第二章 文獻探討
第三節 泡泡的相關科學原理
吹泡泡對於所有想尋求娛樂和教育經驗的孩童是具有吸引力的（Willams, 2002）。在物理 學的教學中，泡泡不但內容豐富，也是一個具有吸引力的主題 （Solano-Flores, 2000）。對科 教學者而言，有許多泡泡的教學活動是可以利用的 ，如 Cook’s(1938)和 Kuehner’s(1958)引導 進行泡泡持久性和彈性的探究活動 。除此之外，Thompson’s(1961)和 Stevens’(1974)的著作中 也討論了形成肥皂膜結構和肥皂泡泡群的原則 。而近來的素材還包括了”Exploratorium”雜誌 的泡泡主題，以及三個動手操作的教學單元：”Soap Films and Bubbles”（年級四～九）、”Bubbles Festival”(Lawrence Hall of Science, 2005b)（年級 K～六），以及”Bubble Science”（年級五～
六）。本節內容針對與本研究相關之泡泡科學原理來進行討論 。
壹、表面張力
一、何謂表面張力？
傅宗玫與陳正平（民 90）指出，表面張力的形成和液體分子間的作用力有關 。因為水分 子具有極性，分子和分子之間的吸引力非常強 。在液體內部任一分子受到四面八方分子的吸 引，合力為零。相對地，在液體表面的分子只受到液面下鄰近液體分子的吸引和液面之上空 氣分子的吸引；後者遠小於前者，因此合力指向液體內部，使液體表面的分子受到一由外向 內的壓力，好像被無形的彈性薄膜包住了一樣 。
如圖 2-5所示，液體中的分子彼此之間會互相吸引 ，在液體內部的分子上下左右的吸引 力會相互抵銷，但是液體表面的分子，分子之間的吸引力沒有抵銷 ，合力指向液體內部，在 表面的作用有如一層彈性的膜 ，此即所謂的「表面張力」（Carboni, 2002）。
生活中有許多表面張力的例子，例如水黽可在水面上移動（如圖 2-6）；迴紋針可浮在水 面上（如圖 2-7）；倒水於杯內，雖然水滿露出杯口但卻不外溢(如圖 2-8)，以及在荷葉上的 露水為球形（如圖 2-9），這些情況都是因為表面張力的作用。除此之外，也可仔細觀察未關 緊的水龍頭下所形成的水滴 ，當水龍頭下的水滴越來越大時 ，其表面張力已經無法再抗拒往 下的力，此時水滴即會落下，而水的表面張力會使落下的水滴成球體形狀 。但液體種類的不 同，會讓表面張力的大小也不一樣 ，例如：油的表面張力較小，故其所形成的油滴會成扁平 狀（許良榮，民 95；Lawrence Hall of Science, 2005b）；水銀的表面張力比水大很多，所以打 破水銀溫度計時，水銀灑在地上是成顆粒狀的。
圖2-5液體分子間之作用力（引自Carboni, 2002）
圖 2-6水黽可在水面上移動 圖 2-7迴紋針可浮在水面上
（引自 www.phy.ntnu.edu.tw/.../ （引自 Anderson,2007）
而當迴紋針浮在水上時，若輕輕滴入一點肥皂水，此時迴紋針會沈了下去，顯然加入肥 皂會減少水溶液的表面張力（許良榮，民 95）。加入肥皂大約會減小三分之一水的表面張力 ， 而有些清潔劑甚至還會減小得更多 。這是因為當我們在水中加入肥皂時 ，肥皂分子和水分子 會聚集在水的表面，但肥皂分子的疏水端會使其與水分子互相 排斥，此斥力作用使得聚集在 水表面的水分子被彼此分開 ，水分子間的吸引力變小，因此，肥皂會減小水的表面張力
（Lawrence Hall of Science, 2005b）。另一個例子是衣服剛濺到水時，水在衣服上是一顆一顆 的，這是表面張力的作用。不過若是濺到肥皂水，則因為加入清潔劑的關係 ，使得水的表面 張力被破壞了，所以在衣物纖維上時便不容易形成球狀 ，也因此比水更容易也更快滲入衣物 纖維。此外，Hipschman（1995）也提出了純水表面張力比肥皂水大的實例 ：純水無法吹出 泡泡的原因是純水的表面張力太大 ，以致於泡泡膜根本無法維持，第二個因素則是純水蒸發 的速度太快，所以泡泡膜很快地便會變薄而使得泡泡破掉 。而另一個同樣應用此科學原理的 科學活動是「動力小船」，小船會前進的原因即是肥皂會破壞船尾水面的表面張力 ，因此船 頭的表面張力便會拉著小船前進 （許良榮，民 95；Carboni, 2002）。
圖 2-8水滿露出杯口但卻不外溢 圖 2-9荷葉上的露水為球形
（引自許良榮，民 95） （引自北京市科學技術委員會，民 96）
二、如何測量液體的表面張力？
在 Carboni(2002)的研究中指出，測量液體的表面張力可以使用等臂天平 （如圖 2-11），
在天平的 A 端下吊掛一個 U 形的鐵絲，將 A 端往下降低再向上提起，使在 U 形框架中可以 形成一個薄膜（如圖 2-12），然後在 B 端再放入一些砝碼，使兩端可以保持平衡。這時，將 薄膜弄破，天平將會往 B 端傾斜，因此我們在 A端再放入一些砝碼使天平可以恢復平衡 ，而 最後放入的砝碼重量（F）與薄膜跟液體之間的吸引力有關 ，此外，因產生的薄膜有兩層，
在計算表面張力時，須乘以二，因此表面張力（T）為 F 除以薄膜的寬度的兩倍（W），即 T=F/2W。
圖 2-10藉由表面張力作用而移動的小船 （引自 Carboni, 2002）
此外，再進一步討論泡泡為什麼是球形時 ，可以發現：在滿足某些外在條件的前提下 ， 自然界大部分的系統傾向於使本身的能量盡可能地 低，也就是系統最穩定的狀態 。所以液體 傾向於採取表面積最小的形狀 ，使表面能最低。我們可由數學證明體積相同時 ，球形結構的 表面積最小；這就是為什麼吹出的泡泡成球形的原因了 （傅宗玫、陳正平，民 90）。此外，
也因為「表面張力」這股拉力的作用，所以液體表面會儘量收縮到最小的面積 。而在體積不 變的情況，以球形的表面積最小，因此表面張力的作用也是其中之一項原因 。
貳、泡泡幾何學
一、相連的泡膜間呈 120度
泡泡永遠是三個三個相連 ，泡泡相接的地方顯示出完美的三重對稱 ，也就是泡泡之間的 角度呈 120度，有不少學者也針對此現象提出 了相關看法。
王雲五（民 69）在「肥皂泡的成因」一書中提及到：我們以金屬絲彎成一個規則幾何圖 形的骨架，然後將它放在肥皂水中浸一浸 ，則立刻會產生一個美麗的圖形 。但奇妙的是，不 管金屬做的架子多規則，肥皂泡多繁雜，則超過三個以上的薄膜絕不能在一邊相接 。且更需 要強調的是薄膜（films）及各邊相接觸時，所成的角度必須相等。若是在某一偶然的機會中 ， 四層薄膜在同一邊上相接 ，或假定其相交所成的角度都不相等 ，則不管它成為什麼圖形，這 個圖形一定無法穩定，不能持久，各層薄膜必定會彼此滑動 ，直到其能達到穩定的條件後 ， 它才能固定在那一個位置上。
傅宗玫與陳正平（民90）指出，19世紀比利時科學家普拉圖 (Joseph A. F. Plateau,
1801-1883)是最早有系統地觀察、記錄並為泡膜的幾何形狀提出通則的人。他所提出泡膜的 幾何通則可以歸納為三點 ：（1）附著在鐵絲框架(或其他封閉的結構體)上的泡膜，具有平 滑的結構。（2）泡膜之間只會以下列兩種方式之一相連接：三個表面沿著一平滑的曲線相連 ，
間夾角相等；三個表面相接時夾角為120°，六個表面相接時夾角約為109°。
這些現象皆與泡膜表面積傾向最小化的原理有關 ，「Bubble Festival」（Lawrence Hall of Science, 2005b）一書中指出，就現代物理來說，肥皂泡是一個互相作用的系統 ，包括了：溶 液（水和肥皂）、包圍在其內的氣體、地心引力、大氣壓力和表面張力等部分。而泡泡的表面 積及系統能量傾向最小化 ，體積卻傾向最大化，這些因素也影響了泡泡聚集成群的方式 。當 兩個泡泡相遇時，若它們為相同大小，則相連的泡膜呈 180度（圖 2-13）；若為三個泡泡相 遇，則相連的泡膜間必為三個 120度（圖 2-14）；而當四個以上的泡泡相遇 ，或在兩片壓克 力板中吹出許多泡泡時，它們便會呈現許多六邊形的形狀 （圖 2-15、圖 2-16），有趣的是六 邊形在大自然中是很有效率的結構 ，例如在蜂巢設計中便可很明顯的觀察到 。
圖 2-13二個泡泡相遇 圖 2-14三個泡泡相遇 圖 2-15四個泡泡相遇
的泡膜角度 的泡膜角度 的泡膜角度
（以上三圖皆引自許良榮，民 95）
二、二維泡泡
上述的現象皆與泡膜表面積傾向最小化的原理有關 ，傅宗玫與陳正平（民 90）即指出所 有與肥皂膜幾何類似的數學問題都被稱作 「普拉圖問題」。許良榮（民 95）更認為此現象之 活動是最具教學價值的單元 ，一般人對於泡泡的注意力通常會集中在三維的大泡泡，但是平 面泡泡膜的特性，具備了相當特殊的幾何特性，且二維泡泡與三維泡泡具有某些相通的幾何 現象。
二維泡泡的最短路徑計算較為單純 ，在教學設計上，可以讓學生演算不同數目的點形成 的泡泡膜總路徑，例如以正方形四個點的計算為例：如圖2-17之（a），假設要在A、B、C、
D四個城市間建連通道路，總路徑最短的是如圖2-17之（4）的連接法，其中每個線段的交角
都是120度，而計算方式如下：假設四個點位於邊長為1的正方形四個頂點，則兩兩相通的可 能路徑包括圖2-17之（b）的ㄇ字形與圖2-17之（c）的X形，ㄇ字形總長度為3，X形總長度為
2
2 ≒2.83。
而如何驗證圖 2-17之（d）為「最短總路徑」？許良榮（民 95）列出了詳細的算法：
如圖 2-18，由於泡泡的接觸面是 120o，因此：
中間橫線的長為：1-2·(1/2 3)=1-1/ 3 ……(1)
四條斜線長為 ： 4·(1/ 3 )= 4/ 3 ………(2) 1
1
A B
C D
A B
C D
A B
C D
A B
C D
（a） （b） （c） （d）
圖 2-17 A、B、C、D四個城市間相通道路總路徑之比較 （引自許良榮，民 95）
如果增加連接點數或其他限制條件 ，數學問題會變得更加複雜 ；但是我們卻可以簡單地 利用肥皂水、兩塊板子和一些小木棒得到完美的答案 (Isenberg, 1992）。許良榮（民95）即利 用壓克力模型來找出不只四個城市間之最短總路徑（如圖2-19）。令科學家們驚異的是，自然 界中許多生物的形體(如放射蟲的矽結構)和生長方式，甚至人類紅血球的形狀都和肥皂膜的 幾何原理有關，建築設計者也利用泡泡模型設計受力平衡而穩定的結構 。
圖 2-19以壓克力模組找出各點間之最短總路徑（引自許良榮，民 95）
此外，我們還可更進一步依此現象做相關的延伸問題 ，將上述二維泡泡延伸應用在「如 1
1
1/2
) 3 2 ( 1 )
3 2 ( 1
圖 2-18四個點形成的泡泡膜長度（引自許良榮、吳筱婷，民 96）
（必須任何二城市之間可互通 ）」（許良榮，民 95；Isenberg, 1992）。
（必須任何二城市之間可互通 ）」（許良榮，民 95；Isenberg, 1992）。