波高之理論統計特性

4-1 波高統計之理論值與實際值比較

花蓮港之波高資料，經由統計結果可得其實際之波高統計值，而 花蓮港之波高分佈，因較符合 Weibull 分佈模式，為求其理論統計值，

本研究參考 Rayleigh 分佈之公式推導過程，由 Weibull 分佈之公式定 義，推導出之相關之理論波高統計值公式，並參考常用之波高比，以 探討理論與實際之關係。

4-1-1 Weibull 分佈之波高統計代表值推導

根據分析結果，驗證出花蓮港海面波高之機率分佈是近似於 Weibull 分佈後，為進一步瞭解 Weibull 分佈與實際波高之相關性，以 最大概似法(method of maximum likelihood)估算其α與β參數值，並探 討其參數與波高之相關性。而由參數之計算結果，可求得相關之理論

即 ^f

( )

^x 在x_N至∞範圍內所涵蓋面積之形心位置就是H_s，以數學式表示 以控制，故將其轉換成型 I 極值分佈(Type I Extreme Value Distribution) 或稱甘保(Gumbel)分佈，將波高取對數，成一尺度－位置極值分佈函 數，再以最大概似法(Maximum Likelihood Estimates)估計參數，方能 簡化其參數運算過程。

值，則大於x_max值之機率以數學式表示則為

令

根據 Weibull 分佈模式和波高直方圖套配(fitted)結果，可計算出α 與β兩參數值，按 2004 年全年波高資料分析結果，將每區間之α 與β

∫

^∞

( )

= 0 f S f df

m_n ⁿ (4-15)

其中

( )

^{f E}

[

^X

( ) ( )

^{f X f}

]

S = (4-16)

式(4-15)中，E

[ ]

代表期望值(樣本平均)，X

( )

f 是水位訊號 Fourier 係 數，^X

( )

^f 為其共軛複數，根據式(4-15)即可求得各筆波高資料中之m₀。

本研究以 2004 年全年之波高資料，分析各區間之m₀與α 之關 係，分別如圖 4-3 至圖 4-8 所示，而β值由於與示性波高關係甚小，

因此僅以圖 4-9，即H_s<0.5m 區間之m0與β之關係為代表示意，其餘 各區間m₀與β之關係則以表 4-1 表示，其中 case 值 1 至 6，分別表示 示性波高分組後的第一至第六區間。

圖 4-1 2004 年波高資料各區間 Weibull 分佈之^α 分佈範圍

圖 4-2 2004 年波高資料各區間 Weibull 分佈之β分佈範圍

圖 4-3 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(Hs<0.5m)

圖 4-4 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(0.5m<Hs<1.0m)

圖 4-5 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(1.0m<Hs<1.5m)

圖 4-6 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(1.5m<Hs<2.0m)

圖 4-7 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(2.0m<Hs<3.0m)

圖 4-8 2004 年波高資料水位時序列之m₀與α 關係(Hs>3.0m)

圖 4-9 2004 年波高資料水位時序列之m₀與β關係(H<0.5m)

表 4-1 2004 年各區間波高資料水位時序列之m₀與β關係

波浪現象。

圖 4-10 2004 年全年波高資料水位時序列之m₀與α² β關係 由花蓮港 2004 年各區間波高資料之m₀與α 及α² β 之迴歸關係 式，可求得各區間中m₀與α 及α² β 之關係，而為進一步求得其在不 同波高大小下之關係，本研究將波高不分區間，以全年波高資料之m₀ 與α 及α² β 迴歸，其m₀與α迴歸之 R²高達 0.98，而m₀與α² β迴歸之 R²為 0.96，根據此結果可推得m₀與α 及β關係式如下

0.506

2.622m0

α = (4-17)

0.016) -(3.510m₀ α2

β = (4-18)

依花蓮港 2005 年實際波高資料，其有效資料共 3792 筆，將每筆 資料之m₀值，代入式(4-17)與式(4-18)之 2004 年資料迴歸結果，可得 概估之α 及β值，而此α及β值代入式(4-4)亦可得一H_s值，本研究依 此計算而得之α 、β與H_s值，與 2005 實際波高之α 、β與H_s值進行 比較，其比較結果如下表所示

表 4-2 2004 年資料推估 2005 年參數值與 2005 年實際參數值之關係

參數值 R² Equation

α 0.99 y = 1.011x -0.001 β _0.00004 y = -1.691x + 7.433 H s 0.99 y = 1.060x + 0.054

根據表 4-2 所示，其實際與所推估α 與H_s之 R²值達 0.99，顯示 將 2005 年波高資料之m₀值代入 2004 年資料迴歸結果，所推估之α 及 Hs值與實際值很相近，而β參數其推估值與實際值差異較大，其 R² 值僅 0.00004，實際與推估之α 值，在全部 3792 筆資料中，僅有不到 2%的資料，其誤差超過 10%，而H_s方面則有 29%的資料，其誤差超 過 10%。依此分析結果可知，以 2004 年之資料迴歸結果來推估 2005 年之參數，實際與推估之α 與H_s方面，雖然其 R²值皆趨近於 1，且α 值與實際值誤差達 10%的僅不到 2%，但實際上H_s才為本研究所要求 得之重要參數值，依數據觀察結果，H_s方面有接近三成之推估值與 實際誤差超過 10%，因此若依式(4-17)與式(4-18)所概估之H_s值，僅 能描述花蓮港實際示性波高在長時間測量範圍中，其大致分佈趨勢及 特性，並無法代表較短測量時間如一天或一小時的示性波高值，短測 量時間之H_s值計算本較為迅速，因此建議實際之H_s應根據實際波高 值統計計算而得。

4-1-3 分析及比較方法

花蓮港之波高分佈近似於 Weibull 分佈，由 Weibull 分佈可推導 出H_s、H、H_max與H_rms等四個理論波高統計值，為探討花蓮港實際值 與理論值之差異，本研究分析方法主要參考一般常用之 Rayleigh 分佈 理論波高比，及不同波高統計值與m₀之關係以進行比較，而H_s為重 要之代表波，常應用於工程上之設計，因此本研究根據不同示性波高 之計算方法，分析式(4-4)、式(4-14)與直接統計等三種不同示性波高 值算法之差異。

根據 Rayleigh 分佈之公式，可推得如下之理論關係式

1.597 (Root Mean Square)。

4-2 理論與實際H_s之比較

一般示性波高計算方法為將波高資料依大小排序後，取波高資料 中較大的前1 3之波高平均值，此平均值即稱之為示性波高，而目前 認為波高之分佈較符合 Rayleigh 分佈，以其理論亦可推導出(4-14)式 之示性波計算公式，然花蓮港之波高分佈較符合 Weibull 分佈，因此 由式(4-4)之推導結果，亦可得一示性波高計算公式。

根據統計、Rayleigh 與 Weibull 三種不同示性波高計算方式，茲 將花蓮港 2004 年之波浪資料，根據此三種不同計算方式，將全年分 析結果列圖如下，圖中 Date、Rayleigh 與 Weibull 等三條線分別表示 實際統計、Rayleigh 與 Weibull 所計算出之H_s

0 20 40 60 80 100 Numbers

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-11 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (Hs<0.5m)

0 20 40 60 80 100

Numbers 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-12 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (0.5m<Hs<1.0m)

0 20 40 60 80 100 Numbers

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-13 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (1.0m<Hs<1.5m)

0 20 40 60 80 100

Numbers 1.0

1.5 2.0 2.5 3.0

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-14 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (1.5m<Hs<2.0m)

0 20 40 60 80 100 Numbers

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-15 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (2.0m<Hs<3.0m)

0 20 40 60 80 100

Numbers 0

2 4 6 8

Hs(m)

Data Rayleigh Weibull

圖 4-16 示性波高實際值與 Rayleigh 及 Weibull 理論值比較圖 (Hs>3.0m)

由圖 4-11 至圖 4-16 之H_s比較結果可發現，Rayleigh 理論之示性 波高值較實際示性波高明顯有高估的現象，而 Weibull 理論之示性波 高值較符合實際的波高情形，且於小波高時，其與實際波高之誤差更 小，如圖 4-11 所示，Weibull 理論值與實際波高曲線吻合度高，而 Rayleigh 之理論值無論在波高大或小，對於推估花蓮港實際波浪而 言，都有高估現象，其中如圖 4-15 之 Rayleigh 理論值推估結果，於 第 40 至第 50 筆資料點中，波高高低趨勢與實際波高差異甚大，而在 探討m₀與α 值時，亦發現 2.0m<H_s<3.0m 時，有少數資料點異常，又 由 (4-14) 式 可 知m₀ 與 Rayliegh 理 論 波 高 之 關 係 ， 因 此 可 判 斷 在 2.0m<Hs<3.0m 此區間時，其中有少數資料之m0值，對於計算分析的 結果會產生影響，而由圖 4-16 中，其 Rayleigh 示性波高理論值仍偏 高，Weibull 示性波高值仍較符合實際情形，因此可知不論波高之大 小，以花蓮港而言，以式(4-4)Weibull 分佈H_s理論值計算結果較近似 於實際值。

為進一步探討H_s之分佈特性，本研究根據花蓮港 2004 年實測資 料統計而得之H_s，將其全年之H_s分成全年、1 至 3 月、4 至 9 月及 10 至 12 月等四個部份，並與 Gamma、Normal、Rayleigh 及 Weibull 四個分佈函數進行套配(fitted)，以探討不同季節性下之H_s分佈特性。

花蓮港全年有效波高資料之H_s共 7617 筆，根據統計學上的理論 及中央及限定理，其較適合之直方圖分組組數應該接近於 7617 ≅87 組，且其機率分佈應近似於 Normal 分佈，但對於直方圖分組而言，

建議之分組組數應為 20 組以下較為適當，且由實際不同之分組結果 觀察，當分組組數越多，其直方圖分佈趨勢雖更趨於一致，但與 Normal 分佈顯然有所不同，因此本研究將實際之Hs以 5 至 12 組為直 方圖分組分組，並與 Gamma、Normal、Rayleigh 及 Weibull 分佈函數 進行套配(fitted)，以分別探討各不同季節性之H_s分佈特性，並驗證其 分佈模式是否為統計學理論上之 Normal 分佈，茲將其全年、1 至 3 月、4 至 9 月及 10 至 12 月等四個部份之分析結果如下表所示

表 4-3 2004 年全年H_s直方圖組數與分佈函數各指標評估結果

分組 75 80 85 90 95 100 105 110

MSE 0.004 0.004 0.004 0.004 0.004 0.003 0.003 0.003 Gamma

R² 0.971 0.969 0.965 0.966 0.965 0.969 0.965 0.965 MSE 0.011 0.010 0.010 0.009 0.009 0.008 0.008 0.007 Normal

R² 0.826 0.824 0.820 0.822 0.821 0.823 0.820 0.820 MSE 0.007 0.007 0.007 0.006 0.006 0.006 0.005 0.005 Rayleigh

R² 0.912 0.910 0.906 0.908 0.907 0.910 0.906 0.906 MSE 0.007 0.007 0.007 0.006 0.006 0.005 0.005 0.005 Weibull

R² 0.923 0.922 0.917 0.919 0.918 0.921 0.917 0.917

表 4-4 2004 年 1 至 3 月H_s直方圖組數與分佈函數各指標評估結果

分組 30 35 40 45 50 55 60 65

MSE 0.007 0.007 0.006 0.005 0.005 0.004 0.004 0.004 Gamma

R² 0.946 0.934 0.932 0.934 0.936 0.931 0.925 0.915 MSE 0.012 0.011 0.009 0.008 0.007 0.007 0.006 0.006 Normal

R² 0.848 0.837 0.837 0.839 0.835 0.834 0.829 0.820 MSE 0.007 0.006 0.006 0.005 0.005 0.004 0.004 0.004 Rayleigh

R² 0.953 0.940 0.939 0.941 0.939 0.936 0.931 0.920 MSE 0.008 0.007 0.006 0.006 0.005 0.005 0.004 0.004 Weibull

R² 0.934 0.922 0.922 0.923 0.922 0.919 0.914 0.904

表 4-5 2004 年 4 至 9 月H_s直方圖組數與分佈函數各指標評估結果

分組 50 55 60 65 70 75 80 85

MSE 0.009 0.008 0.008 0.007 0.007 0.006 0.006 0.006 Gamma

R² 0.940 0.939 0.937 0.941 0.931 0.934 0.937 0.932 MSE 0.019 0.018 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.012 Normal

R² 0.717 0.715 0.712 0.715 0.707 0.709 0.712 0.707 MSE 0.016 0.014 0.013 0.012 0.011 0.011 0.010 0.009 Rayleigh

R² 0.804 0.801 0.799 0.803 0.793 0.796 0.799 0.794 MSE 0.013 0.012 0.011 0.010 0.010 0.009 0.008 0.008 Weibull

R² 0.876 0.875 0.872 0.876 0.866 0.870 0.872 0.867

表 4-6 2004 年 10 至 12 月H_s直方圖組數與分佈函數各指標評估結果

分組 30 35 40 45 50 55 60 65

MSE 0.019 0.016 0.014 0.012 0.011 0.010 0.010 0.009 Gamma

R² 0.863 0.864 0.862 0.867 0.866 0.856 0.853 0.850 MSE 0.026 0.022 0.020 0.017 0.016 0.014 0.013 0.012 Normal

R² 0.719 0.720 0.720 0.723 0.721 0.712 0.709 0.707 MSE 0.033 0.028 0.025 0.022 0.020 0.018 0.017 0.016 Rayleigh

R² 0.584 0.585 0.583 0.585 0.582 0.577 0.572 0.570 MSE 0.028 0.024 0.021 0.019 0.017 0.015 0.014 0.013 Weibull

R² 0.692 0.693 0.692 0.695 0.693 0.685 0.681 0.679

根據表 4-3 至表 4-6 結果，由表中之 MSE 及 R²之數據，可判斷 出各季節性H_s分佈中以何者分佈函數較為合適，以了解其分佈特 性。從表 4-3 全年H_s分佈分析結果可觀察出，在 Gamma、Normal、

Rayleigh 及 Weibull 四個分佈函數中，各直方圖分組組數之 MSE 值以 Gamma 分佈最佳，而 R²值則亦以 Gamma 分佈最佳，因此可判斷出 2004 年全年Hs分佈較近似於 Gamma 分佈，並非為理論之 Normal 分 佈。

1 至 3 月之最佳H_s分佈模式，由表 4-4 可觀察出， Gamma 分佈 與 Rayliegh 分佈 MSE 值極為相似，而 R²值則是以 Rayliegh 分佈最佳，

根據結果可說明，花蓮港 2004 年 1 至 3 月之H_s分佈較近似於 Rayliegh 分佈模式。

颱風侵襲時間大部分都發生於台灣夏秋兩季，且此兩季之氣候特 性較為相似，因此本研究將花蓮港夏秋兩季之H_s併於一起討論，即 將 4 至 9 月之實際H_s，作直方圖分組後並與各分佈函數套配，根據 分析結果，以求其最佳之H_s分佈模式。由表 4-5 觀察結果，在 MSE 值方面，以 Gamma 分佈最佳，而 R²值方面，各分組組數中亦以 Gamma 分佈有最大之 R²值，因此依此分析結果，可驗證出花蓮港在 4 至 9 月之H_s分佈模式較接近於 Gamma 分佈。

而 10 至 12 月最佳分佈模式，根據表 4-6 所示，依 MSE 與 R²值 可判斷出其最佳之H_s分佈模式亦為 Gamma 分佈，由此結果與上述之 各季節性最佳H_s分佈結果可知，於全年及 4 至 12 月分析結果中，已 驗證出其H_s分佈較近似於 Gamma 分佈，然 1 至 3 月之分析結果，以 Rayleigh 分佈最佳，依表 4-4 結果所示，其 Gamma 及 Rayleigh 分佈 之 MSE 與 R²值甚為接近，但就整個分析結果而言，Gamma、Rayliegh 與 Weibull 分佈之結果都很相似，若取其最佳之分佈模式，固然以 Rayleigh 分佈較適當，然而為便於了解花蓮港之H_s分佈模式及特性，

可嘗試以 Gamma 分佈來替代 Rayleigh 分佈，以描述其分佈模式，由 此結果便可統一且簡單地以 Gamma 分佈來描述花蓮港之全年及各季

可嘗試以 Gamma 分佈來替代 Rayleigh 分佈，以描述其分佈模式，由 此結果便可統一且簡單地以 Gamma 分佈來描述花蓮港之全年及各季

在文檔中 花蓮海域波浪之波高分佈及其統計特性研究 (頁 43-85)