第二章 理論基礎
本章節將介紹本研究應用到的理論。首先定義車輛與輪胎之座標系統，並說 明輪胎力學原理，以及輪胎特性與車輛轉向之關係，然後介紹車輛的轉向幾何定 義。後半部分以簡化之自行車模型介紹基本轉向特性，並且進一步說明四軸車輛 轉向模型的建立，然後介紹兩種四連桿機構的運動方程式計算方法，最後為最佳 化演算法之理論說明。
2-1 車輛座標系定義
一般車輛行駛主要會有前進、後退和轉彎，共三種情況。本研究依照SAE (the Society of Automotive Engineers) 所制定的車輛座標軸系統，參考 Gillespie[2]，將 車輛之運動型態定義為六個自由度，由三個平移與三個轉動自由度組成，如圖2.1 所示。
圖2.1 SAE 車輛座標系統[2]
x : 車輛縱向 (longitudinal) 的運動，定義車輛前方為正。
y : 車輛側向 (lateral) 的運動，定義向車輛右方為正。
z : 車輛垂直 (vertical) 方向的運動，定義向車輛下方為正。
p : 車輛繞 x 軸的側傾 (roll) 運動。
q : 車輛繞 y 軸的俯仰 (pitch) 運動。
r : 車輛繞 z 軸的偏擺 (yaw) 運動。
2-2 輪胎模型
輪胎是所有車輛元件中唯一與地面接觸且受力的部分，在車輛穩定行駛時，行 駛速度、車輛的負載、車輪定位以及路面狀況等等都是影響輪胎力學特性的因素，
綜合所有因素而產生的力與力矩，作用於輪胎與地面的接觸面上，對車輛之運動特 性有著極大的影響。本章節將介紹輪胎的力學模型與相關性質，藉此說明輪胎與車 輛運動的關聯性。
2-2-1 輪胎座標系定義
為了使輪胎力學特性的描述更加明確，本小節將定義輪胎的座標系統。參考 Wong[3]，以 SAE 所制定的輪胎座標系統作為本研究的輪胎座標系。
1. 座標原點𝑂′ : 輪胎與地面的接觸中心。
2. 𝑥′軸方向 : 輪胎滾動方向，定義向前為正。
3. 𝑦′軸方向 : 輪胎側滑方向，定義向右為正。
4. 𝑧′軸方向 : 輪胎上下垂直移動方向，定義向下為正。
2-2-2 輪胎力學
一般橡膠輪胎會受到數個方向的力與力矩，本小節將依照前一小節所定義的 座標系介紹所有力與力矩的成因以及輪胎的受力狀態，參考Wong[3]，如圖 2.2 所 示。
圖2.2 輪胎受力與力矩[3]
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1. 縱向力 (longitudinal force) 𝐹𝑥′ ∶ 路面在𝑥′方向施加於輪胎的作用力，是由輪胎 縱向滑動 (longitudinal slip) 造成的。縱向力包括驅動力 (tractive force)、滾動 阻力 (rolling resistance force)、剎車力 (braking force)，主要影響車輛行駛的加 減速。
2. 側向力 (lateral force) 𝐹𝑦′ ∶ 路面在𝑦′方向施加於輪胎的作用力，是由輪胎側向 滑動 (lateral slip) 或側傾 (camber)所造成，前者產生轉向力 (cornering force)，
後者則形成側傾力 (camber force)，為車輛轉向所需之向心力的來源。
3. 正向力 (normal force) 𝐹𝑧′ ∶ 路面在𝑧′方向施加於輪胎的作用力，主要來源為輪 胎的正向負載 (normal load)。
4. 傾覆力矩 (overturning moment) 𝑀𝑥′ ∶ 此為𝑥′軸方向的力矩，由地面作用在輪 胎的正向力與輪胎的正向負載彼此間不共線所造成。
5. 滾動摩擦力矩 (rolling resistance moment) 𝑀𝑦′ ∶ 此為 y′軸方向的力矩，由輪胎 形變而產生的黏滯效應 (tire hysteresis properties) 所造成，使得輪胎在滾動過程 中發生能量損耗。
6. 回正力矩 (aligning moment) 𝑀𝑧′ ∶ 此為𝑧′軸方向的力矩，由車輛過彎或側傾時，
縱向力和側向力作用於輪胎與地面之接觸面所造成的。
2-2-3 轉向力與側滑角
若施加一側向力 (side force) 𝐹𝑠在滾動之橡膠輪胎上，為了達到y′方向的力平 衡，會因此產生一方向相反之側向力 𝐹𝑦′𝛼，作用於輪胎與地面的接觸面上，如圖 2.3(a)，使得輪胎無法沿著滾動方向前進，而是沿著與滾動方向夾α角度的方向前進，
如圖2.3(b)中的𝑂⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向，根據 SAE 的定義，圖中之α角度為負值。產生於輪胎與′𝐴 地面之接觸面上的側向力 𝐹𝑦′𝛼 定義為轉向力 (cornering force)，輪胎滾動方向與 前進方向之夾角α則定義為側滑角 (slip angle)。
圖2.3 輪胎受側向力之 (a) 前視圖 (b) 上視圖[3]
一般而言，轉向力 𝐹𝑦′𝛼與側向力 𝐹𝑠之作用不會在同一線上，當側滑角角度較 小時，轉向力 𝐹𝑦′𝛼的施力位置會落在距離側向力 𝐹𝑠後方 𝑡𝑝遠的地方，此距離 𝑡𝑝 稱為氣胎曳距(pneumatic trail)。由於兩力作用位置之差距，使得一對輪胎作用的力 矩(torque)或力偶(couple)產生，此力矩具有將輪胎往運動方向轉動的趨勢，為一種 回正力矩[3]。
常見的側滑角與轉向力之關係如圖2.4 所示，在側滑角小於 4 度時，側滑角與 轉向力幾乎呈線性關係，超過4 度後，轉向力隨側滑角變大而增加的趨勢減少，進 入飽和區[34]，即使側滑角繼續增大，轉向力也無法超過輪胎與路面的附著極限。
雖然整體趨勢類似，但是根據輪胎種類不同，側滑角與轉向力的關係也有所差 異，如圖2.4 中交叉線層胎(bias-ply tire)與輻射線層胎(radial tire)的曲線，由圖可看 出，在同樣側滑角的狀況下，輻射線層胎可提供的轉向力比較大。另外，不同種類 的輪胎，其產生最大轉向力的側滑角也有所不同，一般小客車輪胎的最大轉向力會 出現在側滑角約18 度的時候，賽車用輪胎則是出現在側滑角約 6 度的狀況[3]。
各類型輪胎的轉向特性差異，通常採用轉向剛性(cornering stiffness) 𝐶𝛼作為比 較指標，其定義為轉向力 𝐹𝑦′𝛼對側滑角α的導數，如式(2.1)所示。轉向剛性會受多 項因素影響，包括輪胎尺寸規格、材質、胎壓、正向負載、驅動力、剎車力、地面 摩擦係數等等[3]。
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𝐹𝑦′𝛼 = 𝐶𝛼𝛼, 𝐶𝛼= −𝜕𝐹𝑦′𝛼
𝜕α |
𝛼=0
(2.1) 其中𝐶𝛼的負號是由於SAE 符號習慣問題而加入的修正[2]。
圖2.4 交叉線層與輻射線層胎之轉向力對側滑角關係[3]
2-3 車輛轉向幾何
轉向幾何(steering geometry)指的是輪胎轉向角之間的關係，一般常會以各車輪 軸心延伸線之交點來描述。以兩種常見之轉向幾何為例，第一種為平行轉向幾何 (Parallel steering geometry)，是指轉向時兩轉向輪之轉向角相同，此時車輪軸心延 伸線之交點會落在無窮遠處；第二種為阿克曼(Ackermann)轉向幾何，是指轉向時 所有車輪軸心延伸線交於一點。
對前軸轉向之二軸車輛來說，若要達到阿克曼轉向幾何，則車輪軸心延伸線必 須交在圖2.5 之𝐶𝑇的位置，意即落於後軸之輪軸延伸線上，才能使所有車輪以沿輪 胎平面的方向繞著同一圓心滾動。在此情況下，輪胎可以避免側向滑動的情況，有 利於輪胎磨耗的減少[3]。
𝐶𝑇為理想的轉向中心。假如車輛以極低的車速轉向時，側向加速度極小，幾乎 可忽略，因此各車輪也幾乎不會產生側向力，此時車輪側滑角可視為零，車輛轉彎 之瞬時迴轉中心𝐼𝐶會與理想轉向中心𝐶𝑇重疊。
i
oC
G
oC I
T
C
L
B
R
G
i圖2.5 阿克曼轉向幾何[20]
在阿克曼轉向幾何下，同軸之內側輪胎轉向角會大於外側輪胎轉向角，內外側 輪轉向角之數學關係式如式(2.2)所示。
cot 𝛿𝑂− cot 𝛿𝐼 =𝐵
𝐿 (2.2)
其中𝛿𝑂、𝛿𝐼、B、L 分別為外側輪轉向角、內側輪轉向角、輪距、前後軸軸距。
由式(2.2)可得知，此情況下之前束角為負值(toe-out)，隨著輪胎轉向角的增加，
內外側車輪的轉向角差值也增加[35]。
除了平行與阿克曼轉向幾何之外，仍有其他種類的轉向幾何。此處同樣以前軸 轉向之二軸車輛來說明，當內側輪轉向角大於外側輪時，此種情況稱為正阿克曼 (pro-Ackermann) ， 而 當 內 側 輪 轉 向 角 小 於 外 側 輪 時 ， 則 稱 為 反 阿 克 曼 (anti-Ackermann)。正阿克曼又可依據內外側輪轉向角之差值來分類，若差值大於阿克曼 之差值，屬於強阿克曼(over-Ackermann)，小於阿克曼之差值，則屬於弱阿克曼 (under-Ackermann)。前述轉向幾何之前軸車輪軸心延伸線交點位置分佈如圖 2.6 所 示。
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圖2.6 二軸車輛轉向幾何分類[36]
在真實雙軸車輛上，由於轉向連桿機構之尺寸與運動狀態的限制，使得輪胎轉 向角難以在所有方向盤轉角下都達到阿克曼轉向幾何，也因此在設計轉向機構時 常會依據行駛狀態的需求，以不同的轉向幾何為設計目標，如圖 2.7 所示，
「THEORETICALLY CORRECT CURVE」為阿克曼轉向幾何之關係曲線，介於中 間之曲線即是實際在車輛上使用的弱阿克曼轉向幾何關係。
圖2.7 不同轉向幾何之內外側輪轉向角關係[3]
2-4 自行車轉向模型
自行車轉向模型為探討車輛轉向行為時常用之簡化模型，本節將簡單介紹自 行車穩態模型與統御方程式[3]，說明輪胎轉向角、車速和輪胎受力等參數之間的 關係，以及穩態轉向的三種特性。
假設一輛前輪轉向之二軸車輛，其車重為W、車速V向前行駛、重心與前後軸 心力(centripetal force)𝐹𝑛，另一力為轉向拖滯(cornering drag)所造成的拖滯力(tire drag)𝐹𝑑，方向與車速前進方向相反，會造成車速無法維持定值，需要驅動力補償來
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r
f
f GL R
圖2.9 角度關係[20]
𝛿𝑓 = 𝐿
𝑅𝐺 + (𝛼𝑓− 𝛼𝑟) (2.3)
依據力矩平衡關係針對式(2.3)進行變數代換即可推導得到自行車穩態轉向之 統御方程式(governing equation)，如式(2.4)所示，參考 Wong[3]。
𝛿𝑓 = 𝐿
𝑅𝐺 + (𝑊𝑓 𝐶𝛼𝑓 − 𝑊𝑟
𝐶𝛼𝑟) 𝑉2 𝑔𝑅𝐺
= 𝐿
𝑅𝐺 + 𝐾𝑢𝑠 𝑉2 𝑔𝑅𝐺
= 𝐿
𝑅𝐺 + 𝐾𝑢𝑠𝑎𝑦 𝑔
(2.4)
其中𝑊𝑓、𝑊𝑟、𝐶𝛼𝑓、𝐶𝛼𝑟分別為前輪正向負載、後輪正向負載、前輪轉向剛性與後 輪轉向剛性；𝐾𝑢𝑠為轉向不足係數(Understeer coefficient)，單位為弧度，𝑎𝑦為作用在 車輛重心之車身側向加速度。式(2.4)可說明，車輛穩態轉向之轉向角為軸距、重心 迴轉半徑、前後輪正向負載、輪胎轉向剛性與車速之函數。
式(2.4)中，轉向不足係數之數值對於穩態轉向特性有所影響，依據轉向不足係 數等於、大於、小於零，可以將穩態轉向行為分為三種，分別是中性轉向(neutral steer)、轉向不足(understeer)與轉向過度(oversteer)[3]，如圖 2.10 所示。
圖2.10 不同轉向特性之車輛在定圓迴轉時其轉向角與車速之關係[3]
1. 中性轉向
當轉向不足係數等於零(𝐾𝑢𝑠 = 0)，即前後輪側滑角相等時，式(2.4)可寫成如式 (2.5)所示。由式(2.5)可看出，車速變化不影響迴轉半徑，迴轉半徑只與轉向角相關。
換句話說，當固定方向盤轉角位置時，一輛具有中性轉向特性之車輛的迴轉半徑不 隨車速增減而改變。
𝛿𝑓 = 𝐿
𝑅𝐺 (2.5)
2. 轉向不足
當轉向不足係數大於零(𝐾𝑢𝑠 > 0)，即前輪之側滑角大於後輪時，若輪胎轉向角 固定，隨著車速增加，迴轉半徑也會跟著增加。因此，對於具有轉向不足特性之車 輛，在車速提高的過程中，迴轉半徑會大於具有中性轉向特性之車輛，若要維持固 定的迴轉半徑，則必須增加方向盤之轉角。
3. 轉向過度
當轉向不足係數小於零(𝐾𝑢𝑠 < 0)，即前輪之側滑角小於後輪時，若輪胎轉向角 固定，隨著車速增加，迴轉半徑會變小。因此，對於具有轉向過度特性之車輛，在 車速提高的過程中，迴轉半徑會小於具有中性轉向特性之車輛，若要維持固定的迴 轉半徑，則必須減少方向盤之轉角。
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圖2.11 不同轉向特性之車輛在固定轉向角下迴轉半徑隨車速增加之變化[3]
圖 2.11 繪製出不同轉向特性之車輛在固定轉向角之情況下的行駛路徑，隨著 車速增加，具有中性轉向特性的車輛會以固定的迴轉中心與迴轉半徑行駛；具有轉 向不足特性的車輛會偏離原本的圓軌跡，迴轉半徑漸漸增加；若是具有轉向過度特
圖 2.11 繪製出不同轉向特性之車輛在固定轉向角之情況下的行駛路徑，隨著 車速增加，具有中性轉向特性的車輛會以固定的迴轉中心與迴轉半徑行駛；具有轉 向不足特性的車輛會偏離原本的圓軌跡，迴轉半徑漸漸增加；若是具有轉向過度特