本章將介紹本研究探討相關的理論。先定義車輛與輪胎的座標系統，延伸到輪 胎力學模型及輪胎與車輛轉向運動的關係，再介紹車輛的轉向幾何定義。以簡化為 二輪的轉向模型說明車輛的基本轉向特性，介紹本研究使用之穩態轉向模型，最後 說明轉向機構中四連桿的運動關係。
2-1 車輛座標系之定義
一般車輛的運動型態大略可以分為前進、後退、轉彎等三種情況。本文中將依 照 SAE (the Society of Automotive Engineers) 所制定的車輛座標軸系統，參考 Gillespie[2]，將車輛運動型態分為下列六個方向的運動狀態，如圖 2.1 所示。
圖 2.1 SAE 車輛座標系統[2]
x ：車輛縱向 (longitudinal) 的運動，定義向車輛前方為正。
y ：車輛側向 (lateral) 的運動，定義向車輛右方為正。
z：車輛垂直 (vertical) 的運動，定義向車輛下方為正。
p ：車輛繞 x 軸的側傾 (roll) 運動。
q ：車輛繞 y 軸的俯仰 (pitch) 運動。
r：車輛繞z 軸的偏擺 (yaw) 運動。
2-2 輪胎模型
輪胎是整個車輛系統中唯一與地面接觸的元件，因此車輛的運動特性幾 乎受制於車輛行駛時作用在輪胎接觸面上的力與力矩，而車輛負載、行駛速度、輪 胎定位及路面狀況等因素則影響輪胎的力學特性。故本節將介紹用於本次研究中 的輪胎力學模型及影響輪胎力學的幾個性質，並介紹穩態模型中使用的輪胎特性 方程式(Magic Formula)，說明輪胎在車輛運動中所扮演的角色。
2-2-1 輪胎座標系定義 force)、煞車力 (braking force)、滾動阻力(rolling resistance force)，影響了 車輛的加減速。
2. 側向力 (lateral force) F ：路面在y' y'方向作用於輪胎的力，是由於輪胎的 側 向 滑 動 (lateral slip) 或 側 傾 (camber) 所 造 成 。 前 者 提 供 轉 向 力 (cornering force)，後者造成側傾力 (camber force)，兩者提供了車輛轉向時
3. 正向力 (normal force) F ：路面在z' z'方向作用於輪胎的力，是由輪胎承受 的正向負載 (normal load) 造成的。
4. 傾覆力矩 (overturning moment) M ：由於輪胎的正向負載與地面給予的x' 正向力不共線，所造成的力矩。
5. 滾動摩擦力矩 (rolling resistance moment) M ：由輪胎形變而產生的黏滯y' 效應 (tire hysteresis properties) 所造成，使輪胎滾動時逐漸損失能量。
6. 回正力矩 (aligning moment) M ：在過彎或側傾時，縱向力與側向力作用z' 於輪胎與地面的接觸面，對輪胎產生回正力矩。
圖 2.2 輪胎受力與力矩[4]
2-2-3 轉向力與側滑角
當對滾動中的輪胎施予一側向力 (side force) F 時，為了在s y'方向達成力平 衡，輪胎與地面之間會產生與F 相反的側向力，如圖 2.3，使得輪胎行進方向與正s
'
x 方向形成一個夾角，如圖中所示的O A 與 ' '' O x 形成之夾角，根據 SAE 的定
義，如圖的方向 值為負值，與地面接觸所產生的側向力Fy' 定義為轉向力 (cornering force)， 則定義為側滑角 (slip angle)。
圖 2.3 輪胎受側向力之 (a) 前視圖 (b) 上視圖[4]
一般來說轉向力與側向力不會共線，在側滑角 為小角度時，轉向力Fy' 作用 於側向力F 後方距離s t 的位置，此距離稱為氣胎曳距 (pneumatic trail)。在這兩個p 不共線且反向的力作用下，將產生一個力矩 (torque)，或稱力偶 (couple)，使輪胎 有朝運動方向回正的趨勢，此為一種回正力矩[4]。
目前常用的輪胎分為交叉線層胎 (bias-ply tire) 與輻射線層胎 (radial tire) 兩 種，此兩種輪胎的轉向力與側滑角關係如圖 2.4 所示。綜觀來看，在側滑角4以 下，轉向力對於側滑角呈現線性關係；超過4後，轉向力進入飽和區[27]，對側滑 角的關係轉變成非線性，增加的趨勢逐漸減緩，最終趨近於輪胎與地面的附著極限，
而不會超越。
分別觀察兩種類型，可以發現不同的輪胎，轉向力與側滑角的關係也不一致。
如圖所示，在同樣的側滑角下，輻射線層胎相較於交叉線層胎，可以提供更大的轉
為了描述輪胎的轉向特性，一般使用轉向剛性 (cornering stiffness) C這個參
層胎在某側傾角下產生之側傾力，約為同角度側滑角所產生之轉向力的五分之一，
圖 2.6 正向負載對轉向力的影響[4]
圖 2.7 正向負載轉移對轉向力的影響[4]
2-2-6 輪胎均勻性
真實輪胎在進行測試時，即使測量環境為平坦路面，輪胎的側向力仍然會由於 內部結構的不均勻而有些微差異，變動範圍約為輪胎負載的百分之一。此外，在輪 胎側滑角與外傾角皆為零時，平均所受的力與力矩也不為零，這些力與力矩一般被 稱 為 殘 留 轉 向 力 (residual cornering force) 與 殘 留 回 正 力 矩 (residual aligning torque)。
零側滑角時的殘留側向力 (residual lateral force) 是由兩個因素所造成，分別是 胎體錐度 (conicity) 與簾布層轉向效應 (ply-steer)，這些現象對輻射線層胎的影響 會較交叉線層胎顯著。
由簾布層轉向效應引起的殘留側向力之方向與輪胎滾動方向有關，這種特性 和側滑角與轉向力的機制相同，故簾布層轉向效應亦被稱為虛擬側滑 (pseudo-slip)。
一般來說，虛擬側滑造成的殘留側向力約等於輪胎在側滑角0.3時的轉向力，大小 約為250N。
胎體錐度的作用機制如圖 2.8 所示，引起的殘留側向力之方向則與滾動方向 無關，這種特性和外傾角與側傾力的機制相同，故胎體錐度也被稱為虛擬外傾 (pseudo-camber)。在一般製造上，對胎體錐度所造成之殘留側向力的容忍度約為 100N 。參考 Dixon[3]。
圖 2.8 車輪胎體錐度現象之 (a) 內部結構[28] (b) 殘留側向力
2-3 轉向幾何
轉向幾何 (steering geometry) 是指輪胎轉向角之間的關係，一般常以車輪軸延 長線的交點幾何關係來描述。當左右輪之轉向角相同時，軸心線延長將交於無窮遠 處，這種幾何稱做平行轉向幾何 (parallel steering geometry)；而各輪軸心線交於同 一點，使車輪能繞著同一個圓心滾動，則稱做阿克曼轉向幾何 (Ackermann steering geometry)。
cos O cos I B
L (2.4)
圖 2.9 中，前後輪軸心線交點C 為理想轉向中心。車速極低時，可忽略側向T 加速度，即車輪不需提供側向力，輪胎側滑角可視為零，代表輪胎指向即為切線方 向，轉向運動的瞬心I 與理想轉向中心C C 共點。 T
除了平行與阿克曼，真實轉向機構作動時，可能形成各種其他的轉向幾何。以 平行轉向為分界點，內側輪轉向角大於外側輪的轉向幾何稱作正阿克曼 (pro-Ackermann) ， 而 內 側 輪 轉 向 角 小 於 外 側 輪 的 轉 向 幾 何 稱 作 反 阿 克 曼 (anti-Ackermann)
另以阿克曼轉向為分界點，內側輪轉向角大過正阿克曼的轉向幾何為強阿克 曼 (over-Ackermann)，內側輪轉向角介於阿克曼與平行之間的則為弱阿克曼 (under-Ackermann)。圖 2.10 即為上述各種轉向幾何之前輪軸心延長線交點位置示 意。
Over-Ackermann Anti-Ackermann
Under-Ackermann Ackermann
圖 2.10 二輪車輛轉向幾何分類[30]
根據轉向機構的設計，駕駛人轉動方向盤時，輪胎轉向角形成的轉向幾何可能
轉向角關係曲線，圖中「THEORETICALLY CORRECT」即代表阿克曼轉向幾何的 關係曲線。
圖 2.11 不同轉向幾何之內外側輪轉向角關係[4]
2-4 二輪車轉向模型
分析車輛轉向行為時，常簡化成二輪車轉向模型進行討論。本節將概略介紹二 輪轉向模型的理論[4]，說明車輪轉向角與車速以及車輪受力之間的關係，最後介 紹穩態轉向的三種特性。
2-4-1 穩態轉向模型
令一輛二軸車，車重W、重心與前軸後軸的距離分別為L 與f L ，以固定轉向r 角f 與車速V 前進。假設此二軸車左右對稱，即可將之簡化為二輪車模型。簡化 後之「二輪車」於無驅動力狀態下過彎之自由體圖如圖 2.12。I 為車輛前進過彎C 之瞬心，由於側滑角的影響，I 的落點在理想迴轉中心C C 的前方。不考慮滾動阻T 力與空氣阻力，車輛僅受前輪轉向力F 與後輪轉向力y f' F ，若假設偏擺率為定值，y r' 則F 與y f' F 對重心應維持力矩平衡，合力y r'
F會通過重心C 指向合力中心(force G center) C 。此合力可分解為指向F I 的過彎向心力 (centripetal force) C F 與轉向拖n 滯 (cornering drag) 所造成的拖滯力 (tire drag) F 。拖滯力形成車輛前進的阻力，使車速無法維持定值，進而無法達成穩態轉向。若F 不大，在在適當的假設範圍d
CF
2 在固定方向盤轉角位置 (steering wheel position) 進行迴轉時，隨車速增加，迴轉半 徑不變。
3. 轉向過度
當Kus 時，前輪的側滑角小於後輪，在固定轉向角的情形下，隨著車速上0 升，車輛的穩態迴轉半徑將會變小。換句話說，此種轉向特性的車輛若要保持定圓 迴轉，車速上升時必須減少方向盤轉角來維持相同的迴轉半徑。在相同車速與轉向 角下，具有轉向不足特性的車輛其穩態迴轉半徑會小於具有中性轉向特性的車輛。
圖 2.16 不同轉向特性之車輛於定圓迴轉時轉向角與車速關係[4]
圖 2.17 不同轉向特性之車輛於固定轉向角下迴轉半徑隨車速增加之變化[4]
圖 2.17 即表示了車輛固定轉向角進行迴轉時，隨車速增加，具有中性轉向特 性的車輛迴轉半徑維持R 不變；具有轉向不足特性的車輛會逐漸向外偏移，迴轉G 半徑增加；具有轉向過度特性的車輛會逐漸向內偏移，迴轉半徑減少。
2-5 四軸車輛穩態轉向模型
本研究以三自由度多軸車輛穩態轉向模型[20]來模擬四軸車輛的轉向行為，此 模型以Magic Formula 輪胎模型、簡化懸吊模型以及車輛運動模型為基礎，考慮滾 阻與驅動力，利用牛頓力學推導整車穩態平衡方程式，檢視車輛在運動之切線與法
12. 假設地面靜磨擦係數夠大，足以提供輪胎所需之附著力，輪胎在側滑角量值限
Magic Formula (後簡稱 MF)為 Bakker 等人[31]於 1987 年提出，為根據輪胎特 性與實驗數據發展出之輪胎模型，至今已是業界進行車輛操控性模擬時的標準輪 胎模型[32]。近年來，Pacejka 等人更針對不同性質提出改良的版本[33]。
MF 為將輪胎特性的實驗數據參數化，用以模擬真實輪胎特性的方程式，其函 式曲線如圖 2.18，方程式則表示如下式 (2.16) 至式 (2.18)，參數定義如表 2.1，
參考Pacejka 和 Besselink[34]。
sin
tan1
tan 1
圖 2.18 Magic Formula 曲線[34]
MF 在本研究中使用於計算輪胎轉向力與側滑角、外傾角、垂直負載之函數，
如式(2.19)。
0 , ,
y i y i i Vi
F F F (2.19)
單位：Fy
N 、
rad 、
rad 、FV
N其中F 為垂直力，定義向上為正。不使用Vi F 的原因是，SAE 座標系統中，z i'
'
F 向下為正，而 ISO 座標系統中，z i F 向上為正，如圖 2.19 所示。為避免運算過z i' 程混淆出錯，故導入垂直力符號。
圖 2.19 ISO 輪胎座標系統[35]
本研究假設轉向中無滑差、純側滑 (pure slip)，代入式 (2.16) 至式 (2.18) 改
但本研究假設不考慮胎體錐度與簾布層轉向效應，亦不考慮外傾角，故水平偏
參考MSC Software Corporation[33]。
2-5-3 簡化懸吊模型
P 垂直位移、車身側傾角與車身俯仰角。假設車身之側傾軸與俯仰軸分別為車軸ci
車軸平面
則位移後之車身中心位置為：
車軸平面
為了求得各輪之正向負載，假設車輛在穩態轉向時，由初猜位置到末位置是先