第二章 理論背景
1.1. 磁場 magnetic field
空間中能夠使磁性物質、磁矩、電流受到力的場稱之為磁場。而磁場的散 度必須為 0，其名為高斯磁定律(Gauss's law for magnetism)。磁場來源可以 是磁性物質、空間中電流、時變電場。實驗中常見的方是為使用電流產生的磁 場-亥姆霍茲線圈(Helmholtz coil)，這種方法是相對簡單卻能在一定空間中產生 均勻大小磁場。而在模擬上為了方便，常見手法是直接假設空間中有一個磁場。
1.2. 磁偶極 magnetic poles、磁矩 magnetic dipole moments
所有的磁力的吸引力、排斥力皆來源於磁偶極。其概念與電偶極類似，唯
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gs為電子自旋因子(≈ 2)，𝜇𝜇B為波爾磁子，S 為電子自旋、ℏ 為約化普朗克常數，
電子的內稟磁矩為一般鐵磁性材料中的最小單位磁矩。
1.3. 磁化強度 magnetization、磁場與磁場強度關係 B field and H field
是衡量物體的磁性的一個物理量，定義為單位體積的磁矩(2.4 式)。 Langevin diamagnetism equation 得知(2.8 式) [24]
𝜇𝜇 = −
𝑍𝑍𝑒𝑒4𝑚𝑚2𝐵𝐵〈𝜌𝜌
2〉
(2.8)Z 為電子數量，e、m 分別為電荷與電子質量〈𝜌𝜌2〉對於原子 z 軸的均方距離
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1.6. 鐵磁性 ferromagnetic
鐵磁性的物質𝜒𝜒𝑉𝑉與磁場大小並非一常數。其組成的原子軌道為半滿，恰巧
過渡金屬擁有其特性，以Fe 元素為例，其電子組態[𝐴𝐴𝐴𝐴]3𝑑𝑑64𝑀𝑀2(圖 2.2)，由於包 力不相(Pauli exclusion principle)容與洪德定則(Hund's rules)，所以會有 4 個孤立 的同向自旋在d 軌域，由此 Fe 原子擁有磁矩(淨磁矩≠ 0)，加上原子、分子、
晶格排列等因素造1 成這些自旋即便沒有外加場鐵磁性材料也能擁由局部排列
整齊且同向的自旋(磁矩)。室溫下常見的鐵磁性材料有純元素的鐵(Iron)、鈷 (Cobalt)、鎳(Nickle)，也有合金 permalloy(𝑁𝑁𝑁𝑁80𝐹𝐹𝐹𝐹20)。也正是因為這特性造就鐵 磁性的許多有趣特性。
圖2. 2 Fe 原子的電子組態
圖2. 3 鐵磁性材料局部自旋分布圖 1.7. 反鐵磁性 antiferromagnetic
本質上，元素也大多為過渡金屬組成，但由於原子、分子、晶格排列造成 相鄰的的原子的自旋反向排列(圖 2.4)，而相鄰自旋的大小相同方向相反，造成
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總淨磁矩為0。以二氧化錳(𝑀𝑀𝑛𝑛𝑂𝑂2,Manganese dioxide)為例子，由於氧原子的關 係造成相鄰的錳的自旋反向排列(圖 2.5) [25] 。
圖2. 4 反鐵磁性材料局部自旋分布圖，相鄰自旋等大但相反排列。
圖2. 4 二氧化錳的反鐵磁排列。圓球為錳原子，氧原子未表示。
1.8. 亞鐵磁性 ferrimagnetic
在原子排列上與反鐵相似，因為原子、分子、晶格排列等關係，鄰近自旋
會反向排列。但不同的是反向排列的自旋大小並不一樣，這使得淨磁矩≠0。以
𝐹𝐹𝐹𝐹3𝑂𝑂4(Iron(II,III) oxide)有可以表達為𝐹𝐹𝐹𝐹𝑂𝑂 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹2𝑂𝑂3，其中氧離子淨磁矩為0 不貢獻 自旋，而𝐹𝐹𝐹𝐹2+、𝐹𝐹𝐹𝐹3+所帶磁矩數不同(圖 2.6)，但彼此反向排列。許多磁性材料 都為亞鐵磁，例如𝐹𝐹𝐹𝐹3𝑂𝑂4、YIG(Yttrium iron garnet)。
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2. 5 在𝐹𝐹𝐹𝐹3𝑂𝑂4 Fe Fe
圖2. 6 亞鐵磁性材料局部自旋分布圖，相鄰自旋不等大但相反排列。
1.9. 磁區 magnetic domain
鐵磁性材料在足夠的條件下就會有磁區，磁區內部的自旋排列整齊且方向 一致，然相鄰兩磁區的方向則不同。當鐵磁性材料體積足夠大時，擁有磁區將 可以大量減低材料表面能量(主要為去磁能) [26]。能夠觀察磁區的方法有許多，
例如MOKE、MFM、LEM 等方式。
1.10. 磁壁 domain wall
相鄰兩磁區不同方向的自旋，彼此的過渡區域，這可以減小兩個不同向自 旋間的交換能。不同尺寸的鐵磁材料，自旋翻轉的過渡方式也不一樣，也就是 說磁壁種類也不一樣。如果鐵磁材料是塊材(block)，則磁壁為 Bloch wall(圖 2.8.a) [27]，其反轉為 3 維反轉。如果鐵磁材料是薄膜(film)，如果自旋垂直模面 去磁能將會非常高，所以自旋不會垂直模面，磁壁則為Neel wall(圖 2.8.a) [27]，反轉為 2 維反轉。
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圖2. 7 兩種鐵磁材料常見的磁壁 1.11. 磁化 magnetization process
當磁場施加在鐵磁材料時會造成內部磁區的改變。在磁場施加初期，磁場為小
磁場，與磁場同方向(有利方向)的磁區會擴大，磁場會翻轉磁壁的自旋使其朝向
有利方向，透過一步步翻轉磁壁使有利磁區擴大進而降低外場能。當磁場足夠 大時，會使的整個磁區翻轉朝向有利方向(圖 2.9) [24]。
圖2. 8 磁化過程。小磁場時會使的邊界位移使的有利磁區擴大，大磁場會使磁 區翻轉成有利方向。
1.12. 磁滯曲線 magnetization hysteresis curve，M-H loop
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度，還依賴於原先磁化強度的現象。磁滯曲線上有幾個特殊的位置，用以表示此材 料的磁性特徵(圖 2.10)。磁滯曲線受到材料特性、尺寸、幾何形狀、晶格結構與本 研究主題:磁場走向影響。
圖2. 9 鐵磁材料磁滯曲線。
1. 飽和磁化強度𝑀𝑀𝑆𝑆 Saturation magnetization、飽和磁化場𝐻𝐻𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Saturation field 當外加場大到一定程度時，磁化強度不再增加，此時稱為飽和磁化強度 而到達飽和場的外場大小稱為飽和場。當鐵磁材料所有磁區都轉向有利方
向，此時將只會剩單一磁區(朝向有利方向)，所以就算增加外場也無法增加
磁化強度。一般為了方便比較，磁滯曲線都會以飽和磁化強度進行歸一化 計算。飽和磁化強度與材料有關(圖 2.11) [14]
圖2. 10 常見鐵磁材料飽和磁化強度。
2. 殘磁磁化強度𝑀𝑀𝑟𝑟 residual magnetization
10 Bethe–Slater curve 說明過渡金屬的J大小。然而交換作用力是短程力，能夠作用 的範圍非常短，此距離稱之為交換距離𝑙𝑙𝑒𝑒𝑒𝑒(exchange length)(2.11 式)。
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1.15. 磁晶異向能𝑬𝑬𝒂𝒂 Magnetocrystalline anisotropy energy
在鐵磁性材料中，電子自旋與電子軌道耦合（自旋-軌道耦合 spin-orbital coupling），並受局部環境影響（晶體電場 crystalline electric field），此外原子在 晶體材料中的排列，造成某些方向的磁化在能量相對較低，此方向稱為易軸 (easy axis)。其 cubic 磁晶異向性方程式為(2.14 式) (圖 2.13) [26]。其中𝐾𝐾0、𝐾𝐾1、 𝐾𝐾2、𝐾𝐾3…為常數，𝛼𝛼、𝛽𝛽、𝛾𝛾為晶格走向與三個軸的夾角取餘弦(圖 2.13)。
𝑬𝑬
𝒂𝒂= 𝐾𝐾
0+ 𝐾𝐾
1(𝛼𝛼
2𝛽𝛽
2+ 𝛽𝛽
2𝛾𝛾
2+ 𝛾𝛾
2𝛼𝛼
2) + 𝐾𝐾
2(𝛼𝛼
2𝛽𝛽
2𝛾𝛾
2) + ⋯
(2.14)12
圖2. 12 單晶立方體的磁化曲線(a)鐵(b)鎳(c)角度參數表
Hcp 結構磁晶異向性方程式為(2.15 式) (圖 2.14) [26]，其中𝜃𝜃為𝑀𝑀𝑠𝑠與hcp 的 c 軸 夾角。
𝑬𝑬
𝒂𝒂= 𝐾𝐾
0+ 𝐾𝐾
1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀
2𝜃𝜃 + 𝐾𝐾
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀
4𝜃𝜃 + ⋯
(2.15)圖2. 13 單晶 hcp 結構磁化曲線。材料為鈷。
1.16. 去磁能𝑬𝑬𝒅𝒅 demagnetization energy
去磁能大小與元件尺寸、幾何形狀有很大的關係。概念為自旋會累積磁荷而產 生與磁化強度相反的磁場，在元件內部稱之為去磁場，表達式為(2.16)，外部稱 之為雜散場(stray field)。
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𝑬𝑬
𝒅𝒅= −
2∫ 𝑀𝑀 ��⃗ ∙ 𝐻𝐻 �����⃗
𝑑𝑑 (2.16 式)此外，去磁場大小與磁化強度呈現比例關係(2.17 式)，此比例稱之為去磁 因子𝑁𝑁𝑑𝑑(demagnetization factor)，以橢圓薄膜為例，可以分為三個方向探討，分 別為長軸方向𝑁𝑁𝑒𝑒、短軸方向𝑁𝑁𝑦𝑦、垂直膜面方向𝑁𝑁𝑧𝑧，並且必須符合𝑁𝑁𝑒𝑒 + 𝑁𝑁𝑦𝑦+
1.17. 磁彈性能𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 magnetoelastic energy
磁彈性能量EEA用於描述磁致伸縮效應，該效應涉及應力或應變對材料磁化
1.19. 異向性磁阻 AMR Anisotropic magnetoresistance
一種鐵磁材料的磁阻特性，為電阻對電流方向和磁化方向之間的夾角的相 依性。其原因來自鐵磁性元素在磁場的影響下的s 軌域與 d 軌域的對傳導電子 散射差異，與材料有關 [29]。其磁阻大小與磁化方向跟電流方向之間的夾角(𝛼𝛼) 有關，在薄膜常見的表達式為(2.20 式)，電流方向為 in-plane。當電流與磁化強
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度水平時電阻為最大值，垂直時電阻為最小值(圖 2.15)。
𝜌𝜌(𝛼𝛼) = 𝜌𝜌
⊥+ (𝜌𝜌
∥− 𝜌𝜌
⊥)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀
2𝛼𝛼
(2.20)其中𝜌𝜌⊥為電流與磁化方向垂直時的電阻，𝜌𝜌∥電流與磁化方向水平時的電阻。
而垂直、水平的電阻得差值與水平的電阻例稱之為AMR ratio(2.21 式)。
𝐴𝐴𝑀𝑀𝑅𝑅 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑡𝑡𝑁𝑁𝑐𝑐 =
𝜌𝜌∥𝜌𝜌−𝜌𝜌⊥⊥
(2.21) 1.20. Stoner–Wohlfarth model
此模型描述了橢球體 coherent mode 翻轉的翻轉場角度相依性。coherent mode 翻轉是為所有的自旋彼此同時翻轉(圖 2.16.a)。磁場與橢球體幾何關係(圖 2.16.b) [14]
圖2. 14 coherent mode 翻轉模式與磁場、橢球體幾何關係
此處假設橢球材料為磁晶同向性材料，也就是說不考慮磁晶異向能。橢球 體coherent mode 翻轉與外場能、去磁能有關(2.22 式) [14] [30]。
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸
𝑑𝑑+ 𝐸𝐸
𝐻𝐻 (2.22) 展開為15
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾
𝑢𝑢𝑀𝑀𝑁𝑁𝑛𝑛 (𝜃𝜃
0− 𝜃𝜃) − 𝐻𝐻𝑀𝑀
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃
(2.23)計算方便更寫成
𝐸𝐸 = 𝐾𝐾
𝑢𝑢𝑀𝑀𝑁𝑁𝑛𝑛
2(𝜃𝜃 − 𝜃𝜃
0) − 𝐻𝐻𝑀𝑀
𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃
(2.24)系統能量必須為最小值，必須滿足𝑑𝑑𝐸𝐸/𝑑𝑑𝜃𝜃 = 0(2.25 式)
0 = sin (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃
0)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀 (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃
0) − ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃
(2.25)其中ℎ =𝐻𝐻𝑀𝑀2𝐾𝐾𝑆𝑆
𝑢𝑢，並化簡(2.25 式)得(2.26 式)，簡化過程可參考 [14]
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀2𝜃𝜃)1/2cos2𝜃𝜃0 + (1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀2𝜃𝜃)sins2𝜃𝜃0 = −2ℎ𝑀𝑀𝑁𝑁𝑛𝑛𝜃𝜃 (2.26)
約化磁化強度𝑛𝑛 = 𝑀𝑀/𝑀𝑀𝑠𝑠，其中𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃，所以𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀𝜃𝜃，(2.26 式)改寫成 (2.27 式)。
2𝑛𝑛(1 − 𝑛𝑛
2)
1/2cos2𝜃𝜃
0+ (1 − 2𝑛𝑛
2)sin2𝜃𝜃
0= ±2ℎ(1 − 𝑛𝑛
2)
1/2 (2.27)通過求解m 與 h 關係，可以計算出磁滯曲線。翻轉場位置為邊界條件(2.28 式)，交換場的角度相依性(2.29 式)。
𝜕𝜕ℎ
𝜕𝜕𝑚𝑚
= 0
(2.28)ℎ
𝑆𝑆= (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑀𝑀
2/3𝜃𝜃
0+ 𝑀𝑀𝑁𝑁𝑛𝑛
2/3𝜃𝜃
0)
−3/2=
√1−𝑠𝑠1+𝑠𝑠2+𝑠𝑠2 4， 𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛𝜃𝜃
0)
13(2.29)
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