)、 Goode and Konikow (1989) 推展出的二維污染傳輸模式，除 吸附外,尚可模擬傳流、延散與離子交換等現象。 有限元素法的發展則由 Dunlap, Lindgren and Carr (1984) 使用葛 勒金法 (Galerkin Method) 為求解方法建立出地下水之二維有限元素 模式，其後 Lewis, Voss and Rubin (1986) 發表了二維污染傳輸有限元 素模式，可解決傳流、延散與吸附等物理現象與離子交換與化學反應 平衡等化學現象。Glover (1988) 建立了模擬河流的動態方程式， Cooley (1992)，Torak (1993)則模擬了暫態滲流的情形。三維的有限元 素模式則是由 Lin, Richards, Yeh, Cheng & Jones (1996) 發展出，其模 式稱為 FEMWATER，可模擬飽和、不飽和土壤內之地下水流、不定 邊界條件、海水入侵以及污染傳輸等問題，為目前最主要的有限元素 模式。. 1.3.2 水流與熱流偶合模式之演進 在水流與熱流偶合相關研究中，已有許多水流熱流偶合數值模 式被建立，目前最被大家所使用之水流與熱流模式為美國地質測量局 (USGS)發展的 HST3D 及 Pruess 所建立之 TOUGH2，這兩種模式所 採用之數值方法均是使用有限差分法，其中 HST3D 是由 Kenneth 等 人於 1987 年所發展，本模式為三維之地下水流、熱能傳輸與溶質傳 輸模式，本模式常被應用於模擬地下污染物傳輸、地下含水層過濾現 象、海水入侵現象、淡水補注與地下水復育問題、地下放射性污染物 質傳輸、地下熱傳導系統與地下能量貯存分佈問題等。 而 TOUGH2 是由 Pruess 博士等人於 1999 年所開發，TOUGH2 為因應分析多相流與多成分的流體，而採取模組化之程式結構，而各 模組之組成即為各種物理分析情況下所需之方程式集合，透過積分有. 4.
(18) 限差分法來進行離散化動作，最後再透過牛頓-拉福森(Newtion-Ralph son)疊代法來進行求解。TOUGH2 主要是模擬多孔介質或裂隙介質內 之多相流、多成分及非等溫的水流及溶質傳輸，其應用範圍相當廣 泛，舉凡地熱工程、核廢料處置及未飽和層水流模擬。而 Falta，1995 則成功將 TOUGH2 應用在地下流中之有機揮發性污染污染傳輸方面 之研究。 此外，Grubaugh等人(1980)利用有限元素法建立二維水流與熱流 傳輸有限元素模式，可用來模擬水體受熱後注入地下水含水層後，對 於保存太陽能之效應。FEFLOW(Finite Element subsurface FLOW system)為目前最被廣泛應用之水流與熱流偶合模式，是由 WASY(Institute for Water Resources Planning and Systems Research)於 1979所開發，其為三維之有限元素模式，應用範圍包含海水入侵模 擬、礦坑地區之地下水位抬升及洩降現象等。Feng(2007)則利用 FEFLOW結合GIS，用來模擬農業抽取地下水及天然補注對於地下水 位之影響。. 1.3.3 細胞自動機(Cellular Automata) 細胞自動機 (Cellular Automata, CA)自產生以來已被廣泛的應 用，應用領域涉及社會學、生物學、生態學、資訊科學、電腦科學、 數學、化學、地理、環境、軍事學等。如宋鴻均(2005)，將細胞自動 機應用在海洋油污擴散問題中。Parson 等人(2007)則將細胞自動機理 論應用於地表淹水模式開發。Mendicino 與 Folino 等人則在 2006 年 應用細胞自動機發展三維未飽和層地下水流模式。 由於細胞自動機在定義細胞與相鄰細胞之規則上，不像傳統數 值方法，其控制方程式無須限定於整合型式之偏微分方程式，可以使. 5.
(19) 用分散型式之方程式組合，因此相較於傳統數值方法可以省略繁瑣複 雜之數學推導過程，因此細胞自動機對於全新問題而言具有高度可擴 充性。本研究將以細胞自動機理論，配合 Voronoi Diagram 作為空間 切割法則，建立垂向二維之水流熱流偶合數值模式。. 6.
(20) 第二章、研究步驟 本研究之研究步驟如圖 2-1 所示，首先以細胞自動機(Cellular Automata)理論，分別開發地下水水流數值模式及熱流數值模式，其 次再串接兩者形成地下水流與熱流互動之地下水流與熱流偶合模 式。其中將會分別針對非偶合之熱流問題進行與同時考量地下水流與 熱流互動之偶合兩種問題進行模擬驗證，以藉由不同的問題來驗證模 式正確性。 一、 開發階段： 在模式開發階段，首先分別針對「地下水流問題」與「熱流問題」 進行模式開發，其中模式開發過程可以再細分為「概念模式建立」與 「計算細胞建立」兩個步驟。在「概念模式建立」步驟中，地下水流 問題概念模式是基於水的質量守恆，並搭配達西公式描述穿越控制體 積邊界的質量穿越量；而熱流問題概念模式則是基於熱的能量守恆， 其中穿越控制體積邊界的能量穿越量之描述與水流問題不同，熱之傳 輸必須因應其機制之不同，而分成傳導項與對流項兩種。在「計算細 胞建立」步驟中，本研究以徐昇氏網格作為空間切割方法，各個徐昇 氏網格均可視為一個計算細胞，計算細胞間以特定規則定義彼此之互 動關係，本研究所發展之細胞模式的互動規則即為前述概念模式相關 公式之離散化。以地下水流問題為例，互動規則即為水之質量守恆方 程式、達西公式與其他相關之方程式。 其次，串接兩個獨立完成之數值模式，藉由資訊同步模組的建 立，使得兩模式將會互相影響，進一步建立偶合之地下水流與熱流數 值模式，其中，在地下水流數值模式部分，則是引用 易正偉(2008) 所開發之垂向二維地下水流數值模式。 二、 驗證階段： 7.
(21) 在驗證階段可以區分為兩個方面，分別為「熱流問題模擬驗證」 與「地下水流與熱流偶合問題模擬驗證」兩個部分。當完成熱流模式 開發後，透過「熱流問題模擬驗證」，處理不同類型之純粹熱流問題， 透過熱能之能量守恆等檢討，進一步證明模式結果之正確性。其次， 「地下水流與熱流偶合問題模擬驗證」則同時模擬地下水流與熱流兩 模式互動之問題，用以顯示兩問題間之交互影響關係。. 圖 2-1 研究步驟流程圖. 8.
(22) 三、研究理論與方法 本研究運用「細胞自動機(Cellular Automata)」理論為基礎， 分別建立地下水流數值模式與熱流數值模式，首先 3.1 節將針對地下 水流問題與熱流問題之概念模式進行說明，其次 3.2 節再針對細胞自 動機進行說明介紹。. 3.1 地下水流問題與熱流問題概念模式說明 由於本研究之研究範疇可以區分地下水流問題與熱流問題兩個 部分，以下將先針對地下水流問題概念模式進行說明，其次再針對熱 流問題概念模式進行說明。 3.1.1 地下水流問題概念模式 在地下水流的問題中，控制方程式是基於水的質量守恆概念所 建立。水的質量守恆方程式(即連續方程式)可寫為式 3.1.1-1a 與 3.1.1-1b，分別為穩態狀況下與暫態狀況下，如下所示： Numi. ∑α M& j∈. ij. + qM ,i = 0 .................................................................... (3.1.1-1a). ∂M it Numi & = ∑ M ij + qM ,i ................................................................ (3.1.1-1b) ∂t j∈α. 其中 M it 代表節點 i 於時刻 t 之控制體積內的蓄水質量， Numi 代 表節點 i 之相鄰節點數量， M& ij 則代表節點 i 與節點 j 之間之質量穿越 量， qM ,i 則代表節點 i 所屬控制區塊內的水流源流項(或沈流項)。後續 將進一步定義質量穿越量與蓄水質量之計算。. (. r r ⎧M& = ρ V ij f darcy Area ⎪ ⎨r ∂h r ⎪Vdarcy ,ij = − K r sij ∂s ⎩. ). ij. .............................................................. (3.1.1-2). 9.
(23) ρf. (B + A p + A p ) ............................................................ = 2. 1 0. 2. V −V 0 p. (3.1.1-3). h = p + z ............................................................................... (3.1.1-4a) z h = p + ⎛⎜ ∫ γdz ⎞⎟ γ 0 ............................................................... (3.1.1-4b) ⎝ z0 ⎠. 式 3.1.1-2 用以定義式 3.1.1-1 中之質量穿越量，亦即等號右方之 r. 第一項，質量穿越量為水流密度( ρ f )、控制表面面積( Area )與達西流 r. 速( Vdarcy )的乘積，達西流速又為水力梯度與水力傳導係數之乘積。另 外，式 3.1.1-3 為水流密度之轉換方程式，其為壓力水頭( p )與溫度之 函數，其中 V 0 、 A1 、 A2 與 B 均為溫度之函數，其為 Rana A. Fine(1973) 提出之轉換公式。式 3.1.1-4a 為定密度條件下之位置水頭( z )、壓力水 頭( p )與總水頭( h )三者之關係式，式中指出總水頭為壓力水頭與位置 水頭之和；式 3.1.1-4b 為變密度條件下之計算方程式，細部推導內容 將於附錄 A 進一步說明。 M it = ( ρ f nSd )ti Voli .................................................................... (3.1.1-5) ⎡ α' ⎤ n = n0 ⎢1 + ( p − p0 )⎥ .............................................................. (3.1.1-6) ⎣ n0 ⎦. 式 3.1.1-5 為描述控制體積內的蓄水質量，其為水流密度、飽和 度、孔隙率與控制體積大小之乘積。其中水流密度隨壓力之變化，可 以透過式 3.1.1-3 計算。在飽和度部分，若所探討之問題為未飽和層 之地下水流議題，其數值將隨壓力水頭(稱負壓或張力)變化而改變， 因此需要透過土壤之特性曲線加以定義；若所探討之問題為飽和層之 地下水流議題，由於飽和與未飽和之差異在於水流是否完全充滿整個 孔隙，因此飽和度不隨壓力而改變。由於本研究在此僅以飽和問題進 行探討，因此設定為 1。 10.
(24) 另外根據地下水理論，拘限含水層之水量進出與壓力變化關 係，係受到水的壓縮性與土的壓縮性所造成，亦即土壤孔隙率會隨壓 力變化，式 3.1.1-6 為土壤孔隙率隨壓力變化方程式，其中 α ' 為土壤 之壓密係數，其隨土壤種類不同而改變，關於土體壓縮性之推導內容 將於附錄 B 進一步說明。. 3.1.2 熱流問題概念模式 在熱流的問題中，其控制方程式是基於熱量守恆概念所建立。 熱量守恆方程式(即連續方程式)可寫為式 3.1.2-1a 與 3.1.2-1b，分別為 穩態模擬與暫態模擬，如下所示：. ∑α (H&. Numi j∈. cond ,ij. ∂H it = ∂t. + H& conv,ij ) + q H ,i = 0 ................................................. (3.1.2-1a). ∑α (H&. Numi j∈. cond ,ij. + H& conv ,ij ) + q H ,i ............................................. (3.1.2-1b). 其中 H it 代表節點 i 所代表之控制體積內的熱容量， Numi 代表節 點 i 之相鄰節點數量， H& cond ,ij 則代表節點 i 與節點 j 間傳導項之熱量穿 越量， H& conv,ij 則代表節點 i 與節點 j 間對流項之熱量穿越量， qH ,i 則代 表節點 i 所屬控制區塊內的源流項(或匯流項)。後續將進一步定義熱 量穿越量與熱容量之計算。 ∂T r r H& cond ,ij = - K H ,eq r sij ⋅ Area ij .................................................... (3.1.2-2) ∂s. H& conv,ij = M& ij s H , f T .................................................................... (3.1.2-3). 式 3.1.2-2 及 3.1.2-3 用以定義式 3.1.2-1 之熱量穿越量，分別為 式 3.1.2-1b 等號右方之第一項（熱傳導項）及第二項（熱對流項）。 式 3.1.2-2 定義傳導項之熱穿越量應為有效熱傳導係數、溫度梯度與 控制表面面積的乘積，即為傅立葉公式(Fourier’s Law)，其中 K H , eq 為 11.
(25) 有效熱傳導係數(thermal conductivity)，其為土體與水流熱傳導係數之 r. 組合， T 代表溫度， Areaij 代表控制表面面積。式 3.1.2-3 定義對流項 之熱穿越量應為水流之質量穿越量( M& ij )、水流比熱( sH , f )與溫度的乘 積，表示對流項是因為水流流動而帶動熱能的移動，因此水流之質量 穿越量( M& ij )在純粹熱流問題的模擬時，應由外部給定；在綜合水流與 熱流之水流熱流偶合問題時，則應藉由地下水流模式模擬計算得知。 K H , eq = nK H , f + (1 − n) K H , s. {. H it = s H , f (nρ f. ). t i. ..................................................... (3.1.2-4). }. + s H , s [(1 − n )ρ s ]i i ⋅ Vol i ⋅ Ti t ............................... (3.1.2-5) t. 式 3.1.2-4 為有效熱傳導係數之計算，其中 K H , f 代表水流之熱傳 導係數，而 K H , s 為多孔介質(在此即為土壤)之熱傳導係數， n 為孔隙 率。式 3.1.2-5 用以定義控制體積內的總熱含量( H it )，其中 ρ s 為土壤 密度， s H , s 為土壤比熱，Voli 為控制體積之大小， T 為控制體積內之溫 度，其單位為絕對溫度。 uhit = s H , f ,i × Ti t ........................................................................ (3.1.2-6). 式 3.1.2-6 代表流體之單位熱容量與溫度間的關係，單位熱容量 代表單位質量之流體在該溫度下所蘊藏之熱容量，因此其關係為比熱 乘上當時的溫度。. 3.2 計算細胞建立 本研究利用細胞自動機(Cellular Automata)理論，分別針對水流 問題與熱流問題建立計算細胞，首先將針對細胞自動機的理論進行介 紹，其次介紹細胞自動機之實際解法與離散方式等。. 12.
(26) 3.2.1 細胞自動機(Cellular Automata)介紹 細胞自動機(Cellular Automata，簡稱 CA)最初由數學家 Stanislaw M.Ulam 與 John Von Neumann 於 50 年代所提出，細胞自動機是由離 散且有限狀態之細胞組合，其中組成細胞會按照局部規則，在離散的 時間維度上進行細胞之轉變行為。細胞自動機中基本元件為細胞，每 個細胞之狀態則透過規則選擇出來，例如：生或死。細胞狀態均可由 上一個時刻之本身狀態與周遭細胞所決定，因此其轉變可視為僅對局 部規則進行更新。細胞自動機利用空間鄰近關係與局部規則，可模擬 空間中的演化過程。 在利用細胞自動機模擬研究之前須定義四個重要物件，方可進 行模擬，此四個物件依序如下： 1. 細胞(cells)：定義細胞所在位置與空間中之相鄰關係。 2. 狀態(states)：定義系統中各細胞可選擇之狀態，其中單一細胞在 一個時刻中只選定一個狀態 3. 鄰近細胞(neighborhoods)：一個細胞狀態之轉變係由其周圍鄰近細 胞狀態所決定。 4. 規則(rules)：需定義細胞狀態之轉變規則。. 細胞自動機具有以下之特性： 1. 同質性、齊性： 同質性反映在細胞空間內的每個細胞的變化都服從相同的規 律，即細胞自動機的規則，或可稱細胞自動機的轉換函數。而齊性指 的是細胞的分布方式相同、大小、形狀相同，空間分布規則整齊。 2. 空間離散： 細胞分布在按照一定規則劃分的離散細胞空間上。. 13.
(27) 3. 時間離散： 系統的演化是按照等間隔時間分布進行的，時間變數 t 只能取等 步長的時刻點，例如整數形式的 t，t+1，t+2…。而且時刻 t 的狀態及 細胞自動機定義的轉換函數(規則)只對其下一時刻，即 t+1 時刻產生 影響，同理，t+2 時刻的狀態及轉換函數(規則)取決於 t+1 時刻的狀 態。若將細胞自動機之時間變數 t 與微分方程中的變數 t 做比較，細 胞自動機的時間變數 t 為離散的變數，而微分方程中的 t 通常是個連 續值變數。 4. 狀態離散有限： 細胞自動機的狀態只能取有限(k)個離散值(s1,s2,...,sk)。相對於 連續狀態的動力系統，它不需要經過處理就能轉化為離散值之集合。 而在實際應用中，往往需要將有些連續變數進行離散化，如分類，分 級，以便於建立細胞自動機模型。 5. 同步計算： 各個細胞在時刻 t+1 的狀態變化是獨立的行為，變化與變化之 間並沒有任何相互影響。若將細胞自動機的變化看成是對資料或資訊 的計算或處理，則細胞自動機的處理是同步進行的，特別適合於平行 計算。 6. 時空局部性： 每一個細胞的下一時刻 t+1 的狀態，取決於其周圍半徑為 r 的 鄰域(或者其他形式鄰居規則定義下的鄰域)中的細胞的當前時刻 t 的 狀態，即所謂時間、空間的局部性。從資訊傳輸的角度來看，細胞自 動機中資訊的傳遞速度是有限的。 7. 維度高： 在動力系統中一般將變數的個數視為維數。例如，將區間映射. 14.
(28) 所形成的動力系統稱為一維動力系統，將平面映射所形成的動力系統 稱為二維動力系統，對於偏微分方程描述的動力系統則稱為無窮維度 動力系統。從這個角度來看，任何完備細胞自動機的細胞空間，是定 義在一維、二維或多維空間上的無限集合，每個細胞的狀態便是這個 動力學系統的變數。因此，細胞自動機是一類無窮維度動力系統。在 具體應用中或電腦模擬時，系統當然不可能處理無限個變數，但細胞 自動機還是變數量很龐大的細胞所組成的系統。因此可以說維數高是 細胞自動機研究中的一個特點。 由於細胞自動機原本並非針對數值模擬所提出之概念，因此將 細胞自動機之理論應用於數值模擬研究中，仍應進一步定義其實際作 法。 在本研究中，吾人以細胞自動機(Cellular Automata)的概念進行 水流熱流偶合數值模式之開發，在細胞自動機(Cellular Automata)中 「規則」之定義，即定義所有細胞之狀態轉換規則，在本研究中，此 規則即以前述之質量守恆及能量守恆為基礎所定義出來之方程組，此 部分在上一小節 3.1 節已介紹，而細胞自動機 Cellular Automata 中所 定義之「細胞」，在本研究中，則是應用 Voronoi Diagram 空間切割 所得之網格，Voronoi Diagram 定義了整個模擬系統之節點位置資訊 及節點與節點之相關資訊，而 Voronoi Diagram 將在稍後章節附錄 C 進行介紹。. 3.2.2 計算空間架構 本研究在計算上，空間架構可分為節點、連結與控制體積三個 部分，如圖 3.2.2-1 所示，黑點即代表節點，意即數值模擬上的計算 點；涵蓋節點的多邊形稱為控制體積亦即為細胞本身(Cell)，為該計. 15.
(29) 算點的代表範圍；兩節點之連線稱為連結，連結之存在代表該兩節點 互為相鄰關係，每個連結必穿越一個控制表面。 由於本計算模組是將模擬區域配置有限個數的細胞及計算節 點，如同其他數值方法一樣，例如：有限差分法將空間切割成有限個 網格區塊。因此，僅在計算節點上擁有空間之場變數，因此若需要非 節點位置之場變數數值，則需要搭配空間推估方法進一步推估。 前述已經列出所需之方程式，其中部分方程式僅探究節點本身 之變化，例如：控制體積內蓄水質量變化相關方程式，此類方程式稱 為節點類型之方程式。其他方程式則與控制表面有關，例如：達西公 式即是用以描述穿越控制表面流速之相關方程式，其亦作用於連結 上，在此稱為連結類型之方程式。 圖 3.2.2-2 為節點與連結關係示意圖，兩相鄰節點可以形成一連 結，其與控制區塊的邊界交點，由於 Voronoi Diagram 的特性，連結 必定與邊界垂直，且交點必定位於連結中點。 連結類型方程式可能需要連結中點之參數資訊，以達西公式為 例，若欲計算穿越控制表面之流速，其為連結中點位置(即控制表面 上)之水力梯度與水力傳導係數的乘積，水力梯度透過中央差分方式 可以藉由兩端節點數值來計算，而水力傳導係數則需要進一步透過空 間推估方法來估算，以水力傳導係數為例，其數值可以藉由兩節點水 力傳導係數之調和平均進行推估。. 16.
(30) 圖 3.2.2-1 空間架構說明示意圖. 圖 3.2.2-2 節點與連結關係示意圖. 17.
(31) 3.2.3 方程式離散化 圖 3.2.3-1 為網格示意圖，C、E、W、N 與 S 代表計算節點，因 此符號 CE 代表 C 與 E 兩點之連結中點，以下將以此網格示意圖來進 行描述。就地下水水流模式而言，在 3.1.1 節中提及之方程式是以連 續方程式為起始(式 3.1.1-1a 與 3.1.1-1b)。在暫態模擬上，對該式進行 時間上之積分，使得等號左式代表在某段時間之蓄水改變量，等號左 式代表某段時間之穿越總量(如式 3.2.3-1 所示)。若進一步將積分方程 式進行離散化，可將式 3.2.3-1 改寫為式 3.2.3-2，等號右方可以拆成 時刻 τ 與時刻 τ + ∆τ 兩項，其中透過係數 α ，來切換兩者之比重。若 α 等於 1，則代表完全受到時刻 τ 之控制，為傳統數值方法中之顯示法 (explicit method)；若 α 等於 0，則代表完全受到時刻 τ + ∆τ 之控制，亦 為傳統之完全隱示法(fully implicit method)。 τ + ∆τ. ∫τ. Numi τ + ∆τ ⎛ ⎞ ∂M& Ct ⎜ ∑ M& Cj / C + qM ,C ⎟dt ...................................... (3.2.3-1) dt = ∫ ⎜ ⎟ τ ∂t ⎝ j∈α ⎠. M& Cτ + ∆τ − M& Cτ = τ τ + ∆τ Numi ⎧⎪ ⎛ Numi ⎫⎪ ..... (3.2.3-2) ⎞ ⎞ ⎛ & & ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ( ) α M q 1 α M q + − + + ⎨ ⎜ ∑ Cj / C ⎬∆τ M ,C ⎟ M ,C ⎟ ⎜ ∑ Cj / C ∈ α ∈ α j j ⎪⎩ ⎝ ⎪⎭ ⎠ ⎠ ⎝. 研究中所採用之方程組可以依據微分與否，作為是否需要進行 離散動作之判斷，若無包含微分運算子，方程式本身無須另行離散。 以地下水流方程組中之達西公式來看，其離散形式之方程式可以改寫 為式 3.2.3-3，水力梯度的微分項部分可藉由中央差分進行離散，意即 其數值以節點 C 與節點 E 之總水頭差值除上兩點距離，其含意代表 連結中點。水力傳導係數部分則必須透過空間推估方法進一步推估， 最簡單的推估方式包含算數平均(式 3.2.3-4a)、幾何平均(式 3.2.3-4b) 與調和平均(3.2.3-4c)等，因此上述三式之變數(x)若於達西公式中，即 18.
(32) 代表水力傳導係數(K)。此外，傳統上兩串連之非均質區塊，其等效 水力傳導係數多建議以調和平均進行計算。另外，若於熱流問題中之 對流項估算公式，其中變數單位熱容量之推估，應以上風法作為連結 中點數值之基礎，意即透過水流方向之判斷，取其上風方位數值作為 連結中點數值。 ⎧M& CE / C = ρ f ,CEVDarcy ,CE AreaCE N CE / C ⎪ ............................................ (3.2.3-3) ⎨ hC − hE ⎪Vdaycy ,CE = − K CE L CE ⎩. xCE =. xC + x E ........................................................................ (3.2.3-4a) 2. xCE = xC x E ......................................................................... (3.2.3-4b) xCE =. 2 ................................................................... (3.2.3-4c) 1 xC + 1 x E. 控制表面 CE 之穿越流量則為水流密度( ρ f ,CE )、達西流速 ( Vdarcy ,CE )、穿越面積( Area CE )與方向係數( N CE / C )的乘積。上述達西流速 的定義，其流向是以節點 E 往節點 C 時為正，其中 N CE / C 代表方向係 數的乘積，其用意用以將穿越量數值改為流入控制體積 C 為正，其 數值為 1 或-1，在此方向係數為-1。反之，若欲計算控制體積 E 之穿 越量，其方向係數( N CE / E )，其數值為 1，其穿越量恰與控制體積 C 之 穿越量數值正負相反。 就熱流模式而言，其連續方程式之離散方程式可以改寫為式 3.2.3-5 與 3.2.3-6，分別代表穩態與暫態之離散形式之連續方程式。 τ + ∆τ. ∫τ. Numi τ + ∆τ ⎛ ⎞ ∂H Ct ⎜ dt = ∫ ⎜ ∑ (H& cond,Cj / C + H& conv,Cj / C ) + qH ,C ⎟⎟dt ... (3.2.3-5) τ ∂t ⎝ j∈α ⎠. 19.
(33) H Cτ + ∆τ − H Cτ = τ τ + ∆τ ⎧⎪ ⎛ Numi ⎫⎪ ⎞ ⎞ ⎛ Numi & & & & ⎨α ⎜⎜ ∑ (H cond ,Cj / C + H conv ,Cj / C ) + q H ,C ⎟⎟ + (1 − α )⎜⎜ ∑ (H cond ,Cj / C + H conv ,Cj / C ) + q H ,C ⎟⎟ ⎬∆τ ⎪⎩ ⎝ j∈α ⎪⎭ ⎠ ⎠ ⎝ j∈α. .............................................................................................. (3.2.3-6) 傳導項之離散公式則為式 3.2.3-7，其熱能傳遞方向之處理則與 達西公式雷同。對流項之離散公式則為式 3.2.3-8，其為水流穿越質量 ( M& CE )、水流比熱( s H , f ,CE )與溫度( TCE )的乘積，其中水流穿越質量則需 透過水流模式進行計算。 T − TE ⋅ AreaCE ⋅ N CE / C ................................. (3.2.3-7) H& cond ,CE = K H ,eq ,CE ⋅ C LCE. H& conv, CE = M& CE s H , f ,CE TCE ........................................................... (3.2.3-8). 圖 3.2.3-1 模擬網格示意圖 3.2.4 內迭代處理方法 本研究在此採用節點運算概念，亦即各運算節點均可獨立運 算，以地下水水流模式而言，其運算變數為壓力水頭( P )；對熱流模 式而言，其運算變數為單位熱容量( uh )。每次內迭代運算，均是針對 單一節點進行運算，運算中則假設周遭節點代表之數值為正確值，而 本身之變數數值則透過最陡坡降法等微分形式之最佳化方法進行求. 20.
(34) 解。 圖 3.2.4-1 為內迭代執行流程圖，圖中之變數( V )若於地下水流問 題中，其代表壓力水頭；若於熱流問題中，其代表單位熱容量。首先， 給予變數初始解作為微分形式解法之第一步驟，以初始解作為初始搜 尋點。其次代入方程式集合中，最後透過各自之守恆方程式，意即水 流問題之質量守恆方程式與熱流問題之能量守恆方程式，可以算出變 數數值對應之守恆誤差。接著再透過差分方式，進一步計算該守恆誤 差之一階微分值。最後，判斷是否已經滿足收斂標準，若尚未收斂則 依據微分值修改變數數值，反覆執行此一動作，直至完全滿足內迭代 收斂標準為止。 在收斂條件方面，其收斂條件共有三種，滿足其一即停止內迭 代演算。首先是迭代次數之最大限制量，其次是守恆誤差之一階微分 值趨近於零，最後則是守恆誤差本身小於設定之內迭代收斂標準。. 21.
(35) 內迭代起點. 取得節點[i]之初始搜尋值 V (n) , n. 計算守衡誤差. ε '=. ∂ε ∂V ( n ). 差分，計算守衡誤差微分值. ε '=. ∂ε ∂V ( n ). V ( n +1) = V ( n ) + α. 是否符合收斂標準. ε' V (n). , n = n +1. 內迭代收歛. 圖 3.2.4-1 模式內迭代流程圖 3.2.5 資訊同步流程 在資訊同步流程部分，於前述之概念模式建立中，水流熱流偶 合模式是由地下水流模式及熱流模式所組成，從概念模式中即可瞭 解，兩模式彼此交互影響。其中水流模式可以計算水流之質量穿越 量，其數值則與熱流模式中之對流項估算影響極大；而熱流模式所計. 22.
(36) 算之溫度變化，則會影響水流之膨脹與壓縮。圖 3.2.5-1 為兩模式之 變數關係圖，當每次完成內迭代過程後均會將互相同步彼此所計算之 數值。. 圖 3.2.5-1 地下水流模式與熱流模式之變數關係圖. 3.2.6 外迭代處理方法 內迭代流程是透過最佳化方法求得各節點數值，其概念是假設 周遭節點之數值為正確，然而實際上僅有緊鄰邊界之計算節點，其周 遭邊界因為透過邊界條件之設定（Dirichlet B.C.），其數值方為正確。 意即內迭代過程僅訂定了單一節點與相鄰節點之關係方程式，如何求 得一組解，可以同時滿足聯立的關係方程組，在傳統上多採用矩陣解 法，來求得各節點對應之數值。因此，本研究採取外迭代流程求得各 計算節點之數值，其外迭代流程如圖 3.2.6-1 所示，反覆執行各節點 之資訊同步流程及內迭代流程，每次外迭代流程均可將整體數值往真 解逼近，當節點數值每次之迭代改變量漸漸趨緩，即表示已經趨近真 解。因此若其改變量小於外迭代收斂標準，則認定外迭代流程已經收 23.
(37) 斂。 外迭代起始. 同步取得資訊 [i]. 水流節點[i] 內迭代. 同步取得資訊 [ii]. 熱流節點[i] 內迭代. 水流節點[ii] 內迭代. 否. 熱流節點[ii] 內迭代. 同步取得資訊 [n]. 水流節點[n] 內迭代. 熱流節點[n] 內迭代. 檢查最大結點數值改變幅度 小於外迭代收歛標準. 是. 外迭代收歛. 圖 3.2.6-1 外迭代流程圖. 3.2.7 整體數值模擬流程 整體數值模擬流程如下圖 3.2.7-1，首先依據模式設定檔，讀入 空間切割相關資訊、水文地質參數、邊界條件與方程式集合等資訊， 接著則依據模擬之模擬型態、起始時刻、結束時刻與模擬間距，開始 進行模擬，流程中則當外迭代流程收斂後，則進行是否進行下一時刻 之模擬，若否則完成模擬。若穩態形式之模擬，則僅執行外迭代流程 一次；若非穩態形式之模擬，則依據起始時刻、結束時刻與模擬間距 等資訊進行判斷。. 24.
(38) 圖 3.2.7-1 整體數值模擬流程圖. 25.
(39) 四、垂向二維地下水流與熱流偶合數值模式開發 本章節將利用前述之說明建立垂向二維地下水流與熱流偶合數 值模式，前述章節已經描述控制方程式之離散方式，本章節將進一步 說明依據前述離散方程式，所實做之方程式集合。最後再說明模式呼 叫之函式順序。前述章節曾提及本空間數值架構分成節點、連結與控 制體積三個部分，在方程式中亦可分類為節點類型之方程式與連結類 型之方程式兩種。本節將詳細描述因應需要所實做之各類方程式，並 說明各方程式所屬之類別與特性：. 4.1 地下水流數值模式實做 1. Func_Porosity_Affeected_by_Pressure (斜體字代表方程式實做函式 名稱) 式 4.1-1 用以定義壓力水頭與實際孔隙率關係，本函式用以呈現 土體之壓縮性。未飽和問題中，其數值固定不變；飽和問題中，其數 值隨壓力增加而線性增加。本函式為節點類型之方程式。其中 n 為孔 隙率、 n0 為未受壓之孔隙率、 α ' 為土壤壓縮係數、 p 則為壓力水頭。 ⎧ ⎡ α' ⎤ ⎪n = n0 ⎢1 + ( p − p 0 )⎥ ⎨ ⎣ n0 ⎦ ⎪n = n 0 ⎩. for. p>0. for. p≤0. ........................................ (4.1-1). 2. Func_Character_PS 式 4.1-2 與式 4.1-3 是以 van Genuchten(1980)所提出之壓力水頭 與含水量的特性曲線關係式為基礎，修改為可同時應用於飽和與未飽 和之地下水流問題。未飽和問題中，透過壓力水頭與土壤參數計算對 應之土壤飽和度；飽和問題中，其數值等於土體孔隙率。本函式為節 點類型之方程式。 26.
(40) θ = θ r + θ e (n − θ r ) ....................................................................... (4.1-2). [. ⎧⎪θ = 1 + (αp )β ⎨ e ⎪⎩θ e = 1. ]. −γ. for p < 0 for p ≥ 0. .................................................... (4.1-3). 其中 θ 為含水量、 θ r 為殘餘含水量、 θ e 為有效含水量、 n 為孔隙 率、 p 為壓力水頭、 α 、 β 、 γ 則為土壤係數。. 3. Func_Calc_Water_Density 式 4.1-4 為引用 Rana A.與 Frank J. Millero 在 1973 年經實驗迴歸 後，提出一條受壓力與溫度變化影響之水流密度關係式，依據此關係 式本模式可因應水體所受壓力水頭與當時溫度，計算對應之水密度。 本函式為節點類型之方程式。其中 V 0 、 A1 、 A2 、 B 均為溫度之函數， p 為壓力水頭。. ρf =. (V ). 0 2. (. V0p. p − B + A1 p + A2 p 2. ). ................................................... (4.1-4). 4. Func_Set_Temperature_Const 本函式用以設定地下水流溫度，本函式適用於地下水流問題非 偶合運算。對於偶合運算時，則不使用本函式，其數值則透過熱流模 式運算，並透過資訊同步過程取得。本函式為節點形式之方程式。. 5. Func_Calc_TotalHead_DensityDependent 本函式用於計算總水頭，本方程式可應用於變密度條件下，其 位置水頭估算會隨密度變化而變，藉由密度變化之垂直積分計算節點 之位置水頭，再與壓力水頭之和即為總水頭。此積分式之推導如附錄 B 所示。本函式為節點類型之方程式。其中 h 為總水頭、 z 為位置水 頭、 p 為壓力水頭、 γ 0 則為基準之流體比重。. 27.
(41) h= p+. ∫. z. z0. γdz. γ0. ............................................................................. (4.1-5). 6. Func_Calc_TotalHead_DensityIndependentl 本函式用於計算總水頭，本方程式僅可應用於定密度條件下， 其位置水頭之估算可直接以位置高程訂定之，再與壓力水頭之總和即 為總水頭。本函式為節點類型之方程式。其中 h 為總水頭、 z 為位置 水頭、 p 為壓力水頭。 h = z + p .................................................................................... (4.1-6). 7. Func_WaterCapacity 式 4.1-7 則用以將土壤含水量轉換為控制體積內的蓄水質量。本 函式為節點類型之方程式。本函式為節點類型之方程式。其中 M& 為控 制體積內之蓄水質量、 ρ f 為流體密度、 θ 為含水量、 Vol 則為控制體 積。 M& = ( ρ f θ )Vol ............................................................................ (4.1-7). 8. Func_InterporlateDensity_UpWind 本函式透過連結之兩端點水流密度值，以上風法之概念推估連 結中央之水流密度，其數值可代表控制表面上的水流密度。本函式為 連結類型之方程式。. 9. Func_InterporlateK 本函式透過連結之兩端點實際水力傳導係數，以調和平均推估 連結中央之實際水力傳導係數，其數值可代表控制表面上的水力傳導 係數。本函式為連結類型之方程式。. 28.
(42) 10. Func_DarcyLaw_Flux 式 4.1-9 首先透過達西公式，以水力梯度與實際水力傳導係數乘 積計算斷面穿越流速，其次再乘上控制表面面積與水流密度，轉換為 斷面之穿越水質量。本函式為連結類型之方程式。 r r ⎧M& = ρ f Vdarcy Area ⎪ ⎨ h1 − h2 .................................................................. (4.1-9) ⎪V darcy = − K ∆x ⎩. 其中 M& 為穿越控制斷面流體質量、 ρ f 為流體密度、 V darcy 為達西 流速、 K 為水力傳導係數、 h1 及 h2 為連結兩端節點之總水頭、 γ 則為 r. 土壤係數、 Area 為控制斷面面積、 ∆x 為兩節點之距離。. 11. Func_Continuity_Universal 本函式為地下水模式中之守恆方程式，依據模擬問題可分為穩 態與暫態兩種模擬方式，其中暫態模擬又可依據顯示法(explicit method)、完全隱示法(fully implicit method)與混合隱示法 (Crank-Nicholson method)，建立不同時間項之處理方式。 在穩態模擬上，連續方程式如式 4.1-10 所示，總穿越量與源項 之總和應為零，意即進出平衡。 Numi. ∑α M& j∈. Cj / C. + q M ,C = 0 .................................................................. (4.1-10). 在暫態模擬上，連續方程式如式 4.1-11 所示，前述顯示法、完 全隱示法與混合隱示法之差異僅在係數 α 的選定上，若係數 α 設定為 1.0，表示所使用之數值處理方法為顯示法；而係數 α 設定為 0，則表 示所使用之數值處理方法為完全隱示法；而係數 α 設定為 0.5，則表 示所使用之數值處理方法為混合隱示法。. 29.
(43) M& Cτ + ∆τ − M& Cτ = τ τ + ∆τ ⎧⎪ ⎛ Numi ⎫⎪ ... (4.1-11) ⎞ ⎞ ⎛ Numi & & ⎨α ⎜⎜ ∑ M Cj / C + q M ,C ⎟⎟ + (1 − α )⎜⎜ ∑ M Cj / C + q M ,C ⎟⎟ ⎬∆τ ⎪⎩ ⎝ j∈α ⎪⎭ ⎠ ⎠ ⎝ j∈α. 上述函式為地下水流議題所實做之函式，其中方程式 Func_Interpolate_Density 與 Func_InterporlateDensity_UpWind 都屬於 水流密度之空間推估函式，為相同功能但內部處理方法不同之函式， 因此可以依據需求擇一使用。此外，方程式 Func_Character_PS 為 van Genuchten 所提出之特性曲線模型，因此未來亦可因應不同之需求， 選用其他特性曲線模型，例如 Brook 等人所提出之方法。. 4.2 熱流數值模式實做 1. Func_Calculate_Flow_SpecificHeat 本函式用以設定地下水流流體之比熱，由於本問題僅探討純水 之問題，故在此將地下水流流體之比熱訂定為常數值 4179( J kg K )。 未來若問題延伸至污染傳輸議題，流體比熱則應隨著污染值濃度而有 所變化，屆時可再行擴充。本函式為節點類型之方程式。. 2. Func_Set_Porosity_const 本函式用以設定材質之孔隙率，本函式適用於熱流問題非偶合 運算。對於偶合運算時，則不使用本函式，其數值則透過水流模式運 算，並透過資訊同步過程取得。. 3. Func_Set_Flow_Density_const 本函式用以設定地下水流流體之密度，其數值固定為 1000( kg / m 3 )，本函式適用於熱流問題非偶合運算。對於偶合運算時， 30.
(44) 則不使用本函式，其數值則透過水流模式運算，並透過資訊同步過程 取得。本函式為節點類型之方程式。. 4. Func_Set_FlowMassFlux_const 本函式以設定地下水流流體之質量穿越量，其數值固定為 0( kg / day )，本函式適用於熱流問題非偶合運算。對於偶合運算時，則 不使用本函式，其數值則透過水流模式運算，並透過資訊同步過程取 得。本函式為連結類型之方程式。. 5. Func_Calculate_Flow_HeatConductivity_const 本函式以設定地下水流流體之熱傳導係數，其數值固定為 48,038.4( J K day ⋅ m )。未來若搭配污染傳輸模式，地下水流流體之熱 傳導係數設定則可隨污染傳輸模式結果而變化。本函式為節點類型之 方程式。. 6. Func_InterporlatePorosity 本函式透過連結兩端點之孔隙率數值，以算數平均推估連結中 央之孔隙率，其數值可代表控制表面上的孔隙率。本函式為連結類型 之方程式。. 7. Func_Interporlate_Flow_Density 本函式透過連結之兩端點水流密度值，以算數平均推估連結中 央之水流密度，其數值可代表控制表面上的水流密度。本函式為連結 類型之方程式。. 8. Func_Heatcapacity_Transfer_To_Temperature 31.
(45) 式 4.2-1 是單位水體熱容量與溫度的轉換關係式，透過單位體積 之水體所含熱容量與水體比熱做轉換可得此單位水體所相對應之溫 度。本函式為節點類型之方程式。 uhit = s H , f ,i × Ti t ........................................................................... (4.2-1). 其中 uh 為單位水體之熱容量、 s H , f 為流體比熱、 T 為水體之熱容量之 溫度。. 9. Func_CalcMaterial_Constant 式 4.2-2 是計算控制體積內之多孔介質之質量，因本模式有考慮 到多孔介質之壓密性，然而此壓縮性是假定反映在孔隙率上，即在控 制斷面上無多孔介質之質量流量，固在此計算在控制體積內之多孔介 質之質量僅需考慮受壓後之孔隙率與多孔介質密度之乘積即可。本函 式為節點類型之方程式。 M s = (1 − n) * ρ s * Vol ................................................................... (4.2-1). 其中 M s 為多孔介質質量、 n 為孔隙率、 ρ s 為多孔介質密度、Vol 為控制 體積。. 10. Func_ Temperature y_Transfer_To_Total Heatcapacit 式 4.2-1 是總熱容量與溫度的轉換關係式，首先透過流體與多孔 介質之質量計算土體之等效比熱，再乘上控制體積數值與溫度求得對 應的總熱容量。本函式為節點類型之方程式。 H = {(n × ρ f × s H , f ) + [(1 − n ) × ρ s × s H , s ]}× Vol × T ............................. (4.2-1). 其中 H 為總熱容量、 n 為孔隙率、 Vol 為控制體積、 T 為多孔介 質與流體之平均溫度、 ρ f 為流體密度、 s H , f 為流體比熱、 ρ s 為材質密 度、 s H , s 為多孔介質比熱。. 32.
(46) 11. Func_Calculate_EfficientHeatK 式 4.2-2 是以 Bear(1988)所提出轉換方程式，以土體孔隙率、水 流熱傳導係數與多孔介質熱傳導係數，計算土體之等效熱傳導係數。 其中 K e 為等效熱傳導係數、 n 為孔隙率、 K H , f 為流體熱傳導係數、 K H ,s 為多孔介質熱傳導係數。 K H ,eq = (n * K H , f ) + ((1 − n ) * K H , s ) ................................................... (4.2-2). 12. Func_Interporlate_Flow_SpecificHeat 本函式透過連結兩端點之水流比熱數值，以算數平均推估連結 中央之水流比熱，其數值可代表控制表面上的水流比熱。本函式為連 結類型之方程式。. 13. Func_Interporlate_Temperature 本函式透過連結兩端點之溫度數值，以算數平均推估連結中央 之溫度，其數值可代表控制表面上的溫度。本函式為連結類型之方程 式。. 14. Func_ InterporlateEfficientHeatK_2 本函式透過連結兩端點之等效熱傳導係數值，以算數平均推估 連結中央之等效熱傳導係數，其數值可代表控制表面上的等效熱傳導 係數。本函式為連結類型之方程式。. 15. Func_HeatFlux_Convection 式 4.2-3 是以 Bear(1988)所提出之對流項估算方程式，藉由地下 水流動進而帶動熱量之傳遞，其中之溫度 T 為材質與流體之平均溫 度。其中 H& conv 為對流項之熱穿越量、 M& 為流體之穿越質量、 s f 為流體. 33.
(47) 比熱、 T 為多孔介質與流體之平均溫度。 H& conv = M& * s f * T ........................................................................ (4.2-3). 16. Func_ HeatFlux_Conduction 式 4-4 是以 Bear(1988)所提出之傳導項估算方程式，藉由溫度梯 度造成之熱量傳遞。其中 H& cond 為傳導項之熱穿越量、 K H ,eq 為等效熱 傳導係數、 T 為多孔介質與流體之平均溫度、 Area 為穿越斷面面積。 ∂T * Area .............................................................. (4.2-4) H& cond = K H ,eq * ∂x. 17. Func_Continuity_Universal 本函式為地熱模式中之熱量守恆方程式，依據模擬問題可分為 穩態與暫態兩種模擬方式，其中暫態模擬又可依據顯示法(explicit method)、完全隱示法(fully implicit method)與混合隱示法 (Crank-Nicholson method)，建立不同時間項之處理方式。 在穩態模擬上，連續方程式如式 4.2-5 所示，總穿越量與源項之 總和應為零，意即進出平衡。. ∑α (H&. Numi j∈. cond ,Cj / C. + H& conv ,Cj / C ) + q H ,C = 0 .............................................. (4.2-5). 在暫態模擬上，連續方程式如式 4.2-6 所示，前述顯示法、完全 隱示法與混合隱示法之差異僅在係數 α 的選定上，若係數 α 設定為 1，表示所使用之數值處理方法為顯示法；而係數 α 設定為 0，則表示 所使用之數值處理方法為完全隱示法；而係數 α 設定為 0.5，則表示 所使用之數值處理方法為混合隱示法。 H Cτ + ∆τ − H Cτ = τ τ + ∆τ ⎫ ⎧ ⎛ Numi ⎞ ⎛ Numi & ⎞ & & & ⎪ ⎪α ⎜ ∑ (H cond ,Cj / C + H conv ,Cj / C ) + q H ,C ⎟ + (1 − α )⎜ ∑ (H cond ,Cj / C + H conv ,Cj / C ) + q H ,C ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬∆τ ⎨ ⎜⎝ j∈α ⎠ ⎝ j∈α ⎠ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩. 34.
(48) ........................................................................................................... (4.2-6). 35.
(49) 五、垂向二維水流與熱流偶合數值模式模擬與驗證 前述章節已經建立完成地熱議題之運算模組，以下將透過九種 不同類型之地熱案例進行驗證與模擬，其中將針對偶合地熱模式與非 偶合熱流模式、均質與非均質、穩態與非穩態，以及與規則網格與不 規則網格之差異，建立不同的模擬案例。並針對各個案例的模擬結果 進行誤差分析與圖形化輸出，以探討模式的正確性。以下介紹各個案 例設定、模擬結果與相關誤差分析。. 5.1 熱流案例驗證與模擬 本節為非偶合案例之展示，將分為五個不同的案例進行數值驗 證與討論。案例 5.1-1 為採用定溫 Dirichlet 邊界均質案例；案例 5.1-2 為同時採用定熱通量 Neumann 邊界與定溫 Dirichlet 邊界均質案例； 案例 5.1-3 與 5.1-4 均為非均質案例模擬，分別為水平向材質分割與 垂直向材質分割；案例 5.1-5 則另外增加一個沈流點(sink point)，用 以驗證源流項(source term)或沈流項(sink term)之均質案例；案例 5.1-6 設定同案例 5.1-5，差異處在於其網格在抽取點附近進行網格加密； 案例 5.1-7 為案例 5.1-6 配置之暫態模擬。表 5.1-1 為非偶合案例列表。. 表 5.1-1 非偶合案例列表 案例 5.1-1 案例 5.1-2 案例 5.1-3 案例 5.1-4. 穩態. 規則網 格. 案例 5.1-5 案例 5.1-6 案例 5.1-7. Dirichlet B.C. Dirichlet + Neumann B.C. 材質水平向切割 複合材質 材質垂直向切割 單一材質. 暫態. 不規則 網格. 單一材質. sink point. 單一材質. sink point sink point. 36.
(50) 1. 案例 5.1-1 案例說明： 整體模擬區域如圖 5.1-1 所示，為 11 公尺見方之垂向二維方形 薄板。在網格切割上，由原點開始規則地每 1 公尺配置一個計算節 點，透過 Voronoi Diagram 可以產生 121 個(11×11)規則形狀之矩形網 格，因此每網格之長與寬均為 1 公尺。在材質方面，整體區塊設定為 相同材質，其中土壤孔隙率為 0.38，土壤熱傳導係數為 172,800 ( J K day ⋅ m )，水流熱傳導係數為 48038( J K day ⋅ m )，土壤密度為 2,323( kg / m 3 )，土壤比熱為 710( J. kg K. )，水流密度為 1000( kg / m 3 )。. 此外，由於本節案例僅單獨模擬熱流部分，並不模擬水流部分，因此 令水流流速為 0，故模擬上僅有傳導項而無對流項。 在邊界條件設定上，左方邊界溫度設定為 70(℃)，右方邊界溫 度設定為 25(℃)，上下方邊界則設定為無熱流量邊界(No Heat Flux Boundary)，因此本案例溫度將由左往右逐步遞減，亦即熱流方向應 為由左往右傳遞。本案例為穩態模擬，全體網格之初始猜值雖任意設 定下，最終仍可收斂至真解，但過於懸殊之設定值易影響模擬收斂性 與效率，在此設定為 50(℃)。透過模式求解，網格數值逐步依據邊界 條件之設定值，收斂於前述之熱流型態。. 數值結果： 圖 5.1-2 為溫度分佈之模擬等值圖，從圖面看來溫度由左向右逐 步遞減，其等值線分佈均勻，顯示遞減趨勢趨於直線。由於案例邊界 條件設計極為簡單，因此流量估算解析解即為傅立葉公式，將左右兩 方之邊界溫度差值、左右兩端距離與熱傳導係數帶入公式中即可求 得，其數值為 5,642,576.64( J day )。 37.
(51) 表 5.1-2 為當外迭代收斂標準為 1× 10 -7 時，解析解與數值解於左 右兩側邊界之穿越熱量比較表，數值解方面是將左右兩側網格所計算 之穿越流量累加所得，由表上所示其數值誤差已達 0.002%。 表 5.1-2 左右邊界穿越流量比較表(往左為正) 左側邊界流量( J day ) 右側邊界流量( J day ) 數值解 解析解. 5,642,472 (99.998%) 5,642,576.64(100%). -5,642,681 (100.002%) -5,642,576.64 (100%). 10. 9. 8. 7. 6. 溫度 70℃. 溫度 25℃. 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 圖 5.1-1 案例 5.1-1 格網與模式配置圖. 38. 10.
(52) 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 5.1-2 溫度分佈等值圖 2. 案例 5.1-2 案例說明： 由於 Dirichlet 邊界與 Neumann 邊界為兩種最基本之邊界條件， 本案例用以驗證 Neumann 邊界正確性，因此大部分設定均沿用案例 5.1-1 設定，左方邊界之熱通量設定為 5,642,576.64 ( J / day )，該數值 即為案例 5.1-1 數值解計算所得之熱通量，右方與上下兩邊界則沿用 案例 5.1-1 設定，右方邊界設定為 25(℃)，上下方邊界則設定為無熱 流量邊界(No Heat Flux Boundary)，整體模擬區域如圖 5.1-3 所示，本 案例溫度分布應與案例 5.1-1 依樣，由左往右逐步遞減，亦即熱流方 向應為由左往右流動。 數值結果： 本案例主要是為驗證 Neumann 邊界條件之模擬正確性，因此與 案例 5.1-1 設定即為相似，僅在邊界條件上取不同之邊界條件型式， 39.
(53) 因此模擬結果兩者應該一致。圖 5.1-4 為案例 5.1-1 與案例 5.1-2 之溫 度分佈圖，由圖面顯示兩者溫度分佈等值線完全重合，顯示雖然設定 為不同邊界條件型式，但其模擬結果仍然一致，可以證明 Neumann 邊界條件型式之正確性。. 10. 9. 8. 7. 熱通量 512961 J/day. 6. 溫度 25℃ 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 圖 5.1-3 案例 5.1-2 格網與模式配置圖. 40. 10.
(54) :為案例5.1-1之溫度等值圖 :為案例5.1-2之溫度等值圖 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 5.1-4 溫度分佈等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-2) 3. 案例 5.1-3 案例說明： 本案例探討主題為非均質與非均質含水層差異之探討，因此除 了材質以外的方面均與案例 5.1-1 一致，例如網格切割、邊界條件等， 材質方面則區分為兩個區塊，圖 5.1-5 為本案例之格網與材質配置 圖，其中材質 1 與案例 5.1-1 之性質相同，孔隙率為 0.38、密度為 2323( kg / m 3 )、熱傳導係數為 172800( J K day ⋅ m )、比熱為 710( kg / m 3 )； 材質 2 大部分的性質均與材質 1 相同，其熱傳導係數為 691200( J K day ⋅ m )，約為材質 1 之熱傳導係數之 4 倍，在水流熱傳導 係數部分，其數值為 48038( J K day ⋅ m )。. 數值結果： 圖 5.1-6 為案例 5.1-1 與案例 5.1-3 之溫度模擬等值圖，圖 5.1-7 41.
(55) 為兩者之總熱容量模擬等值圖。由於右邊區塊之熱傳導係數左邊區塊 之 4 倍大，因此左邊需要透過更高之溫度梯度方可維持相同的熱通 量。因此左方溫度變化較右方溫度變化緩和。若觀察圖 5.1-7，由於 兩區塊材質比熱相等，因此總熱容量分佈與溫度分佈呈正比，故分佈 上趨勢相同。 在熱能守衡分析部份，左邊界之熱通量為 8,619,116 ( J day )，右 邊界之熱通量為 8,619,490 ( J day )，兩者之相對誤差為 0.0043%，符 合熱能守恆之條件。. 10. 9. 8. 7. 材質一. 材質二. 6. 溫度 25℃. 溫度 70℃ 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 圖 5.1-5 案例 5.1-3 格網與材質配置圖. 42. 10.
(56) :為案例5.1-3之溫度等值圖 :為案例5.1-1之溫度等值圖 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 5.1-6 溫度分佈等值圖(案例 5.1-1 與案例 5.1-3). 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 圖 5.1-7 總熱容量分布等值圖(案例 5.1-3). 43. 9. 10.
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