Farrell（1957）以數學規劃法來求取單位的等產量線，作為效率邊界（或稱 生產效率前緣），對效率進行衡量。此法提出對後代的學者有極大的影響，但許 多學者已逐漸使用邊界函數的衡量準則，來取代當初Farrell 的單位等產量衡量 準則，有關效率的衡量方法，本研究於下節作相關說明介紹。
2.3 生產邊界函數生產邊界函數生產邊界函數 生產邊界函數
Forsund et al.（1980）根據生產邊界函數的設定，針對各個模型的性質，以 及對生產邊界誤差項的處理及函數型式定義之差異，將邊界函數的模型區分為：
1. 確定性無參數邊界法（Deterministic nonparametric frontier approach）
2. 確定性參數邊界法（Deterministic parametric frontier approach）
3. 確定性統計邊界法（Deterministic statistical frontier approach）
4. 隨機性邊界法（Stochastic frontier approach）
本文進一步探討以上四種模型之估計方法
2.3.1 確定性無參數邊界法確定性無參數邊界法確定性無參數邊界法確定性無參數邊界法
利用此種估計方法研究技術效率與配置效率以Farrell（1957）為代表，採取 線性規劃法（Liner Programming）進行估計。此法並無預設生產函數之型態或明 顯之邊界模式，而是假設生產邊界已經事先確定，對生產函數的推估並不含參數 的估計，而是利用廠商產出及投入比例去估算廠商的效率指標。因為不用作任何 的參數估計，所以被稱為「確定性無參數邊界法」。此法以Charnes, Cooper and Rhode（1978）所提出的資料包絡分析法（Data Envelopment Analysis , DEA）為 代表。DEA 分析法是一種確定性無母數邊界法，此類方法是採用相對比較的概 念，利用數學規劃技巧求出效率邊界（或生產效率前緣），亦即效率生產函數，
此邊界是屬於一般所謂的確定性無參數邊界（Deterministic nonparametric frontier）。當生產效率前緣與實際產出值有所差距，一律視為廠商的無效率，故 對於落在邊界外的觀察點（Outlier）就無法做合理的解釋，亦即不允許隨機誤差 的存在，導致理論與實際情況會產生偏差。我們可再利用實際觀察點與此邊界的 相對位置關係，求出技術效率，再進一步考慮生產要素價格比，可測得配置效率，
總效率為此二者的乘積。而資料包絡分析法最大的優點就是不用預設邊界函數，
所以該法具有較大的資料包容性，而且可以解決以往在衡量效率方法的缺失。
2.3.2 確定性參數邊界法確定性參數邊界法確定性參數邊界法確定性參數邊界法
由於Farrell 未對生產函數做假設，所以不具一般化能力。Aigner and Chn
（1968）提出了一個異於Farrell 的無參數邊界模型，假設所有產出的差異性皆 來自於技術無效率，而不考慮配置分配無效率。使生產函數一般化為
Cobb-Douglas 型態，更考慮隨機變動對生產過程的影響，其生產函數為：
Y = f (X ; β )e−u , u ≥ 0 (2.1)
其中，Y 代表廠商實際產出，X 為廠商的生產要素投入，u 代表生產技術之無 效率，並且呈現單尾誤差之型態。因此 0<u≤ ，代表廠商實際產出小於或等於1
潛在最大產出。
Aigner and Chu （1968）的模型假設生產函數為具齊次性的Cobb-Douglas 型 式，如此便可依照對生產技術的假設，適當的加入一些限制式而可以討論固定規 模報酬及非固定規模報酬的情況了；即將(2.1)式取對數後可以得到(2.2) 式：
( ) 0 n
j = 1
l n Yi = l n f X i; β e−u =β +
∑
β jl n X i j − ui , (2.2)u ≥ 0 , j = 1 , 2 . . . n , i為 第 i家 廠 商
利用線性規劃法的反覆求法，就可解出估計參數值(β1,β 2. . .β n )。確定 性參數邊界估計法生產邊界使用簡單的數學規劃法來衡量此模式，而此法其最大 的貢獻是將生產邊界以一般化Cobb-Douglas 生產函數來表示，因此我們可對生 產水準之假設，加入限制式，所以在估計過程上，會包含對生產函數之參數估計，
故稱為確定參數邊界法。可是此法的估計方法被質疑太過簡略，無形中會限制完 全技術效率生產點的個數，對估計式之誤差項也未做統計上的假設，估計結果缺 乏統計上的特性。而且在生產邊界上的離群值，也是如同Farrell 無法做合理解 釋，為此模型之缺點。
2.3.3 確定性統計邊界法確定性統計邊界法確定性統計邊界法確定性統計邊界法
上述二法利用誤差項來衡量技術無效率的指標，但都未對誤差項作統計上的 假設，所以得出的估計量就缺乏統計上的特性。Afriat（1972）引進統計的觀念 於邊界模型上，認為應以一般統計方式來推估生產邊界，因為生產邊界與觀察點 間有顯著的統計關係。假設誤差項為一具有參數的Beta 分配，並利用最大概似 估計法來進行估計。此外，Richmond（1974）則假設誤差項為單一參數的gamma 分配，並利用普通最小平方法（OLS）來估計，但因不合乎古典迴歸中殘差項期 望值為零（E u( )i ≠ 0）的假設，所以需將上述（2.2）式的常數項以及誤差項稍 加修改,可得：
( ) n ( )
0
j = 1
l nYi = β − E ui +
∑
β jl nX i j + E ui − ui （2.3）其中 E (ui )− u i ∼i i d N
(
0 ,σ 2)
此時採用普通最小平方法（OLS）便可得出β0− E( )ui 與βj之最佳線性不偏估計量（BLUE），且可滿足一致性，因
而此種估計法又稱為「修正普通最小平方法（COLS：Corrected OLS）」。同時，
Schmidt（1976）認為不論對誤差項作何種分配，當利用最大概似法（Method of Maximum Likelihood, MLE）推估參數時，估計式的漸進有效性（Asymptotically Efficient）及一致性所需的基本條件（Regular condition）可能無法獲得滿足，但 Greene（1980）卻認為ui若能滿足ui的機率密度函數為0（當ui =0）及ui的機率 函數對參數β的導函數趨近於0（當ui→0），則最大概似估計法的漸進有效性 依然可以成立。
以確定性統計邊界法來估計參數，是具有統計上的特性。但因為無法事先知 道誤差項為何種分配，故強迫模型接受研究假設，可能會導致模型設定的偏誤
（Model specification errors）。
2.3.4 隨機性邊界法隨機性邊界法隨機性邊界法隨機性邊界法
上述探討的確定性邊界模型，基本上皆假設廠商面對的技術訊息是相同的，
廠商在相同的技術水準下，有共同的生產邊界，任何產出的差異皆因為個別廠商 生產技術相較於生產邊界是否有效率而已，亦即認為誤差純粹是人為錯誤，如廠 商的調整成本、技術水準不足、訊息不足及管理失當等。但廠商在實際的生產過 程中，除了技術效率上的誤差，仍會面臨一些隨機的、人為無法控制的因素：可 能是自然的天災或不佳的氣候，也可能是機器的運作不良或由於外在因素而導致 的不確定性。隨機性邊界法考量造成廠商效率差異之因素，可能並非完全為廠商 所能控制，因此將生產函數迴歸式中的誤差項分解成二部份，一部份是隨機誤差 項（統計誤差項），屬於廠商本身無法控制的外在因素或統計上衡量的錯誤，如 政治局勢、國外原料短缺或能源危機；另一部份是技術無效率部份，屬於廠商本 身能控制而未能達到的最高產出，故每家廠商之邊界應不盡相同。
Aiger、Lovell and Schmidt( 1977 )、Meeusen and Vandan Breeck( 1977 )都曾 對確定性邊界模型基本假設提出質疑，並提出隨機邊界模型（簡稱ALS 模型）
來估計個別廠商的技術效率，他們將衡量生產差異的誤差項分解成兩部分，一是 對稱性的隨機干擾項v i (symmetric random disturbance)，表示廠商不可控制的外 在因素，一般皆假設為常態分配；另一部分是單邊分配的技術無效率干擾項u 。i
其模型如下： 假設所估計的結果不同。Aiger、Lovell and Schmidt( 1977 )、Meeusen and Vandan Breeck( 1977 )假設u 為半常態分配或指數分配。Stevenson（1980）針對i u 的分配i 提出一般化的單邊誤差分配即截斷性常態分配(Truncated normal distribution)、
Exponential 分配或Gamma 分配。此外，此方法假設邊際技術替代率與技術效率 無關。然而，隨著廠商生產效率的改變，對各種要素生產力的影響並不會相同，
效率的u 與要素投入間彼此是獨立的。但是此種假設應用在 Panel data 則不是一i 個很合理的假設，因為隨著時間的經過，廠商可能會累積生產經驗，設法改善其 無效率的情形。
Pitt and Lee（1981）認為橫斷面隨機生產函數模型(Cross-Section stochastic production frontier model ) 會產生三個問題：
1. 隨機邊界分析法雖然將技術無效率由誤差項分離出來，但仍需對誤差項中的 效率項做統計上的分配假設，才可求得效率值，但實際上，隨著分配假設的 不同，所估計出來的效率指標不同。
2. 隨機邊界分析法假設解釋變數與效率項間相互獨立，然而實際上效率項與解 釋變數間常存在相關性。
3. 隨機邊界分析法係利用條件期望值的概念求得個別廠商的效率指標，其估計 量未滿足一致性。
因此使用Panel data的隨機邊界模型可解決上述3項問題，比起橫斷面資料，
Panel data可提供更多的資訊(如：技術變動)，其主要特性為時間短、廠商多，若 樣本數不夠多，為了求得較好的估計量，勢必要對隨機誤差項及無效率項做些合 理的分配假設，Pitt and Lee ( 1981 )的Panel data 模型如下：
, 1, 2 ...n , 1, 2 ...t
it it it it
Y =α + X β +v −u i = t =
其中：
Y 代表第i家廠商在第t期之產出水準 it
X 代表第i家廠商在第t期之生產要素投入 it
v 代表對稱性的隨機誤差項，it viiid∼N
(
0,σv2)
u 代表技術無效率項，it uitiid∼ N u
(
,σv2)
, u >0, i∀ uit ⊥ vit i∀Pitt and Lee（1984）在實證研究中根據u 的假設，將Panel data 隨機邊界 it 模型分為u 不隨時間變動(即it uit=ui)的時間非變異模型
(Time-invariant model)及u 隨時間變動的時間變異模型(Time-varying
model)。Schmidt and Sickles（1984）亦分別討論到廠商技術無效率u 是固定或it 隨機。他們因此根據對u 的假設而再將模型分成固定效果模型(Fixed effect model)it 和隨機效果模型(Random effect model)兩部分。以時間非變異模型為例，分述固
Schmidt and Sickles（1984）再進一步假設u 為隨機變數，即「隨機效果模i 型」，又稱為「誤差成分模型」( Error Component Model )，此模型特別著重母體 的關係，考慮u 並非固定常數而是一個隨機變數，即假設E(i ui)= u 且u 與解釋變i 釋變數與技術無效率u 不相關(可以Hausman-Taylor test(1981)檢定i u 與解釋變數i 的相關性)，所以須採用Greene（1993）之一般化最小平方法（GLS）來估計。
如果解釋變數與技術無效率u 的不相關獲得確認，且進一步假設i u 的分配型i
如果解釋變數與技術無效率u 的不相關獲得確認，且進一步假設i u 的分配型i