第四章 數值分析與結果
4.2 直角構架受到端點剪力作用
圖 4.3(a)為直角構架示意圖及其所受到之剪力負荷圖，結構左下端為固 接，右上端受一均勻分佈的剪力作用，其等效節點力是用附錄 E 的方法在 變形前的位置上決定。本例題考慮兩種不同的網格，分別為圖 4.3(b)的網格 M21 與網格 M22。網格 M21 使用了 38 個三角殼元素，網格 M22 使用了 152 個 三 角 殼 元 素 。 本 例 題 假 設 固 定 端 ( X1G =0 ) 的 邊 界 條 件 為
=0
=
=
=
=
=V W εy γxy θ
U 。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖 4.4 是本例題在不同網格下的結果與文獻[18]中 Battini 的結果，文獻[18]的 結果是使用了304 個四角平面元素得到的結果，本例題網格M11的UA是取 自由端之兩節點水平位移的平均值。本例題使用了元素幾何剛度Type(2)，
在網格 M21 之 Case(a)的分析過程中使用了 11 個增量，每個增量的平均迭
代次數約為 7，在網格 M21 之 Case(b)的分析過程中使用了 16 個增量，每
個增量的平均迭代次數約為 7；在網格 M22 之 Case(a)的分析過程中使用了 10 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 6，在網格 M22 之 Case(b)的分析 過程中使用了 11 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 6。由圖 4.4 可以 看出本例題不同網格的結果與文獻[18]的結果相當吻合。
4.3 圓柱殼片段受到圓柱殼片段受到圓柱殼片段受到圓柱殼片段受到單點集中力單點集中力單點集中力作用單點集中力作用作用作用
圖 4.5(a)為圓柱殼片段示意圖及圖 4.5(b)其所受到之集中力負荷圖，結 構線段 AD 及 BC 為鉸接，其他兩邊為自由邊，在 E 點受到一個向下的集中 力 F。結構劃分成網格 10×10 如圖 4.5(c)所示，網格 10×10 使用了 200 個三 角 殼 元 素 。 本 例 題 假 設 鉸 接 端 線 段 AD 及 BC 的 邊 界 條 件 為
=
=
=V W
U θx =θz =0。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖4.6 是 本例題在網格10×10下的結果與文獻[48]的結果。本例題使用了元素幾何剛
度Type(1)並且元素座標為Case(a)，網格 10×10的主要路徑分析過程中使用
了13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4；網格 10×10的次要路徑分 析過程中使用了 13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4，挫屈負荷
528.513N
cr =
F ，結構E點向下位移為9.714mm。本例題使用了元素幾何剛
度Type(2)並且元素座標為Case(a)，網格 10×10的主要路徑分析過程中使用
了13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4；網格 10×10的次要路徑分 析過程中使用了 13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4，挫屈負荷
528.315N
cr =
F ，結構E點向下位移為 9.707mm。由圖4.6 可見本文的結果
與文獻[48]的結果相當吻合，元素幾何剛度和元素座標的選擇對結果的影響 不大，故本文的數值程序可以準確找出主要平衡路徑、分歧點及次要路徑。
4.4 Lateral torsional buckling
圖 4.7(a)為 Lateral torsional buckling 示意圖及其所受到之均勻位移負
荷圖，結構線段 AB、BC 及 CD 為固定端，結構線段 EF、FG 及 GI 受到均 勻軸向位移負荷 λ，除了軸向位移外，其位移、旋轉都受到拘束。網格 (1+2+1)×2 示 意 圖 如 圖 4.7(b) 所 示 ， 本 例 題 使 用 了 網 格 (2+2+2)×14 和 (4+4+4)×60 。 本 例 題 假 設 在 線 段 EF 、 FG 及 GI 之 邊 界 條 件 為
=0
=
=
=
=W x y z
V θ θ θ ，固定端線段 AB、BC 及 CD 的邊界條件設定為
=0
=
=
=
=
=V W x y z
U θ θ θ ，沿線段AB、BC、CD、EF、FG及GI 方向的 正應變為0。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，表4.2 是本例題在不 同網格下的結果與文獻[10]中Battini的結果，文獻[10]的結果是使用了網格
(2+2+2)×15 和(4+4+4)×60 得 到 的 結 果 。 本 例 題 使 用 了 元 素 幾 何 剛 度
Type(2)，在網格(2+2+2)×14 之 Case(a)的分析過程中使用了 27 個增量，每
個增量的平均迭代次數約為 2，在網格(2+2+2)×14 之 Case(b)的分析過程中 使用了50個增量，每個增量的平均迭代次數約為 2；在網格(4+4+4)×60之
Case(a)的分析過程中使用了 13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4，
在網格(4+4+4)×60 之 Case(b)的分析過程中使用了 19 個增量，每個增量的
平均迭代次數約為 4。由表 4.2 可以看出本例題不同網格的結果與文獻[10]
的結果很相近。
4.5 Simply supported compressed plate
圖 4.8(a)為 Simply supported compressed plate 示意圖及其所受到之均
勻位移負荷圖，結構線段 AB、BC、CD 及 AD 為簡支端，結構線段 AD 及 BC 受到均勻位移負荷 λ。網格 4×6 示意圖如圖 4.8(b)所示，本例題使用了
網格 4×6、4×10、6×12 和 8×20。本例題假設在線段 AB 及 CD 之邊界條件 為W =θy =θz =0，在線段BC及AD之邊界條件為W =θx =θz =0，在A點 之邊界條件為V =0。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，表 4.3 是本 例題在不同網格下的結果與文獻[10]中 Battini的結果，文獻[10]的結果是使 用了網格4×10和 8×20得到的結果。本例題使用了元素幾何剛度 Type(2)並 且元素座標為Case(a)，在網格 4×6的分析過程中使用了 25個增量，每個增 量的平均迭代次數約為2，在網格4×10 的分析過程中使用了17個增量，每 個增量的平均迭代次數約為 2，在網格 6×12 的分析過程中使用了 26 個增 量，每個增量的平均迭代次數約為2，在網格8×20 的分析過程中使用了20 個增量，每個增量的平均迭代次數約為2。由表4.3 可以看出本例題不同網 格的結果與文獻[10]的結果很相近。
4.6 Transversally loaded T profile
圖4.9(a)為 Transversally loaded T profile 示意圖及其所受到之集中力 負荷圖，結構線段AB、CD和 EF、GI為鉸接，結構 J 點受到集中力負荷。
網格 4×6 示意圖如圖 4.9(b)所示，本例題使用了網格(2+2+4)×20、(3+3+5)×30 和(5+5+8)×50。本例題假設在 C 點之邊界條件為V =0，在線段 CD、GI之 邊界條件為U =W =0，在線段 AB及 EF之邊界條件為W =θy =0，沿線段 CD 及 GI 方向的正應變為 0。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，表 4.4 是本例題在不同網格下的結果與文獻[10]中 Battini 的結果，文獻[10]的 結果是使用了網格(2+2+4)×20 和(5+5+8)×50 得到的結果。本例題使用了元 素幾何剛度Type(2)並且元素座標為Case(a)，在網格(2+2+4)×20的分析過程 中使用了 21 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 2，在網格(3+3+5)×30 的分析過程中使用了 8 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 2，在網格
(5+5+8)×50 的分析過程中使用了 8 個增量，每個增量的平均迭代次數約為
2。由表4.4 可以看出本例題不同網格的結果與文獻[10]的結果很相近。
4.7 Channel section in torsion
圖4.10(a)為 Channel section in torsion 示意圖及其所受到之集中力負荷 與均勻力負荷圖，結構線段AB、BC、CD 和EF、FG、GI 為鉸接，結構J、 K點受到集中力負荷，線段AB、BC、CD和 EF、FG、GI 受到均勻力負荷。
網格(1+2+1)×2 示意圖如圖 4.10(b)所示，本例題使用了網格(1+2+1)×20 和
(2+4+2)×40。本例題假設在M點之邊界條件為U =0，在B、F點之邊界條
件為V =0，在線段 BC及FG之邊界條件為W =θx =0。本例題之平衡迭代 的容許誤差值取10−4，表 4.5 是本例題在不同網格下的結果與文獻[10]中
Battini 的結果，文獻[10]的結果是使用了網格(1+2+1)×20 和(3+8+3)×56 得到 的結果。圖 4.11 是本例題在不同網格下的結果與文獻[13]中 Battini 的結果，
文獻[13]的結果是使用了網格(1+2+1)×20 得到的結果。本例題使用了元素幾 何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格(1+2+1)×20 的分析過程中使 用了 211 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 3，在網格(2+4+2)×40 的分 析過程中使用了 249 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 3。由圖 4.11 可以看出本例題不同網格的結果與文獻[13]的結果接近。
4.8 直角梁直角梁直角梁直角梁受到單點集中力作用受到單點集中力作用受到單點集中力作用 受到單點集中力作用
圖 4.12(a)為直角梁示意圖及其所受到之集中力負荷圖，直角梁前端為 固定端，末端為自由端，在直角梁末端受到一個單點的集中力P。本例題 考慮兩種不同的網格，分別為網格 CM 與網格 FM。圖 4.12(b)為結構劃分 成網格(2+3)×2 示意圖。網格 CM 為結構劃分成網格(2+2)×25，使用了 200 個三角殼元素；網格 FM 結構劃分成網格(4+6)×60，使用了 1200 個三角殼 元 素 。 本 例 題 假 設 固 定 端 線 段 BD 及 BF 的 邊 界 條 件 設 定 為
=0
=
=
=
=
=V W x y z
U θ θ θ ，沿線段 BD 及 BF 方向的正應變為 0。本例題 之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖 4.13 是本例題在不同網格下的結果與
文獻[10]中Battini的結果，其中OPT[10]的結果是使用了網格CM得到的結
果，ALL[10]的結果是使用了網格FM 得到的結果。本例題使用了元素幾何
剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格 CM 的分析過程中使用了 13
個增量，每個增量的平均迭代次數約為 6；在網格 FM 的分析過程中使用了 12 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4。本例題使用了元素幾何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(b)，在網格 CM 的分析過程中使用了 17 個增 量，每個增量的平均迭代次數約為 6；在網格 FM 的分析過程中使用了 13 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 4。在元素座標為 Case(a)之下，由 圖 4.13 可以看出本例題網格 CM 在UA <40時，曲線介於OPT和ALL之間，
網格CM在UA ≥ 40時，曲線逐漸偏離ALL，網格 FM則是一直保持曲線介 於OPT和ALL之間，所以本例題使用元素由少至多可看出曲線的走勢偏向 OPT。本文所使用文獻上最常見的元素座標系統，而文獻[10]中選取的元素 座標系統不同，導致本例題元素座標 Case(a)的結果跟文獻[10]的結果有所 差異，則元素座標Case(b)的結果就跟文獻[10]的結果相當吻合。
4.9 懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用懸臂圓柱殼受到單點集中力作用
圖 4.14(a)為圓柱殼示意圖及其所受到之集中力負荷圖，圓柱殼前端為
自由端，末端為固定端，在圓柱殼上下端各受到一個單點的集中力2F。由 於結構為上下、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來進行分析，
網格16×16的劃分如圖4.14(b)所示，網格16×16使用了 512個三角殼元素。
本例題假設在上下結構對稱處線段 BC 之邊界條件為W =θx =θy =0，在左 右結構對稱處線段 AD 之邊界條件為V =θx =θz =0，固定端線段 CD 的邊 界條件設定為U =V =W =θx =θy =θz =0。本例題之平衡迭代的容許誤差
值取10−4，圖 4.15 是本例題在網格 16×16 的結果與文獻[13]中 Battini 的結 果，其中文獻[13]的結果同樣是使用了 512 個三角殼元素得到的結果。本例 題使用了元素幾何剛度 Type(2)並且元素座標為 Case(a)，在網格 16×16 的分 析過程中使用了 15 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 7。由圖 4.15 可 以看出本文的結果與文獻[13]的結果非常相近。
4.10 半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用半球殼受到單點集中力作用
圖 4.16(a)為半球殼示意圖及其所受到之集中力負荷圖，半球殼頂端為 固定端，半球殼底端為自由端，在半球殼前後左右端各受到一個單點的集 中力2F。由於結構為前後、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來 進行分析，網格 12×12 的劃分如圖 4.16(b)所示，網格 12×12 使用了 276 個 三 角 殼 元 素 。 本 例 題 假 設 在 半 球 殼 頂 端 處 C 點 的 邊 界 條 件 設 定 為
圖 4.16(a)為半球殼示意圖及其所受到之集中力負荷圖，半球殼頂端為 固定端，半球殼底端為自由端，在半球殼前後左右端各受到一個單點的集 中力2F。由於結構為前後、左右對稱，因此本例題僅考慮四分之一結構來 進行分析，網格 12×12 的劃分如圖 4.16(b)所示，網格 12×12 使用了 276 個 三 角 殼 元 素 。 本 例 題 假 設 在 半 球 殼 頂 端 處 C 點 的 邊 界 條 件 設 定 為