細胞自動機(Cellular Automata)之應用

細胞自動機 (Cellular Automata, CA)自產生以來已被廣泛的應 用，應用領域涉及社會學、生物學、生態學、資訊科學、電腦科學、

數學、化學、地理、環境、軍事學等。如宋鴻均(2005)，將細胞自動 機應用在海洋油污擴散問題中。Parson 等人(2007)則將細胞自動機理 論應用於地表淹水模式開發。Mendicino 與 Folino 等人則在 2006 年 應用細胞自動機發展三維未飽和層地下水流模式。

由於細胞自動機在定義細胞與相鄰細胞之規則上，不像傳統數 值方法，其控制方程式無須限定於整合型式之偏微分方程式，可以使

用分散型式之方程式組合，因此相較於傳統數值方法可以省略繁瑣複 雜之數學推導過程，因此細胞自動機對於全新問題而言具有高度可擴 充性。本研究將以細胞自動機理論，配合 Voronoi Diagram 作為空間 切割法則，建立垂向二維之水流熱流偶合數值模式。

第二章、研究步驟

本研究之研究步驟如圖 2-1 所示，首先以細胞自動機(Cellular Automata)理論，分別開發地下水水流數值模式及熱流數值模式，其 次再串接兩者形成地下水流與熱流互動之地下水流與熱流偶合模 式。其中將會分別針對非偶合之熱流問題進行與同時考量地下水流與 熱流互動之偶合兩種問題進行模擬驗證，以藉由不同的問題來驗證模 式正確性。

一、 開發階段：

在模式開發階段，首先分別針對「地下水流問題」與「熱流問題」

進行模式開發，其中模式開發過程可以再細分為「概念模式建立」與

「計算細胞建立」兩個步驟。在「概念模式建立」步驟中，地下水流 問題概念模式是基於水的質量守恆，並搭配達西公式描述穿越控制體 積邊界的質量穿越量；而熱流問題概念模式則是基於熱的能量守恆，

其中穿越控制體積邊界的能量穿越量之描述與水流問題不同，熱之傳 輸必須因應其機制之不同，而分成傳導項與對流項兩種。在「計算細 胞建立」步驟中，本研究以徐昇氏網格作為空間切割方法，各個徐昇 氏網格均可視為一個計算細胞，計算細胞間以特定規則定義彼此之互 動關係，本研究所發展之細胞模式的互動規則即為前述概念模式相關 公式之離散化。以地下水流問題為例，互動規則即為水之質量守恆方 程式、達西公式與其他相關之方程式。

其次，串接兩個獨立完成之數值模式，藉由資訊同步模組的建 立，使得兩模式將會互相影響，進一步建立偶合之地下水流與熱流數 值模式，其中，在地下水流數值模式部分，則是引用 易正偉(2008) 所開發之垂向二維地下水流數值模式。

二、 驗證階段：

在驗證階段可以區分為兩個方面，分別為「熱流問題模擬驗證」

與「地下水流與熱流偶合問題模擬驗證」兩個部分。當完成熱流模式 開發後，透過「熱流問題模擬驗證」，處理不同類型之純粹熱流問題，

透過熱能之能量守恆等檢討，進一步證明模式結果之正確性。其次，

「地下水流與熱流偶合問題模擬驗證」則同時模擬地下水流與熱流兩 模式互動之問題，用以顯示兩問題間之交互影響關係。

圖 2-1 研究步驟流程圖

三、研究理論與方法

本研究運用「細胞自動機(

Cellular Automata)

分別建立地下水流數值模式與熱流數值模式，首先 3.1 節將針對地下

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另外根據地下水理論，拘限含水層之水量進出與壓力變化關

有效熱傳導係數(thermal conductivity)，其為土體與水流熱傳導係數之

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本研究利用細胞自動機(Cellular Automata)理論，分別針對水流 問題與熱流問題建立計算細胞，首先將針對細胞自動機的理論進行介 紹，其次介紹細胞自動機之實際解法與離散方式等。

3.2.1 細胞自動機(Cellular Automata)介紹

細胞自動機(Cellular Automata，簡稱 CA)最初由數學家 Stanislaw M.Ulam 與 John Von Neumann 於 50 年代所提出，細胞自動機是由離 散且有限狀態之細胞組合，其中組成細胞會按照局部規則，在離散的 時間維度上進行細胞之轉變行為。細胞自動機中基本元件為細胞，每 個細胞之狀態則透過規則選擇出來，例如：生或死。細胞狀態均可由 上一個時刻之本身狀態與周遭細胞所決定，因此其轉變可視為僅對局 部規則進行更新。細胞自動機利用空間鄰近關係與局部規則，可模擬 空間中的演化過程。

在利用細胞自動機模擬研究之前須定義四個重要物件，方可進 行模擬，此四個物件依序如下：

1. 細胞(cells)：定義細胞所在位置與空間中之相鄰關係。

2. 狀態(states)：定義系統中各細胞可選擇之狀態，其中單一細胞在 一個時刻中只選定一個狀態

3. 鄰近細胞(neighborhoods)：一個細胞狀態之轉變係由其周圍鄰近細 胞狀態所決定。

4. 規則(rules)：需定義細胞狀態之轉變規則。

細胞自動機具有以下之特性：

1. 同質性、齊性：

同質性反映在細胞空間內的每個細胞的變化都服從相同的規 律，即細胞自動機的規則，或可稱細胞自動機的轉換函數。而齊性指 的是細胞的分布方式相同、大小、形狀相同，空間分布規則整齊。

2. 空間離散：

細胞分布在按照一定規則劃分的離散細胞空間上。

3. 時間離散：

系統的演化是按照等間隔時間分布進行的，時間變數 t 只能取等 步長的時刻點，例如整數形式的 t，t+1，t+2…。而且時刻 t 的狀態及 細胞自動機定義的轉換函數(規則)只對其下一時刻，即 t+1 時刻產生 影響，同理，t+2 時刻的狀態及轉換函數(規則)取決於 t+1 時刻的狀 態。若將細胞自動機之時間變數 t 與微分方程中的變數 t 做比較，細 胞自動機的時間變數 t 為離散的變數，而微分方程中的 t 通常是個連 續值變數。

4. 狀態離散有限：

細胞自動機的狀態只能取有限(k)個離散值(s1,s2,...,sk)。相對於 連續狀態的動力系統，它不需要經過處理就能轉化為離散值之集合。

而在實際應用中，往往需要將有些連續變數進行離散化，如分類，分 級，以便於建立細胞自動機模型。

5. 同步計算：

各個細胞在時刻 t+1 的狀態變化是獨立的行為，變化與變化之 間並沒有任何相互影響。若將細胞自動機的變化看成是對資料或資訊 的計算或處理，則細胞自動機的處理是同步進行的，特別適合於平行 計算。

6. 時空局部性：

每一個細胞的下一時刻 t+1 的狀態，取決於其周圍半徑為 r 的 鄰域(或者其他形式鄰居規則定義下的鄰域)中的細胞的當前時刻 t 的 狀態，即所謂時間、空間的局部性。從資訊傳輸的角度來看，細胞自 動機中資訊的傳遞速度是有限的。

7. 維度高：

在動力系統中一般將變數的個數視為維數。例如，將區間映射

所形成的動力系統稱為一維動力系統，將平面映射所形成的動力系統 稱為二維動力系統，對於偏微分方程描述的動力系統則稱為無窮維度 動力系統。從這個角度來看，任何完備細胞自動機的細胞空間，是定 義在一維、二維或多維空間上的無限集合，每個細胞的狀態便是這個 動力學系統的變數。因此，細胞自動機是一類無窮維度動力系統。在 具體應用中或電腦模擬時，系統當然不可能處理無限個變數，但細胞 自動機還是變數量很龐大的細胞所組成的系統。因此可以說維數高是 細胞自動機研究中的一個特點。

由於細胞自動機原本並非針對數值模擬所提出之概念，因此將 細胞自動機之理論應用於數值模擬研究中，仍應進一步定義其實際作 法。

在本研究中，吾人以細胞自動機(Cellular Automata)的概念進行 水流熱流偶合數值模式之開發，在細胞自動機(Cellular Automata)中

「規則」之定義，即定義所有細胞之狀態轉換規則，在本研究中，此 規則即以前述之質量守恆及能量守恆為基礎所定義出來之方程組，此 部分在上一小節 3.1 節已介紹，而細胞自動機 Cellular Automata 中所 定義之「細胞」，在本研究中，則是應用 Voronoi Diagram 空間切割 所得之網格，Voronoi Diagram 定義了整個模擬系統之節點位置資訊 及節點與節點之相關資訊，而 Voronoi Diagram 將在稍後章節附錄 C 進行介紹。

3.2.2 計算空間架構

本研究在計算上，空間架構可分為節點、連結與控制體積三個 部分，如圖 3.2.2-1 所示，黑點即代表節點，意即數值模擬上的計算 點；涵蓋節點的多邊形稱為控制體積亦即為細胞本身(Cell)，為該計

算點的代表範圍；兩節點之連線稱為連結，連結之存在代表該兩節點 互為相鄰關係，每個連結必穿越一個控制表面。

由於本計算模組是將模擬區域配置有限個數的細胞及計算節 點，如同其他數值方法一樣，例如：有限差分法將空間切割成有限個 網格區塊。因此，僅在計算節點上擁有空間之場變數，因此若需要非 節點位置之場變數數值，則需要搭配空間推估方法進一步推估。

前述已經列出所需之方程式，其中部分方程式僅探究節點本身 之變化，例如：控制體積內蓄水質量變化相關方程式，此類方程式稱 為節點類型之方程式。其他方程式則與控制表面有關，例如：達西公 式即是用以描述穿越控制表面流速之相關方程式，其亦作用於連結 上，在此稱為連結類型之方程式。

圖 3.2.2-2 為節點與連結關係示意圖，兩相鄰節點可以形成一連 結，其與控制區塊的邊界交點，由於 Voronoi Diagram 的特性，連結 必定與邊界垂直，且交點必定位於連結中點。

連結類型方程式可能需要連結中點之參數資訊，以達西公式為 例，若欲計算穿越控制表面之流速，其為連結中點位置(即控制表面 上)之水力梯度與水力傳導係數的乘積，水力梯度透過中央差分方式 可以藉由兩端節點數值來計算，而水力傳導係數則需要進一步透過空

連結類型方程式可能需要連結中點之參數資訊，以達西公式為 例，若欲計算穿越控制表面之流速，其為連結中點位置(即控制表面 上)之水力梯度與水力傳導係數的乘積，水力梯度透過中央差分方式 可以藉由兩端節點數值來計算，而水力傳導係數則需要進一步透過空