本章將介紹圖論之基本概念、行星齒輪組及一般差速器的運動與力學關係、
扭力分配系統之背景概念、功能動力圖之使用、車輛受力和運動模型、以及輪胎 之力學模型。
2-1 圖論之基本概念
圖論（Graph theory）被廣泛應用於電子電路、化學、機構運動學等學科，為 一種系統化之解決問題的方法。1964 年，Freudenstein 及 Crossley 皆在機構分析與 合成的研究中導入圖論之概念，將機構中的連桿及運動對分別以點和線來表示，建 立了一套系統性的分析與合成理論，使得圖論成為機構設計的一項有利工具[28]。
相較於機構的運動簡圖表示法，圖畫表示法可以更簡單的判別兩個不同機構 的異同處，並且明確的表達桿件之間的運動關係，同時可以用來做系統化的分類，
對進行機構合成也有很大的幫助。
本研究中，機構的圖畫表示法將使用圓表示桿件，用邊表示運動對，並且以細 邊表示旋轉運動對、粗邊表示齒輪運動對。在圖畫中，所有的邊皆為直線，且不可 相互交叉。
2-2 行星齒輪組之運動與力學關係
如圖 2-1 所示，行星齒輪組（Planetary gear）為常見齒輪結構的一種，通常有 數個行星齒輪（Planet gear）安裝在行星架（Carrier）上並且共同圍繞著一個太陽 齒輪（Sun gear）旋轉。除此之外，行星齒輪組的最外圍通常還有一個環齒輪（Ring gear），用來貼合行星齒輪繞行的軌跡。
圖 2-1 行星齒輪組示意圖[29]以及機構簡圖
參考劉思佳[29]對行星齒輪組之分析，根據其機構運動特性，可以得到兩條行 星齒輪組之運動方程式，如式(2.1)、(2.2)所示（其中𝑟𝑖為桿件 i 之齒輪節圓半徑、
𝜔𝑖為桿件i 的角速度）
𝑟𝑆𝜔𝑆+ 𝑟𝑅𝜔𝑅 = (𝑟𝑆+ 𝑟𝑅)𝜔𝐶 (2.1) (𝑟𝑆+ 𝑟𝑃)𝜔𝐶− 𝑟𝑃𝜔𝑃 = 𝑟𝑆𝜔𝑆 (2.2) 將行星齒輪組各桿件分解後繪製自由體圖如圖 2-2，其中𝐹𝑖/𝑗表示齒輪間桿件 i 對桿件 j 之作用力、𝜔̇𝑖表示桿件i 之角加速度、𝜏𝑖表示桿件i 所受之輸入扭力、𝑟𝑖
表示桿件i 之齒輪節圓半徑、𝑚𝑖表示桿件 i 之質量，𝐼𝑖則代表桿件 i 對其旋轉中心
軸的轉動慣量，此處定義x 進入紙面為正向，y 向左為正向，z 向前為正向。
圖 2-2 行星齒輪組機構受力自由體圖 根據受力圖分析，可得列出各元件之力學方程式如下：
𝜏𝑆− 𝐹𝑃/𝑆× 𝑟𝑆 = 𝐼𝑆× 𝜔̇𝑆 (2.3) 𝐹𝑅/𝑃× 𝑟𝑃 − 𝐹𝑆/𝑃× 𝑟𝑃 = 𝐼𝑃 × 𝜔̇𝑃 (2.4) 𝜏𝐶+ 𝐹𝑃/𝐶× 𝑟𝐶 = 𝐼𝐶× 𝜔̇𝐶 (2.5)
𝜏𝑅− 𝐹𝑃/𝑅× 𝑟𝑅 = 𝐼𝑅 × 𝜔̇𝑅 (2.6) 𝐹𝑅/𝑃 + 𝐹𝑆/𝑃− 𝐹𝐶/𝑃 = 𝑚𝑃 × 𝑟𝐶× 𝜔̇𝐶 (2.7) 接下來假設各桿件在等速運轉的狀態下，系統將處於穩定平衡狀態，因此各桿 件之加速度與角加速度均為零，因此可將式(2.3)～(2.7)重新整理如下：
𝜏𝑆− 𝐹𝑃/𝑆× 𝑟𝑆 = 0 (2.8) 𝐹𝑅/𝑃 × 𝑟𝑃− 𝐹𝑆/𝑃× 𝑟𝑃 = 0 (2.9) 𝜏𝐶+ 𝐹𝑃/𝐶× 𝑟𝐶 = 0 (2.10) 𝜏𝑅− 𝐹𝑃/𝑅× 𝑟𝑅 = 0 (2.11) 𝐹𝑅/𝑃+ 𝐹𝑆/𝑃− 𝐹𝐶/𝑃= 0 (2.12) 由上述方程式可推得在穩定平衡狀態之下，齒輪間內力關係式如下：
𝐹𝑅/𝑃 = 𝐹𝑆/𝑃 = 𝐹 (2.13) 𝐹𝐶/𝑃 = 𝐹𝑅/𝑃+ 𝐹𝑆/𝑃 = 2𝐹 (2.14) 因此可以推得太陽齒輪、行星架、環齒輪在穩定平衡狀態時之扭力關係式如下：
𝜏𝑆: 𝜏𝐶: 𝜏𝑅 = −𝑟𝑆: 2𝑟𝐶: −𝑟𝑅 (2.15) 又根據行星齒輪組之機構特性，可知行星架之齒輪半徑與太陽齒及環齒輪半 徑關係如下：
𝑟𝐶= 𝑟𝑅+ 𝑟𝑆
2 (2.16)
可修改扭力關係式如下：
𝜏𝑆: 𝜏𝐶: 𝜏𝑅 = 1: −𝑟𝑅+ 𝑟𝑆 𝑟𝑆 :𝑟𝑅
𝑟𝑆 (2.17)
由以上推導可知，行星齒輪組在穩定平衡狀態下，三個同軸桿件的扭力將會成 一固定比例，且此比例僅與機構之齒輪半徑有關，與轉速並無關係。
2-3 差速器之運動與力學關係
參考黃靖雄之一般開放式差速器（Open differential）構造[30]，如圖 2-3 差速 器由兩個差速小齒輪以及與左右車軸相接的左邊齒輪、右邊齒輪組成，這些齒輪配 置於差速器殼（差速器行星架）內，並互相咬合在一起。當左右輪轉速相同時，介 於中間的差速小齒輪並不轉動，當左右輪軸轉速不相同時，差速小齒輪則開始轉動，
此處機構簡圖將左車軸編號為桿件①、右車軸編號為桿件②、差速器殼（差速器行 星架）編號為桿件③、差速小齒輪編號為桿件④，方便後續討論。
圖 2-3 一般差速器構造[30]與其機構簡圖
為了解其力學特性並建立動態模型，參考Genta and Morello 的分析方式[31]，
透過運動學檢視其特性，可將差速器視為一等效之行星齒輪系統，在一般差速器之 情況中，兩輸出軸齒輪可分別對應到太陽齒輪及環齒輪，差速器殼對應到行星架。
參考式(2.1)，可知左輪軸、右輪軸、以及差速器殼（差速器行星架）之轉速關 係如下：
𝑟1𝜔1+ 𝑟2𝜔2= (𝑟1+ 𝑟2)𝜔3 (2.18) 由於左右輪軸之軸齒輪齒數必須相等，因此𝑟1 = 𝑟2，將之代入式(2.18)，可得 如式(2.19)之轉速關係。在固定差速器行星架之角速度下，𝜔1及𝜔2可以有無限種組 合，因此具有差速功能。
𝜔1+ 𝜔2 = 2𝜔3 (2.19) 將式(2.19)對時間微分可得各齒輪間之角加速度關係如式(2.20)：
𝜔̇1+ 𝜔̇2 = 2𝜔̇3 (2.20) 參考Bai[32]之差速器模型，得知可以用力學方程式來分析差速器，參照圖 2-4，定義 x 進入紙面為正向，y 向左為正向，z 向前為正向，令左輪軸（包含軸 本身、軸齒輪、以及輪胎）之轉動慣量為𝐼1、右輪軸之轉動慣量為𝐼2、差速器行 星架之轉動慣量為𝐼3、差速小齒輪的轉動慣量為𝐼4，𝜔̇1、𝜔̇2、𝜔̇3和𝜔̇4分別是左輪 軸、右輪軸、差速器行星架以及差速小齒輪之角加速度，都為+𝑦方向，𝜏1與𝜏2為 左右輪軸之負載扭力，皆為−𝑦方向，𝜏3為作用在差速器行星架上的輸入扭力，為 +𝑦方向。
圖 2-4 一般差速器受力模型
將差速器分解並繪製各桿件之自由體圖如圖 2-5，其中𝐹𝑖/𝑗表示齒輪間桿件i 對桿件j 之作用力、𝜏𝑖表示桿件i 所受之扭力、𝑟𝑖表示桿件i 之齒輪節圓半徑。
圖 2-5 差速器各桿件自由體圖
分析自由體圖，可對各桿件分別列出以下四條力學方程式：
2𝐹4/1× 𝑟1− 𝜏1 = 𝐼1× 𝜔̇1 (2.21) 2𝐹4/2× 𝑟2− 𝜏2 = 𝐼2× 𝜔̇2 (2.22) 𝜏3− 2𝐹4/1× 𝑟1 − 2𝐹4/2× 𝑟2= 𝐼3× 𝜔̇3 (2.23) 𝐹4/1× 𝑟4− 𝐹4/2× 𝑟4= 𝐼4× 𝜔̇4 (2.24) 其中桿件④為差速小齒輪，一般來說由於其轉動慣量𝐼4相對於整車驅動之轉動 慣量來說極小，因此在式(2.24)中將其忽略，因此可知𝐹4/1= 𝐹4/2，此處令𝐹4/1 = 𝐹4/2 = 𝐹。又在差速器中，𝑟1 = 𝑟2，此處令𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟，重新整理上述運動及力學方 程式，可得以下描述差速器之動態方程式。
𝜔̇1+ 𝜔̇2 = 2𝜔̇3 (2.25) 2𝐹 × 𝑟 − 𝜏1 = 𝐼1× 𝜔̇1 (2.26) 2𝐹 × 𝑟 − 𝜏2 = 𝐼2 × 𝜔̇2 (2.27) 𝜏3− 4𝐹 × 𝑟 = 𝐼3 × 𝜔̇3 (2.28) 由式(2.25)～(2.28)的關係可發現一般開放式差速器之缺點，當左側輪打滑時，
𝜏1值降低，造成𝜔̇1上升，𝜔̇2下降，代表打滑輪角加速度上升而未打滑輪角加速度 下降，因此造成整車之加速性能降低。
2-4 扭力分配系統之背景概念 2-4-1 離合器動力傳遞特性
如圖 2-6，離合器（Clutch）是一種透過摩擦力傳遞動力之機構，可分為常開 式和常閉式，常開式離合器兩側平時為分離狀態，長閉式兩側平時為接合狀態。以 常開式離合器為例說明，當傳遞動力時兩側受 x 方向正向力而接合，受力後在兩 側元件接觸面產生摩擦力矩𝜏𝑐，𝜏𝑐會隨著接觸面x 向壓力增大而增加，動力傳遞之 最大值取決於摩擦面之最大靜摩擦力。
圖 2-6 離合器力學關係圖
離合器動力傳遞之限制為動力只能由高轉速端傳遞至低轉速端，圖 2-6 中 A 側轉速𝜔𝐴較B 側轉速𝜔𝐵快，A 側受到𝜏𝑐的抵抗力矩，總力矩為𝜏𝐴 − 𝜏𝑐；B 側受到 𝜏𝑐的驅動力矩，總力矩為𝜏𝐵+ 𝜏𝑐。當x 方向正向力夠大時，離合器相當於一軸，此 時A、B 側轉速同步，且所受力矩相等，式(2.29)為離合器完全接合時𝜏𝑐之最大值；
代表當最大摩擦力矩大於𝜏𝑐時，離合器形同一軸。
K. Sawase 和 K. Inoue[33]提到在大部分之扭力分配差速器(Torque vectoring differential)中都必須使用打滑式離合器（Slip clutch）來控制扭力的傳輸，控制過程 中希望輸入端轉速皆大於輸出端，但因離合器打滑過程中所產生之能量損失如式 (2.30)所示與兩端轉速差成正比，因此實際上只會調整兩端轉速差至必需的最大轉 速差，而不是無上限的增加輸入端之轉速。
𝜏𝐴 − 𝜏𝑐 = 𝜏𝐵+ 𝜏𝑐 → 𝜏𝑐 =𝜏𝐴− 𝜏𝐵
2 (2.29)
𝐸𝑙𝑜𝑠𝑠 = 𝜏𝑐 × ∆𝜔 = 𝜏𝑐× |𝜔𝐴− 𝜔𝐵| (2.30)
2-4-2 限滑差速器
一般差速器在轉向時能使兩側輪軸以不同角速度過彎，減少輪胎打滑磨損之 情況，但當一側輪軸發生打滑時，另一側未打滑之輪軸加速性能會受影響。限滑差 速器（Limited-slip differential, LSD）因此產生，運作方式為當一側輪軸打滑時利用 機構將差速器鎖定使其變成實軸，因此可以提升加速性能。
限滑差速器可分為純機械之被動式以及使用電控之主動式，主動式限滑差速 器可控制離合器接合時傳遞之扭力。圖 2-7 是其中一種實際應用之架構，此架構
A
A
B
A B
B
c c x
y
以一般差速器為基礎加上一組可控離合器，當離合器接合時，根據離合器之力學傳 遞關係可知，若左側輪軸轉速較右側慢，左側輪軸將獲得扭力並且加速；反之左側 輪軸轉速較右側快時，離合器會使左側輪軸降低扭力並且減速。由此可知限滑式差 速器之特性為只能將動力從高速軸傳至低速軸，並無法達成任意分配扭力之功能。
i
i1
w 1
w2
w 2
w
c
ls圖 2-7 主動式限滑差速器架構(Gerodisc type Differential) [34]
2-4-3 能任意分配扭力之差速器概念
若要提升車輛性能，LSD 之設計並不足夠，因此 A. Z. Leonidas Kakalis、Federico Cheli 和 Gian Claudio Travagli[8]提出一種主動式差速器(Active differential)之概念，
此主動式差速器以一般差速器為基礎，但額外多出某種可於左右兩軸間任意分配 扭力之機構，也就是說此機構可將扭力從轉速較快之輸出軸傳遞至較慢之輸出軸，
或是將扭力從慢速軸傳遞至快速軸。此種可任意分配扭力系統之概念如圖 2-8 所 示，簡易力學模型可表示成圖 2-9。
圖 2-8 可任意分配扭力系統概念圖[8]
in
符號 符號說明
2-6-1 車輛座標
此處將車輛運動可簡化為一剛體之六自由度運動，分為沿x 軸、y 軸和 z 軸之 水平運動和相對x 軸、y 軸和 z 軸之旋轉運動，本研究參考 Abe, Masato[35]定義之 六個車身運動狀態，如圖 2-10 所示。
圖 2-10 車輛座標系統[35]
1. x 軸方向（Longitudinal）：車身縱向運動，定義向前為正。
2. y 軸方向（Lateral）：車身側向運動，定義面對車身前進方向之左方為正。
3. z 軸方向（Vertical）：車身垂直運動，參考x 軸、y 軸方向依右手定則，定義 上方為正。
4. 相對x 軸旋轉（Roll）：車身側傾運動，相對 x 軸，定義逆時針方向為正。
5. 相對y 軸旋轉（Pitch）：車身俯仰運動，相對 y 軸，定義逆時針方向為正。
6. 相對z 軸旋轉（Yaw）：車身偏擺運動，相對 z 軸，定義逆時針方向為正。
2-6-2 車輛受力分析
本小節分析車輛行駛時之受力情況如圖 2-11。車輛行駛時主要之縱向受力來 自空氣阻力(aerodynamic resistance)𝑅𝑎、前後輪滾動阻力(rolling resistance)𝑅𝑟𝑓及𝑅𝑟𝑟、 前後輪軸驅動力𝐹𝑡𝑐1及𝐹𝑡𝑐2、爬坡阻力𝑅𝑔(假設車輛行駛於平地，𝑅𝑔為0)，可得縱向 動態方程式如式(2.35)，其中𝑚𝑔為車身重量，𝑎𝑥為車身縱向加速度。
2
𝐹𝑛1𝐿 =𝐹𝑛1×𝑑 2 −𝑙2
𝑙 mh𝑎𝑦 𝑑
(2.38)
𝐹𝑛1𝑅 =𝐹𝑛1×𝑑 2 +𝑙2
𝑙 mh𝑎𝑦
𝑑 (2.39)
𝐹𝑛2𝐿= 𝐹𝑛2×𝑑 2 −𝑙1
𝑙 mh𝑎𝑦
𝑑 (2.40)
𝐹𝑛2𝑅 =𝐹𝑛2×𝑑 2 +𝑙1
𝑙 mh𝑎𝑦
𝑑 (2.41)
2-6-3 阿克曼轉向幾何
參考 Wong[36]之車輛轉向幾何和分析，假設車輛之四輪無側向滑動以純滾動 轉向，並假設車輛質心繞一固定中心旋轉。如圖 2-13 所示，前輪轉向之車輛其前 兩輪軸心延長線與後輪軸心延長線交於中心O，轉向外側前輪轉向角𝛿𝑜與內側前輪 轉向角𝛿𝑖不同，且符合式(2.42)之關係，其中 B 為輪距(track)，L 為軸距(wheelbase)。
cot
o cot
i B L /
(2.42)圖 2-13 阿克曼轉向幾何[36]
圖 2-14 是阿克曼轉向機構之側滑角示意圖，其中 u、v 分別為 x、y 方向之速 度，r 為 z 向的角速度。設定左輪轉向角𝛿𝑓𝑙，可用式(2.42)求出右輪轉向角𝛿𝑓𝑟，利
圖 2-14 是阿克曼轉向機構之側滑角示意圖，其中 u、v 分別為 x、y 方向之速 度，r 為 z 向的角速度。設定左輪轉向角𝛿𝑓𝑙，可用式(2.42)求出右輪轉向角𝛿𝑓𝑟，利