產生模擬情境和結果驗證

使其盡量能滿足Delta Neutral 和 Delta-Gamma Neutral。在現實環境中，因為選擇 權交易單位的限制，並不太可能真正持有全部的避險部位。

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最後將第0 期的股票指數乘上模擬出來的指數報酬後，就可以得到股票指數經過 Δt 年後的隨機模擬結果。

當模擬的情境全部產生後，可以檢查每一個股票指數報酬率所有的模擬情境 N 組，其最後模擬出來股票指數報酬率的期望值是否符合研究假設接近 0；除了 上述的驗證之外，還要比對每一個模擬出來的股票指數報酬率的標準差、共變異 矩陣與相關係數矩陣和歷史資料的是否接近，若有任何差異較大的部份，試圖找 出原因，並解釋之；在衡量避險效果部份，本研究將比較在時間t=0 和時間 t=Δt 的投資組合價值、Delta 和 Gamma 之間的變化，並觀察在 50 Percentile、75 Percentile、90 Percentile、95 Percentile 和 99 Percentile 下的風險值和條件尾端期 望值（Conditional Tail Expectation, CTE），藉由上述幾個資料，觀察避險效果的 程度。

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l C h engchi U ni ve rs it y 肆、 實證結果

本研究選擇實際在美國芝加哥期權交易所裡交易的商品，並考慮投資組合內 所有股票指數報酬率之間的相關性，透過蒙地卡羅模擬法模擬投資組合內股票指 數報酬率在未來一段時間內可能的變化量，最後再利用風險值作為衡量風險的指 標，判斷當原始投資組合是由價平選擇權所組成，且滿足Delta Neutral 時，應該 選擇哪一種履約價與標的物價值之間關係的選擇權當作避險部位的投資組合，使 新的投資組合滿足 Delta-Gamma Neutral，可以達到最佳的避險效果。另外，本 研究也嘗試比較相同標的物的選擇權投資組合，但選擇權到期日長短不同，是否 會改變上述研究的結果。

假設一年有250 個交易日，目前連續複利的無風險利率為 1%，所有的投資 組合都持有超過10 天（Δt=0.04 年）。本研究所使用的每一個投資組合皆由相同 標的物的衍生性金融商品組成，距離到期日還有一個月（T=0.083 年）和六個月

（T=0.5 年）的歐式選擇權，標的物之間存在高度相關性（ρ），在每一個特定 的到期日裡，嘗試改變選擇權的履約價與標的物的現貨價之間的關係不同，即所 謂的價平（At the Money, ATM）、價內（In the Money, ITM）、價外（Out of the Money, OTM）和深價外（Deep Out of the Money, DOTM）。

其中，本研究以2010 年 5 月 21 日標的物的收盤價作為比較的基準值，並使 用歷史資料來計算其年報酬的波動度，標準普爾500 指數的收盤價為 1087.6899，

年報酬的波動度為15.59%；那斯達克 100 指數的收盤價為 1822.77，年報酬的波 動度為27.66%；分別對應持有一個月後到期的選擇權投資組合包括標準普爾 500 指數選擇權，履約價為1090，隱含波動度為 31.15%；那斯達克 100 指數選擇權，

履約價為1800，隱含波動度為 35.73%。六個月後到期的選擇權投資組合包括標 準普爾500 指數選擇權，履約價為 1100，隱含波動度為 31.77%；那斯達克 100

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指數選擇權，履約價為1800，隱含波動度為 37.61%。以下將針對某一個到期日 說明其所有投資組合，其它到期日的投資組合與此相同。

1. 個別賣出買權 100 口不同標的物的價平選擇權和賣出賣權 50 口不同標 的物的價平選擇權。（表4.1）

2. （Delta Neutral, ATM）各別賣出買權 100 口不同標的物的價平選擇權，

並透過調整賣出賣權的口數，使投資組合滿足Delta Neutral。（表 4.2）

3. （Delta Gamma Neutral, ATM）除了持有投資組合 2 的選擇權，另外，

選擇一個與投資組合2 相同標的物的投資組合，但履約價皆與投資組合 1 不同的價平選擇權，透過調整買進各別標的物的買、賣權口數，使兩 個投資組合滿足Delta-Gamma Neutral。（表 4.3）

4. （Delta Gamma Neutral, ITM）與投資組合 3 的其它條件相同，但使用 價內選擇權。（表4.4）

5. （Delta Gamma Neutral, OTM）與投資組合 3 的其它條件相同，但使用 價外選擇權。（表4.5）

6. （Delta Gamma Neutral, DOTM）與投資組合 3 的其它條件相同，但使 用深價外的選擇權。（表4.6）

表4.1 完全未避險的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1090 1090 1800 1800

部位 -100 -50 -100 -50

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表4.2 Delta Neutral 的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1090 1090 1800 1800

部位 -100 -109.045 -100 -109.945

表4.3 Delta-Gamma Neutral（ATM）的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1080 1080 1850 1850

部位 86.24322 111.11 146.0545 99.58785

表4.4 Delta-Gamma Neutral（ITM）的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1025 1150 1750 1925

部位 112.7064 113.1848 201.7012 137.5885

表4.5 Delta-Gamma Neutral（OTM）的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1150 1050 1925 1700

部位 196.3987 132.1059 187.3424 157.978

表4.6 Delta-Gamma Neutral（DOTM）的選擇權投資組合部位明細 標的物 S&P 500 NASDAQ 100

種類 CALL PUT CALL PUT 履約價 1200 990 2050 1600

部位 420.1146 204.4698 897.2557 250.4045

本研究共選擇兩種資產當作投資的標的物（d=2），根據過去的歷史報酬率 計算其相關性為0.8171（ρ），由於過去 22 年的歷史資料所計算的標準差較隱含 波動率小，為避免無法合理估計出選擇權價值，故決定使用2010 年 5 月 21 日當

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Gamma，並計算在 50 Percentile、75 Percentile、90 Percentile、95 Percentile 和 99 Percentile 下的風險值和條件尾端期望值，結果整理如下列幾個圖表。

表4.7 一個月後到期的選擇權投資組合避險結果（T=0.083 年/Δt=0.04 年）

-1723502 -1727134.719 3633 -56.8463 -53.5626 -1.1287 -0.9397 Delta Neutral

0

-1723502

-2359426 -2362202.72 2777 0.0000 4.5701 -1.4981 -1.3100 Delta Neutral -635924

Delta + Gamma Neutral 0 0

3

N/A

ATM

-1723502

3588706 1181614.142 2407091 0.0000 19.4420 0.2274 0.0532 Delta Neutral -635924

Delta + Gamma Neutral ITM 5948131.484

4

N/A

ATM

-1723502

26373 -2306658.315 2333032 0.0000 1.3072 0.1243 0.0310 Delta Neutral -635924

Delta + Gamma Neutral ATM 2385799.302

5

N/A

ATM

-1723502

-792719 -3139454.307 2346735 0.0000 11.1569 0.5781 0.4764 Delta Neutral -635924

Delta + Gamma Neutral OTM 1566706.882

6

N/A

ATM

-1723502

-1024347 -3321789.536 2297443 0.0000 48.6687 1.9493 1.0873 Delta Neutral -635924

Delta + Gamma Neutral DOTM 1335079.232

‧

Delta Neutral

0

Delta + Gamma Neutral ITM 5948131.484

4

Delta + Gamma Neutral ATM 2385799.302

5

Delta + Gamma Neutral OTM 1566706.882

6

Delta + Gamma Neutral DOTM 1335079.232

表4.9 一個月後到期的選擇權投資組合 VaR & CTE（T=0.083 年/Δt=0.04 年）

風險衡量指標 編號 百分位

50% 75% 90% 95% 99%

VaR

1 -302060 205261 1023903 1646864 3033716 2 -274084 266877 1017768 1576571 2732104 3 91810 128810 188887 231714 292187 4 -53085 8237 24749 32582 50212 5 41707 106464 136854 146503 153917 6 176397 276300 347283 372328 392772

‧

1 500080 1089414 1899402 2501268 3799148 2 509965 1062266 1779615 2294272 3410781 3 147237 187133 238614 268151 310489 4 2805 25245 36317 44476 66161 5 103998 131687 146403 151132 154822 6 279088 336856 372391 385043 395508

表4.10 一個月後到期的選擇權投資組合 VaR & CTE（T=0.083 年/Δt=0. 083 年）

風險衡量指標 編號 百分位

50% 75% 90% 95% 99%

VaR

1 -441082 526697 1969914 3055538 5305623 2 -302060 205261 1023903 1646864 3033716 3 214560 493803 744040 845991 967769 4 -198004 51265 359257 456753 577617 5 35403 357179 564258 664335 853025 6 355792 1080516 1602283 1835139 2145521

CTE

1 1016821 2054298 3448757 4445984 6518122 2 500080 1089414 1899402 2501268 3799148 3 530308 711673 856287 919078 991210 4 105591 311070 468164 528203 605814 5 374941 551032 692706 774601 917554 6 1128933 1548471 1871246 2027728 2271226

圖4.1 一個月後到期的選擇權投資組合 Δt=0.04 年後的 VaR 折線圖

‧

-4300950 -4327719.179 26769 -66.8817 -65.4850 -0.4383 -0.3802 Delta Neutral

0

1266994 -5101650.859 6368645 0.0052 0.2070 0.0275 -0.0474 Delta Neutral -2228068

Delta + Gamma Neutral ITM 7796011.852

4

N/A

ATM

-4300950

-229649 -6595456.397 6365807 0.0052 0.0751 0.0431 -0.0123 Delta Neutral -2228068

Delta + Gamma Neutral ATM 6299368.891

5

N/A

ATM

-4300950

-1216695 -7590034.772 6373340 0.0052 0.2482 0.0980 0.0533 Delta Neutral -2228068

Delta + Gamma Neutral OTM 5312322.829

6

N/A

ATM

-4300950

-1811958 -8181772.11 6369814 0.0052 1.1775 0.1693 0.1324 Delta Neutral -2228068

Delta + Gamma Neutral DOTM 4717059.669

‐1000000 

‧

Delta Neutral

0 Delta Neutral -2228068.062

Delta + Gamma Neutral 0 0 Delta Neutral -2228068.062

Delta + Gamma Neutral ITM 7796011.852

4

N/A

ATM

-4300950

-229649 -6566259.392 6336610 0.0000 -0.0178 Delta Neutral -2228068.062

Delta + Gamma Neutral ATM 6299368.891

5

N/A

ATM

-4300950

-1216695 -7647693.125 6430998 0.0000 0.0371 Delta Neutral -2228068.062

Delta + Gamma Neutral OTM 5312322.829

6

N/A

ATM

-4300950

-13058036 -8205290.872 -4852745 0.0000 0.1084 Delta Neutral -2228068.062

Delta + Gamma Neutral DOTM -6529018.081

表4.13 六個月後到期的選擇權投資組合 VaR & CTE（T=0.5 年/Δt=0. 04 年）

風險衡量指標 編號 百分位

50% 75% 90% 95% 99%

VaR

1 -851850 -180875 773032 1474347 2960277 2 -1017985 -121825 820469 1440369 2643783 3 136592 418357 627515 731974 884950 4 -206019 93514 353831 422853 547349 5 126522 412961 603481 685618 882077 6 201093 940990 1493351 1736349 2071183

‧

1 -1103303 1395443 6189728 9670817 17454804 2 -157518 370628 997028 1430977 2425490 3 -91610 120563 295596 430792 721901 4 -191640 27155 225926 371404 516976 5 -255 256019 420155 489996 590201 6 176042 846440 1282630 1481326 1748509

CTE

1 3209828 6461642 11124745 14520358 22087262 2 3209828 6461642 11124745 14520358 22087262 3 165572 310045 482410 609473 867964 4 67008 218886 378693 465109 552361 5 266354 402488 501879 550184 617417 6 878280 1236786 1509642 1642526 1824339

圖4.3 六個月後到期的選擇權投資組合 Δt=0.04 年後的 VaR 折線圖

ging Delta 

Neutral

ITM

ATM

OTM

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圖4.4 六個月後到期的選擇權投資組合 Δt=0.5 年後的 VaR 折線圖

由上述資料，可以發現當避險策略加入考慮Gamma 之後，其避險效果較只 考慮Delta 來得明顯。就到期期間較長的投資組合，建立一個深價外的選擇權避 險組合，在持有 0.04 年後，避險效果在百分位小於 95%以下，有機會遭遇比原 來Delta Neutral 的選擇權投資組合更大的損失。另外，在使用相同標的物，且到 期日相同，但不同履約價的選擇權做為避險部位，以使用價內選擇權的避險成本 最高，依序價平、價外，到深價外選擇權的避險成本最低，但以避險效果來看，

反而是以價平選擇權做為避險組合部位時最好，深價外選擇權的避險效果最差。

整體而言，不論到期時間長短，當持有一個Delta Neutral 的價平選擇權投資組合，

若使用同樣是價平選擇權作為調整的避險投資組合，使其滿足 Delta-Gamma Neutral，其避險效果優於使用其它選擇權作為避險投資組合。

‐5000000  0  5000000  10000000  15000000  20000000 

50% 75% 90% 95% 99%

VaR($)

Percentile Non‐

Hedging

Delta 

Neutral

ITM

ATM

OTM

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l C h engchi U ni ve rs it y 伍、 結論與建議

Delta 是指選擇權價格對標的物價格的變動關係，Gamma 是指因為標的物價 格變動而使 Delta 改變的速度。過去有許多專家學者在研究使用 Delta 作為主要 的避險策略，透過調整投資組合部位讓Delta=0 滿足 Delta Neutral，已經可以達 到避險的目的。本研究則進一步考慮，在進行避險策略時，加入 Gamma 係數，

透 過 加 入 一 個 新 的 選 擇 權 避 險 部 位 ， 使 得 投 資 組 合 的 Gamma=0，即滿足 Delta-Gamma Neutral，可以有明顯的避險效果。

從避險成本和避險效率的角度來思考，無論原始投資組合成份為何，若使用 價內選擇權來做為避險工具，其避險成本是非常高的；若使用深價外的選擇權做 為避險工具，避險成本則較低。若考慮避險效率的話，則本研究發現，當原始的 Delta Neutral 投資組合是由價平選擇權組成時，不論原始投資組合的到期日為何，

為了達到 Delta-Gamma Neutral，避險投資組合如果是由相同標的物，且到期日 相同的其它價平選擇權所組成的話，將可以達到最好的避險效果，在本研究的實 證結果中，其Delta-Gamma Neutral 的避險效果比 Delta Neutral 的避險效果高達 約78%。

由於在本研究的過程中，好幾次實證結果出來的數據並不合理，在經過幾次 測試之後發現，本研究一開始是以歷史資料波動率做為產生隨機變數的參數，後 來發現它並不足以代表目前投資環境，為了避免這樣的問題再次發生，故建議使 用隱含波動度，而不是使用過去的歷史波動度資料，在Hull, J. C.（2003）中也 有提到，使用隱含波動度會使B-S Model 的避險效能較好。

另外，由於 Delta 和 Gamma 避險都假設標的物的波動率是一個固定不變的 常數，但實際上，波動率是會隨著時間而變動的，故建議可以考慮Vega 的影響，

‧ 國

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使投資組合不會受到標的物波動度對標的物價格的變動的影響，如果要達到這個 效果，需要再加入其它選擇權的部位來避免。

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l C h engchi U ni ve rs it y 參考文獻

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2. Black, F., and Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, Vol. 81, No. 3., pp. 637-654.

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Journal of Futures Markets, Vol. 8, No. 1, pp. 15-31.

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在文檔中 Delta中立選擇權避險策略之研究 - 政大學術集成 (頁 19-33)