演算法 2：Branch-SAB 法

3.4.2.2 演算法 2：Branch-SAB 法

由前段可知，修正演算法的第一步為找到 ˆz 。因為下層均衡解對 ˆ_j z 之函數為連續函_j 數，可以漸進搜尋法(Incremental search method)求得 ˆz ，但漸進搜尋法收斂速度較慢，_j 故本研究以二分法(Bisection Method)的概念來設計尋求 ˆz 之方法，稱之為 BS 法，因為_j 此法為一項標準法，為避免變數太多造成混淆，故將 BS 法之說明及流程記於附錄三。

若可求得 ˆz ，即可列舉出多項可使路網貨櫃流量產生變化之補貼政策_j z ，再由這些補貼_j 政策搭配投資政策y 及 w，組成最適路網改善政策。 _j

因 SAB 法無法處理下層均衡解對補貼變數之敏感度為連續但不可微分之函數，故 將求解方式由求解連續型路網設計問題的形態改為求解混合型路網設計問題之形態，設 計合用的求解演算法，在此稱此演算法為 Branch-SAB 法。其與 SAB 法最大的差異在於，

Branch-SAB 法是先以離散型之方式處理補貼政策z ，再以求解連續型路網設計問題之_j SAB 法求解投資政策y ，而非皆以 SAB 法進行求解。因為補貼政策會影響貨櫃流量，_j 整體路網之碳排放量亦受其影響，因此先決定補貼政策後，再規劃投資港口之處理容 量。

由前述已知當z_j = z 時，下層貨櫃流量將隨補貼政策產生變化，可能使路網碳排放ˆ_j 量符合環境限制式，因此設法列舉出所有可使貨櫃流量產生變化之港口補貼政策，而受 補貼之港口即為原始情況下未達飽和之港口，補貼金額則為 ˆz ，可由前述之 BS 法求得。_j 列舉出多項補貼政策後，分別以這些補貼政策做為 SAB 法中 Step 2 之可行起始解，並 以 SAB 法求解最適港口投資容量y ，過程中須新增限制式_j zⁿ_j = ,z¹_j  j J，以維持補貼 的效果，符合 SAB 法之收斂條件後判斷收斂解是否可行，若是，則將上下層模式之目 標值及變數記錄下來；若否則將收斂解刪除。最後，在所有收斂且可行的結果中選擇路 網改善成本（上層目標值）最低者做為最適改善政策，結束演算法。

列舉的方式為排列(permutation)，列舉出的補貼政策數量可以排列組合的方式計算，

共有

R R r r=0

B = P = R!

(R-r)!



列舉各種補貼政策之方法首先由原始情況開始，記錄下未達飽和之港口，各別以 BS 法尋找可使該港口達到飽和之補貼金額 ˆz ，以組成新的補貼政策。在這些新的補貼_j 政策中，若有原始情況下未達飽和的港口其補貼金額仍為 0 者，則再度各別以 BS 法尋 找可使該港口達到飽和之補貼金額 ˆz ，以組成新的補貼政策，直到所有原始情況下未達_j 飽和的港口皆已受補貼為止。

以下舉例說明列舉出可使貨櫃流量產生變化之港口的過程。假設原始情況下未達飽 和之港口有三個（J1、J2 及 J3），Branch-SAB 法產生的各方案組合可以樹狀圖表示如下 圖 3.4-5。由原始情況起，依「原始情況未達飽和且補貼金額仍為 0 之港口」為分支基

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前面說明 Branch-SAB 法之流程，其步驟條列如下：

Step 1. 計算原始路網情形

尚未實施任何改善政策，即上層變數皆為 0 時，求解運輸路網指派模式（下 層問題），可得到下層貨櫃流量情形，並計算各港口貨櫃通過量，記錄下未達 飽和之港口。接著計算原始路網碳排放量 emissions，並制定減排目標，將 兩者相乘得路網碳排放量上限 cap。

Step 2. 列舉出可使貨櫃流量產生變化之港口補貼政策

Step 2.1. 計算原始情況下未達飽和之港口數量為 R。一項補貼政策中，原始情況下 未達飽和之港口中目前已受補貼之港口數量為 r。此時 r = 0，即不補貼任 何原始情況下未達飽和之港口，也是一種補貼政策。

Step 2.2. 判斷目前得到的P 項補貼政策中，原始情況下未達飽和之港口是否皆已受_r^R 補貼，即 r 是否為 R？若是，擇進入 Step 3；若否，則進入 Step 2.3。

Step 2.3. 使 r = r+1，並分別以 BS 法求出其補貼金額，各別組成新的P 項補貼政策，_r^R 再回到 Step 2.2。

Step 3. 求解連續型路網設計問題

分別將前一步驟得到的 B 項補貼政策做為 SAB 法中 Step 2 的起始解φⁿ， 依 SAB 法之步驟求解最適投資變數 y_j及外部成本內部化之比例 w。但在 SAB 法的 Step 6 中，需增設限制式zⁿ_j = z ，用來固定補貼金額及效果。達收斂條件¹_j 後判斷此解是否為可行解？若是，則將結果記錄於候選改善政策集合 C；若否，

則將此結果刪除。依此規則運算，直到所有補貼政策皆經運算為止。

Step 4. 得到最適方案

從候選改善政策集合 C 中，選擇改善成本（上層目標值）最小者做為最 適政策，即得到最適之路網改善政策，結束求解演算法。若 C 為空集合，則 無解。

若以圖解的方式說明，則可將 Step 2 解釋為列出下層模式之角點 (corner point) 的 補貼政策，而 Step 3 則表示將各補貼政策與投資政策結合成改善政策後，加入上層環境 限制式，限縮可行解區域，而落在此區域內之下層模式角點即為可符合環境限制式之貨 櫃流動情形，而可使貨櫃流量符合環境限制式之改善政策即為候選路網改善政策。

下層模式為線性規劃問題，以單行法求解可順利收斂；上層模式是否收歛則以此次 遞迴所得之上層目標值與前一次遞迴所得之目標值之差是否小於特定誤差值ε 來判定。

Branch-SAB 法之流程圖如下：

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3.5 小結

本研究以雙層規劃方法建構物流路網設計問題之模式，上層問題為減碳政策模式，

下層問題為運輸路網指派模式。上層政府決策者期望透過改善政策降低路網碳排放量，

下層物流承攬業者則在成本最小化的前提下完成運送服務。上層政府決策者在做決策時 會參考下層物流業者對改善政策的反應，而下層業者也會將其對政策的反應回饋給上層 決策者，兩者間之關係為主從賽局。

上層減碳政策模式之目標式為路網改善成本最小化，限制式則為整體路網碳排放量 限制式、外部成本內部化之課稅比例不大於 1 及非負限制式，決策變數為改善政策：投 資提高港口 j 之處理容量 yj、補貼使用港口 j 之補貼金額 zj、外部成本內部化之課稅比例 w；下層運輸路網指派模式擇參考 Kim et al. (2008)，目標式為總運輸成本及外部成本內 部化之環境成本最小化，限制式為進出口貨櫃量限制式、流量守恆限制式、港口容量限 制式、運具數量限制式、非負限制式，變數為各節點間之貨櫃流量。

本研究先以 Yang and Bell (1998)所提出之 Sensitivity Analysis-based algorithm 求解 上層問題，此法可以敏感度的方式將下層均衡解對上層政策的反應回饋至上層，因此在 求解上層問題時即包含考量下層的反應，透過數次遞迴得到上層及下層之均衡解。然而 此法只在下層均衡解對上層變數之敏感度為連續且可微分之情況下可行，但本研究之下 層均衡解對補貼變數 z_j之敏感度為連續但不可微分之函數，故發展 Branch-SAB 法來處 理此問題。

Branch-SAB 法是先求解以離散型式列舉出各種補貼政策後，才由 SAB 法的 Step 2 開始求解連續型之投資政策變數y 。列舉主要是針對原始情況下未達飽和之港口，由皆_j 不補貼這些港口開始做樹狀分支，以「原始情況未達飽和且仍未受補貼之港口」為分支 基準，一次補貼一個港口形成新的補貼政策，再判斷這些新的補貼政策是否符合分支基 準，直到所有最新的政策皆不符合分支基準為止。列舉過程中求解各港口之最適補貼金 額 ˆz ，則是採用附錄三所示之 BS 法。列舉完成後分別以列舉出的補貼政策做為 SAB 法_j 之起始解求解 w 及y ，過程中需將補貼金額固定為其開始求解投資政策變數_j y 時的狀_j 態（zⁿ_j = z ）¹_j ，以維持補貼之效果。當所有列舉出的補貼政策皆已運算、收斂後，選擇 可行且目標值最小者做為最適改善政策，結束演算法。

四 、數值分析

本章節將說明測試範例及分析結果。首先以一範例進行測試，求解流程如前一章節 之說明，求解演算法建立於 MATLAB 的運算平台上（使用版本 7.14）。接著調整減排目 標，測試不同情境下之結果，用以推論模式特性。