高長寬比橢圓在小角度磁場下的矯頑場角度相依性與翻轉機制

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(1)國立屏東大學應用物理系光電暨材料碩士班碩士論文 Department of Applied Physics National Pingtung University Master Thesis. 高長寬比橢圓在小角度磁場下的矯頑場角度相依性與翻轉機制 Angular Dependence of the Coercive Field for High Aspect Ratio Ellipse at a Small Angle Magnetic Field Orientation and its Magnetization Reversal Mechanism. 研究生:郭政融 Zheng-Rong Guo 指導老師:賴俊陽教授 Dr.Jun-Yang Lai 中華民國 109 年 7 月 July,2020.

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(3) 致謝能夠完成碩士學業受到了許多人的幫忙，要感謝的人非常之多。對我來說碩士生活這兩年並不輕鬆，我同時服務於兩間完全不同領域的實驗室。一為屏東大學應用物理系賴俊陽老師的實驗室也就是我完成碩士論文的實驗室，另外一間為台北中央研究院黃英碩研究員的實驗室，這也是我未來博士班會繼續服務的實驗室。這兩間實驗室剛好一南一北，而我必須每周南北奔波。這裡必須感謝黃英碩研究員提供我南來北往的高鐵票錢這是我能夠堅持下去的基礎之一，並且在我完成碩士論文的最後一個月，減輕我實驗上的壓力讓我可以全心全意完成碩士論文。也感謝屏東大學賴俊陽老師在微磁學方面的協助，並全力支持我到中研院其他領域的實驗室做學習。另外，感謝系住任許華書教授，平日對於研究的指導，與他亦師亦友的關係對於研究能力的提升有許多幫助，特別感謝他在論文完成的最後 3 個月對論文的建議。另外感謝屏東大學實驗室的眾多夥伴，感謝勝堯、靖雅、俊孝… 等同期畢業的大家一起努力；感謝孟哲、珮慈、閔庭主動分擔實驗的工作。最後感謝我父母，感謝他們支持我完成碩士學位，並繼續支持我未來的博士學位。此外也感謝我的女友維禎，感謝他這些日子的陪伴與鼓勵。還有許多人的幫忙，沒有這些人不會有今天的成果。 i.

(4) 摘要本研究使用微磁學模擬軟體研究奈米級橢圓薄膜的磁化翻轉特性與矯頑場的角度相依性。所研究的尺寸為高長寬比橢圓(長寬比 5、 7、9)短軸長度小於 440 nm。首先，本研究探討了當磁場角度𝜃𝜃 = 0°(施. 加在場軸上)的橢圓形各厚度的翻轉機制與矯頑場大小，可以發現矯. 頑場在低厚度時與厚度呈現單調遞升，然而在高厚度時則呈現單調遞減。本研究也探討矯頑場與短軸長度關係、皺褶態去磁能與短軸關係，解釋尺寸對矯頑場的影響。另外，當磁場角度(與長軸夾角)由𝜃𝜃 = 0°變換到𝜃𝜃 = 1°時，低厚. 度橢圓的矯頑場會有劇烈變小(約略變為 50%)，而高厚度則無變化。也發現在低厚度橢圓，當磁場角度由𝜃𝜃 = 1°變換𝜃𝜃 = 10°到時矯頑場呈現線性遞減，並且不同的尺寸也有著不同的變化率，本研究搭配自. 旋分布為此建立簡單模型，而這模型就能精確說明這些變化。此外，我們也進行異向性磁阻的模擬，探討不同磁場角度下，磁阻曲線的變化，並予以解釋。. 關鍵字:微磁學模擬、奈米級圖形化鐵磁性元件、矯頑場. ii.

(5) Abstract In this study, the nano-scale elliptical thin film angular dependence of the coercive field and magnetization reversal mechanism was studied by micromagnetic simulation software. The element dimensions in this research are high-aspect-ratio ellipses (aspect ratios 5, 7, 9) and the minor axis length is less than 440 nm. First, this study discusses the reversal mechanism and the coercive field of each thickness when the magnetic field angle 𝜃𝜃 = 0°. It can be found that the coercive field and. thickness was a monotonically increasing relationship at low thickness, but it was a monotonically decreasing at high thickness. This study also explored the relationship between the coercive field and the length of the short axis, the relationship between the buckling mode demagnetization energy and the short axis, and then explained the size effect on the coercive field. In additation , when the angle of the magnetic field changes from 𝜃𝜃 = 0° to. 𝜃𝜃 = 1°, the coercive field of the low thickness ellipse will drastically decrease (about 50%), while the coercive field of the high thickness does not change. It is also found. that in low-thickness ellipses, the coercive field decreases linearly when the magnetic field angle changes from 𝜃𝜃 = 0° to 𝜃𝜃 = 1° and different sizes also have a different ratio of change. In this study, I build a simple model with spin distribution, it can accurately explain these changes. We also conducted an anisotropic magnetoresistive simulation to explore the change of the magnetoresistive curve under different magnetic field angles and explained it.. Keywords: micromagnetic simulation, nano-level patterned ferromagnetic elements, coercive field iii.

(6) 目錄致謝. ............................................................................................................... i. 摘要. .............................................................................................................. ii. Abstract. ............................................................................................................. iii. 目錄. ..............................................................................................................iv. 圖目錄. ..............................................................................................................vi. 表目錄. ...............................................................................................................x. 第一章. 簡介與動機 ........................................................................................... 1. 第二章. 理論背景 ............................................................................................... 3. 第三章. 文獻探討 ............................................................................................. 16. 3.1. Mechanisms of magnetization reversals in elliptical thin films [22] ....... 16. 3.2. Domain imaging, MOKE and magnetoresistance studies of CoFeB films for. MRAM applications [10] .................................................................................. 18 3.3. Angular dependence of nucleation by curling in a prolate spheroid [20] 19. 3.4. Magnetoresistance of ferromagnetic nanowires [11] ........................... 27. 3.5. Angular dependence of magnetic properties in Ni nanowire arrays [12]29. 3.6. Angular dependence of coercivity in magnetic nanotubes [15] ............ 33. 3.7. Monte Carlo Simulation of Magnetization Behaviour of Co Nanowires [38] ............................................................................................................ 35. 3.8. Angular dependence of the transverse and vortex modes in magnetic. nanotubes [18] ................................................................................................ 38 3.9. Magnetic anisotropy in prismatic nickel nanowires [13] ....................... 40. 第四章. 模擬方法與參數.................................................................................. 43 iv.

(7) 結果與討論 ......................................................................................... 48. 第五章 5.1.. 磁場施加於易軸𝜽𝜽 = 𝟎𝟎°長寬比 5 橢圓在不同短軸長度與厚度下矯頑. 場與翻轉機制 ................................................................................................. 48 5.1.1. 短軸長度與矯頑場關係 .............................................................. 52 5.1.2. 各尺寸磁化翻轉模式相圖 .......................................................... 55 5.2.. 長寬比 5 橢圓在不同短軸長度與厚度下低角度的矯頑場角度相依性 56 5.2.1. 固定厚度改變角度 ...................................................................... 57 5.2.2. 固定角度改變厚度 ...................................................................... 68. 5.3.. AMR 電流模擬 ................................................................................... 70. 5.4.. Supplement ......................................................................................... 74. 第六章. 結論 ..................................................................................................... 76. 參考資料. ............................................................................................................ 77. v.

(8) 圖目錄圖 2. 1 磁矩示意圖 .................................................................................................. 3 圖 2. 2 Fe 原子的電子組態 ....................................................................................... 5 圖 2. 3 鐵磁性材料局部自旋分布圖 ....................................................................... 5 圖 2. 5 二氧化錳的反鐵磁排列。圓球為錳原子，氧原子未表示。 ..................... 6 圖 2. 6 在𝐹𝐹𝐹𝐹3𝑂𝑂4中各自旋數量圖。其中Fe3 +彼此互相抵消只留下Fe2 +。 ...... 7. 圖 2. 7 亞鐵磁性材料局部自旋分布圖，相鄰自旋不等大但相反排列。 ............. 7 圖 2. 8 兩種鐵磁材料常見的磁壁 ....................................... 錯誤! 尚未定義書籤。. 圖 2. 9 磁化過程。小磁場時會使的邊界位移使的有利磁區擴大，大磁場會使磁區翻轉成有利方向。 ....................................................................................... 8 圖 2. 10 鐵磁材料磁滯曲線。 ................................................................................. 9 圖 2. 11 常見鐵磁材料飽和磁化強度。 ................................................................. 9 圖 2. 12 過渡金屬 Bethe–Slater curve ................................................................... 11 圖 2. 13 單晶立方體的磁化曲線(a)鐵(b)鎳(c)角度參數表 ................................... 12 圖 2. 14 單晶 hcp 結構磁化曲線。 ....................................................................... 12 圖 2. 16 coherent mode 翻轉模式與磁場、橢球體幾何關係 ............................... 14 圖 3.2. 1 退火後的 CoFeB 的 MOKE 磁滯曲線 ..................................................... 18 圖 3.2. 2 不同磁場角度下𝑀𝑀𝑀𝑀與𝑀𝑀𝑀𝑀的磁滯曲線。 ................................................ 19 圖 3.3. 1 磁場𝐻𝐻、磁化強度𝑀𝑀𝑀𝑀與橢球體長軸在笛卡兒座標系中的關係。 ......... 20 圖 3.3. 2 長寬比與 k 關係。 ................................................................................... 21 圖 3.3. 3 成核場−ℎ𝑛𝑛對磁場角度的依賴性。 ........................................................ 22 圖 3.3. 4 矯頑場ℎ𝑐𝑐對磁場角度的依賴性。 ........................................................... 23 圖 3.3. 5 S=2.35 橢球體成核場、矯頑場對角度相依性。 ................................... 24 圖 3.3. 6 無限長直圓柱𝑆𝑆 = 2，𝐾𝐾2 = 0兩種模式成核場的角度相依性 25 vi.

(9) 圖 3.3. 7 長寬比 4.2:1 橢球體𝑆𝑆 = 2，𝐾𝐾2 = 0兩種模式成核場的角度相依性。.. 26. 圖 3.4. 1 鎳圓柱 curling mode 交換場與磁場角度關係。 ..................................... 28 圖 3.4. 2 鎳奈米線在磁場角度 15°、45°的磁阻線。 ............................................ 28 圖 3.4. 3 鈷奈米圓柱交換場的角度相依性。........................................................ 29 圖 3.5. 1 (a)局部的線陣列示意圖(b)磁場施加方向與線走向關係示意圖............. 30 圖 3.5. 2 兩個陣列在外加場平行與垂直於線走向的磁滯曲線. ............................ 30 圖 3.5. 3 圓柱的三種翻轉模式。 ........................................................................... 31. 圖 3.5. 4 不同角度下三個模式的矯頑場大小，尺寸為寬 50nm 長度 12 um 的奈米細線 ............................................................................................................ 32. 圖 3.5. 5 線寬 50nm 兩種不同長度的細線矯頑場 ................................................ 33. 圖 3.6. 1 磁性奈米管幾何參數與磁場角度關係 .................................................... 34 圖 3.6. 2 無限長鎳奈米管矯頑場的角度相依性。一長度無限，𝑅𝑅 = 50 𝑛𝑛𝑛𝑛。 ... 34. 圖 3.6. 3 臨界角與尺寸關係.................................................................................. 35 圖 3.7. 1 直徑 70nm 奈米鈷圓柱翻轉場角度相依性。 ........................................ 36. 圖 3.7. 2 各直徑的矯頑場角度相依性 ................................................................... 37 圖 3.7. 3 奈米鈷線的翻轉模式的自旋分布 ........................................................... 37 圖 3.8. 1 磁場角度與尺寸關係圖 ........................................................................... 38 圖 3.8. 2 transverse mode 磁壁厚度與外徑、𝛽𝛽關係 ............................................ 39 圖 3.8. 3 鎳奈米奈米柱 transverse mode、curling mode 矯頑場角度相依性.... 40. 圖 3.8. 4 臨界外徑長度與角度管壁寬關係 .......................................................... 40 圖 3.9. 1 菱形奈米柱磁滯曲線 .............................................................................. 41 圖 3.9. 2 飽和場與矯頑場的角度相依性 ............................................................... 41 圖 3.9. 3 各磁性狀態的角度相依性。 .................................................................. 42 圖 4. 1 Landau–Lifshitz–Gilbert equation ................................................................. 44 圖 4. 2 模擬流程圖 ................................................................................................ 44 vii.

(10) 圖 4. 3 橢圓形長軸長度、短軸長度、厚度與長寬比之間關係 ........................... 45 圖 4. 4 磁場施加方向與易軸、難軸之間的關係 ................................................... 46 圖 4. 5 電流與外加磁場方向關係 ......................................................................... 47 圖 5. 1 皺褶態翻轉演化過程.................................................................................. 49 圖 5. 2 渦旋態翻轉演化過程.................................................................................. 50 圖 5. 3 混合態翻轉演化過程.................................................................................. 50 圖 5. 4 長寬比 5 不同短軸長度、厚度橢圓形薄膜的矯頑場............................... 51 圖 5. 5 短軸長度與矯頑場關係 .............................................................................. 53 圖 5. 6 模型預測矯頑場與實際模擬矯頑場比較圖 .............................................. 54 圖 5. 7 長寬比 5 各短軸長度與各厚度的翻轉模式態、綠色三角為混合態、紅色五邊形渦旋態 ................................................................................................. 55 圖 5. 8 各磁場角度磁滯曲線(M-H loop) ................................................................ 57 圖 5. 9 各短軸長度在不同厚度矯頑場對角度的相依性 ....................................... 58 圖 5. 10 角度∅與自旋分布關係 ............................................................................. 59 圖 5. 11 橢圓參數與磁矩方向關係 ....................................................................... 60 圖 5. 12 各短軸橢圓的磁荷距離函數 R(x) ........................................................... 61 圖 5. 13 長寬比 5 短軸 120 nm 厚度 8nm 橢圓在外加場𝜃𝜃 = 1°、5°、10°矯頑場前自旋分布 ..................................................................................................... 62. 圖 5. 14 磁矩方向與磁荷距離關係 ....................................................................... 63 圖 5. 15 各短軸長度的∆𝑅𝑅，用以解釋矯頑場變化量 ........................................... 64 圖 5. 16 各短軸長度的磁荷距離變化率黑色線為短軸 120 nm、紅色線為短軸 280 nm、藍色線為短軸 440 nm .......................................................................... 65 圖 5. 17 長寬比 5、7、9，短軸長度 120 nm 橢圓矯頑場的角度相依性 ........... 66 圖 5. 18 各長寬比橢圓的磁荷距離函數 R(x) ........................................................ 66 圖 5. 19 厚度 8 nm 各層自旋分布。 ..................................................................... 67 viii.

(11) 圖 5. 20 各短軸長度矯頑場與擬合線關係。 ........................................................ 68 圖 5. 21 磁場角度對厚度 vs 矯頑場影響。 .......................................................... 69 圖 5. 22 磁場角度對厚度 vs 矯頑場影響。 .......................................................... 69 圖 5. 23 各磁場角度磁阻曲線(a)~(k)分別是𝜃𝜃 = 0°~10°...................................... 70. 圖 5. 24 長寬比 5 短軸 120 nm 厚度 8 nm 磁場角度𝜃𝜃 = 0°的磁阻曲線與對應磁矩方向示意圖。 ............................................................................................. 71. 圖 5. 25 長寬比 5 短軸 120 nm 厚度 8 nm 磁場角度𝜃𝜃 = 10°的磁阻曲線與對應磁矩方向示意圖。 ......................................................................................... 72. 圖 5. 26 長寬比 5 短軸 120 nm 厚度 8 nm 磁場角度𝜃𝜃 = 10°磁化翻轉前自旋分布 .................................................................................................................... 73. 圖 5. 27 當厚度𝑡𝑡 ≪ 𝑎𝑎 時，橢球體的去磁因子等於橢圓薄膜去磁因子............... 74. ix.

(12) 表目錄表 4. 1 用以研究〝磁場施加於易軸長寬比 5、7、9 橢圓在不同短軸長度與厚度下矯頑場與翻轉機制〞所設計的各尺寸 .......................................................... 45 表 4. 2 A 小節(固定厚度改變角度)中用以探討角度與厚度對矯頑場影響所用到的尺寸 ............................................................................................................ 46 表 4. 3 B 小節(固定角度改變厚度)中用以探討角度與厚度對矯頑場影響所用到的尺寸 ............................................................................................................ 46. x.

(13) 第一章簡介與動機鐵磁性材料有許多應用，例如圖形化鐵磁性存取元件 [1]、MRAM [2]。為了提高磁性元件的存取密度，縮小元件尺寸是必然的方法 [3]。所以有許多的研究者會探討奈米級圖形化鐵磁性元件的磁性特徵與其應用。在這些微小圖形化鐵磁元件中，形狀邊緣的累積磁荷所造成的去磁能對磁性特徵與磁性結構的影響尤為重要 [4]，尺寸大小、幾何圖形、薄膜厚度都能對奈米級圖形化鐵磁性元件的磁性特徵(交換場、矯頑場、飽和場)產生影響 [4] [5] [6] [7]。能夠測量奈米級圖形化鐵磁性元件矯頑場的方法與儀器非常多，例如 VSM(vibrating sample magnetometer) [5] [6]、AMR(anisotropic magnetoresistance) [7] [8] [9] 、MOKE(Magneto-optic Kerr effect) [10]。施加一足夠大的磁場使的元件達到飽和，也就是所有自旋都與磁場同向，隨後降低磁場(反向)直到所有磁矩翻轉並達到反向飽和。紀錄其磁化強度與磁場關係(M-H)也就是磁滯曲線，透過找尋磁化強度為 0 的磁場位置來判定矯頑場位置，VSM 量測矯頑場就是使用這種模式。也可以透過找尋所有自旋翻轉的位置來判定矯頑場，AMR 量測矯頑場就是採用這種方法，這些方法都需要一個能夠改變大小的磁場。由於奈米級圖形化鐵磁性元件尺寸非常小，必須考慮形狀異向性對矯頑場的影響，所以磁場施加方向與易軸走向夾角對矯頑場乃至磁滯曲線都有影響，其實成核場、矯頑場、翻轉場的角度相依性在奈米線(圓柱) [11] [12] [13] [14]、奈米管 [15] [16] [17] [18]已經有許多文獻探討過了，甚至擁也有垂直異向性薄膜的矯頑場角度相依性的探討 [19]。並且其角度相依性與其翻轉模式 [20]、晶格異向性 [11] [20]、尺寸皆有關係[11]~[18]。然而目前為止沒有文獻討論過橢圓薄膜或其他奈米級圖形化鐵磁性元件的矯頑場角度相依性，此外即便上述奈米圓柱已經討論過矯頑場的角度相依性，也鮮少注意到低角度(< 10°)的矯頑場的角. 度相依性。這些正是本研究所討論的範圍，奈米級橢圓鎳鐵(Permalloy)薄膜在 1.

(14) 各尺寸的矯頑場角度相依性並專注於低角度的討論。由於本研究所討論的磁場角度非常小，這些小角度的磁場走向是許多測量矯頑場實驗時容易忽略的且不容易察覺的，不論是受到操作人員影響亦或儀器精準度問題。根據我們的結果，這個小角度的差異可能造成矯頑場大小的誤判，但相對的也可以此為契機，利用這個現象測量小角度的磁場走向。自旋(磁矩)分布是了解磁性元件磁性特徵的，能透過自旋分分布直觀了解磁化翻轉與磁壁結構 [21] [22] [23]，可以除去很多實驗誤差因素，並且可以方便的得到各個狀態的自旋分布圖，這點優於其他能夠得到自旋分布狀態的方法，例如 MFM(magnetic force microscopy)、MOKE、LEM(Lorentz electron microscopy)。上述這些優點這對於建構一個模型來解釋現象非常方便，因此本研究採用微磁學模擬來討論奈米級橢圓鎳鐵薄膜在低磁場角度的矯頑場角度相依性與自旋分布關係，此外 AMR 量測也是常見用來研究細長型奈米級圖形化鐵磁元件，電阻與電流磁矩夾角關係是實驗常用瞭解自旋分布的方法，所以本研究還模擬 AMR 低磁場角度的曲線並討論其原因。. 2.

(15) 第二章理論背景 1.1. 磁場 magnetic field 空間中能夠使磁性物質、磁矩、電流受到力的場稱之為磁場。而磁場的散度必須為 0，其名為高斯磁定律(Gauss's law for magnetism)。磁場來源可以是磁性物質、空間中電流、時變電場。實驗中常見的方是為使用電流產生的磁場-亥姆霍茲線圈(Helmholtz coil)，這種方法是相對簡單卻能在一定空間中產生均勻大小磁場。而在模擬上為了方便，常見手法是直接假設空間中有一個磁場。. 1.2. 磁偶極 magnetic poles、磁矩 magnetic dipole moments 所有的磁力的吸引力、排斥力皆來源於磁偶極。其概念與電偶極類似，唯一差別為，自然界不存在磁單極。根據安培定律(Ampère law) 磁偶極矩(磁矩) 是由無限小環形電流引起的(圖 2.1)，電流𝐼𝐼和面積𝐴𝐴磁偶極矩𝑚𝑚(方向遵守 right hand rule)方程式表達為(2.1 式)。在磁場 H 中所受力 F，可以表達為 (2.2 式)。. 𝑚𝑚 ��⃗ = 𝐼𝐼𝐴𝐴⃗. (2.1). �⃗ � 𝐹𝐹⃗ = 𝛻𝛻�𝑚𝑚 ��⃗ ∙ 𝐻𝐻. 圖 2. 1 磁矩示意圖許多基本粒子，如電子都會有磁矩，稱之為內稟磁矩(Intrinsic magnetic moment)大小表達為(2.3 式)。. 𝑚𝑚𝑠𝑠 = −𝑔𝑔𝑠𝑠 𝜇𝜇𝐵𝐵 𝑆𝑆/ℏ 3. (2.3).

(16) g s 為電子自旋因子(≈ 2)，𝜇𝜇B 為波爾磁子，S 為電子自旋、ℏ 為約化普朗克常數，. 電子的內稟磁矩為一般鐵磁性材料中的最小單位磁矩。. 1.3. 磁化強度 magnetization、磁場與磁場強度關係 B field and H field 是衡量物體的磁性的一個物理量，定義為單位體積的磁矩(2.4 式)。 ��⃗ 𝒅𝒅𝒎𝒎 ��⃗ 𝑴𝑴 = 𝒅𝒅𝒅𝒅. (2.4). 磁場(B field)與磁場強度(H field)關係，H 與 B 在真空中為一比例關係(2.5 式). �B⃗ = 𝝁𝝁𝟎𝟎 �H �⃗(SI unit). (2.5 式). 𝜇𝜇0 為真空磁導率，而磁化強度與磁場在物質中的關係(2.6 式)，其中𝜒𝜒𝑉𝑉 稱之為材. 料體積磁化率，𝜇𝜇為材料磁導率。. 其中. �⃗ = 𝜇𝜇0 (𝐻𝐻 �⃗ + 𝑀𝑀 ��⃗ ) = 𝜇𝜇0 (1 + 𝜒𝜒𝑉𝑉 )𝐻𝐻 �⃗ = 𝜇𝜇𝐻𝐻 �⃗ 𝐵𝐵. 1.4. 反磁性 diamagnetism. ��⃗ = 𝜒𝜒𝑉𝑉 𝐻𝐻 �⃗ 𝑀𝑀. (2.6). (2.7). 反磁性物質𝜒𝜒𝑉𝑉 為一極小的負值。一般由淨磁矩(軌道+自旋)為 0 或接近 0 的. 材料所組成，這些原子的軌道接近全滿或全滿，並且成對，所以彼此軌道磁矩. 的貢獻互相抵消。大部分的氣體原子與分子皆為反磁性例如𝐻𝐻𝐻𝐻、𝑁𝑁𝑁𝑁、𝐻𝐻2 。反磁. 性的古典解釋為當磁場施加於物質時，原子軌道上的電子受勞倫茲力(Lorentz force)而失去平衡，然而因為軌道角動量改變而產生一淨磁矩 m(冷次定律，. Lenz's law)，此淨磁矩的方向應與外加磁場的方向相反。每種原子都帶有反磁. 性，但大小不同，並且可能因為某些原因被其他磁性特性抵銷。其𝜇𝜇大小可透 Langevin diamagnetism equation 得知(2.8 式) [24]. 𝜇𝜇 = −. 𝑍𝑍𝑒𝑒 2 𝐵𝐵 4𝑚𝑚. ⟨𝜌𝜌 2 ⟩. (2.8). Z 為電子數量，e、m 分別為電荷與電子質量⟨𝜌𝜌2 ⟩對於原子 z 軸的均方距離 4.

(17) 1.5. 順磁性 paramagnetic 順磁性物質𝜒𝜒𝑉𝑉 為一極小的正值。此材料電子數量不成對，由於原子之間的. 磁矩方向不同而互相抵消，所以整體而言順磁性物質的淨磁矩為零，而不具有磁性。當磁場施加於順磁材料時，這些磁矩將會依照外場排列，因而產生了與外加磁場方向相同的淨磁矩。 1.6. 鐵磁性 ferromagnetic. 鐵磁性的物質𝜒𝜒𝑉𝑉 與磁場大小並非一常數。其組成的原子軌道為半滿，恰巧. 過渡金屬擁有其特性，以 Fe 元素為例，其電子組態[𝐴𝐴𝐴𝐴]3𝑑𝑑 6 4𝑠𝑠 2 (圖 2.2)，由於包力不相(Pauli exclusion principle)容與洪德定則(Hund's rules)，所以會有 4 個孤立的同向自旋在 d 軌域，由此 Fe 原子擁有磁矩(淨磁矩≠ 0)，加上原子、分子、. 晶格排列等因素造 1 成這些自旋即便沒有外加場鐵磁性材料也能擁由局部排列整齊且同向的自旋(磁矩)。室溫下常見的鐵磁性材料有純元素的鐵(Iron)、鈷 (Cobalt)、鎳(Nickle)，也有合金 permalloy(𝑁𝑁𝑁𝑁80 𝐹𝐹𝐹𝐹20 )。也正是因為這特性造就鐵磁性的許多有趣特性。. 圖 2. 2 Fe 原子的電子組態. 圖 2. 3 鐵磁性材料局部自旋分布圖 1.7. 反鐵磁性 antiferromagnetic 本質上，元素也大多為過渡金屬組成，但由於原子、分子、晶格排列造成相鄰的的原子的自旋反向排列(圖 2.4)，而相鄰自旋的大小相同方向相反，造成. 5.

(18) 總淨磁矩為 0。以二氧化錳(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂2 ,Manganese dioxide)為例子，由於氧原子的關. 係造成相鄰的錳的自旋反向排列(圖 2.5) [25] 。. 圖 2. 4 反鐵磁性材料局部自旋分布圖，相鄰自旋等大但相反排列。. 圖 2. 4 二氧化錳的反鐵磁排列。圓球為錳原子，氧原子未表示。 1.8. 亞鐵磁性 ferrimagnetic 在原子排列上與反鐵相似，因為原子、分子、晶格排列等關係，鄰近自旋會反向排列。但不同的是反向排列的自旋大小並不一樣，這使得淨磁矩≠0。以 𝐹𝐹𝐹𝐹3 𝑂𝑂4 (Iron(II,III) oxide)有可以表達為𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 ∙ 𝐹𝐹𝐹𝐹2 𝑂𝑂3 ，其中氧離子淨磁矩為 0 不貢獻自旋，而𝐹𝐹𝐹𝐹 2+ 、𝐹𝐹𝐹𝐹 3+ 所帶磁矩數不同(圖 2.6)，但彼此反向排列。許多磁性材料都為亞鐵磁，例如𝐹𝐹𝐹𝐹3 𝑂𝑂4 、YIG(Yttrium iron garnet)。. 6.

(19) 圖 2. 5 在𝐹𝐹𝐹𝐹3 𝑂𝑂4 中各自旋數量圖。其中Fe3+ 彼此互相抵消只留下Fe2+ 。. 圖 2. 6 亞鐵磁性材料局部自旋分布圖，相鄰自旋不等大但相反排列。 1.9. 磁區 magnetic domain 鐵磁性材料在足夠的條件下就會有磁區，磁區內部的自旋排列整齊且方向一致，然相鄰兩磁區的方向則不同。當鐵磁性材料體積足夠大時，擁有磁區將可以大量減低材料表面能量(主要為去磁能) [26]。能夠觀察磁區的方法有許多，例如 MOKE、MFM、LEM 等方式。 1.10. 磁壁 domain wall 相鄰兩磁區不同方向的自旋，彼此的過渡區域，這可以減小兩個不同向自旋間的交換能。不同尺寸的鐵磁材料，自旋翻轉的過渡方式也不一樣，也就是說磁壁種類也不一樣。如果鐵磁材料是塊材(block)，則磁壁為 Bloch wall(圖 2.8.a) [27]，其反轉為 3 維反轉。如果鐵磁材料是薄膜(film)，如果自旋垂直模面去磁能將會非常高，所以自旋不會垂直模面，磁壁則為 Neel wall(圖 2.8.a) [27]，反轉為 2 維反轉。. 7.

(20) 圖 2. 7 兩種鐵磁材料常見的磁壁 1.11. 磁化 magnetization process 當磁場施加在鐵磁材料時會造成內部磁區的改變。在磁場施加初期，磁場為小磁場，與磁場同方向(有利方向)的磁區會擴大，磁場會翻轉磁壁的自旋使其朝向有利方向，透過一步步翻轉磁壁使有利磁區擴大進而降低外場能。當磁場足夠大時，會使的整個磁區翻轉朝向有利方向(圖 2.9) [24]。. 圖 2. 8 磁化過程。小磁場時會使的邊界位移使的有利磁區擴大，大磁場會使磁區翻轉成有利方向。 1.12. 磁滯曲線 magnetization hysteresis curve，M-H loop. 8.

(21) 鐵磁材料磁化率與磁場關係並非線性。鐵磁材料的磁化強度不僅依賴於外磁場強度，還依賴於原先磁化強度的現象。磁滯曲線上有幾個特殊的位置，用以表示此材料的磁性特徵(圖 2.10)。磁滯曲線受到材料特性、尺寸、幾何形狀、晶格結構與本研究主題:磁場走向影響。. 圖 2. 9 鐵磁材料磁滯曲線。 1.. 飽和磁化強度𝑀𝑀𝑆𝑆 Saturation magnetization、飽和磁化場𝐻𝐻𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Saturation field. 當外加場大到一定程度時，磁化強度不再增加，此時稱為飽和磁化強度. 而到達飽和場的外場大小稱為飽和場。當鐵磁材料所有磁區都轉向有利方向，此時將只會剩單一磁區(朝向有利方向)，所以就算增加外場也無法增加磁化強度。一般為了方便比較，磁滯曲線都會以飽和磁化強度進行歸一化計算。飽和磁化強度與材料有關(圖 2.11) [14]. 圖 2. 10 常見鐵磁材料飽和磁化強度。 2.. 殘磁磁化強度𝑀𝑀𝑟𝑟 residual magnetization 9.

(22) 當鐵磁材料經過飽和後，撤除磁場，材料仍然擁有磁性，但其磁化強度會低於飽和磁化量。這個現象使得鐵磁材料有諸多應用，例如:磁鐵、硬碟等。 3.. 矯頑場𝐻𝐻𝑐𝑐 coercive field. 矯頑場為磁化強度𝑀𝑀 = 0時的磁場大小，在奈米級圖形化鐵磁薄膜中矯頑場受到尺寸、幾何形狀、磁場走向強烈影響。. 4.. 翻轉場𝐻𝐻𝑠𝑠 switching field. 翻轉場又稱交換場是奈米級圖形化鐵磁，定義為所有自旋由原本的方向翻轉後反向排列的磁場大小。在磁滯曲線(M-H)中一般定義為斜率最大處(2.9 式)。在本研究所討論的例子中，矯頑場與交換場位置相同即𝐻𝐻𝑐𝑐 = 𝐻𝐻𝑠𝑠 ，但這並非所有例子都是這樣。. 5.. 成核場𝐻𝐻𝑛𝑛 nucleation field. 𝑑𝑑 2 𝑀𝑀 𝑑𝑑𝐻𝐻 2. =0. (2.9). 為翻轉模式開始的磁場大小。是一個理論概念，通常很難通過實驗確定。實驗上一般都是觀察𝑀𝑀𝑟𝑟 、𝐻𝐻𝑐𝑐 、𝐻𝐻𝑠𝑠 。這些比較容易觀察。. 1.13. 交換能𝑬𝑬𝒆𝒆𝒆𝒆 exchange energy. 交換能為自旋與自旋相互作用力所產生的能量。可以表達為(2.10 式)。. 𝐸𝐸𝑒𝑒𝑒𝑒 = −2 ∑𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐽𝐽𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑆𝑆 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖. (2.10). 𝐽𝐽𝑖𝑖𝑖𝑖 為交換積分、S 為每個原子的自旋、𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 為自旋彼此的角度。對於鐵磁材料來說 J > 0，自旋在在同向排列�𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0�時會有最低的能量狀態。對於反鐵或亞鐵材料來說J < 0，自旋在在反向排列�𝜃𝜃𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜋𝜋�時會有最低的能量狀態。(圖 2.12) [28]為. Bethe–Slater curve 說明過渡金屬的J大小。然而交換作用力是短程力，能夠作用的範圍非常短，此距離稱之為交換距離𝑙𝑙𝑒𝑒𝑒𝑒 (exchange length)(2.11 式)。. 10.

(23) 𝑙𝑙𝑒𝑒𝑒𝑒 = �. 2𝐴𝐴. 𝜇𝜇0 𝑀𝑀𝑠𝑠2. 𝐴𝐴 = 𝐽𝐽𝑆𝑆 2 𝑐𝑐/𝑎𝑎. (2.11) (2.12). A 稱之為交換常數，C 為 geometric factor(簡單立方結構(SC) c = 1, 體心立方結構(bcc) c = 2, 面心立方結構(fcc)c = 4,六角密排結構(hcp) c = 2√2 [14]，a 為晶格常數。. 圖 2. 11 過渡金屬 Bethe–Slater curve. 1.14. 外場能𝑬𝑬𝑯𝑯 Zeeman energy. 外場能又稱之為賽曼能，為外部磁場與與自旋交互作用的能量表達為(2.13. 式)。當磁場平行磁場時能量將最小。. ��⃗ ∙ 𝐻𝐻 �⃗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑬𝑬𝑯𝑯 = − ∫ 𝑀𝑀. (2.13). 其中 H 為磁場，M 為磁化強度向量。. 1.15. 磁晶異向能𝑬𝑬𝒂𝒂 Magnetocrystalline anisotropy energy. 在鐵磁性材料中，電子自旋與電子軌道耦合（自旋-軌道耦合 spin-orbital. coupling），並受局部環境影響（晶體電場 crystalline electric field），此外原子在晶體材料中的排列，造成某些方向的磁化在能量相對較低，此方向稱為易軸 (easy axis)。其 cubic 磁晶異向性方程式為(2.14 式) (圖 2.13) [26]。其中𝐾𝐾0 、𝐾𝐾1 、 𝐾𝐾2 、𝐾𝐾3 …為常數，𝛼𝛼、𝛽𝛽、𝛾𝛾為晶格走向與三個軸的夾角取餘弦(圖 2.13)。. 𝑬𝑬𝒂𝒂 = 𝐾𝐾0 + 𝐾𝐾1 (𝛼𝛼 2 𝛽𝛽 2 + 𝛽𝛽 2𝛾𝛾 2 + 𝛾𝛾 2 𝛼𝛼 2) + 𝐾𝐾2 (𝛼𝛼 2𝛽𝛽 2 𝛾𝛾 2 ) + ⋯ (2.14) 11.

(24) 圖 2. 12 單晶立方體的磁化曲線(a)鐵(b)鎳(c)角度參數表 Hcp 結構磁晶異向性方程式為(2.15 式) (圖 2.14) [26]，其中𝜃𝜃為𝑀𝑀𝑠𝑠 與 hcp 的 c 軸. 夾角。. 𝑬𝑬𝒂𝒂 = 𝐾𝐾0 + 𝐾𝐾1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 + 𝐾𝐾2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4 𝜃𝜃 + ⋯. (2.15). 圖 2. 13 單晶 hcp 結構磁化曲線。材料為鈷。 1.16. 去磁能𝑬𝑬𝒅𝒅 demagnetization energy. 去磁能大小與元件尺寸、幾何形狀有很大的關係。概念為自旋會累積磁荷而產生與磁化強度相反的磁場，在元件內部稱之為去磁場，表達式為(2.16)，外部稱之為雜散場(stray field)。 12.

(25) 1. ��⃗ ∙ ��⃗ 𝑬𝑬𝒅𝒅 = − ∫ 𝑀𝑀 𝐻𝐻𝑑𝑑 2. (2.16 式). 此外，去磁場大小與磁化強度呈現比例關係(2.17 式)，此比例稱之為去磁因子𝑁𝑁𝑑𝑑 (demagnetization factor)，以橢圓薄膜為例，可以分為三個方向探討，分. 別為長軸方向𝑁𝑁𝑥𝑥 、短軸方向𝑁𝑁𝑦𝑦 、垂直膜面方向𝑁𝑁𝑧𝑧 ，並且必須符合𝑁𝑁𝑥𝑥 + 𝑁𝑁𝑦𝑦 +. 𝑁𝑁𝑧𝑧 = 4𝜋𝜋，由此可知圓球的三軸去磁因子為𝑁𝑁𝑥𝑥 = 𝑁𝑁𝑦𝑦 = 𝑁𝑁𝑧𝑧 = 4𝜋𝜋/3。由於形狀並非完美對稱，所以各個方向去磁能不相同，這也將造成橢圓薄膜有易軸，此現象稱之為形狀異向性，橢圓長軸方向為易軸，因為此方向有最小去磁能(補充 A)。. ��⃗ ��⃗ 𝐻𝐻𝑑𝑑 = −𝑁𝑁𝑑𝑑 𝑀𝑀 1. 𝐸𝐸𝑑𝑑 = 𝑁𝑁𝑑𝑑 𝑀𝑀2. 1.17. 磁彈性能𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 magnetoelastic energy. 2. (2.17) (2.18). 磁彈性能量EEA 用於描述磁致伸縮效應，該效應涉及應力或應變對材料磁化. 的影響，在本研究中不考慮這個效應的影響。 1.18. 總能𝐸𝐸 total energy. 所有的能量的加總，E(erg/𝑐𝑐𝑐𝑐3 )表達為(2.19 式)。對於一個平衡的的系統，. 系統的磁能必需為最小值 [26]。需注意系統尋求的是總能的最小值，而非單一項的最小值。舉個例子渦漩可以降低去磁能，但是會增加交換能，只要條件符合自旋會呈現出渦漩。. 𝐸𝐸 = 𝑬𝑬𝒆𝒆𝒆𝒆 + 𝑬𝑬𝑯𝑯 + 𝑬𝑬𝒂𝒂 + 𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬. (2.19). 1.19. 異向性磁阻 AMR Anisotropic magnetoresistance. 一種鐵磁材料的磁阻特性，為電阻對電流方向和磁化方向之間的夾角的相依性。其原因來自鐵磁性元素在磁場的影響下的 s 軌域與 d 軌域的對傳導電子散射差異，與材料有關 [29]。其磁阻大小與磁化方向跟電流方向之間的夾角(𝛼𝛼) 有關，在薄膜常見的表達式為(2.20 式)，電流方向為 in-plane。當電流與磁化強 13.

(26) 度水平時電阻為最大值，垂直時電阻為最小值(圖 2.15)。. 𝜌𝜌(𝛼𝛼) = 𝜌𝜌⊥ + (𝜌𝜌∥ − 𝜌𝜌⊥ )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝛼𝛼. (2.20). 其中𝜌𝜌⊥ 為電流與磁化方向垂直時的電阻，𝜌𝜌∥ 電流與磁化方向水平時的電阻。而垂直、水平的電阻得差值與水平的電阻例稱之為 AMR ratio(2.21 式)。. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =. 1.20. Stoner–Wohlfarth model. 𝜌𝜌∥ −𝜌𝜌⊥ 𝜌𝜌⊥. (2.21). 此模型描述了橢球體 coherent mode 翻轉的翻轉場角度相依性。coherent mode 翻轉是為所有的自旋彼此同時翻轉(圖 2.16.a)。磁場與橢球體幾何關係(圖 2.16.b) [14]. 圖 2. 14 coherent mode 翻轉模式與磁場、橢球體幾何關係此處假設橢球材料為磁晶同向性材料，也就是說不考慮磁晶異向能。橢球體 coherent mode 翻轉與外場能、去磁能有關(2.22 式) [14] [30]。. 展開為. 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑑𝑑 + 𝐸𝐸𝐻𝐻 14. (2.22).

(27) 𝐸𝐸 = 𝐾𝐾𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜃𝜃0 − 𝜃𝜃 ) − 𝐻𝐻𝑀𝑀𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. (2.23). 𝐸𝐸 = 𝐾𝐾𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃0 ) − 𝐻𝐻𝑀𝑀𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. (2.24). 計算方便更寫成. 系統能量必須為最小值，必須滿足𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0(2.25 式) 其中ℎ =. 0 = sin (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃0 )𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (𝜃𝜃 − 𝜃𝜃0 ) − ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝐻𝐻𝑀𝑀𝑆𝑆 2𝐾𝐾𝑢𝑢. (2.25). ，並化簡(2.25 式)得(2.26 式)，簡化過程可參考 [14]. 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃)1/2 cos2𝜃𝜃0 + (1 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃)sins2𝜃𝜃0 = −2ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. (2.26). 約化磁化強度𝑚𝑚 = 𝑀𝑀/𝑀𝑀𝑠𝑠 ，其中𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐，所以𝑚𝑚 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐，(2.26 式)改寫成 (2.27 式)。. 2𝑚𝑚(1 − 𝑚𝑚2 )1/2cos2𝜃𝜃0 + (1 − 2𝑚𝑚2)sin2𝜃𝜃0 = ±2ℎ(1 − 𝑚𝑚2 )1/2 (2.27). 通過求解 m 與 h 關係，可以計算出磁滯曲線。翻轉場位置為邊界條件(2.28 式)，交換場的角度相依性(2.29 式)。 𝜕𝜕ℎ. 𝜕𝜕𝜕𝜕. =0. ℎ𝑆𝑆 = (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2/3𝜃𝜃0 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2/3𝜃𝜃0)−3/2 =. (2.28). √1−𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 4. 15. 1+𝑡𝑡 2. 1. ，𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝜃𝜃0)3. (2.29).

(28) 第三章文獻探討 3.1. Mechanisms of magnetization reversals in elliptical thin films. [22] 翻轉場、翻轉機制受到橢圓尺寸影響。此文章使用微磁學模擬軟體計算各厚度(8nm-65nm)的翻轉模式。當厚度為低厚度時，翻轉模式為皺褶態，其自旋結構為波狀(wave-like) (圖 3.1.1)，翻轉場位置大約位於-80 Oe。對於較厚的橢圓翻轉模式為渦旋態，渦旋會在橢圓兩端成核，然後傳播這些渦旋完成翻轉(圖 3.1.2)，翻轉場位置大約為-70 Oe。在中間厚度，翻轉模式為混合態，初始會先成核皺褶態然後以渦旋態結束翻轉(圖 3.1.3)，翻轉場位置大約為-140 Oe。. 圖 3.1. 1 皺褶態翻轉過程。長軸 5um 短軸 1 um 厚度 8 nm. 16.

(29) 圖 3.1. 2 渦旋態翻轉過程。長軸 6um 短軸 1 um 厚度 65 nm. 圖 3.1. 3 渦旋態翻轉過程。長軸 5 um 短軸 1 um 厚度 24 nm. 此外，紀錄個長寬比矯頑場與厚度關係(圖 3.1.4)。曲線可分為上升部分與下降部分。矯頑場上升原因在於皺褶態的去磁能會隨厚度增加而增加，需要更多的外場才能翻轉它。而下降部分則源自於渦旋可以降低去磁能。本文提供磁場角度𝜃𝜃 = 0°，各厚度翻轉模式，並幫助了解去磁能與厚度關係。. 圖 3.1. 4 各尺寸矯頑場與厚度關係。. 17.

(30) 3.2 Domain imaging, MOKE and magnetoresistance studies of CoFeB films for MRAM applications [10] 本文章的重點並不再探討不同角度的矯頑場，不過能仍然有一部分的實驗有討論到，此處把重點放在磁性特徵對角度的相依性。本文使用 MOKE 顯微鏡量測退火後 CoFeB(𝐶𝐶𝐶𝐶73.8 𝐹𝐹𝐹𝐹16.2 𝐵𝐵10 )樣品的磁滯曲線(其實文章中也有未退火樣品的量測，談退火前後並不影響磁性特徵對角度的相依性，所以此處以退火後為. 例進行討論)。樣品尺寸為 3mm*14mm*20nm，為尺寸非常大的薄膜樣品。由於 MOKE 可以觀察 x 方向(longitudinal) y 方向(transverse)，(圖 3.2.1)中可以看到當磁場施加為方向時，𝑀𝑀𝐿𝐿 的曲線與我們平常所看到的磁滯曲線一樣，但𝑀𝑀𝑇𝑇 的曲線. 為一水平線，大小接近 0。當磁場施加為 y 方向時，此時𝑀𝑀𝑇𝑇 的曲線應該需要通. 過原點(M=0,H=0)，此實驗數值則非常接近原點，些許的差異或許可以歸咎於某些缺陷，不同的是𝑀𝑀𝐿𝐿 的曲線在 0 場處數值為 1，這是因 x 方向為易軸方向，所以當外場為 0 時，自旋必須排列於易軸方向，所以歸一化後數值為 1。. 圖 3.2. 1 退火後的 CoFeB 的 MOKE 磁滯曲線當磁場角度有些許的偏差時，磁滯曲線沒有太大的變化(圖 3.2.2)。觀察其矯頑場位置𝜃𝜃 = 0°與𝜃𝜃 = 3°接近而𝜃𝜃 = 90°與𝜃𝜃 = 87°接近約略為 0。這與我們的結果有些許的差異，應為尺寸影響，稍後有更多解釋。. 18.

(31) 圖 3.2. 2 不同磁場角度下𝑀𝑀𝐿𝐿 與𝑀𝑀𝑇𝑇 的磁滯曲線。. 3.3 Angular dependence of nucleation by curling in a prolate spheroid [20] 本文章探討了鐵磁性橢球體中 curling mode 磁化翻轉。使用 Stoner– Wohlfarth model 建立出 curling mode 的成核場與翻轉場位置，了解不同長寬比、尺寸更甚至是無限長圓柱的 curling mode(圖 3.5.3)的磁性特徵。在上一篇基礎下，推導當材料材料擁有各異向性的狀況下 curling mode 與 coherent mode 磁化翻轉的成核場與矯頑場。 . Isotropic spheroid 假設有一個材料均勻的鐵磁性橢球體在笛卡兒座標系(𝑥𝑥̅ 、𝑦𝑦�、𝑧𝑧̅)空間中，並. �⃗與長軸(𝑧𝑧̅)夾有一角度Ω。在成核場的前一個瞬間磁化強度𝑀𝑀 ��⃗與長施以均勻磁場𝐻𝐻 軸夾角𝜔𝜔(圖 3.3.1)，根據 Stoner–Wohlfarth 模型，角度𝜔𝜔是通過最小化能量確定的，並由(3.3.1 式)表達。. 19.

(32) �⃗、磁化強度𝑀𝑀 ��⃗𝑠𝑠 與橢球體長軸在笛卡兒座標系中的關係。圖中𝑀𝑀 ��⃗𝑠𝑠 狀態為 curling mode 在成核圖 3.3. 1 磁場𝐻𝐻 場前一個瞬間的狀態。而𝑧𝑧與𝑧𝑧̅夾角為𝜔𝜔；𝑧𝑧與𝑥𝑥夾角為90°。. ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(Ω − 𝜔𝜔) = (𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑧𝑧 )sin (2ω). (3.3.1). 其中𝐷𝐷𝑥𝑥 、𝐷𝐷𝑧𝑧 分別為𝑥𝑥̅ 與𝑧𝑧̅方向上的去磁因子，可參考 [14]，ℎ = 𝐻𝐻/2𝜋𝜋𝑀𝑀𝑠𝑠 。在特. 1 ��⃗與𝑧𝑧̅夾角𝜔𝜔，殊情況的橢球體(無線長直圓柱)中𝐷𝐷𝑥𝑥 = ；𝐷𝐷𝑧𝑧 = 0。成核場起使於𝑀𝑀 2. 其微分方程式可以表達為(3.3.2 式) [31] [32]。並定義一個新的笛卡兒座標(x、 ��⃗的方向(圖 3.3.1)。 y、z)。其中 z 平行於𝑀𝑀. 𝐶𝐶∇2 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑀𝑀𝑠𝑠 (𝐻𝐻𝑥𝑥𝑡𝑡 − 𝑚𝑚𝑥𝑥 𝐻𝐻𝑧𝑧𝑡𝑡 ) = 0. (3.3.2.a). 𝐶𝐶∇2 𝑚𝑚𝑦𝑦 + 𝑀𝑀𝑠𝑠 �𝐻𝐻𝑦𝑦𝑡𝑡 − 𝑚𝑚𝑦𝑦 𝐻𝐻𝑧𝑧𝑡𝑡 � = 0 (3.3.2.b) 邊界條件. ��⃗ 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜕𝜕𝜕𝜕. ��⃗ 𝑀𝑀. = 0 , 𝑚𝑚 ��⃗ = 𝑀𝑀. 𝑆𝑆. 這裡𝐶𝐶 為交換常數(exchange constant )，n 法線指向橢球表面的方向。與𝐻𝐻𝑡𝑡 為有 �⃗𝑡𝑡 = 𝐻𝐻 �⃗ − ∇𝑈𝑈 − ∇𝑈𝑈0 ，𝐻𝐻 �⃗為外加場；𝑈𝑈為𝑚𝑚 效場，此處表為𝐻𝐻 ��⃗造成的位能；𝑈𝑈0 為去. 磁能。. 根據先前文章 [31]所提出的 curling mode 的解，可以用於(3.3.2)表示。由於 20.

(33) ��⃗建立在新座標(x、y、z)，所以需要進行笛卡兒座標的轉換。上述模型𝑀𝑀. 𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑚𝑚𝑧𝑧̅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠，𝑚𝑚𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑦𝑦� ，𝑚𝑚𝑧𝑧 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝑧𝑧̅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (3.3.3) 柱座標𝜌𝜌、z 與∅ 在 𝑥𝑥̅ 、𝑦𝑦�、𝑧𝑧̅ 的笛卡兒座標 𝑚𝑚𝑥𝑥̅ = −𝐹𝐹 (𝜌𝜌, 𝑧𝑧)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∅ + 𝐶𝐶1. 𝑚𝑚𝑦𝑦� = 𝐹𝐹 (𝜌𝜌, 𝑧𝑧)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∅ + 𝐶𝐶2 , U=0. (3.3.4). 適當地選擇函數 F 以及兩個常數𝐶𝐶1 和𝐶𝐶2 來求解這些方程。F 的微分方程及其邊. 界條件則與平行於長橢球軸的場的情況基本相同，其解已知 [31]。在當前情況下使用具有必要修改的解決方案。Curling mode 成核場可表達為(3.3.4)式. ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛺𝛺 − 𝜔𝜔) = 2(𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔 + 𝐷𝐷𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜔𝜔) − where 𝑆𝑆 =. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅0. 𝑘𝑘. 𝑠𝑠 2. ， with 𝑅𝑅0 = �𝑐𝑐/2𝑀𝑀𝑆𝑆2. (3.3.5). R 為 minor semi-axis，也就是橢球體在𝑥𝑥̅ 、𝑦𝑦�平面上的半徑。參數 k 為橢球體長寬. 比的單調遞減函數(圖 3.3.2) [31]。𝐷𝐷𝑥𝑥 、𝐷𝐷𝑧𝑧 、k 皆是與橢球長寬比有關的參數。. 圖 3.3. 2 長寬比與 k 關係。注意此處 m 並非先前所提到的磁矩，而是長軸與短軸比例 [31] 將(3.3.5 式)與(3.3.1 式)進行代數運算將可以得到(3.3.6 式)。 ℎ𝑛𝑛 =. 𝑘𝑘 𝑠𝑠. 𝑘𝑘 𝑠𝑠. �2𝐷𝐷𝑧𝑧 − 2 ��2𝐷𝐷𝑥𝑥 − 2 � 2. 2. ��2𝐷𝐷𝑧𝑧 − 𝑘𝑘 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 Ω+�2𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2Ω 2 2 𝑠𝑠. 𝑠𝑠. 21. (3.3.6).

(34) 另外 coherent mode 的成核場可由(3.3.1 式)定義。 (3.3.7 式)與(3.3.1 式)相消𝜔𝜔，可得到(3.3.8 式). ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛺𝛺 − 𝜔𝜔) = −2(𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑍𝑍 )co s(2𝜔𝜔) (3.3.7). ℎ𝑛𝑛 = −2(𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑍𝑍 ). √1−𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 4 1+𝑡𝑡 2. 1. ，𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝛺𝛺)3. (3.3.8). curling(3.3.6 式) 與 coherent(3.3.8 式) 的成核場將可繪製出 (圖 3.3.3)。圖中描述的橢球 𝑆𝑆 = 1.6(a)無限長直圓柱(b)長寬比 4.2:1(c)3:1。其中以 coherent 翻轉在外加磁場為 0°時的成核場作為 1。可發現 curling mode 成核場會隨著磁場角度增加而增加，在低角度(≤ 10°)成核場對角度不靈敏，這點高角度(≥ 70°)也有. 一樣的狀況，而中階角度對磁場角度相對敏感。. 圖 3.3. 3 成核場(−ℎ𝑛𝑛 )對磁場角度的依賴性。圖中虛線為 curling mode 翻轉；實線為 coherent mode 翻轉。(a)無限長直圓柱(b)長寬比 4.2:1(c)長寬比 3:1. ℎ𝑐𝑐 (𝜃𝜃 ) = �. |ℎ𝑛𝑛 (𝜃𝜃 )|, 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋. 𝜋𝜋. 𝜋𝜋 4. 2 �ℎ𝑛𝑛 � �� − |ℎ𝑛𝑛 (𝜃𝜃 )|, ≤ 𝜃𝜃 ≤ 4. 22. 4. 𝜋𝜋 2. (3.3.9).

(35) Coherent mode 矯頑場與成核場關係可透過(3.3.9 式) [30]轉換，而本文作者認為 curling mode 的矯頑場靠近成核場。兩種模式矯頑場對磁場依賴性關係與橢球尺寸 (圖 3.3.3)相同。可以看見 curling mode 的矯頑場與角度呈現單調遞增函數，而 coherent 卻相反。coherent 在低角度(≤ 10°)矯頑場變化量(變小)非常. 大，也就是說對角度敏感高。另外當磁場角度大於臨界角度時 curling mode 將會變成 coherent mode，這點其他文獻也有提及 [15] [14]. 圖 3.3. 4 矯頑場(ℎ𝑐𝑐 )對磁場角度的依賴性。圖中虛線為 curling mode 翻轉；實線. 為 coherent mode 翻轉。(a) 無限長直圓柱(b)長寬比 4.2:1(c)3:1. 文章中也繪製出不同尺寸的橢球體𝑆𝑆 = 2.35 (相當於 R 變大)(a)無限長直圓. 柱(b)長寬比 4.2:1(c)3:1 (圖 3.3.5)的成核場與矯頑場對磁場角度的關係。可以看見 curling mode 在高角度時成核場對角度相當敏感。相比而言低角度的成核場與矯頑場變化就不大。 23.

(36) 圖 3.3. 5 S=2.35 橢球體成核場、矯頑場對角度相依性。左圖為成核場，右圖為矯頑場。. . Anisotropy 假設有個橢球體擁有單軸各向異性(uniaxial anisotropy)，其易軸平行於圖. 3.3.1 的 𝑧𝑧̅ 軸。那 curling 與 coherent 磁性特徵對角度的性關係將進行修改。 curling mode 的 (3.3.5 式)應該修改成(3.3.10 式)。. ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(Ω − 𝜔𝜔) = 2(𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔 + 𝐷𝐷𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔) −. 𝑘𝑘. 𝑠𝑠 2. ��1 = 𝐾𝐾1 2 、𝐾𝐾 ��2 = 𝐾𝐾2 2 。此處𝐾𝐾 2𝜋𝜋𝑀𝑀 2𝜋𝜋𝑀𝑀 𝑠𝑠. − �� 𝐾𝐾1 (3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1). ��2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔(5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1) −2𝐾𝐾. (3.3.10). 𝑠𝑠. 另外(3.3.1 式)也需進行修正，在單軸各向異性的橢球體中為(3.3.11 式). ℎ𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(Ω − 𝜔𝜔) = �𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑧𝑧 +. �� 𝐾𝐾1 2. ��2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔� sin (2𝜔𝜔) + 𝐾𝐾. (3.3.11). (3.3.10 式)與(3.3.11 式)仍然可以進行代數運算，並得知其成核場與角度Ω，但其方程式過於複雜，故此處採用數值分析。而 coherent mode(3.3.7 式)的則應修改 ��2 = 0那成核場將可表達成(3.3.13 式) 為(3.3.12 式)，如果𝐾𝐾 24.

(37) ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(Ω − 𝜔𝜔) = −[2(𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑧𝑧 ) + �� 𝐾𝐾1 + �� 𝐾𝐾2 (4𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔 − 1)] cos(2𝜔𝜔) − �� 𝐾𝐾2 �� 𝐾𝐾1. ℎ𝑛𝑛 = −2 � + 𝐷𝐷𝑥𝑥 − 𝐷𝐷𝑍𝑍 � 2. √1−𝑡𝑡 2+𝑡𝑡 4 1+𝑡𝑡 2. (3.3.12 式). (3.3.13). 無限長直圓柱�𝑆𝑆 = 2，�� 𝐾𝐾2 = 0�Curling mode 成核場繪製於(圖 3.3.6)。可以看見. ��1 數值不大，整體曲線與 Isotropic spheroid 接近。除了𝐾𝐾 ��1 = 0.2的曲線整體只要𝐾𝐾. 在低角度區域成核場與角度呈現負相關，隨後角度增加而變成正相關。可以預 ��2 更大，這個趨勢將更明顯。另外長寬比 4.2:1 的橢球體(其他參數與上想如果𝐾𝐾 述相同) (圖 3.3.7)，曲線整體與無限長直圓柱相同。. ��1 = 0 (b) 𝐾𝐾 ��1 = 0.1 (c) 𝐾𝐾 ��1 = 0.2 虛圖 3.3. 6 無限長直圓柱𝑆𝑆 = 2，�� 𝐾𝐾2 = 0兩種模式成核場的角度相依性(a) 𝐾𝐾. 線為 curling mode 實線為 coherent mode。. 25.

(38) ��1 = 0 (b) 𝐾𝐾 ��1 = 0.1 (c) 𝐾𝐾 ��1 = 圖 3.3. 7 長寬比 4.2:1 橢球體𝑆𝑆 = 2，�� 𝐾𝐾2 = 0兩種模式成核場的角度相依性(a) 𝐾𝐾 0.2 虛線為 curling mode 實線為 coherent mode。. 本研究告知了，磁場與易軸夾角(𝜃𝜃)會影響矯頑場大小。而形狀異向性與晶格異向性都能影響奈米級圖形化鐵磁元件，而這兩種因素都能影響易軸走向所以也能影響角頑場的角度相依性。. 26.

(39) 3.4. Magnetoresistance of ferromagnetic nanowires [11] 本篇文章製備直徑 60 nm 長度 6000 nm 鎳與鈷的奈米細線，用以充當無限. 長直圓柱的實驗。並使用異向性磁阻探討，兩磁性無限長直圓柱的翻轉模式並使用磁阻曲線不連續處標定為翻轉場。根據前面文獻 [20]提到，高磁晶各異向性常數材料橢球體成核場必須進行修正 (3.4.1 式)。 ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(Ω − 𝜔𝜔) = 2(𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔 + 𝐷𝐷𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔) −. 𝑘𝑘. 𝑠𝑠 2. − �� 𝐾𝐾1 (3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1). ��2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔(5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1) (3.4.1) −2𝐾𝐾. 本篇研究所採用 Ni 的磁晶各異向性𝐾𝐾1 = 2 × 105 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑐𝑐𝑐𝑐3 、𝐾𝐾2 =. 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑐𝑐𝑐𝑐3 ，其高於一般塊材 Ni 的𝐾𝐾1 = 5 × 104 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑐𝑐𝑐𝑐3 。金屬鎳會有如此高. 磁晶各向異性，作者推論原因來自電鍍鎳的材料應力與磁伸縮效應。其奈米線交換場與磁場角度關係紀錄在(圖 3.4.1)，其中黑色圓型為實驗數據，實心線為圓柱的 curling mode 矯頑場的角度相依性(此處𝐷𝐷𝑥𝑥 、𝐷𝐷𝑧𝑧 為可調控制值，用以擬合. 實驗數據)。實驗數值趨勢大致符合 Aharoni 提出的高 k 材料應有的趨勢，在 0°. 附近有個”hump”。可以發現理論值的矯頑場比實驗值的大約多了 0.5 KOe，這點作者認為原因來自表面異向性與電鍍多晶鎳的晶界缺陷所引起的，這些缺陷允許局部區域成核。所以作者另外擬合出一條曲線(虛線)，此處𝐾𝐾1 、𝐷𝐷𝑥𝑥 、𝐷𝐷𝑧𝑧皆為調製值，𝐷𝐷𝑥𝑥 = 0.426、𝐷𝐷𝑧𝑧 = 0.148(k=1.27，也就是長寬比 2:1 橢球)。可以看見. 在小角度區域理論(虛線)與實驗接近，但高角度區(> 50°)域仍然有落差，原因為大的角度會由於表面缺陷引起的磁化而偏離均勻反轉。. 27.

(40) 圖 3.4. 1 鎳圓柱 curling mode 交換場與磁場角度關係。. 鎳圓柱的磁阻曲線紀錄在(圖 3.4.2)，磁場施加角度分別為 15°、45°。可以看見在 15°磁阻大部分值都吻合 AMR 理論模型。磁阻 0 場達到最高值後，逐步下降直至翻轉場位置會有一躍遷(圖 3.4.2 插圖)。而 45°磁阻就與 AMR 理論模型有著較大的誤差，原因為尺寸效應偏離 AMR 理論模型 [33]。. 圖 3.4. 2 鎳奈米線在磁場角度 15°、45°的磁阻線。電流大小 0.3𝜇𝜇𝜇𝜇。實線為根據 AMR 模型所繪製的理論值。插圖: 15°磁阻線翻轉場附近，實心圓為降磁場方向，空心圓為升磁場方向 28.

(41) 此外，本文章還製備了鈷奈米圓柱(直徑 76nm)，並量測其 curling mode 的交換場角度相依性(圖 3.4.3)，由於鈷的磁晶異向性較低(文中未提及是多少)所以不像鎳圓柱的矯頑場相依性一樣有個”hump”。. 圖 3.4. 3 鈷奈米圓柱交換場的角度相依性。虛線為 curling mode 交換場角度相依性，異向場(anisotropy field)2𝜋𝜋𝑀𝑀𝑠𝑠 = 9𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘。. 本文揭示了不同以 AMR 效應量測交換場的角度相依性與不同磁場角度下的 AMR 曲線。. 3.5 Angular dependence of magnetic properties in Ni nanowire arrays [12] 此研究探討奈米鎳線陣列的矯頑場對於外加磁場的角度相依性。在他們的實驗使用陽極氧化鋁(anodic aluminum oxide , AAO)充當製備線陣列的模板 (template)與電鍍(electrodeposition)沉積金屬鎳。文章中共製備了兩種不同長度𝐿𝐿 的奈米鎳線陣列分別為𝐿𝐿 = 4 𝑢𝑢𝑢𝑢 與𝐿𝐿 = 12 𝑢𝑢𝑢𝑢。線陣列的排列為六角排列，單根線寬𝑑𝑑 = 50 𝑛𝑛𝑛𝑛，而線與線間距𝐷𝐷 = 50 𝑛𝑛𝑛𝑛(圖 3.5.1.a)。線陣列的磁性特徵量測將使用 VSM，紀錄其矯頑場位置與外加場關係。磁場施加方向(圖 3.5.2)與線. 走向平行將定義為𝜃𝜃 = 0°, �𝐻𝐻𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 �，磁場施加方向與線走向垂直將定義為𝜃𝜃 =. 90°, �𝐻𝐻𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 �。. 29.

(42) 圖 3.5. 1 (a)局部的線陣列示意圖(b)磁場施加方向與線走向關係示意圖. 圖 3.5. 2 兩個陣列在外加場平行與垂直於線走向的磁滯曲線(a) 𝐿𝐿 = 4 𝑢𝑢𝑢𝑢(b) 𝐿𝐿 = 12𝑢𝑢𝑢𝑢.. (圖 3.5.2)實驗了兩種不同長度�𝐿𝐿 = 4、12𝑢𝑢𝑢𝑢�線陣列的磁滯曲線，可以看. 見不論線長短當磁場𝜃𝜃 = 90°時矯頑場與殘磁態磁化強度皆為 0，這一點符合. Stoner–Wohlfarth model。. 孤立的奈米線(圓柱)有 3 種翻轉模式 [34] [17] [18]：1.Coherent rotation (C) 翻轉的過程中所有自旋同時旋轉 2.Vortex wall(V)或是 Curling mode 自旋通過渦旋的移動逐漸反轉 3. Transverse wall (T) 自旋通過橫向磁壁的傳播逐漸旋轉(圖 3.5.3) [18]。三種翻轉模式的出現與奈米線的幾何尺寸有關或外加場有關，例如：Coherent rotation 一般只有在長度比較短的奈米線才會出現(奈米線長度等於或小於磁壁寬度) [31]。另外也有研究指出，當外磁場角度𝜃𝜃大於一臨界值將會造成翻轉模式改變 [20] [15]。 30.

(43) 圖 3.5. 3 圓柱的三種翻轉模式。雖然圖示為圓柱管，但是圓柱只是圓柱管的一個特例。由左而右分別是 Coherent rotation(C)、Vortex wall(V)、Transverse wall (T)。. 三種狀態的矯頑場表為𝐻𝐻𝑐𝑐𝐾𝐾 (𝐾𝐾 = 𝐶𝐶, 𝑉𝑉, 𝑇𝑇)，可透過 Stoner–Wohlfarth model 得. 知其成核場進一步推算出矯頑場。 1.. Nucleation field of coherent rotation 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑐𝑐 (𝜃𝜃) 𝑀𝑀0. =−. 1−3𝑁𝑁𝑍𝑍(𝐿𝐿) √1−𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 4. (3.5.1). 1+𝑡𝑡 2. 2. 𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡)1/3 ，𝑀𝑀0 為飽和磁化量，𝑁𝑁𝑍𝑍 (𝐿𝐿)為 Z 軸方向的去磁因子 2.. (demagnetizing factor)，其大小與圓柱尺寸有關 [16]。 Nucleation field of transverse wall 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑇𝑇 (𝜃𝜃) 𝑀𝑀0. =−. 1−3𝑁𝑁𝑍𝑍 (𝑤𝑤𝑇𝑇 ) √1−𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 4 1+𝑡𝑡 2. 2. 𝑤𝑤𝑇𝑇 為磁壁厚度與線寬有關 [34]. (3.5.2). 3.5.1 式與 3.5.2 式皆是成核場與角度的關係。而 coherent rotation、transverse wall 成核場與矯頑場的關係在 [30]中有表明可用 3.5.3 式轉換 𝑐𝑐(𝑇𝑇). 3.. 𝐻𝐻𝑐𝑐. (𝜃𝜃 ) = �. 𝑐𝑐(𝑇𝑇). �𝐻𝐻𝑛𝑛. 𝑐𝑐(𝑇𝑇) 𝜋𝜋 2 �𝐻𝐻𝑛𝑛 � �� 4. (𝜃𝜃 )� , 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤. −. 𝜋𝜋. �𝐻𝐻𝑛𝑛𝑐𝑐(𝑇𝑇) � (𝜃𝜃 ), 0. Nucleation field of vortex wall(curling mode) 31. 4. ≤ 𝜃𝜃 ≤. 𝜋𝜋 4. ( 3.5.3).

(44) 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑣𝑣 (𝜃𝜃) 𝑀𝑀0. =. 2 2 𝑞𝑞2 𝐿𝐿2 𝑥𝑥 ��𝑁𝑁 −𝑞𝑞 𝐿𝐿𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 𝑅𝑅2 𝑅𝑅2. �𝑁𝑁𝑧𝑧 −. 2 2 2 2 2 2 ��𝑁𝑁𝑧𝑧 −𝑞𝑞 𝐿𝐿2𝑥𝑥 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃+�𝑁𝑁𝑥𝑥 −𝑞𝑞 𝐿𝐿2𝑥𝑥 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜃𝜃 𝑅𝑅 𝑅𝑅. (3.5.4). 𝑁𝑁𝑧𝑧 、𝑁𝑁𝑥𝑥為去磁因子，交換長度𝐿𝐿𝑥𝑥 = �2𝐴𝐴/𝜇𝜇0 𝑀𝑀𝑠𝑠2(A 為交換常數). 根據文獻報導 curling mode 的矯頑場與成核場非常接近 [20]。故記做 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑣𝑣 (𝜃𝜃)=𝐻𝐻𝑐𝑐𝑣𝑣 (𝜃𝜃). 圖 3.5. 4 不同角度下三個模式的矯頑場大小，尺寸為寬 50nm 長度 12um 的奈米細線. 孤立線的翻轉模式取決於哪個模式擁有最低的矯頑場，(圖 3.5.4 )是 3 個狀. 態在線寬 50nm 長度 12um 的奈米細線所擁有的矯頑場。可以看見在所有的角度𝜃𝜃 transverse wall 都有著最低的矯頑場。這意味著線寬 50nm 長度 12um 的奈米細線所有角度的翻轉模式都為 transverse wall 主導。. 然而實際的實驗值，與理論推模型計算的矯頑場有著一定的差異(圖 3.5.5). 根據文章推測原因是實驗的樣品為奈米線陣列，而理論模型則為孤立的單線。. 單根線受到周遭的線所貢獻的雜散場(stray field)，關於這點其他文獻也指出雜. 散場對矯頑場的影響 [35] [36] [37]。最後文章也提出各線寬矯頑場角度相依性. 的理論數據。. 32.

(45) 圖 3.5. 5 線寬 50nm 兩種不同長度的細線矯頑場. 圖 3.5. 6 不同線寬矯頑場的角度相依性. 的角度相依性。. 不同模式與尺寸有著不同的矯頑場相依性，但對於翻轉模式的選擇仍然是擁有最小的矯頑場者。 3.6 Angular dependence of coercivity in magnetic nanotubes [15] 本文探討無限長磁性奈米管的矯頑場角度相依性。本篇研究將使用鎳 (Nickle)做為奈米管材料，計算鎳奈米管矯頑場與外加場角度關係(圖 3.6.1)。與無限長直圓柱類似，奈米管翻轉模式主要有兩種 curling mode 與 corherent modes，而 corherent mode 只能出現在尺寸較小的奈米管，Landeros [34]等人提出，當管徑大於 30nm 磁場施加𝜃𝜃 = 0°，curling mode 將主導翻轉機制。. 33.

(46) 圖 3.6. 1 磁性奈米管幾何參數與磁場角度關係其中無限長直圓柱𝛽𝛽 = 0而管壁非常薄則𝛽𝛽 → 1。換而言之，無限長直圓柱為奈米管的一個尺寸特例，所以兩者矯頑場的角度相依性關係類似。文章中鎳的基本磁性參數𝑀𝑀𝑠𝑠 = 4.85 × 105 𝐴𝐴/𝑚𝑚、 𝐾𝐾 = 4.5 × 103 𝐽𝐽/𝑚𝑚3。. 與前面兩篇文獻相同 corherent mode 的角度相依性相同表達為(3.6.1 式) 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑐𝑐 (𝜃𝜃) 𝑀𝑀0. =−. 1−3𝑁𝑁𝑍𝑍(𝐿𝐿) √1−𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 4 1+𝑡𝑡 2. 2. ，𝑡𝑡 = (𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 )1/3. (3.6.1). 成核場與矯頑場關係也與先前提到的相同(3.6.2 式)，curling mode 的表達也與前面相同(3.6.3 式). 𝑐𝑐(𝑇𝑇). �𝐻𝐻𝑛𝑛. (𝜃𝜃 )� , 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤. 𝜋𝜋. 4 𝐻𝐻𝑐𝑐 (𝜃𝜃 ) = � 𝜋𝜋 𝑐𝑐(𝑇𝑇) 𝜋𝜋 𝑐𝑐(𝑇𝑇) 2 �𝐻𝐻𝑛𝑛 � �� − �𝐻𝐻𝑛𝑛 � (𝜃𝜃 ), 0 ≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝐻𝐻𝑛𝑛𝑣𝑣 (𝜃𝜃) 𝑀𝑀0. =. 4. 2 2 𝑞𝑞2 𝐿𝐿2 𝑥𝑥 ��𝑁𝑁 −𝑞𝑞 𝐿𝐿𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 𝑅𝑅2 𝑅𝑅2. �𝑁𝑁𝑧𝑧 −. 2 2 2 2 2 ��𝑁𝑁𝑧𝑧 −𝑞𝑞 𝐿𝐿2𝑥𝑥 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃+�𝑁𝑁𝑥𝑥 −𝑞𝑞 𝐿𝐿2𝑥𝑥 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜃𝜃 𝑅𝑅 𝑅𝑅. 4. (3.6.2). (3.6.3). 圖 3.6. 2 無限長鎳奈米管矯頑場的角度相依性。一長度無限，𝑅𝑅 = 50 𝑛𝑛𝑛𝑛。實線為 coherent mode 的矯頑場角度相依性，虛線為無限長圓柱、圓管 curling 34.

(47) mode 的矯頑場角度相依性。. (圖 3.6.2)紀錄了，無限長圓柱(𝛽𝛽 = 0)與奈米管(𝛽𝛽 = 0.9)curling mode 的矯. 頑場角度相依性。可以看見奈米管與圓柱的曲線趨勢類似，並且在彼此過渡角 𝜃𝜃0𝑇𝑇 中斷開，翻轉模式由 curling 轉換成 coherent。. 此外，文章也紀錄圓柱與圓管各半徑的過渡角度(圖 3.6.3(a))，在線的上方. 為 coherent mode，下方為 curling mode。隨著半徑增加，不論是圓柱還是奈米管過渡角都增加了，這代表較大的尺寸不利於 coherent 這種全體自旋翻轉的翻轉模式。不同管壁厚度(𝛽𝛽 )對過渡角關係紀錄在(圖 3.6.3(b))，縮小管壁厚度也有助於增大過渡角，但其效應並不比增大半徑來的有效。. 圖 3.6. 3 臨界角與尺寸關係(a)半徑 R 與過渡角關係(b)管壁厚度𝛽𝛽與過渡角關係. 本文再次說明不同尺寸對於矯頑場相依姓的控制。. 3.7 Monte Carlo Simulation of Magnetization Behaviour of Co Nanowires [38] 此文章在蒙地卡羅(Monte Carlo)算法模擬在室溫下孤立的奈米鈷(Cobalt)線在不同磁場角度的磁滯曲線，並比較實驗數值。其磁場與圓柱軸走向的角度. 為𝜃𝜃。用以模擬的材料鈷的參數，交換常數𝐴𝐴 = 1.3 ∗ 10−11 𝐽𝐽/𝑚𝑚、飽和磁化量. 𝑀𝑀𝑠𝑠 = 1.43 ∗ 10−11 𝐴𝐴/𝑚𝑚、與晶格異向性常數𝐾𝐾 = 0、模擬的溫度為 300K。由於 35.

(48) 此文所有尺寸也未低於臨界尺寸，所以翻轉模應該為 curling mode(圖 3.7.1)，所以矯頑場關係式與前面提到的相同(3.7.1 式)。 ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(Ω − 𝜔𝜔) = 2(𝐷𝐷𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔 + 𝐷𝐷𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔) −. 𝑘𝑘. 𝑠𝑠 2. − �� 𝐾𝐾1 (3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1). ��2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜔𝜔(5𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝜔𝜔 − 1) (3.7.1) −2𝐾𝐾. 圖 3.7. 1 直徑 70nm 奈米鈷圓柱翻轉場角度相依性。. (圖 3.7.1)中由三角形組成的曲線為實驗值，由圓形線所組成的為蒙地卡羅. 法的理論值，實線為 coherent mode 的翻轉場矯頑場相依性，由星型組成的曲. 線式(3.7.1 式)所繪出的。可以看見實驗數值與 coherent mode 的曲線相差甚. 遠，與 curling mode 的曲線卻非常相近(以直徑 76 奈米無限長直圓柱)，由此可知道翻轉為式為 curling mode。此外可以看見，模擬的曲線在磁場角度𝜃𝜃 < 70°. 時與實驗的曲線非常相近，但當角度𝜃𝜃 > 70°時兩區線明顯分開，原因作者尚不清楚，可能是來自表面缺陷造成的。. 不同直徑的圓柱擁有著不同的矯頑場與矯頑場角度相依性(圖 3.7.2)。不論. 磁場角度的情況下，直徑越大的圓柱擁有的矯頑場比較小，但𝜃𝜃 = 90°時矯頑場都為 0。此外三者都與 coherent mode 的翻轉機制都相差不多，這說明三個翻轉模式都不是 coherent mode。由翻轉場的自旋分布也能看出這點。 36.

(49) 圖 3.7. 2 各直徑的矯頑場角度相依性. 圖 3.7. 3 奈米鈷線的翻轉模式的自旋分布本文揭示了，使用模擬的方式探討矯頑場相依性的可能。. 37.

(50) 3.8 Angular dependence of the transverse and vortex modes in. magnetic nanotubes [18] 本文使用蒙地卡羅法模擬磁性奈米柱(鎳)的翻轉模式，計算長度0.5 𝜇𝜇𝜇𝜇、. 外徑 R=10nm~25nm 的奈米圓柱(尺寸關係(圖 3.8.1.a))，管壁寬𝛽𝛽 = 0.1~0.9。在本文研究的尺寸將有 2 種翻轉模式 curling mode(vortex)、transverse. mode。此二種模式的成核場角度相依性方程式分別為 transverse mode(3.5.2. 式)、curling mode(3.5.4 式)，而成核場與矯頑場(翻轉場)關係與前面文章提到的相同(3.5.3 式)。. 圖 3.8. 1 磁場角度與尺寸關係圖首先，本文探討了磁場角度𝜃𝜃 = 0°時，transverse mode 磁壁厚度在不同奈. 米管直徑與管壁寬的關係，transverse mode 磁壁厚度會影響成核場對角度的相依性(圖 3.8.2)。可以發現外徑長度越高，磁壁厚度遞減率越高。而所有的尺寸的磁壁厚度介於 40nm 至 100nm 之間。. 38.

(51) 圖 3.8. 2 transverse mode 磁壁厚度與外徑、𝛽𝛽關係. 此外，文章挑選出 2 個尺寸進行解釋，兩者長度為 0.5𝜇𝜇𝜇𝜇、𝛽𝛽 = 14/30，. 其中之一外徑 10 nm，另一個外徑為 25nm，兩者矯頑場的角度相依性紀錄在. (圖 3.8.3)。藍色點與虛線為使用蒙地卡羅法模擬的數值，而實線則是(3.5.2 式) 與(3.5.4 式)的曲線。可以看見外徑 10nm，不論外場角度多少，翻轉模式皆為. transverse mode，然而不知為何模擬數據與模型數值(實線)有著約 0.5kOe 的差距，這點作者並未解釋。另外，外徑 25nm 的曲線在𝜃𝜃 = 60°附近矯頑場發生驟降，這是因為此處翻轉模式發生改變，由 curling mode 轉換成 transverse. mode，矯頑場角度相依性也由單調遞增經過𝜃𝜃 = 60°轉換成單調遞減函數。相同的是文章也未清楚解釋為何模型數值(實線)與模擬數值的差異。. 39.

(52) 圖 3.8. 3 鎳奈米奈米柱 transverse mode、curling mode 矯頑場角度相依性另外，文章研究各管壁厚度與磁場角度 curling mode 轉換成 transverse. mode 的臨界外徑長度𝑅𝑅𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝜃𝜃)，由此建立 curling mode 與 transverse mode 的相圖。如果外徑小於臨界外徑長度𝑅𝑅𝑐𝑐 < 𝑅𝑅𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝜃𝜃)，則翻轉模式為 transverse. mode 反之則為 curling mode。以外徑 10 nm 的奈米管為例(圖 3.8.4 中的點. 1)，不管是哪個角度的𝑅𝑅𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 𝜃𝜃)曲線，點 1 都在曲線下方，所以點 1 在任何角度. 都為 transverse mode 的翻轉模式。而以外徑 25 nm 的奈米管為例(圖 3.8.4 中. 的點 2)，在𝑅𝑅𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 45°)與𝑅𝑅𝑐𝑐 (𝛽𝛽, 60)°分別位於上與下，這代表在角度𝜃𝜃 = 45°時翻轉模是為 curling mode，而𝜃𝜃 = 60°時則為 transverse mode。這與(圖 3.8.3) 數據吻合。. 圖 3.8. 4 臨界外徑長度與角度管壁寬關係模擬結果也表明不同模式與尺寸的矯頑場的角度相一性控制並不同。. 3.9 Magnetic anisotropy in prismatic nickel nanowires [13] 本文已經通過電鍍在納米多孔單雲母晶體膜中製造了具有菱形橫截面的鎳奈米柱線陣列。本文使用了一種名為 nuclear track etching 的技術在 mica 基板上蝕刻出多個橫截面為菱形，孔密度為2 ∗ 108 𝑐𝑐𝑐𝑐−2 但彼此平均間距為 700nm. 的隨機分布。單一個孔，菱形橫截面邊長分別為 115nm 與 200nm 角度為 60° 與 120°。使用電鍍製備奈米鎳柱長度為 5𝜇𝜇𝜇𝜇，經檢測純度高達 98%，並使用. VSM 測量其磁滯曲線。磁場施加與尺寸關係(圖 3.9.1)，易軸位於 c 軸上。當磁 40.

(53) 場施加於 c 軸上時，squareness(SQ，定義為𝑀𝑀𝑟𝑟 /𝑀𝑀𝑠𝑠 )為 0.89。而磁場施加於 a. 軸與 b 軸上兩者 SQ 分別為 0.066 與 0.056，同時兩者的飽和場分別為 4650 Oe 與 3380 Oe，同時矯頑場分別為 220 Oe 與 80 Oe。由於菱形擁有形狀異向性，才會造成上述 a 軸與 b 軸擁有不同的磁力特徵。此外文章還研究磁場在 ab 平面轉，各角度(∅)的飽和場與矯頑場(圖 3.9.2)。. 圖 3.9. 1 菱形奈米柱磁滯曲線. 圖 3.9. 2 飽和場與矯頑場的角度相依性(a)飽和場，實線為(3.9.2 式)的擬合曲線 (b)矯頑場在 in-plane(ab 平面)的形狀異向性，菱形的去磁能𝐸𝐸𝑑𝑑 可以表達成(3.9.1 式) 41.

(54) 1. 𝐸𝐸𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝑠𝑠2 (𝑁𝑁𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2𝜃𝜃 + 𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 ∅ + 𝑁𝑁𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝜃𝜃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 ∅) 2. (3.9.1). 當磁矩平躺於 ab 平面時(3.9.1 式)可簡化成(3.9.2 式)，飽和場關係式(3.9.3 式)，經過擬合實驗數值(圖 3.9.2) Na = 0.76、Nb =0.556。. 𝐸𝐸𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋𝑀𝑀𝑠𝑠2 (𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 ∅ + 𝑁𝑁𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 ∅) 𝐻𝐻𝑠𝑠 = 4𝜋𝜋𝑀𝑀𝑆𝑆 (𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 ∅ + 𝑁𝑁𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 ∅). (3.9.2). (3.9.3). 此外，測量 SQ、矯頑場與角度相依性關係(𝜃𝜃)，磁場分別在 ac 平面旋轉與. bc 平面旋轉兩種方式。(圖 3.9.3.a)紀錄 ac 平面個角度的 SQ，其 SQ 與角度𝜃𝜃符. 合(3.9.3 式)。. 𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆0 |𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐|. (3.9.4). (圖 3.9.3.b)紀錄了 ac 平面與 bc 平面矯頑場的角度相依性，可以清楚的看. 到本文所以研究的菱形奈米柱在低角度時翻轉模式為 curling mode，與前面其他文獻相同在當角度超過臨界角度時模式將轉變 curling mode→coherent. mode。ac 平面的臨界角為 78°、bc 平面的臨界角為 85°，臨界角度會隨著長寬比增加而降低(長寬比 ac<長寬比 bc)。. 圖 3.9. 3 各磁性狀態的角度相依性。(a)殘磁磁化強度(b)矯頑場。圓形代表磁場角度變化在 ac 平面，三角形代表磁場角度變化在 bc 平面。. 42.