演算法 1：SAB 法

本研究上層問題為政府如何在符合環境限制之前提下，得到一組改善成本最小化之 改善政策。本研究先嘗試使用 SAB 法 (Sensitivity Analysis-based algorithm)，此方法是 由 Yang and Bell (1998)所提出，用以求解雙層規劃之模式。當上層實施不同改善政策時，

下層將有不同反應，因本問題為 Stackelberg 賽局，因此上層在做決策時，會將下層的反 應納入考量，兩者間的關係可透過敏感度分析而得，兩者間的反應函數(Reaction

以 SAB 法求解之步驟如下，流程圖則如圖 3.4-2 所示：

Step 1. n=0，給定φ⁰ 0，{ ,y z w_{j j}, , j J}。 Step 2. 設定起始解φⁿ。

Step 3. 以上層變數φⁿ更新下層參數 bjn、TCⁿ及 wⁿ，如式(3.31)、式(3.32)及式(3.33)。

Step 4. 求解下層模式，如式(3.1)到式(3.19)，得ⁿ，

n n n

{SI_ijⁿ,DI_jk,SE_ji,DE_kj, i I j, J k, K}

      。

Step 5. 計算上層變數與下層變數間的反應函數(Reaction function)，如上式(3.34)。

Step 6. 以反應函數替換上層問題中的下層變數，並求解上層問題，如式(3.26)到式(3.30)，

得^n1。

Step 7. 檢查是否已達收斂條件， = 0.01，若ULobj^n1-ULobjⁿ 則符合收斂條件，得 到一組收斂解；若否，則使nn1，並回到 Step 3。

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SAB 法之流程圖如下：

設定初始現況 n=0, φ=0

設定起始解 φⁿ

以 φⁿ 更新下層參數

求解下層模式得

計算反應函數

以反應函數替換上層問題中的下層 變數，並求解上層問題得 φⁿ⁺¹

使 n=n+1

求得收斂解 Y

N

1

-n n

ULobj ^ ULobj 

n

圖 3.4-2 SAB 法流程圖

然而，經測試後發現，SAB 法是設計於求解下層均衡解對上層變數之敏感度為連續 且可微分之函數，而本研究的下層均衡解對補貼變數之敏感度為連續但不可微分之函數，

導致 SAB 法於求解過程中無法收斂。

若政策方案涉及補貼，則無法以 SAB 法進行求解。起初以補貼特定港口為可行起 始解去計算，此迴圈得到的結果顯示並不會繼續補貼該港口，而下個迴圈卻又顯示補貼 該港口，再下一個迴圈又顯示不補貼該港口，以此規律交互變換，無法順利收斂，由下 表 3.4-1 以 5 個迴圈展示之。

表 3.4-1 SAB 法求解過程無法收斂之範例

n y₁ y₂ y₃ z₁ z₂ z₃ w LLobj ULobj emissions 1 0 0 0 0 0 300 1 39418464.50 12535.50 637774999.99 2 0 0 0 0 0 0.00 1 39928024.34 - 499024.32 639775000.00 3 0 0 0 0 0 51.77 1 39840447.00 - 409447.00 637775000.00 4 0 0 0 0 0 0.00 1 39928024.49 - 499024.49 639775000.00 5 0 0 0 0 0 51.78 1 39840447.00 - 409447.00 637775000.00 會出現此無法收斂之情形主要是因為下層均衡解對上層之補貼變數z 的敏感度為_j 連續但不可微分之非平滑函數，以圖 3.4-3 來說明，橫軸為上層變數z ，縱軸為下層目_j 標值對上層變數z 之敏感度。當圖中線段呈水平處，則表示下層均衡解對上層變數的敏_j 感度為 0，代表上層變數的變化不會影響下層均衡解；線段中，產生階梯狀落差之處即 代表下層目標值因補貼z 而產生變化，因為下層貨櫃流量轉移至受補貼之港口，該處下_j 層均衡解對上層變數的敏感度則不為 0，代表上層變數的改變將使下層均衡解產生變 化。

由圖 3.4-3 可知，已達飽和之港口其線段將恆呈一水平線，未達飽和之港口才會出 現階梯狀之圖形。此外，除非z 剛好落在階梯狀處，否則下層均衡解對上層變數之敏感_j 度皆為 0。若下層均衡解對上層變數的敏感度為 0，將在求解上層問題的過程中忽略補 貼之效果，因而無法求得正確且收斂的結果，因此無法以傳統的 SAB 法處理補貼政策，

需要修正演算法以求解本研究之問題。舉例來說，當補貼金額足以使貨櫃流量產生變化 時，受補貼之港口將因成本較低而達到飽和，以至於在下一個迴圈顯示投資此港口而非 補貼此港口，因而忽略前一迴圈補貼的作用，因此需修正演算法以確保補貼的效果不會 被忽略。

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j

LLobj z





由前述可知，最適補貼金額落在階梯狀處，令此處之z 值為 ˆ_j z 。當_j z_j < z 時，貨櫃ˆ_j 流量與原始狀況相同，無法降低路網碳排放量，亦不符合環境限制式；當z_j = z 時，下ˆ_j 層貨櫃流量恰好因特定港口受補貼而產生變化，可使路網碳排放量降低；當z_j > z 時，ˆ_j 下層貨櫃流量與z_j = z 時相同，補貼金額越多則政府改善路網所需之成本越高，但效益ˆ_j 相同，因此只要補貼 ˆz 即可以最低的成本促使貨櫃流量與原始情況不同，使路網碳排放_j 量降低。換言之，要使下層貨櫃流量與原始情況不同，才可能使整體路網碳排放量產生 變化以符合環境限制式。若要使貨櫃流量產生變化，則需補貼航商使用綠色港口，使航 商由原先使用成本較低但碳排放量較高之港口轉而使用碳排放量較低之港口，因此須找 到會使貨櫃流量產生變化之補貼金額 ˆz 。 _j

zj

註：橫軸為上層變數z_j

縱軸為下層目標值對上層變數z_j之敏感度

單位：NT$

圖 3.4-3 下層目標值對上層變數z 之敏感度 _j

↑ ˆz3

↑ ˆz2

j=1 j=2 j=3

不同 zj下之港口貨櫃通過量變化以 z3為例說明，下圖 3.4-4 之橫軸為 z3，縱軸為各 港口貨櫃通過量 pfj，此圖說明條列如下：

1. 0 z₃ zˆ₃

pf1 = 2700，pf2 = 2000，pf3 = 1300；

港口貨櫃通過量無變化，即代表下層均衡解不受 z3變化影響，維持不變，故下層均 衡解對 z3之敏感度為 0。

2. z₃  zˆ₃ 219

pf1 = 2700，pf2 = 1600，pf3 = 1700；

港口貨櫃通過量起變化，即代表下層均衡解受 z₃影響，故當z₃在ˆz₃處，下層均衡解 對 z3之敏感度不為 0。

3. z₃  zˆ₃

pfj與z₃  zˆ₃ 219時相同，pf1 = 2700，pf2 = 1600，pf3 = 1700；

港口貨櫃通過量無變化，即代表下層均衡解不受 z₃變化影響，維持不變，故下層均 衡解對 z₃之敏感度為 0。

圖 3.4-4 上層變數z₃所對應之各港口貨櫃通過量 0

500 1000 1500 2000 2500 3000

0 100 200 300 400 500 600 各

港 口 貨 櫃 通 過 量

z₃

pf1 pf2 pf3