物理模式

本研究在探討多台離心式流體機械並聯時，對複雜管路系統的流量造成的影 響，因此要先知道流量的分配情況。先從單一離心式流體機械的數值計算進行說 明，再說明系統阻抗曲線、操作點、離心式流體機械並聯之性能曲線等相關數學 模式，並指出單一離心式流體機械並無法提供龐大之流量需求，須借助並聯型式 解決，進而說明如何求得並聯型態所需之方程式。在系統採用並聯型態時，由於 二台、三台等多台並聯型態，都可利用調整轉速，達到滿足系統的需求總流量與 壓力，然而必需並聯多少台，才能達到最省能的效果，使用的總功率最少。為此 目的，效率曲線隨著轉速變動的方程式，也將詳細說明。

單台離心式流體機械之物理模式如圖 2-1 所示，圖中有圓圈○的數字是管路 編號，沒有圓圈的數字是節點(管路交接處)編號，線段代表管路， 代表離心 式流體機械。離心式流體機械性能曲線由廠商提供圖示，為了計算上的方便，必 須把性能曲線用數學式表示。不同型號的離心式流體機械，性能曲線亦隨之不 同。圖 2-2 為某泵浦在轉速 1750rpm 的不同尺寸葉扇(impeller)性能曲線(圖上 7〞、6 1/2〞，標示為 a 之曲線)、等功率線(圖上 2HP、11/2HP，標示為 b 之曲線) 與等效率線(圖上 68%、65%，標示為 c 之曲線)。為了方便計算上的執行，可將 性能曲線表示成多項式。以圖面上葉扇尺寸 6 1/2〞的性能曲線為例，從圖上可 取得流量為 0，30，45，56，72，87，105，120，137，147，165 GPM(加侖/分)，

泵浦所提供的水頭分別為 47，47，46，45，44，42，39，36，32，28，22 FT(呎，

水頭單位)，總共 11 個資料點，也因此多項式可使用的最高次數為 10 次，可寫 成

∑

=

=

¹⁰

0 n

n n

Q a

H

(2-1) 有 11 個未知係數( )，因此需要 11 個方程式求解。將已知的 11 個 資料點分別帶入(2-1)可得到所需的 11 個方程式，聯立後可寫成

10 2 1

0

a a

... a

a

，， ，，

1

損失，表示成 ，節點 5 和節點 7 的全壓分別表示成 ，則兩節點關係可

其它的方程式同理可得，分別為 同理，(2-12)~(2-14)式也可以將(2-16)式代入

4 統中所安裝各式設備(equipment)及配件(fitting)，所造成的次要損失(Minor Loss)。以下將介紹將如何處理這部分。

K

n

(1) 摩擦損失

流體流經管路會因為摩擦而造成全壓損失，不同材質、管徑和長度的管路損 失，可用 Darcy-Wesbach 公式[3]來計算

2 ( )，會有不同的全壓損失。 稱為摩擦因子(friction factor)，與雷諾數 (Reynolds number，

L

n

D

_n 其中 e 為管壁的絕對粗糙度(absolute roughness)，單位為長度單位。

D

e

稱為相

對粗糙度。由於 Colebrook 求解時較為困難，因此可以用 Altshul-Tsal 方程式

[6]來求得

f

值，為

2

三管相連接(wye)分別為主管(main, straight-through)，子管(branch)和 連管(common branch)。如圖 2-6 為一主管和連管管徑相同，且子管與主管角度 為 30 度的結構圖與損失係數。圖中標示 s 即為主管，b 即為子管，而 c 為連管。

統設定不變，則系統的全壓損失與總流量的平方成正比，畫成 圖為一條曲

)，(2-32)式代入(2-33)式可得到(2-34)式

K

sys

Q

_sys

P

_sys 方法，可由相似定理(Affinity Law)計算推導求得，其流量與轉速、壓力、功率 與轉速的關係為：

需功率，下標 O 代表原始轉速 時的狀態，而下標 R 代表變更轉速 時的狀態。 將(2-40)式代入(2-41)式

2

離心式流體機械轉速 時的性能曲線方程式如(2-33)式所示，將(2-33)式與 (2-43)式所需係數代入(2-35)式，求得系統流量 。再利用(2-36)式求得

N

O

將原本的離心式流體機械轉速調至 ，即可得到所需的流量。利用(2-36)式和

3

流體機械的出口為起點，走向任一吸入口節點，便可再找到一條方程式， 將(2-51)式減去(2-52)式，以及(2-55)式減去(2-58)式，都可得到(2-59)式

1

能量守恆方程式(2-51)式~(2-55)式，以及因性能曲線增加的 2 個方程式(2-56)

功率公式為

轉速變更時之相似定理(Affinity Law)如(2-36)式~(2-38)式所示，而直徑 變更時之相似定理也和轉速的相似定理公式類似，為 的修正圖，如圖 2-14 所示，可以使(2-70)式~(2-72)式所計算的誤差值減少。其

=2

m k

=5

中橫軸代表欲求之直徑比，而縱軸代表修正後計算的直徑比，例如原直徑 為 7〞，提供的流量 為 100 GPM ，欲求直徑 為 6〞時之流量，實際直徑比為 0.857，從橫軸找到 0.857 的值，對應縱軸的值約為 0.839，因此要利用(2-70) 式~(2-72)式公式計算時，在直徑比所代入的值應為 0.839，所求之 為 83.9 。

D

O

Q

O

D

_R

Q

R

GPM

效率曲線可和性能曲線一樣，可利用多項式表示。先前性能曲線採用二次多 項式表示，是由於能量守恆方程式流量均為二次式，會比較方便計算。而在效率 曲線方面，由於是獨立出來的計算式，因此可採用更高次之多項示表示。因此效 率曲線可寫成

∑

=

= ^j

i

i i

Q E Ef

0

(2-73) 其中 j 代表最高次項， 為係數。圖 2-14 到圖 2-16 分別是以二次、三次以及四 次多項式，所呈現圖 2-14 風機之效率曲線圖。可以發現二次多項式和三次多項 式，與原資料點有較大的差異，而四次多項式較為相近，這也代表不同之曲線圖，

不見得一定要用二次來表示，可以採用較符合之多項式表示。

E

i

以下將利用(2-70)式到(2-72)式，証明當轉速或直徑變更時，其效率曲線的 變化情況。從(2-69)式可得知效率與流量、壓力和功率之相關式

O O O

O

Z BHP

P Ef Q

×

= ×

(2-74)

下標 O 代表直徑為

D

_O。如今將轉速由

D

_O調成

D

_R時，效率值

Ef

_R為

R R R

R

Z BHP

P Ef Q

×

= ×

(2-75)

因為 和 、 和 以及 和 必需滿足相似定理，因此將(2-70)式

~(2-72)式代入(2-75)式得到

Q

O

Q

_R

P

_O

P

_R

BHP

_O

BHP

_R

O

∑

=

⎟⎟ ⎠

圖 2-1 單台離心式流體機械系統之物理模式示意圖

圖 2-2 某泵浦轉速 1750rpm 資料圖

圖 2-3 資料點與二次多式式曲線圖

Coefficients for 90^。 Elbows

r/D 0.5 0.75 1.0 1.5 2.0 2.5

C 0.71 0.33 0.22 0.15 0.13 0.12

b

Angle Correction Factors

K

_θ (Idelchik 1986, Diagram 6-1)

θ

0 20 30 45 60 75 90 110 130 150 180

K 0 0.31 0.45 0.6 0.78 0.9 1 1.13 1.2 1.28 1.4

θ

圖 2-4 90 度圓形彎角

θ

, deg 20 30 45 60 75 90

C 0.08 0.16 0.34 0.55 0.81 1.2

b

Reynolds Number Correction factors：M/hc

Re

× 10

⁻⁴ 1 2 3 4 6 8 10

≥ 14 K 1.4 1.26 1.19 1.14 1.09 1.06 1.04

θ

圖 2-5 其它角度彎角

Branch

C

_b,c

c

b

A

A /

c

b

Q

Q /

0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0 0 -0.1 -0.1 -0.1 -0.9 -0.9 -0.9 -0.9 0.1 0.21 -0.46 -0.57 -0.51 -0.53 -0.54 -0.54 0.2 3.1 0.37 -0.06 -0.16 -0.23 -0.24 -0.28 0.3 7.6 1.5 0.5 0.15 -0.04 -0.06 -0.08 0.4 14 3.0 1.2 0.42 0.19 0.13 0.12 0.5 21 4.6 1.8 0.53 0.24 0.19 0.15 0.6 30 6.4 2.6 0.77 0.35 0.28 0.17 0.7 41 8.5 3.4 0.99 0.42 0.28 0.22 0.8 54 12 4.2 1.2 0.47 0.29 0.25 0.9 58 14 5.3 1.4 0.49 0.29 0.22 1.0 84 17 6.3 1.6 0.49 0.21 0.15

圖 2-6 三管相連接

Branch

C

_s,c

c

b

A

A /

c

b

Q

Q /

0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0

0 0 0 0 0 0 0 0

0.1 0.02 0.11 0.13 0.15 0.16 0.17 0.17 0.2 -0.33 0.01 0.13 0.19 0.24 0.27 0.29 0.3 -1.1 -0.25 -0.01 0.1 0.22 0.3 0.35 0.4 -2.2 -0.75 -0.3 -0.05 0.17 0.26 0.36 0.5 -3.6 -1.4 -0.7 -0.35 0 0.21 0.32 0.6 -5.4 -2.4 -1.3 -0.7 -0.2 0.06 0.25 0.7 -7.6 -3.4 -2.0 -1.2 -0.5 -0.15 0.1 0.8 -10 -4.6 -2.7 -1.8 -0.9 -0.43 -0.15 0.9 -13 -6.2 -3.7 -2.6 -1.4 -0.8 -0.45 1.0 -16 -7.7 -4.8 -3.4 -1.9 -1.2 -0.75

圖 2-6 三管相連接(續)

θ

, degrees

/ D0

D 0 10 20 30 40 50 60 70 75 80 85 0.5 0.19 0.27 0.37 0.49 0.61 0.74 0.86 0.96 0.99 1.0 1.0 0.6 0.19 0.32 0.48 0.69 0.94 1.2 1.5 1.7 1.8 1.9 1.9 0.7 0.19 0.37 0.64 1.0 1.5 2.1 2.8 3.5 3.7 3.9 4.1 0.8 0.19 0.45 0.87 1.6 2.6 4.1 6.1 8.4 9.4 10 10 0.9 0.19 0.54 1.2 2.5 5.0 9.6 17 30 38 45 50 1.0 0.19 0.67 1.8 4.4 11 32 113 -- -- -- --

圖 2-7 風門與損失係數

θ

, degrees

1 0/ A

A 10 15 20 30 45 60 90 120 150 180 0.06 0.21 0.29 0.38 0.6 0.84 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.1 0.21 0.28 0.38 0.59 0.76 0.8 0.83 0.84 0.83 0.83 0.25 0.16 0.22 0.3 0.46 0.61 0.68 0.64 0.63 0.62 0.62 0.5 0.11 0.13 0.19 0.32 0.33 0.33 0.32 0.31 0.3 0.3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.22 0.24 0.48 0.72 0.96 1.0 4 0.8 0.64 0.64 0.64 0.88 1.1 2.7 4.3 5.6 6.6 6 1.8 1.4 1.4 1.4 2.0 2.5 6.5 10 13 15 10 5.0 5.0 5.0 5.0 6.5 8.0 19 29 37 43

圖 2-8 管路突擴與突縮損失係數

圖 2-9 某風機性能曲線與系統阻抗曲線

圖 2-10 轉速

N

_O和

N

_R之性能曲線與系統阻抗曲線

圖 2-11 單台、雙台與三台並聯之性能曲線

圖 2-12 雙台離心式流體機械並聯之物理模式圖

圖 2-13 三台離心式流體機械並聯之物理模式圖

圖 2-14 泵浦直徑之修正圖

圖 2-15 以二次多項式表示效率曲線

圖 2-16 以三次多項式表示效率曲線

圖 2-17 以四次多項式表示效率曲線

在文檔中 複數台離心式流體機械並聯之複雜管路流量計算 (頁 17-52)