國 立 交 通 大 學
機 械 工 程 學 系
碩士論文
複數台離心式流體機械並聯之複雜管路流量計算
A study of the optimal condition of centrifugal
machineries in parallel
研 究 生：施坤宏
指導教授：傅武雄 博士
中 華 民 國 九 十 五 年 七 月
複數台離心式流體機械並聯之複雜管路流量計算
A study of the optimal condition of centrifugal
machineries in parallel
研 究 生：施坤宏 Student: Kung-Hong Shih
指導教授：傅武雄 Advisor: Wu-Shung Fu
國立交通大學
機械工程學系
碩士論文
A Thesis
Submitted to Department of Mechanical Engineering
College of Engineering
National Chiao Tung University
in Partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of
Master of Science
in
Mechanical Engineering
June 2006
複數台離心式流體機械之複雜管路流量計算 研究生：施坤宏 指導教授：傅武雄 博士 國立交通大學機械工程學系 摘要 本文主要目的為採用多台同型之離心式流體機械的並聯方式，進行複雜管路 流量計算。對於複雜管路系統，單台離心式流體機械往往無法提供龐大的流量需 求，必須採用多台並聯的方式處理，然而多台離心式流體機械並聯的缺點在於每 台流量極易分配不均，由計算結果得知主要受到性能曲線斜率的影響。 本文的另一目的為將效率曲線隨轉速變化的公式求出，並將效率曲線並入模 擬計算的過程裡，求得每台離心式流體機械的效率值，進而計算出系統所需的總 功率，從不同的並聯台數中，選取出最省能的並聯方式。
A Study of The Optimal Condition of Centrifugal Machineries In Parallel
Student：Kung-Hong Shih Advisor：Wu-Shung Fu Department of Mechanical Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
In order to provide huge mass flow rate, the centrifugal machineries in parallel are necessary. However, the problem mentioned above is hardly studied. The aim of this study is to solve the complex piping problems with centrifugal machineries in parallel, and to obtain the optimal situation for the centrifugal machineries in parallel. The relating formulas are derived from affinity law and a method of curve fitting is adopted to express the parameters used in the above formula. As a result, the most efficient satiation among the possible situations could be determined.
The another aim of this study is to formulate the equation of the efficiency curve varied with the rotation rate. We can count the efficiency of each centrifugal fluid machineries in any rotation rate, and then we will obtain the used power of the system. The optimal operation choice of different numbers of the parallel fluid machineries will be got.
致 謝 感謝父母親二十餘年來含辛茹苦的養育之恩，使我能夠順利的完成碩士學 業。在歷經兩年的碩士生涯中，特別感謝吾師傅武雄教授在課業上及論文上的悉 心指導，以及在生活上無微不至的照顧，在此至上最高的謝意。同時感謝學長連 信宏在程式上的指導，以及廖宜寬、李崇綱、余政倫和陳鴻儀等人的協助。最後， 僅以本文獻給我的家人與師長和朋友。
目錄
中文摘要……… I 英文摘要……… II 誌謝……… III 目錄……… IV 表目錄……… V 圖目錄……… VI 符號說明……… VIII 第一章 緒論……… 1 第二章 物理模式……… 6 第三章 數值方法……… 41 第四章 結果與討論……… 48 第五章 結論……… 79 參考文獻……… 80表目錄
表 4-1 單機之各管段與工作流體詳細資料 ……… 58 表 4-2 雙機並聯之各管段與工作流體詳細資料……… 59 表 4-3 三機並聯之各管段與工作流體詳細資料……… 60 表 4-4 實際與計算在效率值為 55%時的資料點……… 61 表 4-5 修正後所計算效率值為 55%時的資料點……… 61 表 4-6 微小改變相似定理所計算效率值為 55%時的資料點……… 61 表 4-7 不同系統需求與不同數目並聯的理論計算結果 ……… 62 表 4-7 不同系統需求與不同數目並聯的理論計算結果(續) ……… 63 表 4-8 不同系統需求與不同數目並聯的公式計算結果……… 64 表 4-8 不同系統需求與不同數目並聯的公式計算結果(續)……… 65 表 4-9 四機並聯系統之各管段詳細資料……… 66 表 4-10 A 型風機在不同並聯數的計算結果……… 67 表 4-11 B 型風機在不同並聯數的計算結果……… 67 表 4-12 C 型風機在不同並聯數的計算結果……… 68圖目錄
圖 1-1 固定轉速之風機曲線資料圖……… 5 圖 2-1 單台離心式流體機械系統之物理模式示意圖……… 23 圖 2-2 某泵浦轉速 1750rpm 資料圖……… 24 圖 2-3 資料點與二次多式式曲線圖……… 25 圖 2-4 90 度圓形彎角……… 26 圖 2-5 其它角度彎角……… 27 圖 2-6 三管相連接……… 28 圖 2-6 三管相連接(續)……… 29 圖 2-7 風門與損失係數……… 30 圖 2-8 管路突擴與突縮損失係數……… 31 圖 2-9 某風機性能曲線與系統阻抗曲線……… 32 圖 2-10 轉速NO和NR之性能曲線與系統阻抗曲線……… 33 圖 2-11 單台、雙台與三台並聯之性能曲線……… 34 圖 2-12 雙台離心式流體機械並聯之物理模式圖……… 35 圖 2-13 三台離心式流體機械並聯之物理模式圖……… 36 圖 2-14 泵浦直徑之修正圖……… 37 圖 2-15 以二次多項式表示效率曲線……… 38 圖 2-16 以三次多項式表示效率曲線……… 39 圖 2-17 以四次多項式表示效率曲線……… 40 圖 4-1 某風機在 1500rpm下之性能曲線圖……… 69 圖 4-2 風機轉速為 1500 rpm之流量分佈……… 69 圖 4-3 風機轉速為 2083 rpm之流量分佈……… 70 圖 4-4 風機轉速為 4167 rpm之流量分佈……… 70圖 4-5 風機轉速為 1500 rpm之流量分佈……… 71 圖 4-6 風機轉速為 2362 rpm之流量分佈……… 71 圖 4-7 風機轉速為 1500 rpm之流量分佈……… 72 圖 4-8 風機轉速為 1833 rpm之流量分佈……… 72 圖 4-9 四組不同的風機性能曲線……… 73 圖 4-10 各組風機之流量分佈圖……… 73 圖 4-11 三台風機並聯之性能曲線與系統阻抗曲線……… 74 圖 4-12 泵浦在不同直徑之性能曲線和等效率圖……… 74 圖 4-13 泵浦直徑修正後之性能曲線和等效率圖……… 75 圖 4-14 當相似定理n=1.05、m=2.05和k =2.92時之等效率圖………… 75 圖 4-15 四次多項式曲線與效率資料點對照圖……… 76 圖 4-16 四機並聯之複雜管路系統……… 76 圖 4-17 A 型風機轉速 1750rpm時之性能曲線和效率曲線……… 77 圖 4-18 B 型風機轉速 1750rpm時之性能曲線和效率曲線……… 77 圖 4-19 C 型風機轉速 1750rpm時之性能曲線和效率曲線……… 78
符號說明
n A 管路編號 n 的截面積 [m2 or inch2] O BHP 離心式流體機械在初始轉速(或直徑)時的功率 [W or HP] R BHP 離心式流體機械在變更轉速(或直徑)時的功率 [W or HP] b C 彎角損失常數 c b C , 三管連接流經子管與連管損失常數 n C 出入口兩端壓力相差值 [Pa or Ft] c s C, 三管連接流經主管與連管損失常數 Sn C 性能曲線方程式在初始轉速(或直徑)的各項係數值 Sn C′ 性能曲線方程式在變更轉速(或直徑)的各項係數值 n D 管路編號 n 的管徑 [mm or inch] O D 離心式流體機械的原始直徑 [mm or inch] R D 離心式流體機械的變更直徑 [mm or inch] i E 效率曲線方程式在初始轉速(或直徑)的各項係數值 i E′ 效率曲線方程式在變更轉速(或直徑)的各項係數值 n e 管路編號 n 的壁面絕對粗糙度 [mm or inch] Ef 離心式流體機械效率值 O Ef 離心式流體機械在初始轉速(或直徑)的效率值 R Ef 離心式流體機械在變更轉速(或直徑)的效率值 n f 管路編號 n 的摩擦因子 n G 管路編號 n 離心式流體機械配方衍生項 n K 管路編號 n 的壓力損失係數sys K 系統需求常數，等於 2 sys sys Q P n L 管路編號 n 的長度 [m or Ft] O N 離心式流體機械的初始轉速 [rpm] R N 離心式流體機械的變更轉速 [rpm] JP Q J台並聯的總流量 [CMS or GPM] n Q 管路編號 n 的流量 [CMS or GPM] sys Q 系統需求流量 [CMS or GPM] n Re 管路編號 n 流體的雷諾數 i S 功率曲線方程式在初始轉速(或直徑)的各項係數值 n P 節點編號 n 流體的全壓值 [Pa or Ft] sys P 系統所需克服的壓力 [Pa or Ft] c v P, 流體之動壓值 [Pa or Ft] n V 管路編號 n 流體的平均速度 [m/s or Ft/s] n P ∆ 流體流經管路編號 n 的壓損值 [Pa or Ft] ρ 流體密度 [kg/m3 or lbm/Ft3] µ 流體黏滯係數 [kg/m．s or lbf．s/Ft2]
第一章 緒論
近十幾年來，台灣的半導體產業發展快速，半導體廠房的數量也逐年增多， 不止帶來巨額的產業產值，也創造了大量的就業機會。隨著廠房愈蓋愈大，在流 體輸送系統(含抽風系統、送風系統及液體輸送循環系統)上，更顯示其重要性。 半導體工業產品的製造過程中，常常使用酸鹼溶液、有機溶劑、特殊氣體材料等 有害人體健康的化學物質，這意味著若沒有良好的製程排氣系統設計，將對工作 環境品質及員工的健康造成莫大的傷害，所以複雜管路系統計算方法的探討與研 究，將可解決流量與壓力分配不合的情況。 複雜管路系統實際應用在許多地方，不論是工業的排氣系統、大樓的通風系 統，或是流體運輸系統，所用的物理理論大同小異，包含因為管段所造成的摩擦 損失(即 Darcy-Weisbach 方程式)，其它配件所造成的壓力損失(通稱 minor loss)，以及離心式流體機械性能曲線。在複雜管路系統設計上，必需考慮傳送 流量和流速的限制，以及系統壓力平衡性、噪音、空間配置及系統造價成本的問 題。進行管路系統設計時，必須知道的條件通常有：配件及設備資料、設計限制 及參數資料、系統資料和管段資料。待求的設計項目有：各管段的直徑大小和全 壓損失，並決定出適當風機或泵浦的壓力。縱使在設計中已考慮到許多物理因 素，但設計出的管路系統，在壓力的平衡性效果常常不好。以下將會介紹出常見 的管路系統設計方法，並探討其優缺點。 目前常見複雜管路的設計方法有四種，主要為速度法(Velocity Method)、 等摩擦法(Equal Friction Method)、靜壓再得法(Static Regain Method)和 T-最佳化設計方法(T-Method Optimization)[1]。速度法的設計原理是先為系統中 所有管段之速度做設定，依管段之流量與流速進行尺寸設計。為了控制噪音問 題，會有速度的上限；為了避免污染物堆積，造成管路堵塞的問題，會有速度的 下限。速度法是目前所有設計方法中最簡單的，然而系統壓力不易平衡，設計後須花費額外的時間和成本進行壓力調整平衡。等摩擦法是假設系統中所有管段的 單位長度全壓損失都相同，利用迭代的計算程序，取得新的等摩擦率，將其應用 在原先壓降較小的路徑，透過減小下游管段的尺寸，以改良壓力的平衡。然而在 系統中若存在各個路徑，其總長度相差極大，壓力的平衡性會出問題，因此等摩 擦法通常適用在對稱性系統，或是系統中各路徑總長度接近。靜壓再得法是將 Bernoulli 方程式及 Borda 方程式結合後推導出靜壓再得計算公式，並在風管系 統中利用靜壓再得來節省能源。但從流體力學的觀點上，靜壓再得法理論的不適 用性包含有：(1)Bernoulli 定律不適用於分歧的樹狀管路系統；(2)靜壓再得法 無法真正使系統壓力平衡；(3)靜壓再得因子的不確定性；(4)不可能利用動能轉 換為靜壓再得的過程達到節省能源的目的。T-最佳化設計方法以管路系統的生命 週期成本(包含風機運轉所消耗的能源成本及管路系統建構成本)為基礎，目的在 於使生命週期成本最小化之外，也容易達到系統壓力完全平衡，設計的過程包含 系統收縮、風機選擇與系統展開這三個步驟。T-最佳化設計方法的缺點在於流速 控制性較差。這四種設計方法，都是先知道各管段的長度與連接情況下，進行管 段直徑的選擇；在風機的選擇上，往往也是利用操作點的圖解法處理。除了已經 介紹過的四種設計方法外，Gosselin 和 Bejan[2] 提出在知道各節點間的距離 和需求流量的條件之下，建立一個只需最小泵浦功率的傳輸結構系統，其中管路 連接的方式與管段直徑大小，都必需經由模擬計算後才能得知。 雖然目前發展出許多套設計方法，但是設計與實際運作中，仍然會有些許的 差距，此時必須依靠其它裝置來進行調整。經這些更動之後，常常會影響到其它 管路流量的大小。常見工廠管路系統變更的方式有：改變風門(damper)檔板的角 度、改變管段的尺寸與性質、增加工作區與配件、對風機作變頻控制、更換風機、 風機的串並聯等等。然而在半導體廠房裡，在沒有任何的評估之下，憑經驗來做 手動操作是很大膽的行為，若是操作不當，很容易造成管路系統完全癱瘓，甚至 危害到員工的生命安全。因此必需借助模擬的方式，針對實際的管路配置與風機 條件，著手進行計算，來達到改進的要求。因此模擬出實際管路系統的運作情況，
扮演著極重要的地位。 T 模擬方法(T-Method Simulation)[1]利用系統收縮、選取風機操作點和系 統展開的三步驟，求取系統管段內的流量分配，可以其發現計算流程和 T-最佳 化設計方法十分相似，都是屬於 T 方法理論。Jeepson[3]利用克西赫夫(Kirchhof) 的第一、第二定律，在節點處建立連續方程式和以迴圈為基礎的能量方程式，得 到足夠的方程式，求得複雜管路系統內部流體流量及流動的情形，雖然可以求得 多台泵浦同時存在的情況，然而對並聯形式的例子卻沒有說明。而 Osiadacz[4] 在管路系統建立方程式的演算法，有詳盡的說明。林[5]將 Jeepson 和 Osiadacz 的理論結合後，求出複雜管路內的流量分佈情形，並從中知道，進行管路系統模 擬時，離心式流體機械的性能曲線可以由二次多項式表示，此二項式和原性能曲 線極為吻合。其餘各管路元件的壓力損失係數，在 ASHRAE 的手冊[6]可求得。 對於複雜的管路系統計算，離心式流體機械是影響流量最重要的因素，然而 廠商所提供的離心式流體機械，只有在某固定轉速下的性能曲線和機械效率曲線 等相關資料如圖 1-1，對於其它未知轉速下的資料，必需靠其它相關的公式求 得。在調整轉速方面，文獻[7][8]說明了風機定律，指出風機轉速與流量、壓力 和功率之間的關係式；而文獻[9]說明了泵浦的相似定理，其轉速與流量、壓力 和功率之間的關係式，均與風機定律相同，此外也提供了泵浦變更的直徑時，直 徑與流量、壓力和功率的關係式，當變更直徑與原提供直徑相差愈大，計算出來 的誤差也愈大，因此理想的使用範圍為變動直徑不小於原直徑的 70%。文獻[10] 更是提出泵浦的相似定理，在直徑上的修正方法。 在複雜管路系統環境下，單台離心式流體機械往往難以提供龐大的需求流 量，為了使總流量提高，最常使用的方法為使多台離心式流體機械並聯運作。文 獻[5]指出當多台相同之離心式流體機械並聯時，可以將其等效於單台離心式流 體機械。即假設每台離心式流體機械所分配的流量相同，所提供的壓力也相同， 因此可以看成有一台離心式流體機械在運作時，與並聯時對系統造成的影響相 同，此台假想之離心式流體機械提供的流量和並聯時的總流量相同，而提供的壓
力是實際上單台所提之壓力。此方法也是在目前管路系統設計或模擬上，最常用 的方法。這種方法只能計算出系統之總流量，對於每一台實際上的流量分配，並 無法得知。 綜合以上之觀點，由於以往模擬計算複雜管路方法，只能求單一離心式流體 機械操作的環境下，遇到多台並聯的作業系統下，並沒有直接的模擬計算方法， 無法精確的求得每台實際分配流量的多寡。因此本文的首要目的，模擬多台相同 之離心式流體機械並聯的管路系統，求得每根管段與每台流體機械的實際流量。 為了使系統總流量達到預期目標，必須調整離心式流體機械之轉速，調整轉速後 之性能曲線方程式和機械效率曲線方程式，本文也將利用文獻[7][8][9]之相關 定理，推導求得套入模擬計算中。最後本文探討將機械效率曲線，應用於管路的 模擬計算中，以求得在並聯時，準確的計算出每台所提供的功率，並從計算結果 中分析出如何選擇出最省能的並聯台數。
第二章 物理模式
本研究在探討多台離心式流體機械並聯時，對複雜管路系統的流量造成的影 響，因此要先知道流量的分配情況。先從單一離心式流體機械的數值計算進行說 明，再說明系統阻抗曲線、操作點、離心式流體機械並聯之性能曲線等相關數學 模式，並指出單一離心式流體機械並無法提供龐大之流量需求，須借助並聯型式 解決，進而說明如何求得並聯型態所需之方程式。在系統採用並聯型態時，由於 二台、三台等多台並聯型態，都可利用調整轉速，達到滿足系統的需求總流量與 壓力，然而必需並聯多少台，才能達到最省能的效果，使用的總功率最少。為此 目的，效率曲線隨著轉速變動的方程式，也將詳細說明。 單台離心式流體機械之物理模式如圖 2-1 所示，圖中有圓圈○的數字是管路 編號，沒有圓圈的數字是節點(管路交接處)編號，線段代表管路， 代表離心 式流體機械。離心式流體機械性能曲線由廠商提供圖示，為了計算上的方便，必 須把性能曲線用數學式表示。不同型號的離心式流體機械，性能曲線亦隨之不 同。圖 2-2 為某泵浦在轉速 1750rpm 的不同尺寸葉扇(impeller)性能曲線(圖上 7〞、6 1/2〞，標示為 a 之曲線)、等功率線(圖上 2HP、11/2HP，標示為 b 之曲線) 與等效率線(圖上 68%、65%，標示為 c 之曲線)。為了方便計算上的執行，可將 性能曲線表示成多項式。以圖面上葉扇尺寸 6 1/2〞的性能曲線為例，從圖上可 取得流量為 0，30，45，56，72，87，105，120，137，147，165 GPM(加侖/分)， 泵浦所提供的水頭分別為 47，47，46，45，44，42，39，36，32，28，22 FT(呎， 水頭單位)，總共 11 個資料點，也因此多項式可使用的最高次數為 10 次，可寫 成∑
= = 10 0 n n nQ a H (2-1) 有 11 個未知係數( )，因此需要 11 個方程式求解。將已知的 11 個 資料點分別帶入(2-1)可得到所需的 11 個方程式，聯立後可寫成 10 2 1 0 a a ... a a，， ，，1 11 1 11 10 1 0 11 11 10 2 10 2 22 . . . 47 47 . . . 165 . . . 165 165 1 . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . 30 30 1 0 . . . 0 0 1 × × × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ a a a (2-2) 下標表示該矩陣的行和列。(2-2)式為一線性聯立方程組，可使用高斯消去法求 解，得到多項式的係數。由(2-2)式可知，有 m 個資料點時，最高次方為 m-1 次。 當多項式的最高次方過大時(如 )，極易求出係數不準確。為了避免 上述的情形，採用二次多項式來表示性能曲線，僅需要圖上的三個資料點。圖 2-3 為 11 個資料點與二次多項式曲線的比較圖，可發現相似性極大。 10 10 165 30 ， 圖 2-1 之管路系統，共有 7 根管段和 8 個節點(包含流體出入口與合流體， 即所有管段的兩端點)。其中節點 1、2、3、4 為支管入口，節點 8 為出口。在管 7上有一台離心式流體機械，圖上的箭頭符號(<)為程式內定計算所假設的方向， 並不代表實際流體流動的方向。整個系統所待求的是各個管段流量 ,下標n為 管路編號，代表不同管路的流量。因為有 7 個未知數( )， 需要 7 個線性獨立方程式求解。利用節點處流量守恆建立的連續方程式，如節點 5， n Q 7 2 1 Q ... Q Q ， ， ， 管 5的流量等於管 1和管 2的流量和。可表示成(2-3)式 0 5 2 1 +Q −Q = Q (2-3) 同理，節點 6 和 7 可列出(2-4)式與(2-5)式流量守恆方程式 0 6 4 3 +Q −Q = Q (2-4) 0 7 6 5 +Q −Q = Q (2-5) 其它的節點(節點 1、2、3、4 和 8)並沒有流量守恆的關係，因此無法寫出可用 來求解的流量方程式。 目前有三個方程式，尚缺的另外四個方程式可由能量守恆的概念求得。考慮 管 5，兩端的節點分別為節點 5 和節點 7，若流量從節點 5 流向節點 7，表示節 點 5 比節點 7 有較大的壓力值，而流體流經管 5會因為摩擦或管路結構造成壓力
損失，表示成 ，節點 5 和節點 7 的全壓分別表示成 ，則兩節點關係可 寫成 5 P ∆ P 和5 P7 7 5 5 P P P = − ∆ (2-6) 管 5的全壓損失∆P5又可表示成 2(本章後面會有解說)，其中 表示 5 5Q K K5 管 5的 全壓損失係數，所以(2-6)式可寫成 7 5 2 5 5Q P P K = − (2-7) 各管路有不同的結構與裝置，所以會有不同的全壓損失係數，以下標區分不同管 段全壓損失係數。(2-7)式等號左邊含有未知數 ，而等號右邊的未知數則為 和 ，如此一來增加一個方程式，但卻多了兩個未知數。由於內部節點的壓力 值不易求得，必須從進出口的壓力值著手。假設所有進出口的全壓條件已知(也 就是節點 1、2、3、4 和 8)，當流體是從節點 1 流進，流經 5 Q P5 7 P 管 1、管 5和管 7，最 後從節點 8 流出，利用(2-6)式的原理可寫成 ∆P=P1−P8 (2-8) 其中∆P為各管段全壓損失與離心式流體機械所改變的全壓總合，也就是(2-8) 可改寫成 ) ( ) ( ) (P1 P5 P5 P7 P7 P8 P= − + − + − ∆ 7 7 5 1 P P PS P +∆ +∆ −∆ ∆ = (2-9) 其中∆P1 =P1 −P5、∆P5 =P5 −P7和∆P7 −∆PS7 =P7 −P8，而∆PS7表示流體流經管 7時，離心式流體機械所提供的壓力值，這也表示節點 7 和節點 8 之間的壓差值， 包含管路摩擦的壓損值和離心式流體機械提供的壓力值。因此由(2-8)式和(2-9) 式整理後可得到 1 1 8 1 5 7 7 P P P P P C PS −∆ −∆ −∆ = − = ∆ (2-10) 因為P 和1 P8為已知，因此C1為一常數。最後將∆P換成 的型式，可得到 2 n nQ K 1 2 1 1 2 5 5 2 7 7 7 K Q K Q K Q C PS − − − = ∆ (2-11)
其它的方程式同理可得，分別為 2 2 8 2 2 2 2 5 5 2 7 7 7 K Q K Q K Q P P C PS − − − = − = ∆ (2-12) 3 3 8 2 3 3 2 6 6 2 7 7 7 K Q K Q K Q P P C PS − − − = − = ∆ (2-13) 4 4 8 2 4 4 2 6 6 2 7 7 7 K Q K Q K Q P P C PS − − − = − = ∆ (2-14) 2 C 、 和 一樣為常數。 (2-11)式~(2-14)式的路徑，均從含離心式流體機械 管段的出口節點(節點 8)，走向各個入口節點(節點 1、2、3 和 4)。此時方程式 共有 7 個，而未知數共有 8 個，多出一個未知數 3 C C4 7 S P ∆ ，是由於離心式流體機械所 造成的，必須從性能曲線方程式著手，找出最後一方程式。 (2-1)式代表離心式流體機械的性能曲線方程式，先前提過用二次多項式來 表示已十分吻合，因此可將離心式流體機械在某固定轉速下的性能曲線寫成 3 7 2 2 7 1 7 S S S S C Q C Q C P = + + ∆ (2-15) 其中 、 和 皆為常數，下標 S 表示離心式流體機械。(2-11)式~(2-14) 式等號左邊的每一項(除了 )，均為一全壓損失係數乘上管路流量的平方。因 此為了將 併入方程組計算，將(2-15)式利用配方法寫成 1 S C CS2 CS3 7 S P ∆ 7 S P ∆ 1 2 2 3 2 1 2 7 1 2 2 7 1 7 4 ) 2 ( S S S S S S S S S C C C C C Q C C Q C P ⎟⎟+ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ∆ 1 2 2 3 2 1 2 7 1 4 2 S S S S S S C C C C C Q C ⎟⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 4 2 7 1 S S G C C + = (2-16) 其中 1 2 7 7 2 S S C C Q G = + 且 1 2 2 3 4 4 S S S S C C C C = − 。將(2-16)式代入(2-11)式，整理過後可 以得到 4 1 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 7 1 S S G K Q KQ KQ C C C − − − = − (2-17) 同理，(2-12)~(2-14)式也可以將(2-16)式代入
4 2 2 2 2 2 5 5 2 7 7 2 7 1 S S G K Q KQ K Q C C C − − − = − (2-18) 4 3 2 3 3 2 6 6 2 7 7 2 7 1 S S G K Q K Q K Q C C C − − − = − (2-19) 4 4 2 4 4 2 6 6 2 7 7 2 7 1 S S G K Q K Q K Q C C C − − − = − (2-20) 此時未知數 轉換成未知數 ，同樣多出一未知數 ，不過可由(2-16)式的 配方過程，再取得一方程式 7 S P ∆ G7 G7 1 2 7 7 2 S S C C Q G − = (2-21) 因此目前系統共有 8 個方程式(2-3)式~(2-5)式、(2-17)式~(2-21)式和 8 個未知 數(Q1、Q2、…、Q7、G7)，則可以解出所有的管路流量。 (2-17)式~(2-20)式的 (n=1、2、…、7)均為已知數，此為管路的全壓損 失係數，這包含兩個部分，一是流體流經管路因摩擦所造成的損失，二是管路系 統中所安裝各式設備(equipment)及配件(fitting)，所造成的次要損失(Minor Loss)。以下將介紹將如何處理這部分。 n K (1) 摩擦損失 流體流經管路會因為摩擦而造成全壓損失，不同材質、管徑和長度的管路損 失，可用 Darcy-Wesbach 公式[3]來計算 2 2 n n n n n V D L f P = ⋅ ∆ ρ (2-22) 下標 n 表示不同管路有不同長度( )、管徑( )與材質，在不同的平均速度時 ( )，會有不同的全壓損失。 稱為摩擦因子(friction factor)，與雷諾數 (Reynolds number， n L Dn n V fn µ ρVnDn ，μ為流體黏滯係數，ρ 為流體密度)和管路相對粗 糙度有關，可由 Colebrook 公式[6]求得 ) Re 35 . 9 ( log 2 14 . 1 1 10 f D e f = − + Re > 4000 (2-23) 其中 e 為管壁的絕對粗糙度(absolute roughness)，單位為長度單位。 D e 稱為相 對粗糙度。由於 Colebrook 求解時較為困難，因此可以用 Altshul-Tsal 方程式
[6]來求得 f 值，為 25 . 0 Re 68 11 . 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′ D e f (2-24) 若 f′≥0.018：f = f′ 若 f′<0.018：f =0.85f′+0.0028 只要知道相對粗糙度和雷諾數，便可以直接求得 值。將(2-22)式的速度項改成 流量，可寫成 f 2 2 ) ( 2 n n n n n n n n K Q A Q D L f P = = ∆ ρ (2-25) 而Kn即為管路的全壓損失係數，An為管路截面積。 (2) 次要損失(Minor Loss) 管路系統中，常見造成次要損失的原因有彎管(bend)、風門(damper)、不同 管路的連接等。次要損失與動壓呈成正比關係，其通式可寫成 ∆P=CcPv,c (2-26) 其中Pv,c代表動壓，Cc代表損失係數，下標 代表連管(common)。其中動壓等於 c 2 2 , n c v V P = ρ ，因此(2-35)式可寫成 2 2 n c V C P= ⋅ ∆ ρ (2-27) (i)、彎管(bend)： 實際管路結構中常受限於廠房現場的配置，在同一段管路中常會有許多轉彎 的部分即稱為彎角。如圖 2-4 和圖 2-5 分別為 90 度彎角和其它角度彎角的結構 與損失係數。經過彎角的全壓損失為 2 2 n b V C P= ⋅ ∆ ρ (2-28) b C 為彎角損失係數，可從圖 2-4 和圖 2-5 上依據不同管路條件得到。 是該管 路管內流體的平均速度。因此(2-28)式也可以將速度轉換成流量。若一管路有一 彎角，則包括摩擦所造成的全壓損失可寫成 n V
2 2 2 2 2 2 ) 2 1 2 1 ( 2 2 n n n n b n n n n n b n n n n n Q K Q A C A D L f V C V D L f P = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ∆ ρ ρ ρ ρ (2-29) 其中全壓失係數Kn包括因摩擦和彎角所造成的損失。 (ii)、三管路相接 三管相連接(wye)分別為主管(main, straight-through)，子管(branch)和 連管(common branch)。如圖 2-6 為一主管和連管管徑相同，且子管與主管角度 為 30 度的結構圖與損失係數。圖中標示 s 即為主管，b 即為子管，而 c 為連管。 從主管到連管的全壓損失用∆Pb,c。從主管流經連接處到連管的全壓損失為 2 2 , , c c s c s V C P = ⋅ ∆ ρ (2-30) 而從子管流經連接處到連管的全壓損失為 2 2 , , c c b c b V C P = ⋅ ∆ ρ (2-31) 其中 和 可由圖 2-6 的表格查得。(2-30)式與(2-31)式都是乘上的連管平 均速的平方，而非主管或子管的。建立方程式時，需要依照經過的路徑來計算三 管連接處所造成的全壓損失。考慮圖 2-1 之路徑 c s C, Cb,c 管 1→管 5和管 2→管 5，管 5為 連管，管 2為子管，管 1為主管，比較(2-17)式與(2-18)式，當兩方程式皆通過 節點 5 時，所造成的全壓損失各不相同。因此建立方程式時，每條路徑各自計算 經過節點連接處時的全壓損失。 (iii)、其它 除了(i)和(ii)之外，尚有風門(圖 2-7)與管路突擴與突縮(圖 2-8)所造成 的次要損失，其公式皆與(2-26)式相似，更詳細的資料可以由文獻[6]中找到。 到目前為止，說明了如何建立方程式，經計算所求得之流量結果，除了與現 實管路系統比較外，尚可利用操作點的原理判斷。對複雜的管路系統而言，若系
統設定不變，則系統的全壓損失與總流量的平方成正比，畫成 圖為一條曲 線，稱為系統阻抗曲線。可寫成 Q P− 2 sys sys sys K Q P = (2-32) 其中 為固定常數， 為系統的總流量， 為系統的全壓損失。因此在系 統不變的條件下，已知系統的在某流量時的對應全壓損失，則可求出系統的阻抗 曲線。圖 2-9 為系統阻抗曲線與性能曲線的交叉點，該點所對應的流量與壓力， 即為系統的總流量與系統的全壓損失，稱為操作點。若離心式流體機械的性能曲 線(2-33)式和系統阻抗曲線(2-32)式已知，由於系統的全壓損失等於離心式流體 機械所提供的壓力，系統的總流量等於離心式流體機械所提供的流量(即 )，(2-32)式代入(2-33)式可得到(2-34)式 sys K Qsys Psys sys P P= 3 2 2 1 S S S Q C Q C C P= + + (2-33) 2 3 2 2
1 sys S sys S sys sys S Q C Q C K Q C + + = (2-34) 利用公式法可求得兩曲線的交點(操作點)流量Qsys
(
(
)
)
sys S S sys S S S sys K C C K C C C Q − − − ± − = 1 3 1 2 2 2 4 (2-35) 如圖 2-9 所示，假設系統需求總流量為 15000 CMH，而操作點之流量為 12000 CMH，表示此轉速下無法達到系統需求，可藉由調整轉速提高流量。轉速的調速 方法，可由相似定理(Affinity Law)計算推導求得，其流量與轉速、壓力、功率 與轉速的關係為： R O R O N N Q Q = (2-36) 2 2 R O R O N N P P = (2-37) 3 3 R O R O N N BHP BHP = (2-38) 其中Q表示流量，N表示轉速，P表示壓力，BHP(Brake Horse Power)表示所需功率，下標 O 代表原始轉速 時的狀態，而下標 R 代表變更轉速 時的狀態。 圖 2-10 為某離心式流體機械在轉速為 和 的性能曲線之示意圖，圖中 A 和 B 點分別為在固定的系統下，不同轉速時的操作點。(2-32)式可以求得 A、B 兩 點的關係式為 O N NR O N NR 2 2 2 2 B A B sys A sys B A Q Q Q K Q K P P = = (2-39) 這也代表有相異兩點均在系統阻抗曲線上，其關係式必滿足(2-39)之型式。若直 接將 A 點由(2-36)式與(2-37)式計算，把轉速調高至 ，所求得的結果為 C 點， 其關係式可表示為 R N R O C A N N Q Q = (2-40) 2 2 R O C A N N P P = (2-41) 將(2-40)式代入(2-41)式 2 2 C A C A Q Q P P = (2-42) (2-42)式指出 C 在系統阻抗曲線上，即 B 點和 C 點同一點。也就是已知操作點 A， 即可利用相似定理計算出不同轉速性能曲線與系統阻抗曲線的操作點 B。 若 B 點為系統的目標流量與壓力(即QB =Qsys和PB =Psys)，但不知離心式流 體機械所需轉速為多少，由(2-32)式可以計算出參數Ksys，可寫成 2 sys sys sys Q P K = (2-43) 離心式流體機械轉速 時的性能曲線方程式如(2-33)式所示，將(2-33)式與 (2-43)式所需係數代入(2-35)式，求得系統流量 。再利用(2-36)式求得 O N A Q Nsys A sys O sys Q Q N N = (2-44)
將原本的離心式流體機械轉速調至 ，即可得到所需的流量。利用(2-36)式和 (2-37)式，離心式流體機械調整轉速後的方程式為 sys N 3 2 2 S1 2 2 C sys S sys O S sys sys O sys O C Q N N C Q N N P N N + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (2-45) 將係數移項整理後可得到 3 2 2 1 2 3 2 2 S1 C S sys S sys S O sys S sys O sys S sys C Q C Q C N N C Q N N C Q P ′ + ′ + ′ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = (2-46) 其中CS1′ =CS1、 O sys S N N C 2 S2 C′ = 和 2 3 S3 C ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ O sys S N N C ，(2-46)式即為變更轉速後之 性能曲線方程式。 每台離心式流體機械之轉速有一定的上限，當轉速調至最高時，仍然無法達 到系統需求流量，這時就必須採用多台離心式流體機械並聯。當同樣型號的離心 式流體機械並聯在一起，性能曲線的流量隨並聯離心式流體機械的數目增加而以 倍數增加，而壓力值不變。圖 2-11 即為為離心式流體機械在固定轉速時，不同 數目並聯的性能曲線。比較圖上單台與兩台並聯的性能曲線，提供相同壓力的條 件下，兩台並聯所提供的流量是單台的兩倍。同樣的，三台並聯在同樣壓力的條 件下，提供三倍的流量。換句話說，不同數目之離心式流體機械並聯後，整體的 性能曲線也隨著改變。若單台的性能曲線為 3 1 2 2 1 1 p S p S S Q C Q C C P= + + (2-47) 其中 、 和 一樣為常數， (J = 1、2、3、……)代表並聯離心式機械 的總流量，下標J代表離心式流體機械的台數。當J台離心式流體機械並聯時， 在相同的壓力條件下，流量會變成J倍，也就是 1 S C CS2 CS3 QJp p Jp J Q Q = × 1 ，帶入(2-47)式可 得到
3 2 2 1 3 2 2 2 1 S Jp S Jp S S Jp S Jp S C Q C Q C C Q J C Q J C P ′′′ + ′′ + ′′ = + + = (2-48) 其中 21 1 J C CS′′ = S 、 J C CS′′2 = S2 和CS′′3 =CS3。 (2-48)式即將多台並聯之離心式流體機械，目前已知如何將多台並聯等效於 單台的方法，並可利用操作點的原理，計算多台並聯之系統總流量。然而在並聯 的型式不同下，總流量是否會於每台中均分，從操作點的原理是無法得知。先前 已說明如何求得單台管路系統之方程式，兩台以上之並聯方程式原理其實也是一 樣，分別從流量守恆、能量守恆和性能曲線方程式中求得。 考慮圖 2-12 兩台並聯之系統，每台離心式流體機械的性能曲線相同，為 3 2 2 1 S S S Q C Q C C P= + + (2-49) 共有 9 個流量未知數( 、 、…、 )，因此需 9 個線性獨立方程式。流量守 恆方程式為建立在非出入口之節點上，其中 3 個節點(即節點 5、6 和 7)與(2-3) 式~(2-5)式相同，再多加節點 8 的流量守恆 1 Q Q2 Q9 0 9 8 7 −Q −Q = Q (2-50) 共 4 個流量守恆方程式。能量守恆方程式依之前的原理，只要從某一出入口走向 另一出入口即可，也就是節點 10 分別走向節點 9、4、3、2 和 1，節點 9 走向節 點 4、3、2 和 1，節點 4 走向節點 3、2 和 1，節點 3 走向節點 2 和 1，以及節點 2 走向節點 1。因此在這個系統中，總共可以找出 15 條路徑。然而剩下所需之方 程式只需 5 個，若選擇不當，會造成方程式此線性相依，解出無限多組解。為了 避免這種情況發生，用以下規則找尋最後的方程式。若系統有 M 台離心式流體機 械並聯，在扣除流量守恆方程式個數後，尚需 N 條能量守恆方程式，最方便的能 量守恆路徑選法如下： 步驟 1：先選定某一固定離心式流體機械(比如管 9)的出口為起點，走向各個吸 入口節點，可找出N-M+1 個方程式。 步驟 2：剩下M-1(即剩下離心式流體機械的數量)的方程式，以其它某一離心式
流體機械的出口為起點，走向任一吸入口節點，便可再找到一條方程式， 例如從出口節點 9 走經管 8→管 7→管 5→管 1到入口節點 1。 步驟 3：若有三台離心式流體機械以上並聯，再以剩下的離心式流體機械的出口 為起點，同步驟 2 再找出一條方程式。 這也表示說其中一台離心式流體機械，會提供 N-M+1 個方程式，其它台則各提供 1 方程式。 根據以上之步驟，步驟 1 可得到 4 個方程式 4 1 4 1 10 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 9 9 2 9 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-51) 4 2 4 2 10 2 2 2 2 5 5 2 7 7 2 9 9 2 9 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-52) 4 3 4 3 10 2 3 3 2 6 6 2 7 7 2 9 9 2 9 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-53) 4 4 4 4 10 2 4 4 2 6 6 2 7 7 2 9 9 2 9 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-54) 步驟 2 可得到最後一個方程式 4 5 4 1 9 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-55) 其中 和 與(2-16)式的原理相同，是由性能曲線配方法得到，因此最後必須 增加的方程式為 8 G G9 1 2 8 8 2 S S C C Q G − = (2-56) 1 2 9 9 2 S S C C Q G − = (2-57) 此時如果再添加一方程式，其路徑為節點 9 走向節點 2，方程式為 4 6 4 2 9 2 2 2 2 5 5 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S S G K Q K Q K Q K Q P P C C C C − − − − = − − = − (2-58) 將(2-51)式減去(2-52)式，以及(2-55)式減去(2-58)式，都可得到(2-59)式 1 2 2 1 1 2 2 2Q K Q P P K − = − (2-59) 這也代表路徑選擇過多或是不當時，會造成方程式線性相依的問題。以上雙機並 聯需要的方程式，包含 4 個流量守恆方程式(2-3)式~(2-5)式和(2-50)式，5 個
能量守恆方程式(2-51)式~(2-55)式，以及因性能曲線增加的 2 個方程式(2-56) 式和(2-57)式，總共 11 個方程式。 依照這 3 個步驟，同理可以選取出三台並聯系統所需之能量守恆方程式。考 慮如圖 2-13 之系統，每台離心式流體機械之性能曲線皆相同，同(2-49)式。從 步驟 1 可得到 4 個方程式 4 1 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S G K Q K Q K Q K Q C C C − − − − = − (2-60) 4 2 2 2 2 2 5 5 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S G K Q K Q K Q K Q C C C − − − − = − (2-61) 4 3 2 3 3 2 6 6 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S G K Q K Q K Q K Q C C C − − − − = − (2-62) 4 4 2 4 4 2 6 6 2 7 7 2 8 8 2 8 1 S S G K Q K Q K Q K Q C C C − − − − = − (2-63) 從步驟 2 可得到 4 5 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 10 10 2 9 9 2 9 1 S S G K Q K Q K Q K Q K Q C C C − − − − − = − (2-64) 從步驟 3 可得到 4 6 2 1 1 2 5 5 2 7 7 2 10 10 2 11 11 2 11 1 S S G K Q K Q K Q K Q K Q C C C − − − − − = − (2-65) 其中G8、G9和G11同理可由性能曲線方程式中求得。 1 2 8 8 2 S S C C Q G − = (2-66) 1 2 9 9 2 S S C C Q G − = (2-67) 1 2 11 11 2 S S C C Q G − = (2-68) 三機並聯的方程式共可求得 14 個方程式。從單機、雙機到三機並聯的方式中發 現到，若系統有 X 條管段，有 M 台離心式流體機械並聯，所需的線性獨立方程式 必須要有 X+M 條。 到目前為止，已提出了如何計算多台離心式流體機械並聯系統之流量計算， 為了達到最省能源的並聯台數，必須得知系統所需之總功率。離心式流體機械之
功率公式為 Ef Z P Q BHP × × = (2-69) 其中BHP代表功率，Q代表流量， 代表壓力，P Ef 代表效率，Z代表單位轉換 常數。隨著流量與壓力單位使用的不同，Z值也隨之改變。以一般泵浦而言，流 量的單位為GPM，而壓力使用單位為FT ，所以Z值為 3960。從(2-69)式中可 以得知，除了流量與壓力外，效率值Ef 也會影響到功率值的大小。 若廠商給的離心式流體機械的資料圖包含等效率曲線，那麼只要知道離心式 流體機械操作時的壓力和流量，則可直接查出效率值。如圖 2-2 之不同直徑泵 浦，像 U 字型之(C)曲線為等效率曲線。若葉片直徑為 7 英吋，在流量 120 GPM 與壓力 45FT 時，其效率值約為 66%，那麼所使用功率為 2.06HP；若葉片值徑 為 6 英吋，在流量 120 與壓力 27 時，其效率值約為 61%，使用功率為 1.34 GPM FT HP。又如圖 1-1 所示風機，假使廠商給的資料為在固定轉速下之效率曲線 (Ef ，也就是機械效率)或功率曲線(BHP，即制動馬力)，當轉速變更時，其曲 線也必定隨之改變，也因此無法從查表中求得，只得借助數學轉換公式逼近。 轉速變更時之相似定理(Affinity Law)如(2-36)式~(2-38)式所示，而直徑 變更時之相似定理也和轉速的相似定理公式類似，為 n R O R O D D Q Q ) ( = (2-70) m R O R O D D P P ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (2-71) k R O R O D D BHP BHP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (2-72) 以泵浦而言，其n=1，m=2，k =3[9]；若以風機而言n=3， ， [7]。 文獻[9]提到當泵浦變動直徑與原提供直徑相差愈遠時，其計算求得的誤差值也 愈大，因此變動直徑以不小於原直徑之 70%為原則。文獻[10]提供泵浦直徑計算 的修正圖，如圖 2-14 所示，可以使(2-70)式~(2-72)式所計算的誤差值減少。其 2 = m k =5
中橫軸代表欲求之直徑比，而縱軸代表修正後計算的直徑比，例如原直徑 為 7〞，提供的流量 為 100 GPM ，欲求直徑 為 6〞時之流量，實際直徑比為 0.857，從橫軸找到 0.857 的值，對應縱軸的值約為 0.839，因此要利用(2-70) 式~(2-72)式公式計算時，在直徑比所代入的值應為 0.839，所求之 為 83.9 。 O D O Q DR R Q GPM 效率曲線可和性能曲線一樣，可利用多項式表示。先前性能曲線採用二次多 項式表示，是由於能量守恆方程式流量均為二次式，會比較方便計算。而在效率 曲線方面，由於是獨立出來的計算式，因此可採用更高次之多項示表示。因此效 率曲線可寫成
∑
= = j i i iQ E Ef 0 (2-73) 其中 j 代表最高次項， 為係數。圖 2-14 到圖 2-16 分別是以二次、三次以及四 次多項式，所呈現圖 2-14 風機之效率曲線圖。可以發現二次多項式和三次多項 式，與原資料點有較大的差異，而四次多項式較為相近，這也代表不同之曲線圖， 不見得一定要用二次來表示，可以採用較符合之多項式表示。 i E 以下將利用(2-70)式到(2-72)式，証明當轉速或直徑變更時，其效率曲線的 變化情況。從(2-69)式可得知效率與流量、壓力和功率之相關式 O O O O BHP Z P Q Ef × × = (2-74) 下標 O 代表直徑為DO。如今將轉速由DO調成DR時，效率值EfR為 R R R R BHP Z P Q Ef × × = (2-75) 因為 和 、 和 以及 和 必需滿足相似定理，因此將(2-70)式 ~(2-72)式代入(2-75)式得到 O Q QR PO PR BHPO BHPRO k m n O R O O O k m n O R O k O R O m O R O n O R R Ef D D BHP Z P Q D D BHP D D Z P D D Q D D Ef − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = × × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = × × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ) ( ) ( (2-76) 因此若EfO之多項式為
∑
= = j i i O i O EQ Ef 0 (2-77) 所以EfR之多項式應為 i O j i i k m n O R O k m n O R R EQ D D Ef D D Ef∑
= − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0 (2-78) 最後將QO轉換成QR，可得到∑
∑
∑
= + − − = = − + ′ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = j i i R i i R k m n R O j i i i R R O j i i k m n O R R Q EQ D D E Q D D E D D Ef 0 0 0 α α (2-79) 其中 k m n R O i i D D E E + − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ α ，而α =i×n。 同理轉速變更時，可利用(2-79)式求解。當轉速不同時，其 ， ， ，求出之 為 1 = n m=2 3 = k EfR∑
= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = j i i R i R O i R Q N N E Ef 0 (2-80) 利用以上之效率曲線轉換公式，再配合(2-69)式，即可求出不同轉速(或直徑) 時的功率值。 若功率曲線也為已知，以多項式表示為∑
= = j i i O i O SQ BHP 0 (2-81) 因此利用(2-70)式和(2-72)式，一樣可求出不同直徑時之功率曲線。將這兩式代 入(2-81)式為∑
= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ j i i R R O i R k R O Q D D S BHP D D 0 α (2-82) 而α =i×n，將(2-82)式整理可得∑
= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = j i i R k R O i R Q D D S BHP 0 α (2-83) 同理轉速變更時，可利用(2-83)式求解。當轉速不同時，其n=1， ， ， 求出之 為 2 = m k=3 R BHP∑
= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = j i i R i R O i R Q N N S BHP 0 3 (2-84)Coefficients for 90。
Elbows
r/D 0.5 0.75 1.0 1.5 2.0 2.5
b
C 0.71 0.33 0.22 0.15 0.13 0.12
Angle Correction Factors Kθ (Idelchik 1986, Diagram 6-1)
θ 0 20 30 45 60 75 90 110 130 150 180
θ
K 0 0.31 0.45 0.6 0.78 0.9 1 1.13 1.2 1.28 1.4
θ, deg 20 30 45 60 75 90
b
C 0.08 0.16 0.34 0.55 0.81 1.2
Reynolds Number Correction factors：M/hc
Re 4 1 2 3 4 6 8 10 10− × ≥14 θ K 1.4 1.26 1.19 1.14 1.09 1.06 1.04 圖 2-5 其它角度彎角
Branch Cb,c c b A A / c b Q Q / 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0 0 -0.1 -0.1 -0.1 -0.9 -0.9 -0.9 -0.9 0.1 0.21 -0.46 -0.57 -0.51 -0.53 -0.54 -0.54 0.2 3.1 0.37 -0.06 -0.16 -0.23 -0.24 -0.28 0.3 7.6 1.5 0.5 0.15 -0.04 -0.06 -0.08 0.4 14 3.0 1.2 0.42 0.19 0.13 0.12 0.5 21 4.6 1.8 0.53 0.24 0.19 0.15 0.6 30 6.4 2.6 0.77 0.35 0.28 0.17 0.7 41 8.5 3.4 0.99 0.42 0.28 0.22 0.8 54 12 4.2 1.2 0.47 0.29 0.25 0.9 58 14 5.3 1.4 0.49 0.29 0.22 1.0 84 17 6.3 1.6 0.49 0.21 0.15 圖 2-6 三管相連接
Branch Cs,c c b A A / c b Q Q / 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.02 0.11 0.13 0.15 0.16 0.17 0.17 0.2 -0.33 0.01 0.13 0.19 0.24 0.27 0.29 0.3 -1.1 -0.25 -0.01 0.1 0.22 0.3 0.35 0.4 -2.2 -0.75 -0.3 -0.05 0.17 0.26 0.36 0.5 -3.6 -1.4 -0.7 -0.35 0 0.21 0.32 0.6 -5.4 -2.4 -1.3 -0.7 -0.2 0.06 0.25 0.7 -7.6 -3.4 -2.0 -1.2 -0.5 -0.15 0.1 0.8 -10 -4.6 -2.7 -1.8 -0.9 -0.43 -0.15 0.9 -13 -6.2 -3.7 -2.6 -1.4 -0.8 -0.45 1.0 -16 -7.7 -4.8 -3.4 -1.9 -1.2 -0.75 圖 2-6 三管相連接(續)
θ, degrees 0 / D D 0 10 20 30 40 50 60 70 75 80 85 0.5 0.19 0.27 0.37 0.49 0.61 0.74 0.86 0.96 0.99 1.0 1.0 0.6 0.19 0.32 0.48 0.69 0.94 1.2 1.5 1.7 1.8 1.9 1.9 0.7 0.19 0.37 0.64 1.0 1.5 2.1 2.8 3.5 3.7 3.9 4.1 0.8 0.19 0.45 0.87 1.6 2.6 4.1 6.1 8.4 9.4 10 10 0.9 0.19 0.54 1.2 2.5 5.0 9.6 17 30 38 45 50 1.0 0.19 0.67 1.8 4.4 11 32 113 -- -- -- -- 圖 2-7 風門與損失係數
θ, degrees 1 0/ A A 10 15 20 30 45 60 90 120 150 180 0.06 0.21 0.29 0.38 0.6 0.84 0.88 0.88 0.88 0.88 0.88 0.1 0.21 0.28 0.38 0.59 0.76 0.8 0.83 0.84 0.83 0.83 0.25 0.16 0.22 0.3 0.46 0.61 0.68 0.64 0.63 0.62 0.62 0.5 0.11 0.13 0.19 0.32 0.33 0.33 0.32 0.31 0.3 0.3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.22 0.24 0.48 0.72 0.96 1.0 4 0.8 0.64 0.64 0.64 0.88 1.1 2.7 4.3 5.6 6.6 6 1.8 1.4 1.4 1.4 2.0 2.5 6.5 10 13 15 10 5.0 5.0 5.0 5.0 6.5 8.0 19 29 37 43 圖 2-8 管路突擴與突縮損失係數
第三章 數值方法
考慮如圖 2-13 之管路系統，整個方程式的建立與求解過程，可分為下列 5 個步驟進行： (1) 輸入資料：輸入所有管段連接的相對資料，包含各管段的長度、直徑和 粗糙度、管路元件(風門、合流管和彎管等)，工作流體密度與黏滯係數， 系統所有出入口的全壓值，離心式流體機械性能曲線、效率曲線和所在 管段與流向，以及設定所有未知數(Qn和Gn)的初始值。 (2) 建立預設流量方向：由於輸入資料中，並沒有給定流向值，在此要先決 定各管段流量的方向性，才能往下建立方程式。 (3) 建立方程式：當初始流向設定完成後，便可求出流量守恆所在節點，和 能量守恆之路徑方程式。 (4) 非線性方程式轉換成線性方程式：將能量守恆所建立的非線性方程組轉 換成線性方程組。 (5) 解線性聯立方程組與誤差設定：利用線性法求解流量未知數，並設定合 理之誤差值，使得流量與各管段壓損值達到收斂條件。 (1) 輸入資料 輸入的方法採用綜合法(Combined Representation, [5])，由 3 個一維陣列 表示其管路結構的相對位置。考慮圖 2-13 的管路，輸入的 3 個向量 元素對應的節點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 位置向量 T：[1 2 3 4 5 8 11 14 17 18 19 22] 相連接管路向量 AT：[1 2 3 4 1 2 5 3 4 6 5 6 7 7 8 10 8 9 10 9 11 11] 相連接節點向量 TL：[5 5 6 6 1 2 7 3 4 7 5 6 8 7 9 11 8 11 8 10 12 11] T是位置向量，用來對應每一個節點在其它兩個向量開始的位置。AT是相連接管路向量，用來記錄與節點相連接的管路。TL是相連接節點向量，用來記錄與節點 相連接的節點。如T向量第 1 個元素 1 代表在AT和TL中，與節點 1 有關的資料從 第 1 個元素開始，也就是說AT向量記錄與節點 1 相連接的管路是管路 1，TL向量 記錄與節點 1 相連接的節點是節點 5；而T向量第 5 個元素就代表節點 5 相關的 資料從第 5 個算起，意即與節點 5 相連接的管路是管 1、管 2和管 5，相鄰的節 點是節點 1、節點 2 和節點 5。同理，與節點 6 相連接的管路有管 3、管 4和管 6，與節點 6 相鄰的節點有節點 3、節點 4 和節點 7，其它的節點可以依此類推。 此外，尚需要輸入每根管路的長度、直徑、粗糙度與工作流量的密度，用來計算 摩擦的全壓損失，粗糙度與管路材質有關。其它元件包括風門，多管連接的結構 或其它會造成全壓損失的元件。除了這些輸入的資料外，尚需離心式流體機械所 在的管段、流向和性能曲線。 (2) 建立預設流量方向 由於綜合法並沒有輸入流體的流向，可依系統的需求假設初始流向，若系統 為排氣系統，則流體從吸入口流向離心式流體機械，如圖 2-13 所設立的流向， 由節點 1、2、3 和 4 流向節點 9、10 和 12。因此我們採用樹狀圖的方式，將流 向先做初步假設。單機系統之建立樹狀結構的步驟為 1. 以最外側離心式流體機械的出口節點(也就是節點 12)為參考起點，將此 點設為目標點(存入於目標點向量中)，同時將目標點也存入已搜尋向量。 2. 找出與目標點相連接的節點，判別此節點是否存在於已搜尋向量，若尚 未存在，則將方向設為相鄰節點流向目標點，並將資料記錄下來，反之 則跳過。 3. 此時將有設定方向之相鄰節點，存入下次目標點向量與已搜尋向量中， 待目標點向量內之所有目標點用完，下次目標點向量取代目標點向量。 4. 若已搜尋過向量的節點數目等於管路的節點數則程式結束，否則持續步 驟 2 和步驟 3。 5. 最後判別離心式流體機械之流向是否與所在管段流向相同，如果不同則
更正為離心式流體機械之流向。 以圖 2-13 為例，起始目標點為節點 12，找到相鄰點為節點 11，此點並不存 在於已搜尋向量中，因此管 11之流量尚未決定，將流量設為節點 11 流向節點 12， 也就是管 11之流向是朝著節點 12。此時設立管段對應節點之矩陣，縱軸為管段 編號，橫軸為節點編號，在矩陣位置(11,12)定義為 1，代表是管 11流向節點 12 為正向；在矩陣位置(11,11)為-1，代表管 11流向節點 11 為負向，其它不存在 之位置，用 0 表示。待方向記錄完成後，將節點 11 設為目標點，存入下次目標 點向量以及已搜尋向量。由於原目標點向量中，只有節點 12，其相鄰管段之流 量全設定完成，因此這時可將下次目標點向量取代原目標點向量，再由新的目標 點向量開始搜尋。新的目標點只有節點 11，此時相鄰節點中，節點 12 存在於已 搜尋向中，所以跳過不計，而節點 8 和節點 10 尚未存在，因此分別將管 9和管 10流向定義完成後，將下次目標點向量更新為節點 8 和節點 10，同時也將兩節 點存入已搜尋向量。此時再更新目標點向量，此時目標點為節點 8 和節點 10， 由於節點 11 已搜尋過，也代表節點 10 找不到下次的目標點，而節點 8 則可找到 節點 9 和節點 7，因此下次的目標點只有節點 7 和節點 9。利用以上的原理，可 一直往下找尋，直到所有節點已被搜尋過後，才算流向設定完成。 以上之步驟為步驟 1 到步驟 4 的過程，其結果為(3-1)式所示
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(3-1)若是系統只有單一流體機械，只需執行步驟 1 到步驟 4 即可。但以圖 2-13 之三 機並聯的例子，可發現管 8和管 9流向不合，因此再執行步驟 5，矩陣變為(3-2) 式
